2025屆江西省南昌市第八中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆江西省南昌市第八中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線：（，）的左、右焦點分別為、，點在雙曲線上，，，則的離心率為（）A. B.2C. D.2．在區(qū)間內(nèi)隨機地取出兩個數(shù)，則兩數(shù)之和小于的概率是（）A. B.C. D.3．某綜合實踐小組設(shè)計了一個“雙曲線型花瓶”.他們的設(shè)計思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉(zhuǎn)一周，得到花瓶的側(cè)面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，，，其中B是雙曲線的一個頂點.小組中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結(jié)果如下表所示學(xué)生甲乙丙丁估算結(jié)果（）其中估算結(jié)果最接近花瓶的容積的同學(xué)是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙C.丙 D.丁4．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A.2 B.3C.4 D.55．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A. B.C. D.26．在中，內(nèi)角所對的邊為，若，，，則（）A. B.C. D.7．已知點是橢圓上的任意點，是橢圓的左焦點，是的中點，則的周長為（）A. B.C. D.8．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.29．設(shè)是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且.則的面積為（）A.6 B.C.8 D.10．若直線與曲線只有一個公共點，則m的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或11．已知圓過點，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.12．設(shè)，直線與直線平行，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的長軸長為______14．幾位大學(xué)生響應(yīng)國家創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款面向中學(xué)生的應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)題的答案：記集合…，…，例如：，，若將集合的各個元素之和設(shè)為該軟件的激活碼，則該激活碼應(yīng)為________.15．已知拋物線的焦點為，準線為，過點的直線與拋物線交于A，B兩點（點B在第一象限），與準線交于點P.若，，則____________.16．某工廠的某種型號的機器的使用年限和所支出的維修費用（萬元）有下表的統(tǒng)計資料：23456223.85.56.57.0根據(jù)上表可得回歸直線方程，則=_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，是否存在正整數(shù)，使得對任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，說明理由.18．（12分）設(shè)圓的圓心為A，直線l過點且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E（1）判斷與題中圓A的半徑的大小關(guān)系，并寫出點E的軌跡方程；（2）過點作斜率為，的兩條直線，分別交點E的軌跡于M，N兩點，且，證明：直線MN必過定點19．（12分）如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）在線段上是否存在點，使得二面角的余弦值？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由.20．（12分）某班名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是、、、.（1）估計該班本次測試的平均分；（2）在、中按分層抽樣的方法抽取個數(shù)據(jù)，再從這個數(shù)據(jù)中任抽取個，求抽出個中至少有個成績在中的概率.21．（12分）已知圓C經(jīng)過坐標原點O和點（4，0），且圓心在x軸上（1）求圓C的方程；（2）已知直線l：與圓C相交于A、B兩點，求所得弦長值22．（10分）已知拋物線C：焦點F的橫坐標等于橢圓的離心率.（1）求拋物線C的方程；（2）過(1，0)作直線l交拋物線C于A，B兩點，判斷原點與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)雙曲線定義、余弦定理，結(jié)合題意，求得關(guān)系，即可求得離心率.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：不妨設(shè)，則，，①；在△中，由余弦定理可得：，代值得：，②；聯(lián)立①②兩式可得：；在△和△中，由，可得：，整理得：，③；聯(lián)立②③可得：，又，故可得：，則，則，故離心率為.故選：C.2、C【解析】利用幾何概型的面積型，確定兩數(shù)之和小于的區(qū)域，進而根據(jù)面積比求概率.【詳解】由題意知：若兩個數(shù)分別為，則，如上圖示，陰影部分即為，∴兩數(shù)之和小于的概率.故選：C3、D【解析】根據(jù)幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對幾何體的體積進行估計即可.【詳解】可將幾何體看作一個以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學(xué)的估算，故選：D4、C【解析】依據(jù)橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關(guān)于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關(guān)系式，即可求得的值.【詳解】設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，令，不妨設(shè)則，解之得代入，可得整理得，即，也就是故選：C5、D【解析】由已知條件可得，，…，即是周期為3的數(shù)列，即可求.【詳解】由題設(shè)，知：，，，…，∴是周期為3的數(shù)列，而的余數(shù)為1，∴.故選：D.6、B【解析】利用正弦定理角化邊得到，再利用余弦定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，由余弦定理得：，，.故選：B.7、A【解析】設(shè)橢圓另一個焦點為，連接，利用中位線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，，，如圖，設(shè)橢圓的另一個焦點為，連接，因為、分別為、的中點，則，則的周長為，故選：A.8、A【解析】如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可【詳解】因為平面，平面，平面，所以，，因為所以如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，即.在上的投影向量的長度為，故點到直線的距離為.故選：A9、B【解析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，得到，，進而利用得出，進而可求出【詳解】解：由橢圓的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因為，，所以，所以，故選：B10、D【解析】根據(jù)曲線方程的特征，發(fā)現(xiàn)曲線表示在軸上方的圖象，畫出圖形，根據(jù)圖形上直線的三個特殊位置，當(dāng)已知直線位于直線位置時，把已知直線的解析式代入橢圓方程中，消去得到關(guān)于的一元二次方程，由題意可知根的判別式等于0即可求出此時對應(yīng)的的值；當(dāng)已知直線位于直線及直線的位置時，分別求出對應(yīng)的的值，寫出滿足題意得的范圍，綜上，得到所有滿足題意得的取值范圍【詳解】根據(jù)曲線，得到，解得：；，畫出曲線的圖象，為橢圓在軸上邊的一部分，如圖所示：當(dāng)直線在直線的位置時，直線與橢圓相切，故只有一個交點，把直線代入橢圓方程得：，得到，即，化簡得：，解得或(舍去)，則時，直線與曲線只有一個公共點；當(dāng)直線在直線位置時，直線與曲線剛好有兩個交點，此時，當(dāng)直線在直線位置時，直線與曲線只有一個公共點，此時，則當(dāng)時，直線與曲線只有一個公共點，綜上，滿足題意得的范圍是或故選：D11、B【解析】根據(jù)圓心在軸上，設(shè)出圓的方程，把點，的坐標代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因為圓的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因為點，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.12、C【解析】根據(jù)直線平行求解即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，即，經(jīng)檢驗，滿足題意.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】把橢圓方程化成標準形式直接計算作答.【詳解】橢圓方程化為：，令橢圓長半軸長為a，則，解得，所以橢圓的長軸長為4.故答案為：414、376【解析】由題設(shè)知集合的規(guī)律為最小的元素為且元素構(gòu)成公差1的等差數(shù)列，共有個元素，即可寫出的所有元素，應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式求激活碼.【詳解】由題設(shè)，或，即，或，即，所以或，則，故各個元素之和為.故答案為：.15、【解析】過點作，垂足為，過點作，垂足為，然后根據(jù)拋物線的定義和三角形相似的關(guān)系可求得結(jié)果【詳解】過點作，垂足為，過點作，垂足為，由拋物線的定義可知，，不妨設(shè)，因為，所以，因為∽，所以，即，所以，所以，因為與反向，所以.故答案為：16、08##【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求出，將點代入回歸直線求出即可.【詳解】由表格可得，，由于回歸直線過點，故，解得，故答案為：0.08.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由已知條件有，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）求出及，進而可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解的最小值，從而可得答案.【小問1詳解】證明：因為，所以，又因為，所以，所以數(shù)列是首項為2公比為2的等比數(shù)列；【小問2詳解】解：由（1）知，，所以，所以，檢驗時也滿足上式，所以,所以，令，所以，故當(dāng)即時，取得最小值，所以.18、（1）與半徑相等，（2）證明見解析【解析】（1）依據(jù)橢圓定義去求點E的軌跡方程事半功倍；（2）直線MN要分為斜率存在的和不存在的兩種情況進行討論，由設(shè)而不求法把條件轉(zhuǎn)化為直線MN過定點的條件即可解決.【小問1詳解】圓即為，可得圓心，半徑，由，可得，由，可得，即為，即有，則，所以其與半徑相等.因為，故E的軌跡為以A，B為焦點的橢圓（不包括左右頂點），且有，，即，，，則點E的軌跡方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線MN斜率不存在時，設(shè)直線方程為，則，，，，則，∴，此時直線MN的方程為當(dāng)直線MN斜率存在時，設(shè)直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立：，得，設(shè)，，有則將*式代入化簡可得：，即，∴，此時直線MN：，恒過定點又直線MN斜率不存在時，直線MN：也過，故直線MN過定點.【點睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。19、（1）；（2）存在，為上靠近點的三等分點【解析】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出的坐標以及平面的一個法向量，計算即可求解；（2）假設(shè)線段上存在點符合題意，設(shè)可得，求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.【詳解】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示：則，，，.不妨設(shè)平面的一個法向量,則有，即，取.設(shè)直線與平面所成的角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為；（2）假設(shè)線段上存在點，使得二面角的余弦值.設(shè)，則,從而，，.設(shè)平面的法向量,則有，即，取.設(shè)平面的法向量,則有，即，取.,解得：或（舍）,故存在點滿足條件，為上靠近點的三等分點【點睛】求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，通過計算向量夾角（直線方向向量與直線方向向量、直線方向向量與平面法向量，平面法向量與平面法向量）余弦值，即可求出結(jié)果.20、（1）；（2）.【解析】（1）將每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加可得的值；（2）分析可知，所抽取的個數(shù)據(jù)中，成績在內(nèi)的有個，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有個，分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖可得.【小問2詳解】解：因為數(shù)學(xué)成績在、內(nèi)的頻率分別為、，所以，所抽取的個數(shù)據(jù)中，成績在內(nèi)的有個，分別記為、、、，成績在內(nèi)的有個，分別記為、，從這個數(shù)據(jù)中，任取抽取個，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共個，其中，事件“抽出個中至少有個成績在中”所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共個，故所求概率為.21、（1）（2）【解析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，