2025屆新疆阿克蘇市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆新疆阿克蘇市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.C. D.2．已知空間向量，則（）A. B.C. D.3．記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.274．設(shè)，向量，，，且，，則（）A. B.C.3 D.45．已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線BF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.6．現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重（）斤A.6 B.7C.9 D.157．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）A. B.C. D.8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長篇小說，書中有這樣一個(gè)情節(jié)：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個(gè)小燈，另一種是大燈下綴4個(gè)小燈，大燈共360個(gè)，小燈共1200個(gè).若在這座樓閣的燈球中，隨機(jī)選取一個(gè)燈球，則這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為A. B.C. D.10．已知空間向量，，則（）A. B.C. D.11．圓：與圓：的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離12．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過焦點(diǎn)的傾斜角為直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦長，若三角形的內(nèi)切圓的面積為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓的一條直徑的端點(diǎn)是、，則此圓的方程是_______14．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.15．圓錐曲線有良好的光學(xué)性質(zhì)，光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如左圖）；光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出（如中圖）.封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:-=1在y軸右側(cè)的一部分（實(shí)線）圍成.光線從橢圓C1上一點(diǎn)P0出發(fā)，經(jīng)過點(diǎn)F2，然后在曲線E內(nèi)多次反射，反射點(diǎn)依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為_________.16．若直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，則l的斜率取值范圍為_________________；其傾斜角的取值范圍為_________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最值；（Ⅱ）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，18．（12分）如圖，正方形和四邊形所在的平面互相垂直，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角.19．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周長.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，軸于點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn).（1）判斷點(diǎn)是否在拋物線上，并說明理由；（2）過點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，過拋物線上的點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，……，以此類推，得到數(shù)列，求，及數(shù)列的通項(xiàng)公式.21．（12分）已知橢圓：，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，過作的外角的平分線的垂線，垂足為，且（1）求橢圓方程：（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率之和為0（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）①求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)：②求面積的最大值22．（10分）已知是公差不為零等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)．?dāng)?shù)列{}的前項(xiàng)和為，求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)，列出關(guān)于不等式，求解即可得到答案【詳解】由雙曲線的性質(zhì)：，解的或，故選：A2、A【解析】求得，即可得出.【詳解】，，，.故選：A.3、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列，根據(jù)等比的中項(xiàng)性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，且，，易知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：C4、C【解析】根據(jù)空間向量垂直與平行的坐標(biāo)表示，求得的值，得到向量，進(jìn)而求得，得到答案.【詳解】由題意，向量，，，因?yàn)?，可得，解得，即，又因?yàn)?，可得，解得，即，可得，所?故選：C.5、A【解析】設(shè)，根據(jù)得，代入橢圓方程即可求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓方程，所以，設(shè)，所以，所以，在橢圓上，所以，.故選：A6、D【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列為，其公差為，由題意知，，由，解得，所以.故選：D7、C【解析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡得，解得（負(fù)值舍去）.故選：C【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.8、A【解析】本題考查雙曲線的定義、幾何性質(zhì)及直角三角形的判定即可解決.【詳解】因?yàn)?，，所以在中，邊上的中線等于的一半，所以．因?yàn)?，所以可設(shè)，，則，解得，所以，由雙曲線的定義得，所以雙曲線的離心率故選：A9、B【解析】設(shè)大燈下綴2個(gè)小燈為個(gè)，大燈下綴4個(gè)小燈有個(gè)，根據(jù)題意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【詳解】設(shè)大燈下綴2個(gè)小燈為個(gè)，大燈下綴4個(gè)小燈有個(gè)，根據(jù)題意可得，解得，則燈球的總數(shù)為個(gè)，故這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中根據(jù)題意列出方程組，求得兩種燈球的數(shù)量是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題10、C【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解即可【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C11、A【解析】先計(jì)算兩圓心之間的距離，判斷距離和半徑和、半徑差之間的關(guān)系即可.【詳解】圓圓心，半徑，圓圓心，半徑，兩圓心之間的距離，故兩圓內(nèi)切.故選：A.12、C【解析】由題可得直線AB的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點(diǎn)三角形及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，也可表示出三角形面積，則橢圓的離心率即求.【詳解】由題知直線AB的方程為，即，∴到直線AB距離，又三角形的內(nèi)切圓的面積為，則半徑為1，由等面積可得，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用直徑對應(yīng)的圓周角為直角，再利用向量垂直建立方程即可【詳解】設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為可得：，則有：，即解得：故答案為：14、2【解析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，平面的法向量為，，所以∥，所以存?shí)數(shù)使，所以，所以，解得，所以，故答案為：215、【解析】結(jié)合橢圓、雙曲線的定義以及它們的光學(xué)性質(zhì)求得正確答案.【詳解】橢圓；雙曲線，雙曲線和橢圓的焦點(diǎn)重合.根據(jù)雙曲線的定義有，所以①，②，根據(jù)橢圓的定義由，所以路程.故答案為：16、①.②.【解析】根據(jù)直線l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，利用斜率公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解；設(shè)其傾斜角為，，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)橹本€l經(jīng)過A(2，1)，B(1，)兩點(diǎn)，所以l的斜率為，所以l的斜率取值范圍為，設(shè)其傾斜角為，，則，所以其傾斜角的取值范圍為，故答案為：，三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；最小值為，無最大值；（Ⅱ）證明見解析【解析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可確定單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性可得最值點(diǎn)；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，結(jié)合的正負(fù)可確定的零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）由題意得：定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為的最小值為，無最大值（Ⅱ）設(shè)，則，令得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減由（Ⅰ）知：，可得：，，可得：，即又，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到函數(shù)單調(diào)性和最值的求解、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等知識；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過移項(xiàng)構(gòu)造的方式，構(gòu)造出新的函數(shù)，通過的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)所處的范圍可分析得到結(jié)果.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由題意可證得，所以以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明，（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，∵平面，∴∥平面.【小問2詳解】，設(shè)平面的法向量為，則，令，則.∴.由圖可知平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角為.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)正弦定理把化成，利用和角公式可得從而求得角；（2）根據(jù)三角形的面積和角的值求得，由余弦定理求得邊得到的周長.試題解析：（1）由已知可得（2）又，周長為考點(diǎn)：正余弦定理解三角形.20、（1）在拋物線上，理由見解析（2）,,.【解析】（1）根據(jù)直線的方程設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可判斷點(diǎn)是否在拋物線上；（2）設(shè)出直線的直線方程，與拋物線聯(lián)立，令，即可求出，同理可以求出，設(shè)出直線的直線方程，與拋物線聯(lián)立，令即可求出的方程，若令，，即，故數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問1詳解】由已知條件得直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，則，由直線的方程為可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)滿足拋物線，則點(diǎn)是否在拋物線上；【小問2詳解】設(shè)的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知，設(shè)的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，其中，即，，解得，直線的方程為，即，令得，即直線過點(diǎn)，則直線的斜率為，直線的方程也可以表示為，即，令，，即，則，即數(shù)列是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故.21、（1）；（2）①證明見解析，；②.【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及角平分線的性質(zhì)可得，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，以及即可求出的值，進(jìn)而可得橢圓的方程.（2）①設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，求得，，利用斜率之和等于得出關(guān)于的方程，解得即可得所過的定點(diǎn)，②由弦長公式求出，點(diǎn)到直線的距離公式求得高，由面積公式表示三角形的面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】（1）如圖，由題意可知，由橢圓定義知，則，連接，所以，所以又在橢圓上則，解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）①證明：設(shè)，，聯(lián)立，整理可得：，所以，可得，，，設(shè)直線，，的斜率為，，，因?yàn)橹本€，，的斜率之和為0，所以，即所以，由，所以，所以直線恒過定點(diǎn)；②由①可得：，原點(diǎn)到直線的距離，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)取等號，所以，即面積的最大值為1【點(diǎn)