中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題-因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題

因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題例12013年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b、c是常數(shù)，且c＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1,0)．（1）b＝______，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為_(kāi)______（上述結(jié)果均用含c的代數(shù)式表示）；（2）連結(jié)BC，過(guò)點(diǎn)A作直線AE//BC，與拋物線交于點(diǎn)E．點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為(2,0)，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PB、PC．設(shè)△PBC的面積為S．①求S的取值范圍；②若△PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的△PBC共有_____個(gè)．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“13蘇州29”，拖動(dòng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△EHA與△COB保持相似．點(diǎn)擊按鈕“C、D、E三點(diǎn)共線”，此時(shí)△EHD∽△COD．拖動(dòng)點(diǎn)P從A經(jīng)過(guò)C到達(dá)B，數(shù)一數(shù)面積的正整數(shù)值共有11個(gè)．請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“13蘇州29”，拖動(dòng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，△EHA與△COB保持相似．點(diǎn)擊按鈕“C、D、E三點(diǎn)共線”，此時(shí)△EHD∽△COD．拖動(dòng)點(diǎn)P從A經(jīng)過(guò)C到達(dá)B，數(shù)一數(shù)面積的正整數(shù)值共有11個(gè)．思路點(diǎn)撥1．用c表示b以后，把拋物線的一般式改寫(xiě)為兩點(diǎn)式，會(huì)發(fā)現(xiàn)OB＝2OC．2．當(dāng)C、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．3．求△PBC面積的取值范圍，要分兩種情況計(jì)算，P在BC上方或下方．4．求得了S的取值范圍，然后羅列P從A經(jīng)過(guò)C運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，面積的正整數(shù)值，再數(shù)一數(shù)個(gè)數(shù)．注意排除點(diǎn)A、C、B三個(gè)時(shí)刻的值．滿分解答（1）b＝，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－2c．（2）由，設(shè)E．過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于H．由于OB＝2OC，當(dāng)AE//BC時(shí)，AH＝2EH．所以．因此．所以．當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，．所以．整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或（舍去）．所以拋物線的解析式為．（3）①當(dāng)P在BC下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交BC于F．直線BC的解析式為．設(shè)，那么，．所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．因此當(dāng)P在BC下方時(shí)，△PBC的最大值為4當(dāng)P在BC上方時(shí)，因?yàn)镾△ABC＝5，所以S△PBC＜5．綜上所述，0＜S＜5．②若△PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的△PBC共有11個(gè)．考點(diǎn)伸展點(diǎn)P沿拋物線從A經(jīng)過(guò)C到達(dá)B的過(guò)程中，△PBC的面積為整數(shù)，依次為（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．當(dāng)P在BC下方，S＝4時(shí)，點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)的正下方，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．例22012年菏澤市中考第21題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，將此三角板繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形A′B′O．（1）一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′、B′、B，求該拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫(xiě)出它的兩條性質(zhì)．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“12菏澤21”，拖動(dòng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)四邊形PB′A′B是等腰梯形時(shí)，四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“12菏澤21”，拖動(dòng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)四邊形PB′A′B是等腰梯形時(shí)，四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．思路點(diǎn)撥1．四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，可以轉(zhuǎn)化為四邊形PB′OB的面積是△A′B′O面積的3倍．2．聯(lián)結(jié)PO，四邊形PB′OB可以分割為兩個(gè)三角形．3．過(guò)點(diǎn)向x軸作垂線，四邊形PB′OB也可以分割為一個(gè)直角梯形和一個(gè)直角三角形．滿分解答（1）△AOB繞著原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)分別為(－1,0)、(0,2)．因?yàn)閽佄锞€與x軸交于A′(－1,0)、B(2,0)，設(shè)解析式為y＝a(x＋1)(x－2)，代入B′(0,2)，得a＝1．所以該拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）S△A′B′O＝1．如果S四邊形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四邊形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．如圖2，作PD⊥OB，垂足為D．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，－x2＋x＋2)．．．所以．解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)．圖2圖3圖4（3）如圖3，四邊形PB′A′B是等腰梯形，它的性質(zhì)有：等腰梯形的對(duì)角線相等；等腰梯形同以底上的兩個(gè)內(nèi)角相等；等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)兩底中點(diǎn)的直線．考點(diǎn)伸展第（2）題求四邊形PB′OB的面積，也可以如圖4那樣分割圖形，這樣運(yùn)算過(guò)程更簡(jiǎn)單．．．所以．甚至我們可以更大膽地根據(jù)拋物線的對(duì)稱性直接得到點(diǎn)P：作△A′OB′關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的△BOE，那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，2)．而矩形EB′OD與△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四邊形EB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．因此點(diǎn)E就是要探求的點(diǎn)P．例32012年河南省中考第23題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線y＝ax2＋bx－3交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3．點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，作PD⊥AB于點(diǎn)D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)，并求出線段PD長(zhǎng)的最大值；②連結(jié)PB，線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形的面積比為9∶10？若存在，直接寫(xiě)出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“12河南23”，拖動(dòng)點(diǎn)P在直線AB下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，PD隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一部分，當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，PD達(dá)到最大值．觀察面積比的度量值，可以體驗(yàn)到，左右兩個(gè)三角形的面積比可以是9∶10，也可以是10∶9．思路點(diǎn)撥1．第（1）題由于CP//y軸，把∠ACP轉(zhuǎn)化為它的同位角．2．第（2）題中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）題已經(jīng)做好了鋪墊．3．△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個(gè)三角形，面積比等于對(duì)應(yīng)高DN與BM的比．4．兩個(gè)三角形的面積比為9∶10，要分兩種情況討論．滿分解答（1）設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．因?yàn)镻C//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．將A(－2,0)、B(4,3)分別代入y＝ax2＋bx－3，得解得，．（2）由，，得．所以．所以PD的最大值為．（3）當(dāng)S△PCD∶S△PCB＝9∶10時(shí)，；當(dāng)S△PCD∶S△PCB＝10∶9時(shí)，．圖2考點(diǎn)伸展第（3）題的思路是：△PCD與△PCB是同底邊PC的兩個(gè)三角形，面積比等于對(duì)應(yīng)高DN與BM的比．而，BM＝4－m．①當(dāng)S△PCD∶S△PCB＝9∶10時(shí)，．解得．②當(dāng)S△PCD∶S△PCB＝10∶9時(shí)，．解得．例42011年南通市中考第28題如圖1，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，0)，且與雙曲線(x＞0)交于點(diǎn)B(2，1)．過(guò)點(diǎn)(p＞1)作x軸的平行線分別交曲線(x＞0)和(x＜0)于M、N兩點(diǎn)．（1）求m的值及直線l的解析式；（2）若點(diǎn)P在直線y＝2上，求證：△PMB∽△PNA；（3）是否存在實(shí)數(shù)p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“11南通28”，拖動(dòng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)直線MN經(jīng)過(guò)（0，2）點(diǎn)時(shí)，圖形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是兩個(gè)同高的三角形，MN＝4MP存在兩種情況．思路點(diǎn)撥1．第（2）題準(zhǔn)確畫(huà)圖，點(diǎn)的位置關(guān)系盡在圖形中．2．第（3）題把S△AMN＝4S△AMP轉(zhuǎn)化為MN＝4MP，按照點(diǎn)M與線段NP的位置關(guān)系分兩種情況討論．滿分解答（1）因?yàn)辄c(diǎn)B(2，1)在雙曲線上，所以m＝2．設(shè)直線l的解析式為，代入點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B(2，1)，得解得所以直線l的解析式為．（2）由點(diǎn)(p＞1)的坐標(biāo)可知，點(diǎn)P在直線上x(chóng)軸的上方．如圖2，當(dāng)y＝2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，2)．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，2)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－1，2)．由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知△PMB為等腰直角三角形．由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知△PNA為等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．圖2圖3圖4（3）△AMN和△AMP是兩個(gè)同高的三角形，底邊MN和MP在同一條直線上．當(dāng)S△AMN＝4S△AMP時(shí)，MN＝4MP．①如圖3，當(dāng)M在NP上時(shí)，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此時(shí)點(diǎn)P在x軸下方，舍去）．此時(shí)．②如圖4，當(dāng)M在NP的延長(zhǎng)線上時(shí)，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或（此時(shí)點(diǎn)P在x軸下方，舍去）．此時(shí)．考點(diǎn)伸展在本題情景下，△AMN能否成為直角三角形？情形一，如圖5，∠AMN＝90°，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2）．情形二，如圖6，∠MAN＝90°，此時(shí)斜邊MN上的中線等于斜邊的一半．不存在∠ANM＝90°的情況．圖5圖6例52010年廣州市中考第25題如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,0)，(0,1)．點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過(guò)點(diǎn)D作直線交折線OAB于點(diǎn)E．（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“10廣州25”，拖動(dòng)點(diǎn)D由C向B運(yùn)動(dòng)，觀察S隨b變化的函數(shù)圖象，可以體驗(yàn)到，E在OA上時(shí)，S隨b的增大而增大；E在AB上時(shí)，S隨b的增大而減?。p擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)D由C向B運(yùn)動(dòng)，可以觀察到，E在OA上時(shí)，重疊部分的形狀是菱形，面積不變．雙擊按鈕“第（2）題”可以切換．思路點(diǎn)撥1．?dāng)?shù)形結(jié)合，用b表示線段OE、CD、AE、BE的長(zhǎng)．2．求△ODE的面積，要分兩種情況．當(dāng)E在OA上時(shí)，OE邊對(duì)應(yīng)的高等于OC；當(dāng)E在AB邊上時(shí)，要利用割補(bǔ)法求△ODE的面積．3．第（3）題中的重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形．4．圖形翻著、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)中，計(jì)算菱形的邊長(zhǎng)一般用勾股定理．滿分解答(1)①如圖2，當(dāng)E在OA上時(shí)，由可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2b,0)，OE＝2b．此時(shí)S＝S△ODE＝．②如圖3，當(dāng)E在AB上時(shí)，把y＝1代入可知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，AE＝，BE＝．此時(shí)S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝．(2)如圖4，因?yàn)樗倪呅蜲1A1B1C1與矩形OABC關(guān)于直線DE對(duì)稱，因此DM＝DN，那么重疊部分是鄰邊相等的平行四邊形，即四邊形DMEN是菱形．作DH⊥OA，垂足為H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．設(shè)菱形DMEN的邊長(zhǎng)為m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重疊部分菱形DMEN的面積為．圖2圖3圖4考點(diǎn)伸展把本題中的矩形OABC繞著它的對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)，如果重疊部分的形狀是菱形（如圖5），那么這個(gè)菱形的最小面積為1，如圖6所示；最大面積為，如圖7所示．圖5圖6圖7例62010年揚(yáng)州市中考第28題如圖1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)E在斜邊AB上，過(guò)點(diǎn)E作直線與△ABC的直角邊相交于點(diǎn)F，設(shè)AE＝x，△AEF的面積為y．（1）求線段AD的長(zhǎng)；（2）若EF⊥AB，當(dāng)點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng)時(shí)，①求y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出自變量x的取值范圍）；②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求出最大值．（3）若點(diǎn)F在直角邊AC上（點(diǎn)F與A、C不重合），點(diǎn)E在斜邊AB上移動(dòng)，試問(wèn)，是否存在直線EF將△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1備用圖動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“10揚(yáng)州28”，拖動(dòng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)，從y隨x變化的圖象可以體驗(yàn)到，當(dāng)F在AC上時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)F在BC上時(shí)，y隨x變化的圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一部分，y的最大值對(duì)應(yīng)拋物線的頂點(diǎn)．雙擊按鈕“第（3）題”，我們已經(jīng)設(shè)定好了EF平分△ABC的周長(zhǎng)，拖動(dòng)點(diǎn)E，觀察圖象，可以體驗(yàn)到，“面積AEF”的值可以等于3，也就是說(shuō)，存在直線EF將△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．雙擊按鈕“第（2）題”可以切換。思路點(diǎn)撥1．第（1）題求得的AD的長(zhǎng)，就是第（2）題分類討論x的臨界點(diǎn)．2．第（2）題要按照點(diǎn)F的位置分兩種情況討論．3．第（3）題的一般策略是：先假定平分周長(zhǎng)，再列關(guān)于面積的方程，根據(jù)方程的解的情況作出判斷．滿分解答(1)在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5．在Rt△ACD中，．(2)①如圖2，當(dāng)F在AC上時(shí)，．在Rt△AEF中，．所以．如圖3，當(dāng)F在BC上時(shí)，．在Rt△BEF中，．所以．②當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，的最大值為．因此，當(dāng)時(shí)，y的最大值為．圖2圖3圖4(3)△ABC的周長(zhǎng)等于12，面積等于6．先假設(shè)EF平分△ABC的周長(zhǎng)，那么AE＝x，AF＝6－x，x的變化范圍為3＜x≤5．因此．解方程，得．因?yàn)樵?≤x≤5范圍內(nèi)（如圖4），因此存在直線EF將△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．考點(diǎn)伸展如果把第（3）題的條件“點(diǎn)F在直角邊AC上”改為“點(diǎn)F在直角邊BC上”，那么就不存在直線EF將△ABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．先假設(shè)EF平分△ABC的周長(zhǎng)，那么AE＝x，BE＝5－x，BF＝x＋1．因此．解方程．整理，得．此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．例72009年蘭州市中考第29題如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），點(diǎn)C在第一象限．動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同速度在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)（長(zhǎng)度單位）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)Q開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)及點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度；（2）求正方形邊長(zhǎng)及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在（1）中當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）如果點(diǎn)P、Q保持原速度速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿A→B→C→D勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP與PQ能否相等，若能，寫(xiě)出所有符合條件的t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由圖1圖2動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“09蘭州29”，拖動(dòng)點(diǎn)Q在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)為（1，0）；當(dāng)P在AB上時(shí)，△OPQ的面積隨x變化的圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一部分；觀察點(diǎn)P與OQ的垂直平分線的位置關(guān)系，可以體驗(yàn)到，有兩個(gè)時(shí)刻，PO=PQ．雙擊按鈕“PO＝PQ，P在AB上”和“PO＝PQ，P在CD上”，可以準(zhǔn)確顯示PO＝PQ．思路點(diǎn)撥1．過(guò)點(diǎn)B、C、P向x軸、y軸作垂線段，就會(huì)構(gòu)造出全等的、相似的直角三角形，出現(xiàn)相等、成比例的線段，用含有t的式子