2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題07解三角形(面積問題(含定值最值范圍問題))練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題07解三角形面積問題問題（含定值，最值，范圍問題））(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求三角形面積（定值問題） 2題型二：求三角形面積（最值問題） 3題型三：求三角形面積（范圍問題） 5題型四：四邊形中面積問題 7三、專項(xiàng)訓(xùn)練 9一、必備秘籍基本公式1、正弦定理及其變形基本公式2、余弦定理及其推論基本公式3、常用的三角形面積公式（1）；（2）（兩邊夾一角）；核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面積取值范圍，優(yōu)先考慮化角求范圍）利用正弦定理，，代入面積公式，化角，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.二、典型題型題型一：求三角形面積（定值問題）1．（23-24高二下·福建福州·期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足.(1)求角的大??；(2)若，求的面積.2．（2024·北京豐臺(tái)·二模）已知滿足．(1)求；(2)若滿足條件①、條件②、條件③中的兩個(gè)，請(qǐng)選擇一組這樣的兩個(gè)條件，并求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．3．（2024·北京西城·一模）在中，．(1)求的大?。?2)若，再從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在，求的面積．條件①：邊上中線的長為；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．4．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且外接圓的面積為．(1)求．(2)若，求的面積．題型二：求三角形面積（最值問題）1．（23-24高一下·浙江·期中）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且與垂直.(1)求大?。?2)若邊上的中線長為，求的面積的最大值.2．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且．(1)求A；(2)若，求△ABC的面積S的最小值．3．（23-24高二下·遼寧本溪·開學(xué)考試）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題（其中S為的面積）.問題：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且______.(1)求角B的大??；(2)AC邊上的中線，求的面積的最大值.4．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若；(1)求B；(2)若，試判斷的形狀.(3)若，求的面積的最大值．5．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足．(1)求角；(2)若，求面積的最大值．題型三：求三角形面積（范圍問題）1．（23-24高一下·廣東·階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，.(1)求角；(2)設(shè)是角的平分線，與邊交于，若，，求，；(3)若，求面積的取值范圍.2．（2024·四川德陽·二模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.3．（2024·山西·一模）中角所對(duì)的邊分別為，其面積為，且.(1)求；(2)已知，求的取值范圍.4．（23-24高二上·河北秦皇島·開學(xué)考試）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．(1)求角B的大小和邊長b的值；(2)求面積的取值范圍．5．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.(1)在①；②；③中選一個(gè)作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍.題型四：四邊形中面積問題1．（23-24高三上·湖南·階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，.(1)若，求的大??；(2)若，求四邊形面積的最大值.2．（22-23高一下·廣西南寧·期末）請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評(píng)分.選擇的編號(hào)請(qǐng)?zhí)顚懙酱痤}卡對(duì)應(yīng)位置上）.(1)求角C的大??；(2)若，D為的外接圓上的點(diǎn)，，求四邊形ABCD面積的最大值.3．（2023·云南保山·二模）如圖，在平面四邊形中，，，.

(1)當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓O時(shí)，求角C；(2)當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求對(duì)角線的長.4．（22-23高三上·黑龍江牡丹江·期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，且．(1)若，求的值；(2)求四邊形ABCD面積的最大值．5．（22-23高二上·陜西渭南·階段練習(xí)）如圖，已知圓的半徑為，點(diǎn)在直徑的延長線上，，點(diǎn)是圓上半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊做等腰直角三角形，且與圓心分別在兩側(cè).(1)若，試將四邊形的面積表示成的函數(shù);(2)求四邊形面積的最大值.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面四邊形中，已知四點(diǎn)共圓，且.(1)求證：；(2)若，求四邊形的面積.2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）如圖，已知平面四邊形中，，，．

(1)若，，，四點(diǎn)共圓，求的面積；(2)求四邊形面積的最大值．3．（23-24高一下·湖北·期中）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角的大??；(2)若，，求的面積．7．（23-24高三上·廣西柳州·階段練習(xí)）如圖某公園有一塊直角三角形的空地，其中長千米，現(xiàn)要在空地上圍出一塊正三角形區(qū)域建文化景觀區(qū)，其中分別在上．設(shè)．

(1)若，求的邊長；(2)求的邊長最小值．8．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）記銳角三角形的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.(1)求.(2)求面積的取值范圍.9．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．(1)求；(2)若點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，求面積的最小值．10．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，求銳角的面積的取值范圍．專題07解三角形面積問題問題（含定值，最值，范圍問題））(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求三角形面積（定值問題） 2題型二：求三角形面積（最值問題） 6題型三：求三角形面積（范圍問題） 11題型四：四邊形中面積問題 18三、專項(xiàng)訓(xùn)練 24一、必備秘籍基本公式1、正弦定理及其變形基本公式2、余弦定理及其推論基本公式3、常用的三角形面積公式（1）；（2）（兩邊夾一角）；核心秘籍1、基本不等式①②核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面積取值范圍，優(yōu)先考慮化角求范圍）利用正弦定理，，代入面積公式，化角，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求面積的取值范圍.二、典型題型題型一：求三角形面積（定值問題）1．（23-24高二下·福建福州·期中）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且滿足.(1)求角的大??；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)；【分析】（1）由余弦定理求出即可.（2）利用邊角轉(zhuǎn)化求出角，進(jìn)而由正弦定理求出，最后求出三角形面積.【詳解】（1）在中，由，則，由余弦定理知：，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，所以，即，由正弦定理，由，所以，，由，，解得：或，即或，?dāng)時(shí)，，在中，由正弦定理，所以，所以；當(dāng)時(shí)，三角形為等邊三角形，，.綜上：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.2．（2024·北京豐臺(tái)·二模）已知滿足．(1)求；(2)若滿足條件①、條件②、條件③中的兩個(gè)，請(qǐng)選擇一組這樣的兩個(gè)條件，并求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．【答案】(1)(2)選①③，面積為，【分析】（1）根據(jù)輔助角公式可得，即可求解，（2）選擇①②，根據(jù)正弦定理可得與矛盾，即可求解，選擇②③，根據(jù),故，，這與矛盾，即可求解，選擇①③，根據(jù)余弦定理可得，，即可由面積公式求解.【詳解】（1）由得，所以,由于，所以（2）若選①，②，則,由正弦定理可得，這與矛盾，故不可以選擇①②，若選①，③，由余弦定理可得，解得，，，選②③，由于,又,故，而，故，這與矛盾，因此不能選擇②③3．（2024·北京西城·一模）在中，．(1)求的大??；(2)若，再從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在，求的面積．條件①：邊上中線的長為；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）借助正弦定理計(jì)算即可得；（2）選條件①或③：借助余弦定理與面積公式計(jì)算即可得；不可選條件②，不存在這樣的.【詳解】（1）由，得，在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，又，所以；?）選條件①：邊上中線的長為：設(shè)邊中點(diǎn)為，連接，則，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或（舍），所以的面積為，選條件③：：在中，由余弦定理得，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，的面積為．當(dāng)時(shí)，的面積為．不可選條件②，理由如下：若，故為鈍角，則，則，，即，其與為鈍角矛盾，故不存在這樣的.4．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且外接圓的面積為．(1)求．(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理、外接圓的半徑以及兩角和差的正弦公式求得結(jié)果；（2）先求得，結(jié)合的面積公式以及二倍角公式求得結(jié)果.【詳解】（1）由于外接圓的面積為，故外接圓的半徑為1．由正弦定理，得，則．又，所以，則．因?yàn)椋?，所以．又，所以；?）由，得，結(jié)合，得，且．由（1）知，所以的面積．題型二：求三角形面積（最值問題）1．（23-24高一下·浙江·期中）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為且與垂直.(1)求大小；(2)若邊上的中線長為，求的面積的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用垂直的向量表示進(jìn)行化簡，再根據(jù)正弦定理結(jié)合條件即可得到結(jié)果；（2）利用余弦定理與邊上的中線有進(jìn)行化簡，在利用基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，垂直，所?由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，，所?（2）設(shè)邊上的中線為，在中，由余弦定理得：，即①.在和中，，所以，即，，，化簡得，代入①式得，，由基本不等式，∴，當(dāng)且僅當(dāng)取到“”；所以的面積最大值為.2．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且．(1)求A；(2)若，求△ABC的面積S的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）結(jié)合已知條件，先利用進(jìn)行化簡，再利用二倍角公式即可求，從而可求A；（2）結(jié)合三角形面積公式、基本不等式、余弦定理即可得到答案.【詳解】（1）由題意可得，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，可得，即．?）由（1）知；且，由余弦定理得，整理得，解得或（當(dāng)時(shí)，，故舍去），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．從而，即△ABC面積S的最小值為．3．（23-24高二下·遼寧本溪·開學(xué)考試）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題（其中S為的面積）.問題：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且______.(1)求角B的大??；(2)AC邊上的中線，求的面積的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）若選①：根據(jù)正弦定理，化簡得到，再由余弦定理得到，即可求解；若選②：由三角形的面積公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，化簡得到，得到，即可求解；若選③：由正弦定理化簡可得到，求得，即可求解.（2）根據(jù)向量的運(yùn)算法則和基本不等式，化簡得到，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】（1）解：若選①：在中，因?yàn)椋?，可得，由正弦定理得，即，則，又因?yàn)?，?若選②：由，可得，所以，因?yàn)椋?若選③：因?yàn)?，正弦定理得，又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，可得；綜上所述：選擇①②③，都有.（2）解：由，可得，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的面積的最大值為.4．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若；(1)求B；(2)若，試判斷的形狀.(3)若，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)為等邊三角形(3)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合正弦定理分析求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合余弦定理分析求解；（3）根據(jù)題意利用基本不等式可得，代入面積公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，因?yàn)椋瑒t，可得，即，所以.（2）由（1）可知：，由余弦定理可得：，又因?yàn)椋?，可得，整理得，即，所以為等邊三角?（3）由（2）可知：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的面積的最大值為.5．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足．(1)求角；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)椤?，則，可得，所以，，故.（2）解：由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，因此，面積的最大值為.題型三：求三角形面積（范圍問題）1．（23-24高一下·廣東·階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，.(1)求角；(2)設(shè)是角的平分線，與邊交于，若，，求，；(3)若，求面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)，；(3).【分析】（1）法一：利用余弦定理得到，再由余弦定理計(jì)算可得；法二：利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式計(jì)算可得；（2）利用正弦定理及角平分線的性質(zhì)得到，設(shè)，，再在中利用余弦定理求出，即可得解；（3）首先得到，利用正弦定理得到，再根據(jù)的范圍及正切函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）法一：在銳角中，，由余弦定理得，化簡得，可得，又，得.法二：在銳角中，，由正弦定理得，即，可得，又，，得，又，得.（2）在中，由正弦定理有，在中，由正弦定理有，因?yàn)槭墙堑钠椒志€，故，又，故，所以，設(shè)，，在中，由余弦定理，有，解得，所以（負(fù)值舍去），所以，.（3）因?yàn)?，由正弦定理，得，在銳角中，，，，即，可得，則有，，，，即，得，所以面積的取值范圍為.2．（2024·四川德陽·二模）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系化簡已知等式，可得，即可求得答案；（2）利用正弦定理求出a的表達(dá)式，并結(jié)合恒等變換公式化簡，利用為銳角三角形，求出角C的范圍，即可求得a的取值范圍，再利用三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】（1）因?yàn)橹?，，即，而，故，故，又，則；（2）由（1）以及題設(shè)可得；由正弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，，，則，則，則，即，則，即面積的取值范圍為.3．（2024·山西·一模）中角所對(duì)的邊分別為，其面積為，且.(1)求；(2)已知，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)面積公式以及余弦定理即可求解，進(jìn)而可求解，（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合不等式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)槿切蔚拿娣e為，則，所以，又，則；（2）由于，所以，即，取等號(hào)，故，故4．（23-24高二上·河北秦皇島·開學(xué)考試）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．(1)求角B的大小和邊長b的值；(2)求面積的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡已知等式可得，結(jié)合B為銳角，可得B的值，由正余弦定理化簡已知等式即可求解b的值．（2）利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式可求，由題意可求范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其范圍．【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，∵B為銳角，∴，∵，由正余弦定理可得：，整理可得，解得．（2）∵，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴5．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，點(diǎn)O為的內(nèi)心，記，，的面積分別為，，，已知，.(1)在①；②；③中選一個(gè)作為條件，判斷是否存在，若存在，求出的周長，若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）(2)若為銳角三角形，求面積的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由題意，根據(jù)的內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，選①，根據(jù)余弦定理可得，方程無解即△ABC不存在；選②，根據(jù)正弦定理可得，由可得，方程無解即△ABC不存在；選③，根據(jù)三角恒等變換可得，由（1）得，解得，可求出的周長.（2）由三角形的面積可得，再由正弦定理和兩角和的正弦公式可得，結(jié)合角C的取值范圍即可求解.【詳解】（1）設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，因?yàn)?，所以，化簡得：，所以，因?yàn)?，所以，選擇①，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，整理得，方程無實(shí)數(shù)解，所以不存在．選擇②，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，所以，整理得，方程無實(shí)數(shù)解，所以不存在．選擇③，由得：，所以，即，所以，因?yàn)橐裕裕?，解得，所以存在且唯一，的周長為．（2）由（1）知，，面積，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，解得：，所以，所以，，，所以的取值范圍為，而面積.題型四：四邊形中面積問題1．（23-24高三上·湖南·階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，.(1)若，求的大??；(2)若，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，先求出，再在利用正弦定理求出，利用大角對(duì)大邊進(jìn)行取舍；（2）把四邊形的面積用題干中給出的變量進(jìn)行表示，求解最值即可.【詳解】（1）解：由已知，得，所以，所以.在中，因?yàn)?，所以，又，由正弦定理得，得，因?yàn)?，所以，所以，所?（2）在中，由已知，所以，由余弦定理，在中，因?yàn)?，又，所以所以，所以四邊形的面積，因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，，故四邊形面積的最大值為.2．（22-23高一下·廣西南寧·期末）請(qǐng)從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答（如未作出選擇，則按照選擇①評(píng)分.選擇的編號(hào)請(qǐng)?zhí)顚懙酱痤}卡對(duì)應(yīng)位置上）.(1)求角C的大??；(2)若，D為的外接圓上的點(diǎn)，，求四邊形ABCD面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①，通過二倍角公式的化簡求解；選②，通過余弦定理求解即可；選③，通過邊角互化求解即可；（2）將條件轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合基本不等式求取四邊形面積的最大值；【詳解】（1）選①：，根據(jù)二倍角公式化簡得：即因?yàn)榻獾茫夯颍ㄉ崛ィ?，所以；選②，根據(jù)正弦定理得：根據(jù)余弦定理得：又因?yàn)?，所以；選③，根據(jù)正弦定理得：因?yàn)?，解得：，所以；?），根據(jù)數(shù)量積定義可知：所以，則有：，

如圖所示：,根據(jù)正弦定理得：，因?yàn)楦鶕?jù)基本不等式解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，代入，解得：，綜上四邊形ABCD面積的最大值為.3．（2023·云南保山·二模）如圖，在平面四邊形中，，，.

(1)當(dāng)四邊形內(nèi)接于圓O時(shí)，求角C；(2)當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求對(duì)角線的長.【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合余弦定理求解即可；（2）將四邊形的面積拆成兩個(gè)三角形的面積之和，由余弦定理和三角形面積公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）由余弦定理可得：，，所以.又四邊形內(nèi)接于圓，所以，所以，化簡可得，又，所以.（2）設(shè)四邊形的面積為S，則，又，所以，即平方后相加得，即，又，所以時(shí)，有最大值，即S有最大值.此時(shí)，，代入得.又，所以在中，可得：，即.所以，對(duì)角線的長為.4．（22-23高三上·黑龍江牡丹江·期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，且．(1)若，求的值；(2)求四邊形ABCD面積的最大值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)同角關(guān)系式及和差角公式求解；（2）根據(jù)余弦定理得到，然后根據(jù)三角形面積公式及三角恒等變換，可得，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，且，所以在中，，，所以；?）設(shè)，，在中，由余弦定理，得，∵=，又，當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD面積的最大值．5．（22-23高二上·陜西渭南·階段練習(xí)）如圖，已知圓的半徑為，點(diǎn)在直徑的延長線上，，點(diǎn)是圓上半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為斜邊做等腰直角三角形，且與圓心分別在兩側(cè).(1)若，試將四邊形的面積表示成的函數(shù);(2)求四邊形面積的最大值.【答案】(1)，其中(2)【分析】（1）利用余弦定理求出，求出、的面積關(guān)于的表達(dá)式，相加可得出四邊形的面積表示成的函數(shù)，并標(biāo)出的取值范圍；（2）計(jì)算出的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】（1）解：由余弦定理可得，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，則，所以，，其中.（2）解：因?yàn)?，則，故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最大值，即.因此，四邊形面積的最大值為.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面四邊形中，已知四點(diǎn)共圓，且.(1)求證：；(2)若，求四邊形的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分別在和中用正弦定理得到，然后根據(jù)，即可得到；（2）分別在和用余弦定理，再結(jié)合，得到，，最后利用三角形面積公式求面積即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理知，在中，由正弦定理知，因?yàn)?，所以，，所以；?）在中，由余弦定理知，在中，由余弦定理知，因?yàn)椋?，即，解得，所以，所以，所以四邊形的面積：.2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）如圖，已知平面四邊形中，，，．

(1)若，，，四點(diǎn)共圓，求的面積；(2)求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理寫出的表達(dá)式，結(jié)合A，，，四點(diǎn)共圓求出，求出的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式求解即可；（2）由（1）可得，表示出四邊形的面積S的表達(dá)式得，由題意，結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍及余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得．①在中，由余弦定理得．②因?yàn)锳，，，四點(diǎn)共圓，所以，因此，由①+②得，得．將代入①，得，故，因此．（2）由（1）可知，得．③四邊形的面積，則．④將③式兩邊同時(shí)平方，得，將④式兩邊同時(shí)平方，得，得，化簡得．

由于，，因此當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)四邊形的面積最大，且，得，故四邊形面積的最大值為．3．（23-24高一下·湖北·期中）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求角的大?。?2)若，，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由余弦定理得到，再根據(jù)題干中的關(guān)系可以得到，進(jìn)而得到角的大?。唬?）根據(jù)得到，從而確定的值，由得到，由正弦定理得到，從而由面積公式得到的面積．【詳解】（1）在中，由余弦定理得，又，則，而，則．（2）因?yàn)椋?，所以，從而，，由正弦定理，得，因?4．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量與平行.(1)求；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到，根據(jù)正弦定理求得，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用余弦定理，列出方程，求得，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）解：由向量，，因?yàn)椋傻?，又由正弦定理，可得，因?yàn)?，可得，所以，即，又因?yàn)?，所?（2）解：因?yàn)榍?，由余弦定理得，即，可得，解得或（舍去），所以的面積為.5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，．(1)求的周長的取值范圍；(2)若的內(nèi)切圓半徑，求的面積S.【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合題意與余弦定理可得，結(jié)合正弦定理可將周長的范圍轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)的范圍問題，計(jì)算即可得；（2）由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可得，或由三角形內(nèi)切圓中邊長與圓相切，結(jié)合切線長定理，可得的值，再由計(jì)算即可得.【詳解】（1）由及余弦定理得，，即，所以．又，所以，所以由正弦定理得，所以，，則，又因?yàn)?，所以，所以，即，即，故的周長的取值范圍為；（2）解法一：由（1）得，因?yàn)?，，，所以，由得，從而，即，解得或（舍去），所以．解法二：如圖，設(shè)圓O是的內(nèi)切圓，各切點(diǎn)分別為D，E，H．由（1）知，所以．又因?yàn)椋杂汕芯€長定理得，于