19.7 直角三角形全等的判定 同步練習

19.7直角三角形全等的判定【夯實基礎】一、單選題1．（2022·上海市南洋模范中學八年級期末）判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有（

）A．兩條直角邊對應相等 B．斜邊和一銳角對應相等C．斜邊和一條直角邊對應相等 D．兩個銳角對應相等2．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）下列條件，不能判定兩個直角三角形全等的是（

）A．兩個銳角對應相等 B．一個銳角和斜邊對應相等C．兩條直角邊對應相等 D．一條直角邊和斜邊對應相等3．（2022·上海·八年級專題練習）如圖，在和中，，，，則（

）A．30° B．40° C．50° D．60°4．（2022·上海浦東新·八年級期末）如圖，在等腰中，，，BD平分，交AC于點D，，若cm，則的周長為（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm5．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD與CE分別是斜邊AB上的高與中線，以下判斷中正確的個數(shù)有（）①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題6．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）命題“直角三角形的兩個銳角互余”的逆命題為_____．7．（2022·上海·八年級期末）如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，點D在BC上DE⊥AB，點E為垂足，且DC=DE，連接AD，則∠ADB的大小為_____________．三、解答題8．（2022·上海市南洋模范初級中學八年級期中）已知：如圖，在中，，為的外角平分線，交的延長線于點，且．求證：．9．（2022·上海市南洋模范初級中學八年級期中）如圖，在中，(1)用直尺和圓規(guī)作的平分線，交邊于點（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標注點）；(2)如果在（1）條件下點是的中點，求證：．10．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，求證：BE＝CF．11．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，AB、ED分別垂直于BD，點B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE，求證：△ACE是直角三角形．12．（2022·上?！ぐ四昙夒A段練習）如圖，四邊形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D求證：AB=AD．【能力提升】一、單選題1．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖在Rt△ABC=90，如果CD、CM分別是斜邊上的高和中線，AC=2，BC=4，那么下列結論中錯誤的是（

）A．∠ACD=∠B B．CM= C．∠B=30 D．CD=2．（2022·上海·八年級期末）已知下列說法，其中結論正確的個數(shù)是（

）①等腰三角形一邊上的高就是這條邊上的中線；②等腰三角形的對稱軸就是底邊上的中線；③若一條直線上的一點P到線段兩端的距離相等，則這條直線是這條線段的垂直平分線；④若兩個直角三角形的一條直角邊和斜邊分別對應相等，則這兩個直角三角形全等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·上海·八年級專題練習）下列命題中，假命題是（

）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等B．三角形三個內(nèi)角的平分線的交點到三角形三條邊的距離相等C．兩腰對應相等的兩個等腰三角形全等D．一條直角邊和另一條直角邊上的中線對應相等的兩個直角三角形全等4．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）下列命題中，是假命題的是（

）A．斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；B．在一個角的內(nèi)部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上．C．每個命題都有逆命題；D．每個定理都有逆定理．二、填空題5．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分別是AC、BD的中點，則線段MN的長為_____．6．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）如圖：△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE，CF分別是中線，角平分線，高，則和的大小關系：_________________7．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）等腰三角形的頂角為120°，底邊上的高為3cm，則它的腰長為______cm.8．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）如圖，已知D是直角三角形ABC中BC邊的延長線上的一點，CD＝AC，∠ACB=60°，則BC∶CD=______9．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）如果一個直角三角形斜邊上的中線與斜邊所成的銳角為角，那么這個直角三角形的較小的內(nèi)角是________.10．（2020·上海市澧溪中學八年級階段練習）如圖，點A為的平分線上一點，過A任意作一條直線分別與的兩邊相交于B、C，P為中點，過P作的垂線交射線于點D，若，則的度數(shù)為_度．11．（2022·上海·八年級專題練習）如圖，是的高，，，，則__．三、解答題12．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知：如圖，，分別為垂足，的垂直平分線交于點，交于點，.求證：（1）；（2）.13．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知，如圖，BD是∠ABC的平分線，AB＝BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N．（1）求證：PM＝PN；（2）聯(lián)結MN，求證：PD是MN的垂直平分線．14．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且BD＝DC，DF，DE分別垂直于AB，AC，垂足分別為F，E；求證：BF＝CE15．（2021·上海市莘光學校八年級期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．(1)當C轉(zhuǎn)到AB邊上點C′位置時，A轉(zhuǎn)到A′，（如圖1所示）直線CC′和AA′相交于點D，試判斷線段AD和線段A′D之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．(2)將Rt△ABC繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)將Rt△ABC旋轉(zhuǎn)至A、C′、A′三點在一條直線上時，請直接寫出此時旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．16．（2021·上海民辦行知二中實驗學校八年級期中）如圖，點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，過點B分別作x軸和y軸的平行線交函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點A，C．(1)若點B的坐標為（1，2），求A，C兩點的坐標；(2)若點B是y＝（x＞0）的圖象上任意一點，求△ABC的面積．(3)OC平分OA與x軸正半軸的夾角，將△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，點B′落在OA上，求四邊形OABC的面積．17．（2022·上海·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，(1)用直尺和圓規(guī)分別作∠ACB的平分線、線段AB的中垂線、它們的交點M（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖上清楚地標注點M）；(2)過點M作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E、F．求證：BE＝AF．18．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC>CD，AC平分∠BCD，過點A作AE⊥BC，垂足為點E．(1)求證：CE=CDBE；(2)如果CE=3BE，求的值．19．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）（1）已知，如圖，在三角形中，AD是BC邊上的高．尺規(guī)作圖：作的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法，寫出結論）﹔（2）在已作圖形中，若l與AD交于點E，且，求證：．20．（2022·上海·八年級單元測試）已知：如圖，點是的邊上的一點，過點作，，、為垂足，再過點作，交于點，且．(1)求證：；(2)當點是邊的中點時，求證：．21．（2022·上海·八年級專題練習）已知：如圖，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求證：∠AFC＝2∠ADC.22．（2022·上海市南洋模范初級中學八年級期中）如圖，在中，是的中點，，，于點，若，，求的長．23．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，CE∥AB，AD平分∠EAB(1)延長AD、CE相交于點F，求證:AB＝CE+AE(2)當點E和點C重合時，試判斷△ABC的形狀，請畫出圖形，并說明理由.

19.8直角三角形性質(zhì)（第1課時）（解析版）【夯實基礎】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果D為邊AB上的中點，那么下面結論錯誤的是（

）A． B． C．∠A＝∠ACD D．∠ADC＝2∠B【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)結合等腰三角形的性質(zhì)及含角的直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)判定即可求解．【詳解】解：在中，，為邊上的中點，，故選項正確，不符合題意；，故選項正確，不符合題意；，，故選項正確，不符合題意；只有當時，，故選項錯誤，符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，解題的關鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．2．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）如圖，在中，∠C=90°，∠B=30°，D是AB的中點，DE⊥BC于E，圖中等于60°的角有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】由已知條件可得AD=DB=CD，所以可得到，故可得出等于的角有多少個．【詳解】，，D是AB的中點，AD=DB=CD，，是等邊三角形，，．故選D．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)斜邊中線定理得到線段的等量關系，進而得到角的等量關系．二、填空題3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）如果直角三角形的斜邊長為36，那么這條邊上的中線長=___________．【答案】18【分析】直接根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”即可得答案．【詳解】因為“直角三角形斜邊上的中線長是斜邊長的一半”，所以這條邊上的中線長為18．故答案為18．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，熟記知識點是解題的關鍵．4．（2018·上海·八年級期中）直角三角形斜邊上高和中線分別是5和6，則它的面積是________．【答案】30【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出斜邊長，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．【詳解】解：如圖，直角三角形斜邊上的中線是6，斜邊長為：，它的面積，故答案為：30．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．5．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）直角三角形的斜邊上的高和斜邊上的中線的長分別為3和4，那么這個直角三角形的面積為______．【答案】12【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出斜邊AB，根據(jù)三角形面積公式求出即可．【詳解】作圖，E是斜邊AB中點，CD⊥AB于D，如圖所示：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CE是△ACB中線，CE=4，∴AB=2CE=8，∴△ACB的面積是×AB×CD=×8×3=12，故答案為：12．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上中線性質(zhì)和三角形面積的應用，注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．6．（2022·上?！ど贤飧街邪四昙壠谀┤鐖D，Rt△ABC，∠B=90°，∠BAC=72°，過C作CF∥AB，聯(lián)結AF與BC相交于點G，若GF=2AC，則∠BAG=_____________°．【答案】24【分析】取FG的中點E，連接EC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EC=AC，從而可推出∠EAC=∠AEC=∠F+∠ECF=2∠F，已知，∠BAC=72°，則不難求得∠BAG的度數(shù)．【詳解】解：如圖，取FG的中點E，連接EC．∵FC∥AB，∴∠GCF=90°，∴EC=FG=AC，∴∠EAC=∠AEC=∠F+∠ECF=2∠F，設∠BAG=x，則∠F=x，∵∠BAC=72°，∴x+2x=72°，∴x=24°，∴∠BAG=24°，故答案為：24．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，平行線的性質(zhì)以及角的計算，解題的關鍵是構造三個等腰三角形．直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．7．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在中，，，與分別是斜邊上的高和中線，那么_______度．【答案】50【分析】根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)及互為余角的性質(zhì)計算．【詳解】解：，為邊上的高，，，是斜邊上的中線，，，的度數(shù)為．故答案為：50．【點睛】本題主要考查了直角三角形中線的性質(zhì)及互為余角的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握三角形中線的性質(zhì)．8．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學八年級課時練習）在直角三角形中，斜邊及其中線之和為9，則該三角形的斜邊長為__________．【答案】6【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)推出AB=2CD，代入AB+CD=9，即可求出AB．【詳解】如圖：∵∠ACB=90°，CD是△ACB的中線，∴AB=2CD，∵AB+CD=9，∴CD=3，AB=2CD=6，故答案為：6．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，關鍵是得出AB=2CD．三、解答題9．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，已知的高相交于點分別是的中點，求證：垂直平分．(括號中需寫本學期新學理由)【答案】見解析【分析】聯(lián)結，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，進而判斷在線段的垂直平分線上，即可證明垂直平分【詳解】證明：聯(lián)結，∵，，∴，∵是的中點，∴(直角三角形斜邊中線等于斜邊一半)，∴，∴在線段的垂直平分線上(垂直平分線的逆定理)，∴垂直平分.【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，垂直平分線的判定，掌握以上性質(zhì)定理是解題的關鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）下列命題的逆命題中，真命題有（

）①全等三角形的對應角相等；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③關于某一條直線對稱的兩個三角形全等；④等腰三角形的兩個底角相等．A．1個； B．2個； C．3個； D．4個．【答案】B【分析】先確定每個命題的逆命題，再對依次進行判定即可解答.【詳解】解：①的逆命題為：對應角相等的三角形是全等三角形，是假命題，不符合題意；②的逆命題為：有一條邊上的中線等于這一條邊的一半的三角形是直角三角形，是真命題，符合題意；③的逆命題為：兩個全等的三角形關于某一條直線對稱，是假命題，不符合題意；④的逆命題為：兩個角相等的三角形是等腰三角形，是真命題，符合題意．故真命題有2個．故選：B．【點睛】此題考查了命題，正確的命題是真命題，錯誤的命題是假命題，正確確定每個命題的逆命題是解此題的關鍵．二、填空題2．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知是等腰三角形，是邊上的高，且，那么此三角形的頂角的度數(shù)為______．【答案】或者【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖1，取的中點，連接，，，，，是的中點，，是等邊三角形，，；如圖2，是等腰三角形，，，，，是等腰直角三角形，，，，；故答案為：或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分類討論并畫出圖形是解題的關鍵．3．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在中，，，斜邊BC的垂直平分線交邊AB于點E，垂足為點D，取線段BE的中點F，聯(lián)結DF，如果，則________．【答案】【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得AE=BE，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得DF=BE，最后根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)得AC=AE，從而得出，即可得出答案．【詳解】證明：如圖，連接CE，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∠EDB=90°，∴∠EAB=∠B=15°，∴∠AEC=30°，Rt△EDB中，∵F是BE的中點，∴DF=BE，Rt△ACE中，∵∠AEC=30°，∴AC=AE，∴AC=DF=4．故答案為：．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)以及30°所對的直角邊的性質(zhì)，熟練掌握這些基本性質(zhì)得出線段關系是解題的關鍵．4．（2022·上海·八年級單元測試）在△ABC中，，△ABC的面積為3，過點A作AD⊥AB交邊BC邊于點D．設，．那么y與x之間的函數(shù)解析式_________________.（不寫函數(shù)定義域）．【答案】【分析】取BD中點E，連接AE，過點A作，垂足為H．根據(jù)△ABC的面積計算出，再根據(jù)“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”，推導，同時由，可知，借助“30°角所對直角邊是斜邊的一半”可知，進而得到，然后整理即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)解析式．【詳解】解：取BD中點E，連接AE，過點A作，垂足為H，根據(jù)題意，，即，解得，∵在中，AD⊥AB，E為BD中點，∴，∴，又∵，∴，∴在中，，即有，整理得．∴y與x之間的函數(shù)解析式為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形面積的求解方法、直角三角形中斜邊上的中線性質(zhì)、30°角所對直角邊是斜邊的一半等知識，解題關鍵是準確作出輔助線，掌握三角形面積的求解方法．5．（2021·上海市延安實驗初級中學八年級期中）如圖，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，點D為邊AB上一點．將BCD直線CD翻折，點B落在點E處，聯(lián)結AE．如果，那么BE=______．【答案】【分析】過D作DG⊥BC于G，依據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到CD垂直平分BE，再根據(jù)，得出CD=BD=5，進而得到BG=3，再根據(jù)，即可得到BF的長，即可得出BE的長．【詳解】如圖所示，過D作DG⊥BC于G，∵在RtABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，，由折疊可得，CD垂直平分BE，∴當時，∠AEB=∠DFB=90°，∴∠DEB＋∠DEA=90°，∠DBE＋∠DAE=90°，∵DB=DE，∴∠DEB=∠DBE，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE，∴AD=BD，∴D是AB的中點，∴Rt△ABC中，CD=BD=5，∵DG⊥BC，∴BG=3，∴Rt△BDG中，，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．6．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A=____度．【答案】【分析】過點D作DE⊥AB于E，取A、D的中點F，連接EF，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，然后通過證明是等邊三角形得出，由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】證明：過點D作DE⊥AB于E，取A、D的中點F，連接EF，則，∵，∴，∵EF是的中線，∴，∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD=2，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴故答案為：30．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線性質(zhì)的應用及直角三角形斜邊上的中線，解題的關鍵是做輔助線證明是等邊三角形，注意：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．7．（2021·上海普陀·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點，BE⊥CD，垂足為點E．如果∠CBE＝25°，那么∠CDA＝______°．【答案】130【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，即可得，由同角的余角相等可得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：，是邊的中點，，，，，，，，，，故答案為：130．【點睛】本題主要考查直角三角形斜邊上的中線，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是求解．三、解答題8．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，邊AB的垂直平分線交邊BC于點E，垂足為點D，取線段BE的中點F，聯(lián)結DF．求證：AC＝DF．（說明：此題的證明過程需要批注理由）【答案】見解析【詳解】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得：AE＝BE，再利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：DF與BE的關系，最后根據(jù)直角三角形30度的性質(zhì)得AC和AE的關系，從而得出結論．【解答】證明：連接AE，∵DE是AB的垂直平分線（已知），∴AE＝BE，∠EDB＝90°（線段垂直平分線的性質(zhì)），∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等邊對等角），∴∠AEC＝30°（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），Rt△EDB中，∵F是BE的中點（已知），∴DF＝BE（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），∴AC＝AE（直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半），∴AC＝DF（等量代換）．【點睛】本題考查中垂線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的邊與斜邊之間的關系，能夠熟練掌握數(shù)形結合思想是解決本題的關鍵．9．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）已知：如圖，在△ABC中，BD⊥AC，D為垂足，E是AB的中點，，交AC于點F，∠A＝2∠C．求證：．【答案】見解析【分析】連接DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE＝AE＝AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到DE＝DF，證明結論．【詳解】證明：連接DE，∵BD⊥AC，E為AB的中點，∴DE＝AE＝AB，∴∠A＝∠ADE，∵EF∥BC，∴∠AFE＝∠C，又∵∠A＝2∠C，∴∠ADE＝2∠DFE，又∵∠ADE＝∠DFE+∠DEF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DF＝DE，又∵DE＝AB，∴DF＝AB．【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．10．（2