江西省上饒市鉛山一中、橫峰中學、廣豐貞白中學2025屆高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

江西省上饒市鉛山一中、橫峰中學、廣豐貞白中學2025屆高二上數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在直三棱柱中，，且，點是棱上的動點，則點到平面距離的最大值是（）A. B.C.2 D.2．函數(shù)在單調(diào)遞增的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.3．在平行六面體中，點P在上，若，則（）A. B.C. D.4．高中生在假期參加志愿者活動，既能服務社會又能鍛煉能力．某同學計劃在福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院中任選兩個單位參加志愿者活動，則參加圖書館活動的概率為（）A. B.C. D.5．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點，則直線ED與FG所成角的余弦值為（）A. B.C. D.6．不等式的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.7．過點A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A. B.C. D.8．在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是面的中心，則的值為（）A.4 B.C.2 D.不確定9．曲線在點處的切線方程是（）A. B.C. D.10．已知空間四個點，，，，則直線AD與平面ABC所成的角為（）A. B.C. D.11．若方程表示雙曲線，則（）A. B.C. D.12．已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（）A.1 B.3C.9 D.81二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項和，則該數(shù)列的首項__________，通項公式__________.14．若恒成立，則______.15．設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為___________.16．日常生活中的飲用水通常是經(jīng)過凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化費用不斷増加.已知將噸水凈化到純凈度為時所需費用（單位：元）為.則凈化到純凈度為時所需費用的瞬時變化率是凈化到純凈度為時所需費用的瞬時變化率的___________倍，這說明，水的純凈度越高，凈化費用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知梯形如圖甲所示，其中，，，四邊形是邊長為1正方形，沿將四邊形折起，使得平面平面，得到如圖乙所示的幾何體（1）求證：平面；（2）若點在線段上，且與平面所成角的正弦值為，求線段的長度.18．（12分）已知橢圓過點，且離心率，為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）判斷是否存在直線，使得直線與橢圓相交于兩點，直線與軸相交于點，且滿足，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知橢圓與橢圓的焦點相同，且橢圓C過點（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點A，B，且(O為坐標原點），若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由20．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點與點.（1）求圓的方程；（2）過點作圓的切線，求切線所在的直線的方程.21．（12分）已知函數(shù)（a是常數(shù)）.（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若，求a的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標系中，已知.（1）求直線的方程；（2）平面內(nèi)的動點滿足，到點與點距離的平方和為24，求動點的軌跡方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】建立空間直角坐標系，設出點的坐標，運用點到平面的距離公式，求出點到平面距離的最大值.【詳解】解：以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標第,則,,,設點,故，，.設設平面的法向量為，則即，取，則.所以點到平面距離.當，即時，距離有最大值為.故選:D.【點睛】本題考查空間內(nèi)點到面的距離最值問題，屬于中檔題.2、D【解析】求出導函數(shù)，由于函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，可得在區(qū)間上恒成立，求出的范圍，再根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷得解.【詳解】由題得，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上恒成立，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，選項中只有是的必要不充分條件.選項AC是的充分不必要條件，選項B是充要條件.故選：D3、C【解析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的法則進行求解即可.【詳解】因為，，所以有，因此，故選：C4、D【解析】對4個單位分別編號，利用列舉法求出概率作答.【詳解】記福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院分別為A，B，C，D，從4個單位中任選兩個的試驗有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6個基本事件，它們等可能，其中有參加圖書館活動的事件有AC，BC，CD，共3個基本事件，所以參加圖書館活動的概率.故選：D5、B【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當空間直角坐標系，故選：B6、B【解析】解不等式，由此判斷必要不充分條件.【詳解】，解得，所以不等式的一個必要不充分條件是.故選：B7、D【解析】過點A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過的點得到.故答案為D.8、A【解析】畫出圖形，建立空間直角坐標系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，因為正方體棱長為2，點是面的中心，是棱上一動點，所以，，，故選：A9、B【解析】求導，得到曲線在點處的斜率，寫出切線方程.【詳解】因為，所以曲線在點處斜率為4，所以曲線在點處的切線方程是，即，故選：B10、A【解析】根據(jù)向量法求出線面角即可.【詳解】設平面的法向量為，直線AD與平面ABC所成的角為令，則則故選：A【點睛】本題主要考查了利用向量法求線面角，屬于中檔題.11、C【解析】根據(jù)曲線方程表示雙曲線方程有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設，，可得.故選：C.12、A【解析】根據(jù)條件，利用橢圓標準方程中長半軸長a，短半軸長b，半焦距c關系列式計算即得.【詳解】由橢圓的一個焦點坐標為，則半焦距c=2，于是得，解得，所以值為1.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.；②..【解析】空一：利用代入法直接進行求解即可；空二：利用之間的關系進行求解即可.【詳解】空一：；空二：當時，，顯然不適合上式，所以，故答案為：；14、1【解析】利用導數(shù)研究的最小值為，再構(gòu)造研究其最值，即可確定參數(shù)a的值.【詳解】令，則且，當時，遞減；當時，遞增；所以，即在上恒成立，令，則，當時，遞增；當時，遞減；所以，綜上，.故答案為：115、【解析】求出等邊的邊長，畫出圖形，判斷D的位置，然后求解即可.【詳解】為等邊三角形且其面積為，則，如圖所示，設點M為的重心，E為AC中點，當點在平面上的射影為時，三棱錐的體積最大，此時，，點M為三角形ABC的重心，，中，有，，所以三棱錐體積的最大值故答案為：【點睛】思路點睛：本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，要求內(nèi)接三棱錐體積的最大值，底面是面積一定的等邊三角形，需要該三棱錐的高最大，故需要底面，再利用內(nèi)接球，求出高，即可求出體積的最大值，考查學生的空間想象能力與數(shù)形結(jié)合思想，及運算能力，屬于中檔題.16、①.②.快【解析】根據(jù)導數(shù)的概念可知凈化所需費用的瞬時變化率即為函數(shù)的一階導數(shù)，即先對函數(shù)求導，然后將和代入進行計算，再求，即可得到結(jié)果，進而能夠判斷水的純凈度越高，凈化費用增加的速度的快慢【詳解】由題意，可知凈化所需費用的瞬時變化率為，所以，，所以，所以凈化到純凈度為時所需費用的瞬時變化率是凈化到純凈度為時所需費用的瞬時變化率的倍；因為，可知水的純凈度越高，凈化費用增加的速度越快.故答案為：，快.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】∵平面平面，平面平面平面，，∴平面；【小問2詳解】（2）建系如圖：設平面的法向量，，，，，，則，設，，，解得或（舍），，∴.18、（1）；（2）存在，方程為和.【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點、離心率和關系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）設，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理形式，根據(jù)共線向量可得，代入韋達定理中可構(gòu)造關于的方程，解方程可求得，進而得到直線方程.【小問1詳解】由題意得：，解得：，橢圓的方程為；【小問2詳解】由題意知：直線斜率存在且不為零，可設，，，由得：，則；，，，，，解得：，，滿足條件的直線存在，方程為和.19、（1）；（2）存在，.【解析】(1)與焦點相同可求出c，將代入方程結(jié)合a、b、c關系即可求a和b；(2)直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為，聯(lián)立AB方程與橢圓方程，得到根與系數(shù)的關系；由得，結(jié)合韋達定理得k與m的關系；再由圓與直線相切，即可求其半徑；最后再驗證AB斜率不存在時的情況即可.【小問1詳解】，由題可知，解得點，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】設，設，代入，整理得，由得，即，由韋達定理化簡得，即，設存在圓與直線相切，則，解得，所以圓的方程為，又若軸時，檢驗知滿足條件，故存在圓心在原點的圓符合題意20、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線段中點，進而得到線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點，∴.則圓的方程可求（2）當切線斜率不存在時，可知切線方程為.當切線斜率存在時，設切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.試題解析：（1）線段的中點為，∵，∴線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點，∴.∴圓的方程為.（2）當切線斜率不存在時，切線方程為.當切線斜率存在時，設切線方程為，即，則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.故滿足條件的切線方程為或.【點睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點弦等問題，解題的關鍵是利用圓的特性，利用點到直線的距離公式求解21、（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極小值是，無極大值.（2）【解析】（1）由當，得到，求導，再由，求解；（2）將