《正余弦定理應(yīng)用舉例》教學(xué)設(shè)計

14/14第一章解三角形1.2正余弦定理應(yīng)用舉例（名師：王歷權(quán)）一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng)通過學(xué)習(xí)正余弦定理應(yīng)用舉例,初步形成基本的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與運算能力.2.學(xué)習(xí)目標(biāo)應(yīng)用正余弦定理解決三角形相應(yīng)問題、解決實際問題.3.學(xué)習(xí)重點綜合運用正余弦定理解三角形問題和實際問題.4.學(xué)習(xí)難點正余弦定理與三角函數(shù)知識的綜合運用.二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1.預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)閱讀教材P11－P16.思考:正余弦定理的內(nèi)容是什么?利用正余弦定理求解實際問題的基本步驟是什么?題中為什么要給出這些已知條件,而不是其他條件?2.預(yù)習(xí)自測1.在△ABC中,若∠A＝60°,∠B＝45°,BC＝3eq\r(2),則AC＝()A.4eq\r(3)B.2eq\r(3)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(3),2)答案:B.2.已知中,a、b、c分別為A,B,C的對邊,,則等于（）A.B.或C.D.或答案:D.3.如圖,設(shè)A、B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點測出AC的距離為,∠,∠后,就可以計算出A、B兩點的距離為()A.B.C.D.答案:A.（二）課堂設(shè)計1.知識回顧（1）正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容______________________（為△外接圓半徑）______________________;______________________;______________________.變形形式①________,________,________;②____,______,_____;③___________________;④.______________________;______________________;______________________;解決的問題①已知兩角和任一邊,求另一角和其它兩條邊;②已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊和其它兩角.①已知三邊,求各角;②已知兩角和它們的夾角,求第三邊和其它兩個角.（2）在中,已知a、b和角A時,角的情況如下:CA為銳角CA為鈍角或直角圖形ACABACABbabaabaaBACbBACbaCbaCba關(guān)系式解的個數(shù)2.問題探究問題探究一正弦定理與余弦定理●活動一回顧正弦定理任意三角形中,都有＝＝.●活動二回顧正弦定理能解決的問題類型一般地,我們把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題?（1）已知三角形的兩個角（也就知道了第三個角）與一邊,求解三角形;（2）已知三角形的任意兩邊和其中一邊的對角,求解三角形.●活動三余弦定理及其所能求解的問題類型利用余弦定理可以求解如下兩類解三角形的問題:（1）已知三邊,求三個角;（2）已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角.問題探究二掌握以下幾個常用概念坡度:坡度沿坡向上的方向與水平方向的夾角.仰角:視線方向向上時與水平線的夾角.(反之為俯角).方位角:從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角.問題探究三利用正余弦定理解決實際問題重點、難點知識★▲●活動一初步運用正余弦定理測量建筑物高度例1:AB是底部B不可到達(dá)的一個建筑物,A為建筑物的最高點,設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法.解析:【知識點:正余弦定理,解三角形;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】詳解:選擇基線HG,使H、G、B三點共線,欲求AB,先求AE,在中,可測得角,只需求出AC就可得到AE,在中,可測得角,線段DC,又有,故可求得AC.●活動二設(shè)計求解有一個不可到達(dá)或兩點都不可到達(dá)的點之間的距離例2:如圖,設(shè)A、B兩點在河的兩岸,要測量兩點之間的距離,測量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離是55m,.求A、B兩點的距離.解析:【知識點:正余弦定理,解三角形;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】詳解:在三角形ABC中,,由正弦定理可知.例3:如圖,A、B兩點都在河的對岸（不可到達(dá)）,設(shè)計一種測量A、B兩點間距離的方法.解析:【知識點:正余弦定理,解三角形;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】詳解:這是例2的變式題,研究的是兩個不可到達(dá)的點之間的距離測量問題.首先需要構(gòu)造三角形,所以需要確定C、D兩點.在所在的河岸邊選定點C、D,測出四個角的大小和C、D間的距離,根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法,分別求出AC和BC,再利用余弦定理可以計算出AB的距離.3.課堂總結(jié)【知識梳理】(1)正弦定理:在△ABC中,（R為△ABC的外接圓直徑）.(2)余弦定理:對于任意的一個三角形,都有,,.公式還可以變形為:,,.（3）幾個測量中常用概念坡度:坡度沿坡向上的方向與水平方向的夾角.仰角:視線方向向上時與水平線的夾角.(反之為俯角).方位角:從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角.【重難點突破】(1)運用正余弦定理時,要厘清定理能解決的問題類型,要理清題目條件,合理選擇定理求解問題.(2)常見實際問題中的一組已知條件,常隱含著對于這類測量問題在某一種特定情境和條件限制下的一個測量方案,在這種情境與條件限制下,別的方案中的量可能無法測量出來,因而不能實施別的測量方案.4.隨堂檢測1.在中,內(nèi)角的對邊分別為,若且,則（）A.B.C.D.【知識點:正弦定理、解的個數(shù)的判斷;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:A2.在銳角中,角所對的邊長分別為.若（）A. B.C.D.【知識點:正弦定理】解:D3.在△中,則（）

A. B. C. D.【知識點:余弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:C4.如圖在中,已知點D在BC邊上,ADAC,,,,則的長為________.【知識點:正余弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:5.設(shè)△中角A,B,C所對的邊分別為,,,若,則△的形狀為（）

A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定【知識點:正弦定理、余弦定理】解:B6.在中,若,且,則是()A.等邊三角形B.等腰三角形,但不是等邊三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形【知識點:余弦定理】解:A（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.如圖,某人為了測量某建筑物兩側(cè)A.B間的距離(在A,B處相互看不到對方),選定了一個可看到A、B兩點的C點進行測量,你認(rèn)為測量時應(yīng)測量的數(shù)據(jù)是________.【知識點:實際問題,解三角形】解:a,b,γ.2.如圖,一根長為2米的木棒斜靠在墻AC上,,若滑動至位置,且米,問木棒中點O所經(jīng)過的路程為米.【知識點:正余弦定理】解:.3.在點測量到遠(yuǎn)處有一物體在做勻速直線運動,開始時該物體位于點,一分鐘后,其位置在點,且,再過兩分鐘后,該物體位于點,且,則的值為_________.【知識點:正余弦定理】解:.4.在中,三邊長為連續(xù)的自然數(shù),且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三邊長.【知識點:正余弦定理,解三角形】解:三邊長為4,5,6.5.甲船在島A的正南B處,以每小時4千米的速度向正北航行,AB＝10千米,同時乙船自島A出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?當(dāng)甲、乙兩船相距最近時,它們所航行的時間為.【知識點:正余弦定理,解三角形;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:eq\f(150,7)分鐘.6.如圖,飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi),若飛機的高度為海拔18km,速度為1000km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°,經(jīng)過1min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)暮０胃叨葹?精確到0.1km).【知識點:正余弦定理,解三角形;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:6.6.能力型師生共研7.在中,證明下列各式:（1）.(2).【知識點:正弦定理,解三角形】證明:(1)左邊＝故原命題得證故原命題得證.8.已知圓的半徑為,它的內(nèi)接中,成立,求三角形面積的最大值.【知識點:正弦定理,三角形面積】解:.9.在中,,sinC.(1)求證:為等腰三角形;(2)設(shè)為外接圓的直徑與的交點,且,求的值.【知識點:正余弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:（1）略;（2）.10.中,若已知三邊為連續(xù)正整數(shù),最大角為鈍角.（1）求最大角;（2）求以此最大角為內(nèi)角,夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積.【知識點:正余弦定理,三角形面積;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:（1）.（2）設(shè)夾角的兩邊為,,,當(dāng)時.探究型多維突破11.求的值.【知識點:正余弦定理,三角函數(shù)】解:.12.如圖,已知的半徑為1,點在直徑的延長線上,,點是上半圓上的一個動點,以為邊作正三角形,且點與圓心分別在兩側(cè).（1）若,試將四邊形的面積表示成的函數(shù);（2）求四邊形面積的最大值.【知識點:正余弦定理,函數(shù)】解:當(dāng)時,四邊形的面積最大.自助餐1.從A處望B處的仰角為α,從B處望A處的俯角為β,則α,β之間的關(guān)系是()A.α>βB.α＝βC.α＋β＝90°D.α＋β＝180°【知識點:正弦定理、余弦定理】解:B.2.已知A、B兩地的距離為10km,B、C兩地的距離為20km,現(xiàn)測得∠ABC＝120°,則A、C兩地的距離為()A.10kmB.eq\r(3)kmC.10eq\r(5)kmD.10eq\r(7)km【知識點:余弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:DAC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°)＝eq\r(102＋202＋2×10×20×\f(1,2))＝10eq\r(7)(km).3.某人在山外一點測得山頂?shù)难鼋菫?2°,沿水平面退后30米,又測得山頂?shù)难鼋菫?9°,則山高為(sin42°≈0.6691,sin39°≈0.6293,sin3°≈0.0523)()A.180米B.214米C.242米D.266米【知識點:正弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:C∵∠BCA＝42°,∠BDA＝39°,∴∠DBC＝3°.在△BDC中,DC＝30,eq\f(DC,sin3°)＝eq\f(BC,sin39°),∴BC＝eq\f(30·sin39°,sin3°).在Rt△ABC中,AB＝BC·sin42°＝eq\f(30·sin39°·sin42°,sin3°)＝242.4.在200m高的山頂上,測得山下塔頂和塔底的俯角分別為30°,60°,則塔高為()A.eq\f(400,3)mB.eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)mD.eq\f(200,3)m【知識點:正弦定理、余弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:A在Rt△BAC中,∠ABC＝30°,AB＝200,∴BC＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(400,3)eq\r(3).∵∠EBD＝30°,∠EBC＝60°,∴∠DBC＝30°,∠BDC＝120°.在△BDC中,eq\f(DC,sin30°)＝eq\f(BC,sin120°).∴DC＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(\f(400,3)\r(3)×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝eq\f(400,3)(m).5.某人站在山頂向下看一列車隊向山腳駛來,他看見第一輛車與第二輛車的俯角差等于他看見第二輛車與第三輛車的俯角差,則第一輛車與第二輛車的距離d1與第二輛車與第三輛車的距離d2之間的關(guān)系為()A.d1>d2B.d1＝d2C.d1<d2D.不能確定大小【知識點:正弦定理、余弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:C.6.有一長為1千米的斜坡,它的傾斜角為20°,現(xiàn)要將傾斜角改為10°,則斜坡長為()A.1千米B.2sin10°千米C.2cos10°千米D.cos20°千米【知識點:正弦定理、余弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:C.7.已知A船在燈塔C北偏東80°處,且A船到燈塔C的距離為2km,B船在燈塔C北偏西40°處,A、B兩船間的距離為3km,則B船到燈塔C的距離為________km.【知識點:正弦定理、余弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:eq\r(6)－1.8.如圖所示,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿著DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為________米.【知識點:余弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:50eq\r(7)連接OC,在△OCD中,OD＝100,CD＝150,∠CDO＝60°,由余弦定理,得OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17500.9.某校運動會開幕式上舉行升旗儀式,旗桿正好處在坡度15°的看臺的某一列的正前方,從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°,第一排和最后一排的距離為10eq\r(6)米(如圖所示),旗桿底部與第一排在一個水平面上.若國歌長度約為50秒,升旗手應(yīng)以________(米/秒)的速度勻速升旗.【知識點:正弦定理、余弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:0.6在△BCD中,∠BDC＝45°,∠CBD＝30°,CD＝10eq\r(6),由正弦定理,得BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝20eq\r(3).在Rt△ABC中,AB＝BCsin60°＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30(米).所以升旗速度v＝eq\f(AB,t)＝eq\f(30,50)＝0.6(米/秒).10.甲船在A處觀察乙船在它的北偏東60°的B處,此時兩船相距a海里,乙船正向北行駛,若甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍,則甲船以什么方向前進才能追趕上乙船?此時乙船行駛了多少海里【知識點:正弦定理、余弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:甲船應(yīng)取北偏東30°的方向去追趕乙船,此時乙船已行駛a海里如圖所示,AC為甲船的航行路線,BC為乙船的航行路線,設(shè)甲船取北偏東θ的方向去追趕乙船,在C點處追上,若乙船行駛的速度是v,則甲船行駛的速度是eq\r(3)v,由于甲、乙兩船到達(dá)C點的時間相等,都為t,則BC＝vt,AC＝eq\r(3)vt.∠ABC＝120°.由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°,即3v2t2＝a2＋v2t2＋avt.所以2v2t2－avt－a2＝0.解得t1＝eq\f(a,v),t2＝－eq\f(a,2v)(舍去).所以BC＝a,∠CAB＝30°,θ＝30°.即甲船應(yīng)取北偏東30°的方向去追趕乙船,此時乙船已行駛a海里.11.在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距A處(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°的方向,距離A處2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船.此時,走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄,問緝私船沿什么方向能最快追上走私船?【知識點:正弦定理、余弦定理;數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:緝私船沿東偏北30°方向能最快追上走私船,設(shè)緝私船用th在D處追上走私船,則有CD＝10eq\r(3)t,BD＝10t,在△ABC中,∵AB＝eq\r(3)－1,AC＝2,∠BAC＝120°,∴由余弦定理,得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2·(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝eq\r(6).且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))·