2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.2基本不等式與最大小值講義教案北師大版必修5

PAGE1-3．2基本不等式與最大(小)值學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．會(huì)用基本不等式解決簡潔的最大(小)值問題．(重點(diǎn))2．會(huì)用基本不等式解決實(shí)際問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過利用基本不等式求解最值問題，提升學(xué)生的邏輯素養(yǎng)．2．利用基本不等式解決實(shí)際問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．不等式與最大(小)值閱讀教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列問題．當(dāng)x，y都為正數(shù)時(shí)，下面的命題成立(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值eq\f(s2,4)；(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值2eq\r(p)．思索：(1)函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2嗎？[提示]不是，只有當(dāng)x＞0時(shí)，才有x＋eq\f(1,x)≥2，當(dāng)x＜0時(shí)，沒有最小值．(2)設(shè)a＞0,2a＋eq\f(3,a)取得最小值時(shí)，a的值是什么？[提示]2a＋eq\f(3,a)≥2eq\r(2a×\f(3,a))＝2eq\r(6)，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝eq\f(3,a)，即a＝eq\f(\r(6),2)時(shí)，取得最小值．1．下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是()A．y＝x＋eq\f(4,x) B．y＝sinx＋eq\f(4,sinx)(0＜x＜π)C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81C[A中x＝－1時(shí)，y＝－5＜4，B中y＝4時(shí)，sinx＝2，D中x與1的關(guān)系不確定，選C．]2．當(dāng)x<0時(shí)，x＋eq\f(9,x)的最大值為．－6[因?yàn)閤<0，所以x＋eq\f(9,x)＝－(－x)＋eq\f(9,－x)≤－2eq\r(－x×\f(9,－x))＝－6，當(dāng)且僅當(dāng)(－x)＝eq\f(9,－x)，即x＝－3時(shí)等號成立．]3．當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，x(1－x)的最大值為．eq\f(1,4)[因?yàn)閤∈(0,1)，所以1－x＞0，故x(1－x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，當(dāng)x＝1－x，即x＝eq\f(1,2)時(shí)等號成立．]4．若點(diǎn)A(－2，－1)在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為．8[由已知點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上所以2m＋n＝1，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\f(2m＋n,m)＋eq\f(22m＋n,n)＝4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥8．]利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x>2，則y＝x＋eq\f(4,x－2)的最小值為．(2)若0<x<eq\f(1,2)，則函數(shù)y＝eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值是．(1)6(2)eq\f(1,16)[(1)因?yàn)閤>2，所以x－2>0，所以y＝x＋eq\f(4,x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4時(shí)，等號成立．所以y＝x＋eq\f(4,x－2)的最小值為6．(2)因?yàn)?<x<eq\f(1,2)，所以1－2x>0，所以y＝eq\f(1,2)x·(1－2x)＝eq\f(1,4)×2x×(1－2x)≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝1－2x，即當(dāng)x＝eq\f(1,4)時(shí)，ymax＝eq\f(1,16)．]在利用基本不等式求最值時(shí)要留意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)均為正；二是尋求定值，求和式最小值時(shí)應(yīng)使積為定值，求積式最大值時(shí)應(yīng)使和為定值恰當(dāng)變形，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧；三是考慮等號成立的條件.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)已知t>0，則函數(shù)y＝eq\f(t2－4t＋1,t)的最小值為．(2)設(shè)0<x≤2，則函數(shù)?(x)＝eq\r(x8－2x)的最大值為．(1)－2(2)2eq\r(2)[(1)依題意得y＝t＋eq\f(1,t)－4≥2eq\r(t·\f(1,t))－4＝－2，等號成立時(shí)t＝1，即函數(shù)y＝eq\f(t2－4t＋1,t)(t>0)的最小值是－2．(2)因?yàn)?<x≤2，所以0<2x≤4,8－2x≥4>0，故?(x)＝eq\r(x8－2x)＝eq\r(\f(1,2)·2x·8－2x)＝eq\r(\f(1,2))·eq\r(2x·8－2x)≤eq\r(\f(1,2))×eq\f(8,2)＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝8－2x，即x＝2時(shí)取等號，所以當(dāng)x＝2時(shí)，?(x)＝eq\r(x8－2x)的最大值為2eq\r(2)．]利用基本不等式解實(shí)際應(yīng)用題【例2】如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(如圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm．怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告牌面積最小？[解]法一：設(shè)矩形廣告牌的高為xcm，寬為ycm，則每欄的高和寬分別為(x－20)cm，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y－25,2)))cm，其中x>20，y>25，則兩欄面積之和為2(x－20)×eq\f(y－25,2)＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20)＋25，所以廣告牌的面積S＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18000,x－20)＋25))＝eq\f(18000x,x－20)＋25x，整理得S＝eq\f(360000,x－20)＋25(x－20)＋18500．因?yàn)閤－20>0，所以S≥2eq\r(\f(360000,x－20)×25x－20)＋18500＝24500．當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(360000,x－20)＝25(x－20)時(shí)等號成立，此時(shí)有(x－20)2＝14400，解得x＝140，代入y＝eq\f(18000,x－20)＋25，得y＝175．即當(dāng)x＝140，y＝175時(shí)，S取得最小值24500．故當(dāng)廣告牌的高為140cm，寬為175cm時(shí)，可使矩形廣告牌的面積最小．法二：設(shè)矩形欄目的高為acm，寬為bcm，則ab＝9000，其中a>0，b>0．易知廣告牌的高為(a＋20)cm，寬為(2b＋25)cm．廣告牌的面積S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋2eq\r(25a·40b)＝24500，當(dāng)且僅當(dāng)25a＝40b時(shí)等號成立，此時(shí)b＝eq\f(5,8)a，代入ab＝9000得a＝120，b＝75．即當(dāng)a＝120，b＝75時(shí)，S取得最小值24500．故當(dāng)廣告牌的高為140cm，寬為175cm時(shí)，可使矩形廣告牌的面積最?。趹?yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)，要留意以下四點(diǎn)：1先理解題意，設(shè)變量時(shí)一般把要求最值的變量定為函數(shù)；2建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題；3在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值；4寫出正確答案.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．(1)某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，則當(dāng)每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)年時(shí)，年平均利潤最大，最大值是萬元．(2)用一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？(1)58[每臺機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為eq\f(y,x)＝18－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，且x>0，故eq\f(y,x)≤18－2eq\r(25)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)等號成立，此時(shí)年平均利潤最大，最大值為8萬元．](2)[解]設(shè)矩形菜園的長為xm、寬為ym，則2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜園的面積為xym2．由eq\r(xy)≤eq\f(x＋y,2)＝eq\f(18,2)＝9，可得xy≤81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即x＝y(tǒng)＝9時(shí)，等號成立．因此，這個(gè)矩形的長、寬都為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為81m2．基本不等式的綜合應(yīng)用[探究問題]1．(1)當(dāng)x＞0時(shí)，eq\f(x2＋1,x)有最大值，還是最小值？(2)當(dāng)x＞0時(shí)，eq\f(x,x2＋1)有最大值，還是最小值？[提示](1)當(dāng)x＞0時(shí)，eq\f(x2＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x×\f(1,x))＝2，當(dāng)x＝1時(shí)等號成立，即eq\f(x2＋1,x)有最小值2．(2)當(dāng)x＞0時(shí)，eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))，因?yàn)閤＋eq\f(1,x)≥2，所以eq\f(x,x2＋1)≤eq\f(1,2)，故eq\f(x,x2＋1)有最大值eq\f(1,2)．2．(1)設(shè)a＞0，b＞0，(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))的最小值是什么？(2)設(shè)a＞0，b＞0，且a＋b＝1，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值是什么？[提示](1)(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(2a,b)≥3＋2eq\r(2)，當(dāng)b＝eq\r(2)a時(shí)等號成立；(2)由于a＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))≥2eq\r(2)＋3，當(dāng)b＝eq\r(2)a，即a＝eq\r(2)－1，b＝2－eq\r(2)時(shí)，eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為3＋2eq\r(2)．【例3】(1)若對隨意的x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，求a的取值范圍．(2)設(shè)a＞0，b＞0，若eq\r(3)是3a與3b的等比中項(xiàng)，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值．思路探究：(1)在eq\f(x,x2＋3x＋1)中，分子、分母同時(shí)除以x，求得eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值，可得a的范圍．(2)由條件求得a與b的關(guān)系式，可求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值．[解](1)設(shè)f(x)＝eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)，∵x＞0，∴x＋eq\f(1,x)≥2，∴f(x)≤eq\f(1,5)，即f(x)max＝eq\f(1,5)，∴a≥eq\f(1,5)．(2)由題意得，3a·3b＝(eq\r(3))2，即a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b＝eq\f(1,2)時(shí)，等號成立．1．(變條件)(1)在例3(2)中，若3是3a與3b的等比中項(xiàng)，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值．(2)在例3(2)中，把條件換為“eq\f(2,a)和eq\f(1,b)的等差中項(xiàng)是eq\f(1,2)”，求2a＋b的最小值．[解](1)由3是3a與3b的等比中項(xiàng)，得3a＋b＝32，即a＋b＝2，故eq\f(1,2)(a＋b)＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,a)＋\f(a,b)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(b,a)×\f(a,b))))＝2，當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號成立．(2)由于eq\f(2,a)和eq\f(1,b)的等差中項(xiàng)是eq\f(1,2)，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，故2a＋b＝(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝5＋eq\f(2b,a)＋eq\f(2a,b)≥5＋2eq\r(\f(2b,a)×\f(2a,b))＝9．當(dāng)a＝b＝3時(shí)等號成立．2．(變條件)把例3(2)的條件換為“a＞0，b＞0，且a＋b＋ab＝1”，求a＋b的最小值．[解]a＋b＋ab＝1，得b＝eq\f(1－a,a＋1)＞0，故0＜a＜1，故a＋b＝a＋eq\f(1－a,a＋1)＝a＋eq\f(－1－a＋2,a＋1)＝a＋eq\f(2,a＋1)－1＝a＋1＋eq\f(2,a＋1)－2≥2eq\r(a＋1×\f(2,a＋1))－2＝2eq\r(2)－2，當(dāng)a＋1＝eq\f(2,a＋1)，即a＝eq\r(2)－1時(shí)等號成立．最值法解答恒成立問題將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的處理方法，其一般類型有：1fx＞a恒成立?a＜fxmin.2fx＜a恒成立?a＞fxmax.)1．利用基本不等式求最值必需滿意“一正、二定、三相等”三個(gè)條件，并且和為定值，積有最大值；積為定值，和有最小值．2．運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號取不到，則考慮用函數(shù)單調(diào)性求解．3．解決實(shí)際應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于弄清問題的各種數(shù)量關(guān)系，抽象出數(shù)學(xué)模型，利用基本不等式解應(yīng)用題，既要留意條件是否具備，還要留意有關(guān)量的實(shí)際含義．1．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)正數(shù)的積為定值，它們的和肯定能在兩個(gè)數(shù)相等時(shí)取得最小值． ()(2)函數(shù)y＝sinx＋eq\f(1,sinx)的最小值為2． ()(3)函數(shù)y＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))的最小值為2． ()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)錯(cuò)誤，這兩個(gè)數(shù)可能不相等，如當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，sinx與eq\f(4,sinx)的積為定值，但sinx≠eq\f(4,sinx)；(2)錯(cuò)誤，sinx＜0時(shí)，函數(shù)不存在最小值．(3)錯(cuò)誤，因?yàn)橹挥衑q\r(x2＋4)＝eq\f(1,\r(x2＋4))，即x2＋4＝1，x2