重慶市榮昌中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

榮昌中學(xué)高2026屆級(jí)高一(下)半期考試數(shù)學(xué)試卷滿分:150分考試時(shí)間：120分鐘一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域．）1.（2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文科）已知點(diǎn)，向量，則向量A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：,選A.考點(diǎn)：向量運(yùn)算2.按斜二測(cè)畫法得到，如圖所示，其中，，那么的形狀是（

）A.等邊三角形 B.直角三角形C.腰和底邊不相等的等腰三角形 D.三邊互不相等的三角形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直觀圖得原圖，計(jì)算可得答案.【詳解】原如圖所示：

由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知，，，，所以，故為等邊三角形.故選：A．3.已知，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算可求向量的夾角.【詳解】設(shè)與的夾角為，因?yàn)椋?，，所以：，?故選：B4.在中，若，則該三角形的形狀一定是（）A.等腰三角形 B.等腰直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等邊三角形【答案】C【解析】【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)為，然后在分析，即，或，從而得到結(jié)論.【詳解】，，根據(jù)正弦定理可知：，，在中，，或，即，即.為等腰三角形或直角三角形.故選：C5.在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且是棱中點(diǎn)，則異面直線與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，取的中點(diǎn)，連接,得或其補(bǔ)角為異面直線與夾角，根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接,易得,故或其補(bǔ)角為異面直線與夾角，又正四面體棱長(zhǎng)為2，故,,故異面直線與夾角的余弦值為.故選：6.如圖1，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長(zhǎng)為1，高為2，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作為底面，如圖2，這是水面恰好是中截面，則圖1中容器水面的高度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】圖2中水所占部分為四棱柱，求出其底面積和高，根據(jù)棱柱的體積公式求出四棱柱的體積，同理在圖1中，求同三棱柱的體積，能求出圖1中容器內(nèi)水面的高度.【詳解】在圖2中，水中部分是四棱柱，四棱柱底面積為，高為2，∴四棱柱的體積為，設(shè)圖1中容器內(nèi)水面高度為h，則V，解得h.∴圖1中容器內(nèi)水面的高度是.故選：D.7.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線段上，，分別是，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.B.當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，C.三棱錐的體積為定值D.存在點(diǎn)，使得平面平面【答案】D【解析】【分析】由三角形的中位線和正方體的性質(zhì)證明判斷選項(xiàng)A；由等腰三角形的性質(zhì)證明判斷選項(xiàng)B；等體積法研究三棱錐底面積和高判斷選項(xiàng)C；面面平行的定義判斷選項(xiàng)D.【詳解】連接，正方體中，且，四邊形平行四邊形，則，因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以，故A選項(xiàng)正確；連接，正方體中，，當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，，所以，故B選項(xiàng)正確；，三棱錐，底面積為定值，棱錐的高等于是定值，三棱錐的體積為定值，則三棱錐體積為定值，故C選項(xiàng)正確；直線與平面有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)，使得平面平面，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．8.在中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，①因?yàn)?，且，所以，由正弦定理可得，②又，所以，③由①，②，③解得，由余弦定理，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C二、選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.（多選）下列命題中的真命題是（）A.若直線不在平面內(nèi)，則B.若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則C.若，則直線與平面內(nèi)任何一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)D.平行于同一平面兩直線可以相交【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合題目，進(jìn)行分析和判斷即可.【詳解】A中，直線也可能與平面相交，故A是假命題；B中，直線與平面相交時(shí)，上也有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，故B是假命題；C中，時(shí)，與沒(méi)有公共點(diǎn)，所以與內(nèi)任何一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)，故C是真命題；D中，平行于同一個(gè)平面的直線，可以平行也可以相交，也可以是異面直線，故D是真命題.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.10.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的有（）A.復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)的模為1 B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限C.復(fù)數(shù)z是方程的解 D.復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為2【答案】ABD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出，再逐一對(duì)各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，?duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，則由，得到，又，由幾何意義知，可看成圓上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11.在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝?，?996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄．現(xiàn)測(cè)量一個(gè)的屋頂，得到圓錐（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心），母線的長(zhǎng)為，是母線的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)．從點(diǎn)到點(diǎn)繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，燈光帶的最小長(zhǎng)度為．下面說(shuō)法正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為 B.過(guò)點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積最大值為C.圓錐的外接球的表面積為 D.棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)【答案】ABD【解析】【分析】利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖、余弦定理、扇形的弧長(zhǎng)公式可求出圓錐的底面半徑，進(jìn)而可求出圓錐的側(cè)面積，可知A正確；過(guò)點(diǎn)平面截此圓錐所得截面面積最大為，計(jì)算可知，B錯(cuò)誤；計(jì)算出圓錐的外接球半徑后，再求出其表面積，可知C不正確；求出圓錐的內(nèi)切球的半徑和棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球的半徑，比較可知，D正確.【詳解】對(duì)于A，設(shè)圓錐底面半徑為，如圖，在中，，，，∴，∴，所以，（米），所以圓錐的側(cè)面積為（），故A正確；對(duì)于B，在中，，所以，所以過(guò)點(diǎn)平面截此圓錐所得截面面積最大為（），故B正確；對(duì)于C，設(shè)圓錐的外接球半徑為，則，又，所以，∴，圓錐的外接球表面積為，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)圓錐內(nèi)切球半徑為，則，∴，在棱長(zhǎng)為米的正四面體中，設(shè)其外接球半徑為，則此正四面體的底面外接圓半徑為，高為，所以，所以，因?yàn)?，所以棱長(zhǎng)為米的正四面體在圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖、余弦定理、扇形的弧長(zhǎng)公式求出圓錐的底面半徑是關(guān)鍵點(diǎn)一，利用棱長(zhǎng)為米的正四面體的外接球的半徑與圓錐的內(nèi)切球的半徑判斷D選項(xiàng)是關(guān)鍵點(diǎn)二.三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.若一個(gè)球的體積為，則它的表面積為_(kāi)________．【答案】【解析】【詳解】13.平面向量，，，且與的夾角等于與的夾角，則_______．【答案】【解析】【分析】由已知求得的坐標(biāo)，再由夾角公式列式求解值．【詳解】因?yàn)?，，，與的夾角等于與的夾角，，得，解得．故答案：．14.正三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，則直線EF與直線BC所成角的余弦值為_(kāi)______；若過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長(zhǎng)為_(kāi)______.【答案】①.##②.【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，則可得為異面直線EF與直線BC所成角，然后在中求解，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則四邊形為截面四邊形，然后求解其周長(zhǎng)即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，所以∥，，所以為異面直線EF與直線BC所成角，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)是2的正三角形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，所以，所以，，所以由余弦定理得，所以直線EF與直線BC所成角的余弦值為，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，所以過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)的截面為四邊形，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，所以，過(guò)作∥，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)椤危浴?，所以，所以為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椤?，所以∽，所以，，所以，則，所以，在中由余弦定理得，所以，所以四邊形的周長(zhǎng)為，即截面的周長(zhǎng)為，故答案為：，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查異面直線所成的角，考查幾何體的截面問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平面的性質(zhì)結(jié)合題意作截面圖形，考查空間想象能力，屬于難題.四、解答題：（本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.回答下列問(wèn)題（1）已知復(fù)數(shù)是方程的根（是虛數(shù)單位，），求．（2）已知復(fù)數(shù)，設(shè)復(fù)數(shù)，（是的共軛復(fù)數(shù)），且復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將代入方程求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解即可；（2）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義列不等式組求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是方程的根，所以，整理得，所以，解得，所以，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)閺?fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以，解得.16.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D是AC邊上的點(diǎn)，.（1）求的大??；（2）若，，求BC的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理角化邊，整理可得，然后根據(jù)余弦定理即可求得，進(jìn)而根據(jù)角的范圍，即可得出答案；（2）在以及中，分別根據(jù)余弦定理，結(jié)合，整理化簡(jiǎn)可得.在中，根據(jù)余弦定理推出.聯(lián)立兩個(gè)方程，即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理以及已知可得，，整理可得，.由余弦定理可得，.又，所以.【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理可得，.在中，由余弦定理可得，.又，所以，即，整理可得.因?yàn)?，在中，由余弦定理可得，，即，整理可得?聯(lián)立可得.所以，.17.如圖：在正方體中，為的中點(diǎn).（1）求三棱錐體積；（2）求證：平面；（3）若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)線面平行的判定進(jìn)行證明；（3）根據(jù)面面平行的的判定進(jìn)行證明.【小問(wèn)1詳解】顯然平面，于是.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，連接，在正方體中，四邊形是正方形，是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面平面平面；【小問(wèn)3詳解】為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，又平面平面平面，由（2）知平面平面平面，平面平面.18.如圖：某公園改建一個(gè)三角形池塘，，（百米），（百米），現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚供游客觀賞．（1）若在內(nèi)部取一點(diǎn)P，建造APC連廊供游客觀賞，如圖①，使得點(diǎn)P是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且，求連廊的長(zhǎng)（單位為百米）；（2）若分別在AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，并建行連廊，使得變成池中池，放養(yǎng)更名貴的魚類供游客觀賞．如圖②，當(dāng)為正三角形時(shí)，求的面積的最小值．【答案】（1）百米（2）(百米)【解析】【分析】（1）由余弦定理即可求得，在中，確定，由余弦定理求得，即可求得答案；（2）設(shè)正三角形DEF的邊長(zhǎng)a，，（）則可表示，，從而可由正弦定理表示出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】∵點(diǎn)P是等腰三角形PBC的頂點(diǎn)，且，，∴且由余弦定理可得：，解得，又∵∴,∵在中，，,∴,在△ACP中，由余弦定理得,解得，；∴，∴連廊的長(zhǎng)為百米．【小問(wèn)2詳解】設(shè)正三角形DEF的邊長(zhǎng)a，，（）則，，設(shè),可得，，∴，在中，由正弦定理得：，即，即,化簡(jiǎn)得：，∴（其中，θ為銳角，且）∴.19.三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：.若，則稱為空間向量與的叉乘，其中，，為單位正交基底.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知是空間直角坐標(biāo)系中異于的不同兩點(diǎn).（1）①若，求；②證明：.（2）記的面積為，證明：；（3）問(wèn)：的幾何意義表示以為底面?為高的三棱錐體積的多少倍？【答案】（1）①；②證明見(jiàn)解析（2）證明