第13講 重難點(diǎn)01三角形中“8”字模型（學(xué)生版）-七升八數(shù)學(xué)暑假銜接（人教版）

重難點(diǎn)01三角形中“8”字模型【知識(shí)梳理】一、“8”字模型三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°對(duì)頂角相等【考點(diǎn)剖析】一．選擇題（共2小題）1．（2021秋?寧遠(yuǎn)縣校級(jí)期中）如圖所示，∠α的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．40°2．（2022春?敘州區(qū)期末）如圖，BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°二．填空題（共13小題）3．（2021?黔東南州模擬）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)是．4．（2021秋?鐵東區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H度數(shù)為．5．（2023春?侯馬市期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為6．（2020秋?河南期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝°．7．（2022秋?慶陽期中）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝°．8．（2022秋?汕尾校級(jí)月考）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝．9．（2022秋?梁山縣月考）如圖，是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，∠D＝28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為．10．（2022秋?黔東南州月考）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝度．11．（2021秋?綦江區(qū)校級(jí)期中）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為度．12．（2023春?蓬萊區(qū)期中）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)是．13．（2022春?彭山區(qū)校級(jí)期中）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．14．（2022秋?濱海新區(qū)校級(jí)期中）如圖，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．15．（2021秋?涵江區(qū)校級(jí)期中）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是．三．解答題（共11小題）16．（2022秋?浉河區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．17．（2020秋?十堰期末）如圖，已知DO＝BO，∠A＝∠C，求證：AO＝CO．18．（2021秋?寧明縣期中）“8字”的性質(zhì)及應(yīng)用：（1）如圖①，AD、BC相交于點(diǎn)O，得到一個(gè)“8字”ABCD，求證：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）圖②中共有多少個(gè)“8字”？（3）如圖②，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點(diǎn)E，利用（1）中的結(jié)論證明∠E＝（∠A+∠C）．19．（2020秋?青島期末）閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對(duì)頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長(zhǎng)線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，延長(zhǎng)BM、CN，交于點(diǎn)A，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，則∠A＝（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為．（用x、y表示∠P）拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．20．（2023?雁塔區(qū)一模）如圖①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)到F，使得ED＝DF，連接AF、CF．（1）求證：BE∥CF；（2）若∠EBD＝∠BAC，求證：AF2＝AB2+BE2；（3）如圖②連接，探索當(dāng)∠BEC與∠BAC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，AC＝AF，并說明理由．21．（2021秋?正陽縣期末）圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時(shí)，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．22．（2022秋?天門期中）如圖，已知∠A＝50°，∠D＝40°（1）求∠1度數(shù)；（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．23．（2021秋?大興區(qū)期末）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使ED＝BD．過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A和點(diǎn)C重合）時(shí)，此時(shí)DF與DC的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：2AD＝AF+EF．（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接用等式表示線段AD，AF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是．24．（2021秋?訥河市期中）已知如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；（3）在圖2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，試求∠P的度數(shù)；（4）如果圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論即可）25．（2022秋?江岸區(qū)期末）已知△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDP是軸對(duì)稱圖形時(shí)，∠APD的度數(shù)為；（2）如圖2，AE∥BC，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)F在射線AE上，且DC＝DF，作FG⊥AC于G，當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們探究線段AD，AC，CG之間有什么數(shù)量關(guān)系，并對(duì)結(jié)論加以證明；（3）如圖3，點(diǎn)R在BC延長(zhǎng)線上，連接AR，S為AR上一點(diǎn)，AS＝BC，連接BS交AC于T，若AT＝2n，SR＝n，直接寫出線段的值為