重難點14 奔馳定理與四心問題（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點14奔馳定理與四心問題【五大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1奔馳定理】 3【題型2重心問題】 4【題型3垂心問題】 5【題型4內心問題】 5【題型5外心問題】 61、奔馳定理與四心問題奔馳定理是平面向量中的重要定理，這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題有著重要作用；四心問題是平面向量中的重要問題，是高考的熱點內容，在高考復習中，要掌握奔馳定理并能靈活運用，對于四心問題要學會靈活求解.【知識點1奔馳定理】1．奔馳定理如圖，已知P為△ABC內一點，且滿足，則有△APB、△APC、△BPC的面積之比為.由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，所以我們把它稱為“奔馳定理”.這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.【知識點2四心問題】1．四心的概念及向量表示(1)重心的概念及向量表示①重心的概念：三角形各邊中線的交點叫做重心，重心將中線長度分成2:1.②重心的向量表示：如圖，在△ABC中，點P為△ABC重心.③重心坐標公式：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，則△ABC的重心坐標為P.(2)垂心的概念及向量表示①垂心的概念：三角形各邊上高線的交點叫做垂心.②垂心的向量表示：如圖，在△ABC中，點P為△ABC垂心.(3)內心的概念及向量表示①內心的概念：三角形各角平分線的交點叫做內心，內心也為三角形內切圓的圓心.②內心的向量表示：如圖，在△ABC中，三角形的內心在向量所在的直線上，點P為△ABC內心.(4)外心的概念及向量表示①外心的概念：三角形各邊中垂線的交點叫做外心，外心也為外接圓的圓心，外心到三角形各頂點的距離相等.②外心的向量表示：如圖，在△ABC中，點P為△ABC外心.2．三角形的四心與奔馳定理的關系(1)O是△ABC的重心：.(2)O是△ABC的垂心：.(3)O是△ABC的內心：.(4)O是△ABC的外心：.【題型1奔馳定理】【例1】（2024高三·全國·專題練習）已知點A，B，C，P在同一平面內，PQ=13PA，QR=13QB，RP=13RC，則S△ABC:A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6【變式1-1】（23-24高一下·廣西南寧·期末）已知O為△ABC內一點，且滿足3OA+4OB+5OCA．25 B．14 C．34【變式1-2】（23-24高一下·湖北·期中）奔馳定理：已知O是△ABC內的一點，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SA．25 B．12 C．16【變式1-3】（23-24高三上·河南南陽·期中）奔馳定理：已知O是ΔABC內的一點，ΔBOC，ΔAOC，ΔAOB的面積分別為SA，SB，SC，則SA?OA+SB?OB+SC?OC=0．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若A．sinB．cosC．tanD．sin【題型2重心問題】【例2】（2024·貴州六盤水·三模）已知點O為△ABC的重心，AC=λOA+μA．?3 B．?2 C．1 D．6【變式2-1】（2024·陜西西安·一模）已知點P是△ABC的重心，則（

）A．AP=16C．AP=23【變式2-2】（23-24高一下·四川巴中·階段練習）已知點G為△ABC的重心，D,E分別是AB,AC邊上一點，D,G,E三點共線，F(xiàn)為BC的中點，若AF=λAD+μAE，則A．6 B．7 C．92 D．【變式2-3】（2024高一下·上?！ｎ}練習）設點O是△ABC所在平面內一點，則下列說法錯誤的是（

）A．若OA+OB+OC=B．若(OA+OB)?ABC．若(AB|ABD．若OA+2OB+3OC=0，則△【題型3垂心問題】【例3】（23-24高一下·上海浦東新·期中）O是平面上一定點，A，B，C平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OA+λABABcos∠ABC+ACA．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【變式3-1】（23-24高一下·廣東東莞·期末）已知在△ABC中，O是△ABC的垂心，點P滿足：3OP=12OAA．23 B．34 C．35【變式3-2】（23-24高一下·山東·期中）設H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HCA．?3010 B．?55 C．【變式3-3】（2024高三下·全國·專題練習）如圖，已知O是△ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=A．1:2:3 B．1:2:4C．2:3:4 D．2:3:6【題型4內心問題】【例4】（2024·四川南充·三模）已知點P在△ABC所在平面內，若PA?(AC|AC|?ABA．外心 B．垂心 C．重心 D．內心【變式4-1】（23-24高一下·四川成都·期末）已知點O是△ABC的內心，AB=4,AC=3，CB=λCA+μCO，則A．43 B．53 C．2 【變式4-2】（2023高三·全國·專題練習）在△ABC中，若sin∠BAC?PA+sin∠ABC?PB+A．重心 B．內心 C．垂心 D．外心【變式4-3】（2024高三·全國·專題練習）在△ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，O是△ABC的內心，且AO=λABA．910 B．710 C．89【題型5外心問題】【例5】（23-24高一下·天津北辰·期中）O為△ABC所在平面內一點，且滿足(OA+OB)?BA=(OBA．內心 B．外心 C．重心 D．垂心【變式5-1】（23-24高三下·新疆·階段練習）在△ABC中，AC=27，O是△ABC的外心，M為BC的中點，AB?AO=8，N是直線OM上異于M、O的任意一點，則A．3 B．6 C．7 D．9【變式5-2】（2024高三·江蘇·專題練習）已知O為△ABC的外心，若A(0,0),B(2,0),AC=1,∠BAC=120°,且AO=λABA．23 B．2 C．1 D．【變式5-3】（2024·遼寧撫順·模擬預測）在銳角三角形ABC中，A=60°，AB>AC，H為△ABC的垂心，AH?AC=20，O為△ABC的外心，且AH?AOA．9 B．8 C．7 D．6一、單選題1．（2024·全國·二模）點O,P是△ABC所在平面內兩個不同的點，滿足OP=OA+OB+OC，則直線A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心2．（23-24高一下·河南安陽·期末）已知O是△ABC內的一點，若△BOC,△AOC,△AOB的面積分別記為S1,S2,S3，則S1?OA+S2A．1:2:3 B．1:2:4 C．2:3:4 D．2:3:63．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習）點P是銳角△ABC內一點，且存在λ∈R，使AP=λ(AB+AC)A．點P是△ABC的垂心 B．點P是△ABC的重心C．點P是△ABC的外心 D．點P是△ABC的內心4．（2024·安徽·三模）平面上有△ABC及其內一點O，構成如圖所示圖形，若將△OAB，△OBC，△OCA的面積分別記作Sc，Sa，Sb，則有關系式Sa?OA+Sb?OB+Sc?OC=0．因圖形和奔馳車的logo很相似，常把上述結論稱為“奔馳定理”．已知△ABC的內角A，A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心5．（23-24高一下·上海奉賢·期中）設O為△ABC所在平面內一點，滿足OA+2OB+2OC=0，則A．6 B．83 C．127 6．（23-24高一下·甘肅·期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論.它的具體內容是：已知M是△ABC內一點，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA，SB，SC，且SA?MA+SB?MB

A．?63 B．?66 C．7．（23-24高三上·遼寧沈陽·階段練習）已知△ABC，I是其內心，內角A,B,C所對的邊分別a,b,c，則（

）A．AI=13C．AI=bAB8．（23-24高一上·安徽黃山·期末）O為三角形內部一點，a?b?c均為大于1的正實數(shù)，且滿足aOA+bOB+cOC=CB，若SΔOAB?SΔOAC?SΔOBC分別表示A．(c+1):(b?1):a B．c:b:a C．1a:1二、多選題9．（23-24高一下·山東棗莊·階段練習）數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設點O、G、H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點，則（

）A．OH=OA+C．AH=3OM 10．（23-24高一下·福建莆田·期中）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心?內心?外心?垂心）有著神秘的關聯(lián)．它的具體內容是：已知M是△ABC內一點，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA

A．若SA:SB:B．若M為△ABC的內心，則BC?C．若M為△ABC的外心，則MAD．若M為△ABC的垂心，3MA+411．（23-24高一下·山東棗莊·期中）點O在△ABC所在的平面內，（

）A．若動點P滿足OP=OA+λABABB．若動點P滿足OP=OA+λABABC．若2OA+OB+3OC=0，S△AOCD．已知△ABC三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a?OA+b?OB+c?OC三、填空題12．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知O是平面上一個定點，A，B，C是平面上三個不共線的點，動點P滿足條件OP=OA+λ(ABAB+AC13．（2024·四川成都·一模）已知G為ΔABC的重心，過點G的直線與邊AB,AC分別相交于點P,Q，若AP=35AB,則ΔABC與14．（2024高一下·四川宜賓·競賽）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”Mercedes-Benz的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理）.“奔馳定理”的內容如下：如圖，已知O是△ABC內一點，△BOC,△AOC,△AOB的面積分別為SA,SB,SC，則SA?OA+SB?OB+SC①O是△ABC的外心；②∠BOC+A=π③OA:OB四、解答題15．（2024高三·全國·專題練習）根據(jù)“奔馳定理”，解決以下問題：(1)點O為△ABC內一點，若S△AOB:S△BOC:S△AOC(2)若O為△ABC的外心，證明：sin2A16．（23-24高一下·山西大同·期中）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,H是△ABC內的一點，且AH=(1)若H是△ABC的垂心，證明：7c(2)若H是△ABC的外心，求∠BAC．17．（23-24高二上·上海閔行·期中）在ΔABC中，AC=2，BC=6，∠ACB=60°，點O為ΔABC所在平面上一點，滿足OC=mOA+nOB（（1）證明：CO=（2）若點O為ΔABC的重心，求m、n的值；（3）若點O為ΔABC的外心，求m、n的值．18．（23-24高一下·廣東梅州·期末）歐拉是偉大的數(shù)學家，也是最多產(chǎn)的數(shù)學家，他在數(shù)論、復變函數(shù)、變分法、拓撲學、微分方程、力學等等領域都有杰出貢獻．1765年，歐拉在他的著作《三角形的幾何學》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直線上（這條直線被稱為三角形的歐拉線），此外，外心到重心的距離等于垂心到重心距離的一半．為證明以上結論，我們作以下探究：如圖，點O、G、H分別為△ABC的外心、重心、垂心．

(1)求證：GA+(2)求證：OG=(3)求證：OH=注：①