突破04與代數(shù)三角形四邊形圓有關(guān)的閱讀理解題（原卷版）

重難點(diǎn)突破突破04與代數(shù)、三角形、四邊形、圓有關(guān)的閱讀理解題目錄一覽中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一與代數(shù)有關(guān)問題?考向二與三角形有關(guān)問題?考向三與四邊形有關(guān)問題?考向四與圓有關(guān)問題“閱讀與思考”是近年中考出現(xiàn)的新題型，設(shè)題背景常結(jié)合數(shù)學(xué)文化考查，這類題改變傳統(tǒng)的“由條件求結(jié)果”模式，集閱讀、理解、思考、應(yīng)用于一體.通常是以一個新概念、新公式的形式、推導(dǎo)與應(yīng)用的形式出現(xiàn)，或提供材料，給出一定的操作程序、數(shù)學(xué)思想方法，然后運(yùn)用從中學(xué)到的知識解決有關(guān)問題，考查學(xué)生的閱讀思考能力和解決問題的能力.數(shù)學(xué)閱讀因其語言的高度抽象，以及文字語言、符號語言和圖形語言并存，有別于其他學(xué)科的閱讀，要掌握數(shù)學(xué)閱讀的方法，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)閱讀習(xí)慣，提高閱讀素養(yǎng).?考向一與代數(shù)有關(guān)問題1．（2023?寧夏）解不等式組．下面是某同學(xué)的部分解答過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：解：由①得：4﹣2（2x﹣1）＞3x﹣1…第1步4﹣4x+2＞3x﹣1…第2步﹣4x﹣3x＞﹣1﹣4﹣2﹣7x＞﹣7…第3步x＞1…第4步任務(wù)一：該同學(xué)的解答過程第步出現(xiàn)了錯誤，錯誤原因是；不等式①的正確解集是；任務(wù)二：解不等式②，并寫出該不等式組的解集．2．（2023?通遼）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實(shí)數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴m+n＝1，mn＝﹣1．則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：（1）應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝，x1x2＝．（2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根為m，n，求m2+n2的值；（3）提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．3．（2022?黃石）閱讀材料，解答問題：材料1為了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我們把x2看作一個整體，然后設(shè)y＝x2，則原方程可化為y2﹣13y+36＝0，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為x1，2＝±2，x3，4＝±3．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．材料2已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，顯然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．根據(jù)上述材料，解決以下問題：（1）直接應(yīng)用：方程x4﹣5x2+6＝0的解為x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣；（2）間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；（3）拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)m，n滿足：+＝7，n2﹣n＝7且n＞0，求+n2的值．4．（2022?寧夏）下面是某分式化簡過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．（﹣）÷＝（﹣）?…第一步＝…第二步＝…第三步＝﹣…第四步任務(wù)一：填空①以上化簡步驟中，第步是通分，通分的依據(jù)是．②第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是．任務(wù)二：直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果．5．（2022?安順）閱讀材料：被譽(yù)為“世界雜交水稻之父”的“共和國勛章”獲得者袁隆平，成功研發(fā)出雜交水稻，雜交水稻的畝產(chǎn)量是普通水稻的畝產(chǎn)量的2倍．現(xiàn)有兩塊試驗(yàn)田，A塊種植雜交水稻，B塊種植普通水稻，A塊試驗(yàn)田比B塊試驗(yàn)田少4畝．（1）A塊試驗(yàn)田收獲水稻9600千克、B塊試驗(yàn)田收獲水稻7200千克，求普通水稻和雜交水稻的畝產(chǎn)量各是多少千克？（2）為了增加產(chǎn)量，明年計(jì)劃將種植普通水稻的B塊試驗(yàn)田的一部分改種雜交水稻，使總產(chǎn)量不低于17700千克，那么至少把多少畝B塊試驗(yàn)田改種雜交水稻？6．（2022?涼山州）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x1+x2＝，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根分別為m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩個根為x1，x2，則x1+x2＝．x1x2＝﹣．（2）類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的兩根分別為m、n，求的值．（3）思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．7．（2023?泰州）閱讀下面方框內(nèi)的內(nèi)容，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小麗學(xué)習(xí)了方程、不等式，函數(shù)后提出如下問題：如何求不等式x2﹣x﹣6＜0的解集？通過思考，小麗得到以下3種方法：方法1方程x2﹣x﹣6＝0的兩根為x1＝﹣2，x2＝3，可得函數(shù)y＝x2﹣x﹣6的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣2、3，畫出函數(shù)圖象，觀察該圖象在x軸下方的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的范圍是不等式x2﹣x﹣6＜0的解集．方法2不等式x2﹣x﹣6＜0可變形為x2＜x+6，問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y＝x2與y＝x+6的圖象關(guān)系．畫出函數(shù)圖象，觀察發(fā)現(xiàn)；兩圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)也是﹣2、3；y＝x2的圖象在y＝x+6的圖象下方的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)的范圍是該不等式的解集．方法3當(dāng)x＝0時，不等式一定成立；當(dāng)x＞0時，不等式變?yōu)閤﹣1＜；當(dāng)x＜0時，不等式變?yōu)閤﹣1＞．問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y＝x﹣1與y＝的圖象關(guān)系…任務(wù)：（1）不等式x2﹣x﹣6＜0的解集為；（2）3種方法都運(yùn)用了的數(shù)學(xué)思想方法（從下面選項(xiàng)中選1個序號即可）；A．分類討論B．轉(zhuǎn)化思想C．特殊到一般D．?dāng)?shù)形結(jié)合（3）請你根據(jù)方法3的思路，畫出函數(shù)圖象的簡圖，并結(jié)合圖象作出解答．8．（2023?鄂州）某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)F（0，）的距離PF，始終等于它到定直線l：y＝﹣的距離PN（該結(jié)論不需要證明）．他們稱：定點(diǎn)F為圖象的焦點(diǎn)，定直線l為圖象的準(zhǔn)線，y＝﹣叫做拋物線的準(zhǔn)線方程．準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)為H．其中原點(diǎn)O為FH的中點(diǎn)，F(xiàn)H＝2OF＝．例如，拋物線y＝2x2，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，），準(zhǔn)線方程為l：y＝﹣，其中PF＝PN，F(xiàn)H＝2OF＝．【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）請分別直接寫出拋物線y＝x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程：，；【技能訓(xùn)練】（2）如圖2，已知拋物線y＝x2上一點(diǎn)P（x0，y0）（x0＞0）到焦點(diǎn)F的距離是它到x軸距離的3倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【能力提升】（3）如圖3，已知拋物線y＝x2的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為l．直線m：y＝x﹣3交y軸于點(diǎn)C，拋物線上動點(diǎn)P到x軸的距離為d1，到直線m的距離為d2，請直接寫出d1+d2的最小值；【拓展延伸】該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．拋物線y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）內(nèi)有一定點(diǎn)F（h，k+），直線l過點(diǎn)M（h，k﹣）且與x軸平行．當(dāng)動點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動時，點(diǎn)P到直線l的距離PP1始終等于點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離（該結(jié)論不需要證明）．例如：拋物線y＝2（x﹣1）2+3上的動點(diǎn)P到點(diǎn)F（1，）的距離等于點(diǎn)P到直線l：y＝的距離．請閱讀上面的材料，探究下題：（4）如圖4，點(diǎn)D（﹣1，）是第二象限內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線y＝x2﹣1上一動點(diǎn)．當(dāng)PO+PD取最小值時，請求出△POD的面積．9．（2022?永州）已知關(guān)于x的函數(shù)y＝ax2+bx+c．（1）若a＝1，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣4）和點(diǎn)（2，1），求該函數(shù)的表達(dá)式和最小值；（2）若a＝1，b＝﹣2，c＝m+1時，函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)，求m的取值范圍．（3）閱讀下面材料：設(shè)a＞0，函數(shù)圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)A，B，若A，B兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，探究系數(shù)a，b，c應(yīng)滿足的條件，根據(jù)函數(shù)圖象，思考以下三個方面：①因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，所以Δ＝b2﹣4ac＞0；②因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，所以x＝0對應(yīng)圖象上的點(diǎn)在x軸上方，即c＞0；③上述兩個條件還不能確保A，B兩點(diǎn)均在原點(diǎn)左側(cè)，我們可以通過拋物線的對稱軸位置來進(jìn)一步限制拋物線的位置：即需﹣＜0．綜上所述，系數(shù)a，b，c應(yīng)滿足的條件可歸納為：請根據(jù)上面閱讀材料，類比解決下面問題：若函數(shù)y＝ax2﹣2x+3的圖象在直線x＝1的右側(cè)與x軸有且只有一個交點(diǎn)，求a的取值范圍．10．（2022?株洲）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且該二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，1），求c的值；（2）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，該二次函數(shù)的圖象與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在矩形ABFE的邊EF上，其對稱軸與x軸、BE分別交于點(diǎn)M、N，BE與y軸相交于點(diǎn)P，且滿足tan∠ABE＝．①求關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判別式的值；②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．閱讀材料：十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦?韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，可表述為“當(dāng)判別式Δ≥0時，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根x1、x2有如下關(guān)系：x1+x2＝，x1x2＝”．此關(guān)系通常被稱為“韋達(dá)定理”．?考向二與三角形有關(guān)問題11．（2022?吉林）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，△ABC與△DBC的面積相等嗎？為什么？解：相等．理由如下：設(shè)l1與l2之間的距離為h，則S△ABC＝BC?h，S△DBC＝BC?h．∴S△ABC＝S△DBC．【探究】（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時，設(shè)點(diǎn)A，D到直線l2的距離分別為h，h′，則＝．證明：∵S△ABC＝BC?h．（2）如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在l1，l2之間時，連接AD并延長交l2于點(diǎn)M，則＝．證明：過點(diǎn)A作AE⊥BM，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM＝∠DFM＝90°．∴AE∥．∴△AEM∽．∴＝．由【探究】（1）可知＝，∴＝．（3）如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在l2下方時，連接AD交l2于點(diǎn)E．若點(diǎn)A，E，D所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，則的值為．12．（2023?孝義市三模）閱讀與思考：下面是小宇同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)小論文，請你認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù)：怎樣作直角三角形的內(nèi)接正方形如果一個正方形的四個頂點(diǎn)都在直角三角形的三條邊上，我們把這樣的正方形叫做該直角三角形的內(nèi)接正方形．那么，怎樣作出一個直角三角形的內(nèi)接正方形呢？我們可以用如下方法：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作（依據(jù)1）容易證明四邊形DFCE是正方形．用上面方法所作出的正方形，有一個頂點(diǎn)恰好是直角三角形的直角頂點(diǎn)．如圖2，如果Rt△ABC的內(nèi)接正方形的一邊恰好在斜邊AB上，我就可用如下方法，第一步：過直角頂點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D；第二步，延長AB到M，使得BM＝AD，連接CM；第三步：作∠BDC的平分線，交MC于點(diǎn)E；第四步：過點(diǎn)E分別作DC，DB的垂線，垂足分別為P，K，EP交BC于點(diǎn)F，EP的延長線交AC交于G；第五步：分別過點(diǎn)F，G作AB的垂線，垂足分別為N，H．則四邊形NFGH就是Rt△ABC的內(nèi)接正方形，并且NH恰好在該直角三角形的斜邊上．理由如下：易證四邊形EPDK是正方形，EG∥AM．（依據(jù)2）∴；．學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）材料中畫橫線部分的依據(jù)分別是：依據(jù)1：；依據(jù)2：．（2）請完成圖2說理過程的剩余部分．（3）分析圖2的作圖過程，不難看出是將圖2轉(zhuǎn)化成圖1去完成的，即先作圖形EPDK，再將正方形EPDK轉(zhuǎn)化為正方形NFGH，轉(zhuǎn)化的過程可以看作是一種圖形變換，這種圖形變換是B（填出字母代號即可）．A．旋轉(zhuǎn)B．平移C．軸對稱?考向三與四邊形有關(guān)問題13．（2023?徐州）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB＝a，BC＝b，則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB＝a，BC＝b，AC＝c．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，點(diǎn)P在邊AD上，則PB2+PC2的最小值為．14．（2023?涼山州）閱讀理解題：閱讀材料：如圖1，四邊形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，記∠BAE為α、∠FAD為β，若tanα＝，則tanβ＝．證明：設(shè)BE＝k，∵tanα＝，∴AB＝2k，易證△AEB≌△EFC（AAS）．∴EC＝2k，CF＝k，∴FD＝k，AD＝3k，∴tanβ＝＝＝，若α+β＝45°時，當(dāng)tanα＝，則tanβ＝．同理：若α+β＝45°時，當(dāng)tanα＝，則tanβ＝．根據(jù)上述材料，完成下列問題：如圖2，直線y＝3x﹣9與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B．將直線AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45°后的直線與y軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN⊥y軸于點(diǎn)N，已知OA＝5．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）直接寫出tan∠BAM、tan∠NAE的值；（3）求直線AE的解析式．15．（2022?南通）【閱讀材料】老師的問題：已知：如圖，AE∥BF．求作：菱形ABCD，使點(diǎn)C，D分別在BF，AE上．小明的作法：（1）以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AE于點(diǎn)D；（2）以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交BF于點(diǎn)C；（3）連接CD．四邊形ABCD就是所求作的菱形．【解答問題】請根據(jù)材料中的信息，證明四邊形ABCD是菱形．16．（2022?黔東南州）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：如圖1，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A在DE上．求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC＝AE，∠ADC＝120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．【拓展遷移】（2）如圖2，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點(diǎn)A在EG上．①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．②若AE2+AG2＝10，試求出正方形ABCD的面積．16．（2023?通榆縣模擬）下面是小明同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整．【作業(yè)】如圖①，已知正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°，求證：EF＝AE+CF．證明：如圖，將△DAE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM，則DE＝DM，∠A＝∠DCM，∠ADE＝∠MDC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠EDM＝∠EDC+∠MDC＝∠EDC+∠ADE＝∠ADC＝90°．∵∠EDF＝45°，∴∠MDF＝∠EDF＝45°，又∵∠A＝∠DCM＝∠DCB＝90°，∴點(diǎn)B，F(xiàn)，C，M在一條直線上．∵DF＝DF，∴△EDF≌，∴EF＝MF＝CM+CF＝+CF．【探究】（1）在圖①中，若正方形ABCD的邊長為3，AE＝1，其他條件不變，求EF的長．解：∵正方形ABCD的邊長為3，AE＝1，∴BE＝2，CM＝1．設(shè)EF＝x，則FM＝EF＝x，F(xiàn)C＝FM﹣CM＝x﹣1，∴BF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．在Rt△BEF中，由22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，即EF＝；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝6，BC＝4，E是AB邊上的點(diǎn)，且∠CDE＝45°，則CE＝．（3）如圖③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD為BC邊上的高．若BD＝2，CD＝3，則AD的長為．17．（2023?芝罘區(qū)一模）閱讀下列材料：如圖1，點(diǎn)A、D、E在直線l上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC，則：∠CAE+∠BAC+∠BAD＝180°，又∠ABD+∠BDA+∠BAD＝180°，故∠CAE＝∠ABD．像這樣一條直線上有三個等角頂點(diǎn)的圖形我們把它稱為“一線三等角”圖形．請根據(jù)以上閱讀解決下列問題：（1）如圖2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過B作BE⊥ED于點(diǎn)E．求證：△BEC≌△CDA．（2）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求點(diǎn)C到AB邊的距離．（3）如圖4，在平行四邊形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊AB上一點(diǎn)．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝4，EF＝6，求DE的長．?考向四與圓有關(guān)問題18．（2022?金華）如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題：作法如圖2．1．作直徑AF．2．以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N．3．連接AM，MN，NA．（1）求∠ABC的度數(shù)．（2）△AMN是正三角形嗎？請說明理由．（3）從點(diǎn)A開始，以DN長為邊長，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連接這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值．19．（2023?鹽都區(qū)三模）【閱讀理解】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把點(diǎn)P沿縱軸或橫軸方向到達(dá)點(diǎn)Q的最短路徑長記為d（P，Q）．例如：如圖1，點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)B（3，4），則d（A，B）＝5．（1）①已知點(diǎn)C（﹣1，4）和點(diǎn)D（3，2），則d（C，D）＝．②點(diǎn)E是平面直角坐標(biāo)系xOy中的一點(diǎn)，且d（0，E）＝2，則所有滿足條件的點(diǎn)E組成的圖形是．A．一條線段B．一個等邊三角形C．一個正方形D．一個圓【新知運(yùn)用】（2）已知點(diǎn)P（1，0），點(diǎn)Q在線段MN上．①如圖2，已知點(diǎn)M（3，2）和點(diǎn)N（0，2），則d（P，Q）的最大值是；②如圖3，已知點(diǎn)M（3，2）和點(diǎn)N（0，4），求d（P，Q）的最小值．（3）如圖4，已知點(diǎn)P（1，0），點(diǎn)G（3，3），以點(diǎn)G為圓心，5為半徑作⊙G，點(diǎn)Q在⊙G上，則d（P，Q）的取值范圍是．【尺規(guī)作圖】（4）如圖5，請用無刻度直尺和圓規(guī)在直線l上找一點(diǎn)K，使得d（K，E）＝d（K，F(xiàn)）．20．（2023?西陵區(qū)模擬）閱讀以下材料，完成課題研究任務(wù)：【研究課題】設(shè)計(jì)公園噴水池【素材1】某公園計(jì)劃修建一個圖1所示的噴水池，水池中心O處立著一個高為2m的實(shí)心石柱OA，水池周圍安裝一圈噴頭，使得水流在各個方向上都沿形狀相同的拋物線噴出，并在石柱頂點(diǎn)A處匯合．為使水流形狀更漂亮，要求水流在距離石柱0.5m處能達(dá)到最大高度，且離池面的高度為2.25m．【素材2】距離池面1.25米的位置，圍繞石柱還修了一個小水池，要求小水池不能影響水流．【任務(wù)解決】（1）小張同學(xué)設(shè)計(jì)的水池半徑為2m，請你結(jié)合已學(xué)知識，判斷他設(shè)計(jì)的水池是否符合要求．（2）為了不影響水流，小水池的半徑不能超過多少米？21．（2023?靈寶