24.4 解直角三角形 華師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)教案

24.4解直角三角形第1課時(shí)解直角三角形※教學(xué)目標(biāo)※【知識(shí)與技能】使學(xué)生理解直角三角形中五個(gè)元素的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.【過程與方法】通過綜合運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.【情感態(tài)度】滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.【教學(xué)重點(diǎn)】直角三角形的解法.【教學(xué)難點(diǎn)】三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用.※教學(xué)過程※一、復(fù)習(xí)引入1.在三角形中共有幾個(gè)元素？2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B這五個(gè)元素間有哪些等量關(guān)系呢？二、探索新知1.解直角三角形我們已掌握Rt△ABC的邊角關(guān)系、三邊關(guān)系、角角關(guān)系，利用這些關(guān)系，在知道其中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊）后，就可求出其余的元素.(1)概念：由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.（2）思考：為什么要至少有一條邊?2.已知兩條邊，求其余未知元素.【例1】如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，則大樹在折斷之前高多少？分析：我們?cè)谟龅綄?shí)際問題時(shí)，應(yīng)該先把新問題與我們熟悉的問題聯(lián)系起來，再把新問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題來進(jìn)行研究.對(duì)于現(xiàn)實(shí)問題通常化為數(shù)學(xué)模型來處理，這里體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想.解：利用勾股定理可以求出折斷后倒下部分的長(zhǎng)度為=13,13+5=18(米).答：大樹在折斷之前高18米.3.已知一條邊和一個(gè)銳角，求其余未知元素.【例2】如圖，在相距2000米的東、西兩座炮臺(tái)A、B處同時(shí)發(fā)現(xiàn)入侵?jǐn)撑濩，在炮臺(tái)A處測(cè)得敵艦C在它的南偏東40°的方向，在炮臺(tái)B處測(cè)得敵艦C在它的正南方.試求敵艦與兩炮臺(tái)的距離.（精確到1米）解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,=tan∠CAB,∴BC=AB·tan∠CAB=2000×tan50°≈2384(米).∵=cos50°,∴AC=≈3111(米).答：敵艦與A、B兩炮臺(tái)的距離分別約為3111米和2384米.三、鞏固練習(xí)1.在電線桿離地面8米高處向地面拉一條纜繩，纜繩和地面成53°7′角，求該纜繩的長(zhǎng)及纜繩地面固定點(diǎn)到電線桿底部的距離.（精確到0.1米）2.海船以32.6海里/時(shí)的速度向正北方向航行，在A處看燈塔Q在海船的北偏東30°處，半小時(shí)后航行到B處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)燈塔Q與海船的距離最短.求燈塔Q到B處的距離.（畫出圖形后計(jì)算，精確到0.1海里）答案：1.如圖所示，∵AC=8米，∠B=53°7′，∴AB=≈10.0(米),BC=≈6.0(米).∴該纜繩的長(zhǎng)約為10.0米，纜繩地面固定點(diǎn)到電線桿底部的距離約是6.0米.2.如圖所示，當(dāng)燈塔Q與海船的距離最短時(shí)，QB⊥AB.由題意知AB=32.6×=16.3(海里).∵=tan∠BAQ=tan30°,∴BQ=AB×tan30°=16.3×≈9.4(海里).答：燈塔Q到B處的距離約為9.4海里.四、應(yīng)用拓展本節(jié)的重要內(nèi)容是解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，解直角三角形的依據(jù)是勾股定理、兩銳角互余和邊角之間的關(guān)系，一般有兩種類型：已知兩邊，已知一邊和一銳角，解題時(shí)要選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式，盡可能使用原題數(shù)據(jù)和避免做除法運(yùn)算.※課后作業(yè)※教材第117頁習(xí)題24.4第1題.第2課時(shí)俯角與仰角※教學(xué)目標(biāo)※【知識(shí)與技能】1.了解仰角、俯角、方位角的概念.2.能根據(jù)直角三角形的知識(shí)解決與仰角、俯角、方位角有關(guān)的實(shí)際問題.【過程與方法】能夠借助輔助線解決實(shí)際問題，掌握數(shù)形結(jié)合、抽象歸納的思想方法.【情感態(tài)度】感知本節(jié)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，認(rèn)識(shí)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的意義.【教學(xué)重點(diǎn)】解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，從而解決問題.※教學(xué)過程※一、復(fù)習(xí)引入1.什么是解直角三角形？2.解直角三角形的依據(jù)是什么？二、探索新知1.仰角、俯角.（1）幾個(gè)概念：①鉛垂線；②水平線；③視線；④仰角:視線在水平線的上方，視線與水平線的夾角；⑤俯角：視線在水平線的下方，視線與水平線的夾角.（2）應(yīng)用.【例1】如圖，為了測(cè)量旗桿的高度BC，在離旗桿底部10米的A處，用高1.50米的測(cè)角儀DA測(cè)得旗桿頂端C的仰角α=52°.求旗桿BC的高.（精確到0.1米）解：在Rt△CDE中，∵CE=DE×tanα=AB×tanα=10×tan52°≈12.80(米)，∴BC=BE+CE=DA+CE≈1.50+12.80=14.3(米).答：旗桿BC的高度約為14.3米.2.方位角.【例2】如圖，A城氣象部門測(cè)得今年第9號(hào)臺(tái)風(fēng)上午8時(shí)在A城南偏東30°的海面B處生成，并以每小時(shí)40海里的速度向正北方向移動(dòng)，上午10時(shí)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心移到了A城南偏東45°的方向的C處，若臺(tái)風(fēng)中心120海里的范圍內(nèi)將受臺(tái)風(fēng)影響，問A城是否會(huì)受9號(hào)臺(tái)風(fēng)影響？分析：A城是否會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響，就是A城到臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路線BC的距離是否大于120海里.解：過A作AE⊥BC延長(zhǎng)線于E，設(shè)AE=EC=x,則BE=x.∵BC=2×40=80,∴BC=BE-CE=(-1)x=80.∴x=40(+1)≈109.3<120.答：A城會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響.三、鞏固練習(xí)1.如圖，小雅家（圖中點(diǎn)O處）門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測(cè)得有一水塔（圖中點(diǎn)A處）在她家北偏東60度500m處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是（）A.250mB.250mC.mD.250m2.兩座建筑物DA與CB，其地面距離DC為50.4米，從DA的頂點(diǎn)A測(cè)得CB頂部B的仰角α=20°，測(cè)得其底部C的俯角β=35°.求這兩座建筑物的高.（精確到0.1米）3.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)課上測(cè)量學(xué)校旗桿高度，已知小明的眼睛與地面的距離AB是1.7m，看旗桿頂部M的仰角為45°；小紅的眼睛與地面的距離CD是1.5m,看旗桿頂部M的仰角為30°.兩人相距28米且位于旗桿兩側(cè)（點(diǎn)B、N、D在同一條直線上）.請(qǐng)求出旗桿MN的高度.（參考數(shù)據(jù)：≈1.4,≈1.7,結(jié)果保留整數(shù)）答案：1.A2.由題意知，在矩形ADCE中，CE=AD，AE=CD=50.4米.在Rt△ADC中，∠DAC=90°-β=55°，則AD=≈35.3(米).在Rt△ABE中，∠BAE=20°,AE=50.4米,則BE=AE×tan20°=50.4×tan20°≈18.3(米).故CB=CE+BE=AD+BE≈35.3+18.3=53.6(米).答：建筑物DA的高約為35.3米，CB的高約為53.6米.3.12m四、歸納小結(jié)1.解決仰角、俯角、方位角有關(guān)的問題時(shí)，常用的兩個(gè)基本圖形.2.通常學(xué)習(xí)兩個(gè)例題及練習(xí)，初步學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過解直角三角形來解決，具體地說，就是利用正切解直角三角形，從而把問題解決.※課后作業(yè)※教材第117頁習(xí)題24.4第3、4題.第3課時(shí)坡度與坡角※教學(xué)目標(biāo)※【知識(shí)與技能】會(huì)運(yùn)用解直角三角形有關(guān)知識(shí)解決與坡度、坡角有關(guān)的實(shí)際問題.【過程與方法】逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法.【情感態(tài)度】進(jìn)一步感知本節(jié)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，認(rèn)識(shí)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐的意義.【教學(xué)重點(diǎn)】解決有關(guān)坡度的實(shí)際問題.【教學(xué)難點(diǎn)】理解坡度的有關(guān)術(shù)語.※教學(xué)過程※一、復(fù)習(xí)引入前面我們研究了與仰角、俯角、方位角有關(guān)的問題，今天研究與坡度、坡角有關(guān)的問題.二、探索新知1.幾個(gè)概念.（1）鉛垂高度h;（2）水平長(zhǎng)度l;（3）坡度（坡比）i:坡面的鉛垂高度h和水平長(zhǎng)度l的比i=;(4)坡角α:坡面與水平面的夾角α,i==tanα.顯然，坡度i越大，坡角α就越大，坡面就越陡.2.應(yīng)用.【例1】在山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）是5.5m,測(cè)得斜坡的傾斜角是24°，求斜坡上相鄰兩樹的坡面距離是多少（精確到0.1m）.分析：題目中出現(xiàn)的術(shù)語——株距、傾斜角，需重點(diǎn)說明.引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，畫出圖形.已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB.解：在Rt△ABC中，cosA=,∴AB=≈6.0(米).答：斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離約是6.0米.【例2】如圖，一段路基的橫斷面是梯形，高為4.2米，上底寬為12.51米，其坡面的坡角分別是32°和28°.求路基下底的寬.（精確到0.1米）解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為點(diǎn)E、F.由題意可知：DE=CF=4.2米，EF=CD=12.51米.在Rt△ADE中,∵=tan32°,∴AE=≈6.72米.在Rt△BCF中，同理可得BF=≈7.90米.∴AB=AE+EF+BF≈6.72+12.51+7.90≈27.1(米).答：路基下底的寬約為27.1米.三、鞏固練習(xí)1.如圖，一水庫大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂寬為6.2米，壩高為23.5米，斜坡AB的坡度i1=1∶3,斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.求：（1）斜坡AB與壩底AD的長(zhǎng)度（精確到0.1米）；（2）斜坡CD的坡角α（精確到1°）.2.設(shè)建造一條道路，路基的橫斷面為梯形ABCD，如圖所示，設(shè)路基高為h,兩側(cè)的坡角分別α和β，已知h=2米，α=45°,tanβ=,CD=10米.（1）求路基底部AB的寬；（2）修筑這樣的路基1000米，需要多少方土？答案：1.如圖所示，過點(diǎn)B、C分別作BE⊥AD、CF⊥AD，交AD于點(diǎn)E、F.（1）由i1=1∶3,得tanA=,所以∠A≈18.43°.AB=≈74.3(米).AE==70.5(米).由i2=1∶2.5,得tanD=,所以∠D≈21.8°.FD==58.75(米).所以AD=AE+EF+FD=70.5+6.2+58.75≈135.5(米).綜上，斜坡AB長(zhǎng)約為74.3米，壩底AD長(zhǎng)約為135.5米.（2）因?yàn)閠anα=i2=,所以∠α≈22°,即斜坡CD的坡角α約為22°.2.（1）過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F.在Rt△ADE中，∠α=45°，DE=h=2米,∴AE=DE=h=2米.在Rt△BCF中，tanβ=,CF=h=2米,∴BF=2CF=4米.故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(米).（2）S梯形ABCD=(AB+CD)·h=×(10+16)×2=26（平方米）.因此所需的土石方數(shù)是26×1000=26000(立方米).四、