蘇科版八年級數(shù)學上冊壓軸題攻略專題16難點探究專題：平面直角坐標系中的規(guī)律探究問題壓軸題三種模型全攻略(原卷版+解析)

專題16難點探究專題：平面直角坐標系中的規(guī)律探究問題壓軸題三種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一平面直角坐標系中動點移動問題】 1【類型二平面直角坐標系中圖形翻轉(zhuǎn)問題】 5【類型三平面直角坐標系中新定義型問題】 9【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【類型一平面直角坐標系中動點移動問題】例題：（2023秋·遼寧盤錦·九年級?？奸_學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一動點沿箭頭所示的方向，依次得到點，，，，，…，則的坐標是．

【變式訓練】1．（2023春·重慶·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中方向排列，如，，，，，，…，根據(jù)規(guī)律探索可得，第40個點的坐標為(

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A． B． C． D．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，動點P從原點O出發(fā)，水平向左平移1個單位長度，再豎直向下平移1個單位長度得點；接著水平向右平移2個單位長度，再豎直向上平移2個單位長度得到點；接著水平向左平移3個單位長度，再豎直向下平移3個單位長度得到點；接著水平向右平移4個單位長度，再豎直向上平移4個單位長度得到點，…，按此作法進行下去，則點的坐標為．

3．（2023秋·黑龍江佳木斯·八年級佳木斯市第五中學校聯(lián)考開學考試）如圖，動點在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第次從原點運動到點，第次接著運動到點，第次接著運動到點，……，按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第次運動后，動點的坐標是．

4．（2023春·四川內(nèi)江·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，把一條長為a個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在點A處，并按的規(guī)律緊繞在四邊形的邊上．（1）當時，細線另一端所在位置的點的坐標是；（2）當時，細線另一端所在位置的點的坐標是．

【類型二平面直角坐標系中圖形翻轉(zhuǎn)問題】例題：（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖所示，長方形的兩邊分別在x軸、y軸上，點C與原點重合，點，將長方形沿x軸無滑動向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾，點A的對應點記為，經(jīng)過第二次翻滾，點A的對應點記為；……，依次類推，經(jīng)過第2023次翻滾，點A的對應點的坐標為（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶實驗外國語學校?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，是直角三角形，點O為直角頂點，已知點，，，將按如圖方式在x軸負半軸上向左連續(xù)翻滾，依次得到、、、…，則的直角頂點的橫坐標是（

）

A． B． C． D．2．（2022·黑龍江大慶·大慶外國語學校?？寄M預測）如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2019次，點P依次落在點的位置，則的橫坐標為（

）

A．2019 B．2018 C．2017 D．20163．（2023春·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，將沿軸向右滾動到的位置，再到的位置……依次進行下去，若已知點，，，則點的坐標為（）

A． B． C． D．【類型三平面直角坐標系中新定義型問題】例題：（2022秋·湖南常德·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，對于點，我們把點叫做點P伴隨點．已知點的伴隨點為，點的伴隨點為，點的伴隨點為，…，這樣依次得到點，，，…，，…．若點的坐標為，點坐標為（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·河南漯河·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，對于點，我們把點叫做點P的友好點，已知點的友好點為點，點的友好點為點，點的友好點為點．……以此類推，當點的坐標為時，點的坐標為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，點經(jīng)過某種變換后得到點，我們把點叫做點P的和諧點．已知點的和諧點為，的和諧點為，的和諧點為，…，這樣由依次得到、、…．若點坐標為，則點的坐標為．3．（2023春·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）已知點，，點是線段的中點，則，．在平面直角坐標系中有三個點，，，點關(guān)于的對稱點為（即，，三點共線，且），關(guān)于的對稱點為，關(guān)于的對稱點為，按此規(guī)律繼續(xù)以，，為對稱點重復前面的操作，依次得到，，，則點的坐標是．4．（2023春·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中,不同的兩點，,給出如下定義：若,則稱點，互為“等距點”．例如，點,互為“等距點”．(1),，,四個點中，能與坐標原點互為“等距點”的是________．(2)已知，①若點是點的等距點，且滿足的面積為,求點的坐標；②若以點為中心，邊長為正方形上存在一點與點互為等距點，請直接寫出t的取值范圍．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·安徽阜陽·八年級?？茧A段練習）如圖，一只小螞蟻在平面直角坐標系中按圖中路線進行“爬樓梯”運動，第1次它從原點運動到點，第2次運動到點，第3次運動到點……按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第2023次運動后，小螞蟻的坐標是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學校?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，，，，一只瓢蟲從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度沿循環(huán)爬行，問第2025秒瓢蟲在點（

）

A． B． C． D．3．（2023春·福建莆田·七年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，，將邊長為1的正方形一邊與x軸重合按圖中規(guī)律擺放，其中相鄰兩個正方形的間距都是1，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．4．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，對進行循環(huán)往復的軸對稱變換，若點坐標是，則經(jīng)過第2022次變換后，點的對應點的坐標為（）A． B． C． D．5．（2023秋·安徽六安·八年級六安市第九中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如下指令：從原點O出發(fā)，按向右、向上、向右、向下的方向依次不斷移動，每次移動1m，其行走路線如圖所示，第1次移動到點，第2次移動到點……第n次移動到點，則的面積是（

）

A．m2 B． C．m2 D．m2二、填空題6．（2023春·四川南充·七年級?？计谥校┮粋€機器人在平面直角坐標系中，從O點出發(fā)，向正東方向走3米到達點，再向正北方向走6米到達點，再向正西方向走9米到達點，再向正南方向走12米到達點，再向正東方向走15米到達點，當機器人走到點時，點的坐標是．7．（2023秋·安徽六安·八年級階段練習）如圖，點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點，第2次接著運動到點，第3次接著運動到點……，按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第2025次運動后動點P的坐標是．

8．（2023秋·八年級課時練習）如圖，已知，，彈性小球從點出發(fā)，沿圖中箭頭所示方向運動，每當小球碰到長方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．若小球第1次與長方形的邊的碰撞點為，第2次與長方形的邊的碰撞點為，…，第n次與長方形的邊的撞點為，則點的坐標是，點的坐標是．

9．（2023春·遼寧葫蘆島·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，把一個點從原點開始向上平移個單位長度，得到點：把點向上平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到點；把點向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到點；把點向下平移個單位長度，再向右平移個單位長度，得到點，…；按此做法進行下去，則點的坐標為．

10．（2023秋·廣東深圳·九年級校聯(lián)考開學考試）數(shù)學家高斯推動了數(shù)學科學的發(fā)展，被數(shù)學界譽為“數(shù)學王子”，據(jù)傳，他在計算時，用到了一種方法，將首尾兩個數(shù)相加，進而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數(shù)）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，，其中，2，3，，，，且，是整數(shù)．記，如，即，，即，，即，?，以此類推．則．

三、解答題11．（2023秋·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考階段練習）在平面直角坐標系中，一螞蟻從原點O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動每次移動1個單位，其行走路線如圖所示.

(1)填寫下列各點的坐標：______，______；(2)寫出點的坐標（n為正整數(shù)）_____；(3)螞蟻從點到點的移動方向______．12．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級校考期中）新定義：在平面直角坐標系中中的點，若點P的坐標為（其中k為常數(shù)，），則稱點為點P的“k屬派生點”．例如：點的“3屬派生點”為，即．(1)點的“2屬派生點”的坐標為________；(2)若點P在y軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為點，且線段的長為線段長的3倍，求k的值．13．（2023春·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，對于點，若點Q的坐標為，則稱點是點的“a級關(guān)聯(lián)點”．(1)已知點的“級關(guān)聯(lián)點”是點；(2)已知點的“級關(guān)聯(lián)點”N位于x軸上，求點N的坐標；(3)在（2）的條件下，若存在點H，且，直接寫出H點坐標．14．（2023秋·安徽合肥·八年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，對于點，若點Q的坐標為，則稱點Q是點P的“a階派生點”（其中a為常數(shù)，且）．例如：點的“2階派生點”為點，即點．(1)若點P的坐標為，則它的“3階派生點”的坐標為________；(2)若點P的“5階派生點”的坐標為，求點P的坐標；(3)若點P先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度后得到了點，點的“階派生點”位于坐標軸上，求點P2的坐標．15．（2023春·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）定義：在平面直角坐標系中，若點與的坐標滿足，（k為常數(shù)，），則稱點N是點M的“k系友好點”．例如，點是的“1系友好點”．(1)點的“2系友好點”的坐標是，若一個點的“系友好點”的坐標是，則這個點的坐標是；(2)已知點在第二象限，且滿足，點A是點的“系友好點”，求的值；(3)點在x軸正半軸上，“k系友好點”為點，若無論t為何值，的值恒為0，求k的值．

專題16難點探究專題：平面直角坐標系中的規(guī)律探究問題壓軸題三種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一平面直角坐標系中動點移動問題】 1【類型二平面直角坐標系中圖形翻轉(zhuǎn)問題】 5【類型三平面直角坐標系中新定義型問題】 9【過關(guān)檢測】 14【典型例題】【類型一平面直角坐標系中動點移動問題】例題：（2023秋·遼寧盤錦·九年級?？奸_學考試）如圖，在平面直角坐標系中，一動點沿箭頭所示的方向，依次得到點，，，，，…，則的坐標是．

【答案】【分析】由圖可得，，，，，…，當n能夠被3整除時，點坐標為，根據(jù)得，點按“上→右→下→下→右→上”6次一循環(huán)，則，根據(jù)點在點的上方，即可得．【詳解】解：由圖可得，，，，，…當n能夠被3整除時，點坐標為，∵，∴，∵按“上→右→下→下→右→上”6次一循環(huán)，∴，∵點在點的上方，∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了點的坐標變化規(guī)律，解決問題的關(guān)鍵找出圖形的變化規(guī)律．【變式訓練】1．（2023春·重慶·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中方向排列，如，，，，，，…，根據(jù)規(guī)律探索可得，第40個點的坐標為(

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A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，把第一個點作為第一列，，作為第二列，，，作為第三列，進而可推導一般性規(guī)律為：第列有個數(shù)，則列共有個數(shù)，且奇數(shù)列的點的順序由上到下，偶數(shù)列點的順序由下到上，由，可知第40個點的坐標在第9列，從上往下第4個點，進而可求點坐標．【詳解】解：由題意知，把第一個點作為第一列，，作為第二列，，，作為第三列，進而可推導一般性規(guī)律為：第列有個數(shù)，則列共有個數(shù)，且奇數(shù)列的點的順序由上到下，偶數(shù)列點的順序由下到上，∵，∴第40個點的坐標在第9列，從上往下第4個點，坐標為，故選：D．【點睛】本題考查了點規(guī)律的探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導出一般性規(guī)律．2．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，動點P從原點O出發(fā)，水平向左平移1個單位長度，再豎直向下平移1個單位長度得點；接著水平向右平移2個單位長度，再豎直向上平移2個單位長度得到點；接著水平向左平移3個單位長度，再豎直向下平移3個單位長度得到點；接著水平向右平移4個單位長度，再豎直向上平移4個單位長度得到點，…，按此作法進行下去，則點的坐標為．

【答案】【分析】對奇數(shù)點，偶數(shù)點分開討論，找出點坐標與序數(shù)的關(guān)系，總結(jié)規(guī)律求解．【詳解】解：，；，；，；，；……當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，；∴，即．故答案為：．【點睛】本題考查點坐標規(guī)律探索，由開始的幾個點坐標總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵，注意分開討論．3．（2023秋·黑龍江佳木斯·八年級佳木斯市第五中學校聯(lián)考開學考試）如圖，動點在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第次從原點運動到點，第次接著運動到點，第次接著運動到點，……，按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第次運動后，動點的坐標是．

【答案】【分析】設動點運動了次，則點的橫坐標為，點的縱坐標按，，，，，，，，重復出現(xiàn)，每個數(shù)為一個循環(huán)．【詳解】解：設動點運動了次．觀察圖形中點的坐標可知：點的橫坐標為，點的縱坐標按，，，，，，，，重復出現(xiàn)，每個數(shù)為一個循環(huán)．∵，∴當點經(jīng)過次運動后，橫坐標為，縱坐標為．即點的坐標為．故答案為：．【點睛】本題主要考查平面直角坐標系中點的坐標的規(guī)律，根據(jù)已知點的坐標歸納概括出點的坐標的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·四川內(nèi)江·八年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，把一條長為a個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在點A處，并按的規(guī)律緊繞在四邊形的邊上．（1）當時，細線另一端所在位置的點的坐標是；（2）當時，細線另一端所在位置的點的坐標是．

【答案】【分析】根據(jù)點的坐標，求出四邊形的周長，然后求出另一端是繞第幾圈后的第幾個單位長度，從而確定答案．【詳解】解：∵，∴，∴四邊形的周長為，∴細線繞一圈的長度為10，∵，∴當時，細線另一端所在位置的點與點重合，坐標為：；∵，∴當時，細線另一端所在位置的點在點下方1個單位長度處，即為：；故答案為：，；【點睛】本題考查坐標與圖形，點的規(guī)律探究，解題的關(guān)鍵是求出四邊形的周長?！绢愋投矫嬷苯亲鴺讼抵袌D形翻轉(zhuǎn)問題】例題：（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖所示，長方形的兩邊分別在x軸、y軸上，點C與原點重合，點，將長方形沿x軸無滑動向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾，點A的對應點記為，經(jīng)過第二次翻滾，點A的對應點記為；……，依次類推，經(jīng)過第2023次翻滾，點A的對應點的坐標為（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形即可得到經(jīng)過4次翻滾后點A對應點一個循環(huán)，求出的商，從而解答本題．【詳解】解：觀察圖形得，，，，，經(jīng)過4次翻滾后點A對應點一個循環(huán)，，∵點，長方形的周長為：，∴經(jīng)過505次翻滾后點A對應點的坐標為，即．∴的坐標為．故選：B．【點睛】此題考查探究點的坐標的問題，解題的關(guān)鍵是找到點的變化規(guī)律．【變式訓練】1．（2023春·重慶九龍坡·七年級重慶實驗外國語學校?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，是直角三角形，點O為直角頂點，已知點，，，將按如圖方式在x軸負半軸上向左連續(xù)翻滾，依次得到、、、…，則的直角頂點的橫坐標是（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察圖形，從到經(jīng)過的路程恰好為的周長，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：從到經(jīng)過的路程恰好為的周長：故的直角頂點的橫坐標為：；的直角頂點的橫坐標為：同理：從到經(jīng)過的路程恰好為：故的直角頂點的橫坐標為：；的直角頂點的橫坐標為：…∴、、、…、的直角頂點的橫坐標為：∵∴的直角頂點的橫坐標為：∵與的直角頂點的橫坐標相同故的直角頂點的橫坐標是故選：B【點睛】本題考查坐標與規(guī)律．根據(jù)題意確定坐標變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江大慶·大慶外國語學校?？寄M預測）如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2019次，點P依次落在點的位置，則的橫坐標為（

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A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】B【分析】觀察圖形和各點坐標可知：點到要翻轉(zhuǎn)4次為一個循環(huán)，到橫坐標剛好加4，到處橫坐標加3，按照此規(guī)律，求出的橫坐標，進而求出答案．【詳解】解：由題意可知：點到要翻轉(zhuǎn)4次為一個循環(huán)，，，，，，，到橫坐標剛好加4，到處橫坐標加3，，，，的橫坐標，故選：B．【點睛】本題主要考查了規(guī)律型：點的坐標，解題關(guān)鍵是根據(jù)各點坐標和題意，找出坐標規(guī)律．3．（2023春·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，將沿軸向右滾動到的位置，再到的位置……依次進行下去，若已知點，，，則點的坐標為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的滾動可知每滾動3次為一個周期，點在第一象限，點在軸上，由點，，可得，從而得到，進而得出點的橫坐標，同理可得出點、的橫坐標，從而得出點的橫坐標為（為正整數(shù)），再代入即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：每滾動3次為一個周期，點在第一象限，點在軸上，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，點的橫坐標為：，同理可得出：點的橫坐標為：，點的橫坐標為，，點的橫坐標為（為正整數(shù)），點的橫坐標為，點的坐標為，故選：B．【點睛】本題主要考查了點的坐標規(guī)律，根據(jù)題意進行計算得出規(guī)律：點的橫坐標為（為正整數(shù)），是解題的關(guān)鍵．【類型三平面直角坐標系中新定義型問題】例題：（2022秋·湖南常德·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，對于點，我們把點叫做點P伴隨點．已知點的伴隨點為，點的伴隨點為，點的伴隨點為，…，這樣依次得到點，，，…，，…．若點的坐標為，點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“伴隨點”的定義依次求出各點，不難發(fā)現(xiàn)，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點的坐標即可．【詳解】解：∵的坐標為，∴，，，，…．依此類推，每4個點為一個循環(huán)依次循環(huán)，∵,∴點的坐標與的坐標相同，為．故選：B．【點睛】本題考查了點的變化規(guī)律，讀懂題目信息，理解“伴隨點”的定義并求出每4個點為一個循序組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023春·河南漯河·七年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，對于點，我們把點叫做點P的友好點，已知點的友好點為點，點的友好點為點，點的友好點為點．……以此類推，當點的坐標為時，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的坐標為和友好點的定義，順次寫出點、、、的坐標，發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律，即可求解．【詳解】解：當點的坐標為時，點的友好點的坐標為，點的友好點的坐標是，點的友好點的坐標是，點的友好點的坐標是，……以此類推，∴，，，（n為自然數(shù)），∵，∴點的坐標為，故選：C【點睛】此題考查了點的坐標變化規(guī)律，從已知條件得出循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，點經(jīng)過某種變換后得到點，我們把點叫做點P的和諧點．已知點的和諧點為，的和諧點為，的和諧點為，…，這樣由依次得到、、…．若點坐標為，則點的坐標為．【答案】【分析】利用點的和諧點的定義分別寫出點坐標為，點坐標為，點坐標為，點坐標為，…,從而得到每4次交換為一個循環(huán)。然后利用判斷點的坐標與點坐標相同.【詳解】解：根據(jù)題意得點坐標為，點坐標為，點坐標為，點坐標為，點坐標為，…,而，∴點的坐標與點坐標相同，為，故答案為：.【點睛】本題是平面直角坐標系內(nèi)的點坐標規(guī)律探究題，考查學生發(fā)現(xiàn)點的規(guī)律的能力，有理數(shù)運算以及平面直角坐標系等相關(guān)知識，找到坐標的變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵.3．（2023春·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）已知點，，點是線段的中點，則，．在平面直角坐標系中有三個點，，，點關(guān)于的對稱點為（即，，三點共線，且），關(guān)于的對稱點為，關(guān)于的對稱點為，按此規(guī)律繼續(xù)以，，為對稱點重復前面的操作，依次得到，，，則點的坐標是．【答案】【分析】根據(jù)題意，可求得點至點的坐標，觀察各點坐標，可知每個點循環(huán)一次，即可求得點的坐標與已知某個點的坐標相同．【詳解】設點的坐標為．根據(jù)題意，得解得所以，點的坐標為．同理可得，，，，．觀察各點坐標可知，點至點為一個循環(huán)，即每個點循環(huán)一次．∵，∴點的坐標與點的坐標相同．∴點的坐標是．故答案為：．【點睛】本題主要考查平面直角坐標系，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意求得某點的對稱點的坐標．4．（2023春·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中,不同的兩點，,給出如下定義：若,則稱點，互為“等距點”．例如，點,互為“等距點”．(1),，,四個點中，能與坐標原點互為“等距點”的是________．(2)已知，①若點是點的等距點，且滿足的面積為,求點的坐標；②若以點為中心，邊長為正方形上存在一點與點互為等距點，請直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)、(2)①點B的坐標為，，，；②或【分析】（1）根據(jù)“等距點”定義，逐點驗證即可得到答案；（2）①設，由題意得到，或，再由的面積為，列式，解得，代入或，即可得到點的坐標為或或或；②根據(jù)題意，作出圖形，設，當與點互為等距點，則，分四種情況：當在正方形左邊上；當在正方形右邊上；當在正方形上邊時；當在正方形下邊時，分類討論即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)“等距點”定義，得：、,，即與坐標原點不是“等距點”；、,，即與坐標原點互為“等距點”；、,，即與坐標原點不是“等距點”；、,，即與坐標原點不是“等距點”；綜上所述，與坐標原點互為“等距點”的是、故答案為：、；（2）解：①，點是點的等距點，設，則，即，或，如圖所示：

的面積為，由圖可知，，解得，當點在上時，由得到；由得到，即點的坐標為或；當點在上時，由得到；由得到，即點的坐標為或；綜上所述，點的坐標為或或或；②如圖所示：

，正方形邊長為，設，當與點互為等距點，則，當在正方形左邊上，有，即，得到，解得或；當在正方形右邊上，有，即，得到，解得或；當在正方形上邊時，有，再由解得或，則或，解得或；當在正方形下邊時，有，再由解得或，則或，解得或；綜上所述，若以點為中心，邊長為正方形上存在一點與點互為等距點，t的取值范圍為或．【點睛】本題考查新定義與坐標問題，讀懂題意，根據(jù)新定義結(jié)合學過的知識，綜合運用是解決問題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023秋·安徽阜陽·八年級校考階段練習）如圖，一只小螞蟻在平面直角坐標系中按圖中路線進行“爬樓梯”運動，第1次它從原點運動到點，第2次運動到點，第3次運動到點……按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第2023次運動后，小螞蟻的坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】分別找到橫坐標和縱坐標的變化規(guī)律，再算出2023與2的商和余數(shù)，繼而得解．【詳解】解：第1次：，第2次：，第3次：，第4次：，第5次：，…，則橫坐標是從1開始的正整數(shù)，每個正整數(shù)出現(xiàn)2次，縱坐標是從0開始的正整數(shù)，其中只有0出現(xiàn)1次，其余數(shù)出現(xiàn)2次，則，∴第2023次的坐標是：，故選C．【點睛】本題考查了規(guī)律型—點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是觀察點P的運動變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．2．（2023秋·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學校校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，，，，一只瓢蟲從點A出發(fā)以2個單位長度/秒的速度沿循環(huán)爬行，問第2025秒瓢蟲在點（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點、、、的坐標可得出、及矩形的周長，由，可得出當秒時瓢蟲在點邊上，再結(jié)合點的坐標即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，，瓢蟲2025秒行駛的路程為：，，，即此時瓢蟲在邊上，當秒時，瓢蟲在點處，此時瓢蟲的坐標為，故選：D．【點睛】本題考查了規(guī)律型—點的坐標，根據(jù)瓢蟲的運動規(guī)律找出當秒時瓢蟲在邊上是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·福建莆田·七年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，，將邊長為1的正方形一邊與x軸重合按圖中規(guī)律擺放，其中相鄰兩個正方形的間距都是1，則點的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橫坐標，縱坐標的變化規(guī)律，每8個點看作一次循環(huán)，再根據(jù)點在第253個循環(huán)中的第七個點的位置，即可得出點的坐標．【詳解】解：由圖可得，第一個正方形中，，，，，各點的橫坐標依次為1，1，2，2，縱坐標依次為0，1，1，0；第二個正方形中，，,，，各點的橫坐標依次為3，3，4，4，縱坐標依次為0，，，0；根據(jù)縱坐標的變化規(guī)律可知，每8個點一次循環(huán)，∴，∴點在第253個循環(huán)中的第7個點的位置，∴故點的縱坐標為，又∵的橫坐標為4，的橫坐標為，的橫坐標為，…∴點的橫坐標為，∴點的坐標為的坐標為，故選：D．【點睛】本題主要考查了點的坐標變化規(guī)律問題，解決問題的關(guān)鍵是判斷點在第253個循一中的第七個點的位置．4．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，對進行循環(huán)往復的軸對稱變換，若點坐標是，則經(jīng)過第2022次變換后，點的對應點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察圖形可知每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以4，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點所在的象限，然后解答即可．【詳解】解：點第一次關(guān)于軸對稱后在第二象限，坐標為，點第二次關(guān)于軸對稱后在第三象限，坐標為，點第三次關(guān)于軸對稱后在第四象限，坐標為，點第四次關(guān)于軸對稱后在第一象限，坐標為，即點回到原始位置，每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，，經(jīng)過第2022次變換后所得的點與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標為，故選：A．【點睛】本題主要考查了點的坐標規(guī)律探索，觀察圖形得出每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·安徽六安·八年級六安市第九中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，一個智能機器人接到如下指令：從原點O出發(fā)，按向右、向上、向右、向下的方向依次不斷移動，每次移動1m，其行走路線如圖所示，第1次移動到點，第2次移動到點……第n次移動到點，則的面積是（

）

A．m2 B． C．m2 D．m2【答案】C【分析】確定從到水平移動的距離即可求解．【詳解】解：由圖可知：從到需要移動的次數(shù)為：水平移動的距離為：（m）從到需要移動的次數(shù)為：水平移動的距離為：（m）…依此類推：從到需要移動的次數(shù)為：水平移動的距離為：（m）∴的面積為：故選：C【點睛】本題考查規(guī)律題．根據(jù)題意確定一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·四川南充·七年級校考期中）一個機器人在平面直角坐標系中，從O點出發(fā)，向正東方向走3米到達點，再向正北方向走6米到達點，再向正西方向走9米到達點，再向正南方向走12米到達點，再向正東方向走15米到達點，當機器人走到點時，點的坐標是．【答案】【分析】根據(jù)坐標的表示方法得到從點出發(fā)，向正東方向走3米到達點，其坐標為；再向正北方向走6米到達點，其坐標為；再向正西方向走9米到達點，其坐標為；再向正南方向走12米到達點，其坐標為；再向正東方向走15米到達點，其坐標為．【詳解】解：根據(jù)題意得，；；；；∴．故答案為：．【點睛】本題考查了點的坐標：在直角坐標系中，過一點分別作軸和軸的垂線，用垂足在軸上的坐標表示這個點的橫坐標，垂足在軸上的坐標表示這個點的縱坐標．7．（2023秋·安徽六安·八年級階段練習）如圖，點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點，第2次接著運動到點，第3次接著運動到點……，按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第2025次運動后動點P的坐標是．

【答案】【分析】根據(jù)題意得出規(guī)律：橫坐標為點P運動的第幾次，縱坐標為1、0、2、0的循環(huán)，進而可求解．【詳解】解：由題意得：，，，，，可以看出點P的運動，橫坐標為點P運動的第幾次，縱坐標為1、0、2、0的循環(huán)，，經(jīng)過第2025次運動后動點P的坐標是，故答案為：．【點睛】本題考查了規(guī)律型——點的坐標，解決問題的關(guān)鍵是觀察點的運動得出規(guī)律．8．（2023秋·八年級課時練習）如圖，已知，，彈性小球從點出發(fā)，沿圖中箭頭所示方向運動，每當小球碰到長方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．若小球第1次與長方形的邊的碰撞點為，第2次與長方形的邊的碰撞點為，…，第n次與長方形的邊的撞點為，則點的坐標是，點的坐標是．

【答案】【分析】根據(jù)反射角等于入射角作圖，可知每10次反彈為一個循環(huán)即可求解．【詳解】解：如圖，小球行進的路徑，可知小球第10次的碰撞點與出發(fā)點P重合，

∴小球的運動軌跡10次一循環(huán)．∵，∴點的坐標同點．由圖可知，點的坐標為，點的坐標為．答案：

【點睛】本題考查點的坐標的規(guī)律，作出圖形，觀察出每10次反彈為一個循環(huán)是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·遼寧葫蘆島·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，把一個點從原點開始向上平移個單位長度，得到點：把點向上平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到點；把點向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度，得到點；把點向下平移個單位長度，再向右平移個單位長度，得到點，…；按此做法進行下去，則點的坐標為．

【答案】【分析】先根據(jù)平移規(guī)律得到第次變換時，相當于把點的坐標向右或向左平移個單位長度，再向右或向上平移個單位長度得到下一個點，然后推出每四次坐標變換為一個循環(huán)，得到點的坐標為，由此求解即可．【詳解】解：∵把一個點從原點開始向上平移個單位，再向右平移個單位；把點向上平移個單位，再向左平移個單位；把點向下平移個單位，再向左平移個單位；把點向下平移個單位，再向右平移個單位，∴第次變換時，相當于把點的坐標向右或向左平移n個單位長度，∵到是向右平移個單位長度，向上平移個單位長度，到是向左個單位長度，向上平移個單位長度，到是向左平移個單位長度，向下平移個單位長度，到是向右平移個單位長度，向下平移個單位長度，到是向右平移個單位長度，向上平移個單位長度，∴可以看作每四次坐標變換為一個循環(huán)，∴點的坐標為，∵，∴點的坐標為，點的坐標為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了點的坐標規(guī)律探索，正確找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·廣東深圳·九年級校聯(lián)考開學考試）數(shù)學家高斯推動了數(shù)學科學的發(fā)展，被數(shù)學界譽為“數(shù)學王子”，據(jù)傳，他在計算時，用到了一種方法，將首尾兩個數(shù)相加，進而得到．人們借助于這樣的方法，得到（n是正整數(shù)）．有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點，，其中，2，3，，，，且，是整數(shù)．記，如，即，，即，，即，?，以此類推．則．

【答案】42【分析】利用圖形尋找規(guī)律，再利用規(guī)律解題即可．【詳解】解：第1圈有1個點，即，這時；第2圈有8個點，即到，這時；第3圈有16個點，即到，這時；，依次類推，第圈，；由規(guī)律可知：是在第23圈上，且，則，即，故答案為：42．【點睛】本題考查了圖形與規(guī)律，利用所給的圖形找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023秋·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考階段練習）在平面直角坐標系中，一螞蟻從原點O出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動每次移動1個單位，其行走路線如圖所示.

(1)填寫下列各點的坐標：______，______；(2)寫出點的坐標（n為正整數(shù)）_____；(3)螞蟻從點到點的移動方向______．【答案】(1)；(2)(3)向下【分析】（1）觀察圖形可知，，都在x軸上，求出、的長度，然后寫出坐標即可；（2）根據(jù)（1）中規(guī)律寫出點的坐標即可；（3）根據(jù)圖形信息，4次為一個循環(huán)，則，可知從點到點的移動方向與從點到的方向一致．【詳解】（1）解：由圖可知，，都在x軸上，∵螞蟻每次移動1個單位，∴，，∴，；故答案為：；；（2）解：根據(jù)（1）可知，，同理得，那么，∴點的坐標為；（3）解：∵，∴從點到點的移動方向與從點到的方向一致，為向下．【點睛】本題是對點的變化規(guī)律的考查，比較簡單，仔細觀察圖形，確定出都在x軸上是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級校考期中）新定義：在平面直角坐標系中中的點，若點P的坐標為（其中k為常數(shù)，），則稱點為點P的“k屬派生點”．例如：點的“3屬派生點”為，即．(1)點的“2屬派生點”的坐標為________；(2)若點P在y軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為點，且線段的長為線段長的3倍，求k的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)“k屬派生點”的定義，進行求解即可；（2）分和，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，即：，故答案為：．（2）解：設點點P的“k屬派生點”為點，∴，∵，的縱坐標相同，∴軸，如圖，分兩種情況：①當時，，∵，∴，∴；②當時，∵，∴，∴；

綜上：或．【點睛】本題考查點的坐標規(guī)律．解題的關(guān)鍵是理解并掌握“k屬派生點”的定義．13．（2023春·吉林松原·七年級統(tǒng)考期末）在平面直