2021年滬教版數(shù)學(xué)必修二同步第19講壓軸綜合題(講義)教師版_第1頁
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文檔簡介

第19講壓軸綜合題(講義)

本節(jié)主要針對(duì)高一下學(xué)期的壓軸題進(jìn)行總結(jié),綜合性較強(qiáng),也是高考的熱門

考點(diǎn)。

一、單選題

1.(2020?上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二月考)在AABC中,”是邊A3上一定點(diǎn),滿足

AB=4HB,且對(duì)于邊A3上任一點(diǎn)P,恒有方2麗?布,貝U().

A./ABC=9(yB.ZBAC=90°C.AB^ACD.AC=BC

【答案】D

【分析】以AB所在的直線為x軸,以A8的中垂線為了軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)A8=4,

C(a,b),P(x,0),山題意寫出麗,HC<麗,正的坐標(biāo),山麗?斤2麗.豆C

結(jié)合向量的數(shù)量的坐標(biāo)表示可得關(guān)于x的一元二次不等式,結(jié)合二次不等式的性質(zhì)即可求

出。得值,進(jìn)而可得正確答案.

【詳解】

以AB所在的直線為%軸,以AB的中垂線為>軸建立直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=4,C(a,b),P(x,0),則5H=LA(-2,0),B(2,0),“(1,0),

所以麗=(1,0),麗=(2-x,0),PC=(a-x,b),HC=[a-\,b),

PBPC=(2-x)(a-x).HBHC^a-l>

因?yàn)辂?定2麗?衣對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P都成立,

所以(2-司("一%""1在[-2,2]上恒成立,

即f—(a+2)x+a+120在[—2,2]I二恒成立即(x—l)(x—a-1)20,Vxe[―2,2]

若I<x42,則x—a-120恒成立,故aVx-l恒成立,故。40,

若-2?x1,則x-a—1W0恒成立,故aix-l恒成立,故。2(),

故a=0即點(diǎn)。在A3的垂直平分線上,所以AC=BC,

故選:D

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題關(guān)鍵想到建立直角坐標(biāo)系將麗.定之麗.正轉(zhuǎn)化為坐標(biāo),

設(shè),設(shè)AB=4,C(a,。),尸(x,0),寫出各點(diǎn)坐標(biāo)即可寫出而,HC,方,的坐

標(biāo),可得(2-x)(a—x)之a(chǎn)—1恒成立,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出a=0,可得點(diǎn)。在A5

的垂直平分線上即AC=BC

2.(2021?湖北高三期末)已知復(fù)數(shù)4和Z2滿足區(qū)一8-1用=石%-4—6,,

|z「Z21=3,則國的取值范圍為()

A.[0,13]B.[3,9]C.[0,10]D.[3,13]

【答案】A

【分析】設(shè)4=x+yi,x,yeR,由忸一8—144=石區(qū)一4一6,[可得

(x-3)2+()'-4尸=25,設(shè)Z2=/〃+〃/;加,〃eR,則點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(九〃)距離為3,作圖圖

象即可得解.

【詳解】設(shè)4=x+yi,x,yeR,

則|z「8-14]=石區(qū)—4一6?[表示點(diǎn)(X,y)到點(diǎn)(8,14)的距離是到點(diǎn)(4,6)距離的加倍.

則J*-8)2+(y-14)2=國d)2+(y—6)2.

化簡得:(x-3)2+(y-4)2=25,

即復(fù)數(shù)4在復(fù)平面對(duì)應(yīng)得點(diǎn)為以(3,4)為圓心,5為半徑的圓上的點(diǎn).

設(shè)Z2=m+應(yīng),根,"GR,因?yàn)閇Z]-Z2|=3,所以點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(加,〃)距離為3,

所以復(fù)數(shù)Z2在復(fù)平面對(duì)應(yīng)得點(diǎn)為以(3,4)為圓心,2為半徑的圓即以(3,4)為圓心,8為半

徑的圓上構(gòu)成的扇環(huán)內(nèi)(含邊界),如圖所示:

區(qū)|表示點(diǎn)(九〃)和原點(diǎn)(0,0)的距離,由圖可知同的最小為0,最大為10+3=13.

故選:A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解題的關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)得幾何意義,坐標(biāo)化,設(shè)

z^x+yi.x.yeR,得。一3)2+(丁-4)2=25,進(jìn)而可以利用數(shù)形結(jié)合解決問題,屬于難

題.

3.(2020?浙江)已知復(fù)數(shù)z滿足回=1,且有z"+z=l,求2=()

15/3.口V31.3V2..挪不什

A.一±---1B.---±—iCr.---±---11).制,4、對(duì)

222~222

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可設(shè)z=cos6+isin。(i為虛數(shù)單位);然后再利用棣莫佛公式,可得

/、/、一fcosl7^+cos0=\

(cos176>+cos6()+z(sin176>+sin0)=1,再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念,可得《..八八,

'sin17y+sin0=0

利用三角函數(shù)同角關(guān)系,即可求出e的值,進(jìn)而求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槟?1,設(shè)z=cos8+isin6(i為虛數(shù)單位);

由棣莫佛公式,可得

z17+z=cosl7e+isinl7e+cose+isine=(cosl7e+cose)+i(sinl7e+sin。),

所以(8sl76+8se)+i(sinl76+sin夕)二1

cos178+cos0=1fcos176=1—cos6

所以《八,即《

sin176+sin0=0[sin176=-sin6

因?yàn)?sinl7,『+(cos17,1二1,

所以(sin17e『+(cos17夕『=(_sin+(l-cos9)2=1;

化簡可得sir?^+cos2。一2cos,=0,即1-2cos6=0

所以cos0=—,所以sin0-±V1—cos20-±——;

22

所以z=』±i-

22

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,熟練掌握復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì),是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題

4.(2021?上海高一單元測試)在小鉆C中,-+-=4cosC,cos(A-B)=-,])lij

ab6

cosC=.

【答案】I

【分析】根據(jù)余弦定理化簡2+g=4cosC,得到cosC=£;由題意,在比上取。,

ab2ab

使得BD=AD,連接49,找出4-6,設(shè)Q=x,在△/加中兩次利用余弦定理將cos(A-

皮及cost表示出,分別求出x建立關(guān)于a,b的方程,化簡變形后利用整體換元求出答

案.

【詳解】由題意知,—+-=4cosC

abf

由余弦定理得,:+方=4'區(qū)囁

化簡可得/+〃=202,則cosC=J,

2ab

又AABC中不妨設(shè)日>6,??">〃.在以上取〃使得㈤=被連接力〃

設(shè)BD=x,IJllJAD=x,DC=a-x,AC=b9

在中,cosZDAC=cos(A-B)=—,

6

由余弦定理得:(a-x)2=x2+b2-2A-b--,

6

即:(b-6a)x-3h2-3a2<

解得:x=即--3J①

b-6a

b1+(Q-X)~-x2

又在△』加中,由余弦定理還可得cosC=

2?〃?(。一x)

2b1+(Q-X)2-x29

.「Cac-

..COSL=--------=,化簡得x=,②

2ab2a2-c2

由①②可得3“2="_o'2又八"2c2,

聯(lián)立可得ab(〃+-3(片+h2y+24a2b2,BPab(2c2)--3(2c2)-+24a2/72,

2(2、22

c2

兩邊同時(shí)除以4a2〃,得£?=—3—+6,令——=t,則12產(chǎn)+,_6=0,解得t=;

2abIab,2ab3

或-之,

4

c22

又由題意cosC>0,t二COSC=--------=—

2ab3

【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,考查了運(yùn)算化簡的技巧,考查利用幾何圖形解決

問題的能力,屬于難題.

5.(2021?上海高一單元測試)函數(shù)/(x)=sin2x+2cosx在區(qū)間--—,0上的最大值

為1,則。的值是.

TT

【答案】一£

2

【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系,易將函數(shù)化為二次型的函數(shù),結(jié)合余弦函數(shù)的性

「2-

質(zhì),及函數(shù)/(x)=sin2x+2cosx在一1乃,。上的最大值為1,易求出。的值.

【詳解】?/函數(shù)/(1)=5訪21+2。5%=一(:0521+2。05%+1=—(。05%-1)2+2

「2

又??,函數(shù)/(x)=sin2x+2cosx在一個(gè)冗、。上的最大值為1,

/.cosx<0,

-2;

又???X£-]兀、9,

27r

且丁=85%在彳口—號(hào),。]上單調(diào)遞增,

所以cos8=0

即”一C.

2

JT

故答案為:一■—

2

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)的最值,其中利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系,將函數(shù)

化為二次型的函數(shù),是解答本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.

6.(2021?上海高一專題練習(xí))如圖AABC中,ZACB^90°,NC4B=30°,BC=\,

M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn),D為垂足,則MD+MC的最小值為;

3

【答案】一

2

【分析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示出MD+MC的值,然后利用

換元法求解出MD+MC對(duì)應(yīng)的最小值即可.

【詳解】如圖所示,設(shè)M(x,y),所以=

根據(jù)條件可知:A(0,⑹,8(1,0),所以"百-瓜,

設(shè)1=r8$。,y=rsin6>,6e0,—,re(0,+oo),

所以百rcos6+rsin?二G,所以r=

J5cos8+sin。

所以MD+MC=x+yjx1+y2=r(l+cos6)=J---------

V3cos+sin

d

1-tantan—+—

222

1+tan

所以當(dāng)tan&=3時(shí),MD+MC有最小值,最小值為

232

3

故答案為:一.

2

八J,

【點(diǎn)睛】本題考查利用坐標(biāo)法以及換元法求解最值,著重考查邏輯推理和運(yùn)算求解的能

力,屬于較難題

(D利用換元法求解最值時(shí)注意,換元后新元的取值范圍;

2tan—1-tan"—

(2)三角函數(shù)中的一組'‘萬能公式":sin<9=------%,cos0=----------

1+tan2—l+tan?一

22

7.(2021?上海高一單元測試)設(shè)數(shù)列{4}是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列,函數(shù)

/,(x)=|sin-(x-a?)|,xe[a,??1滿足:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)mG[0,1),f(x)=m總有

nn+1n

兩個(gè)不同的根,則J的通項(xiàng)公式是

n(n-l)7r

[答案]———

2

【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式和數(shù)列的遞推公式,可得

-4=〃%,再利用“累加”法和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,即可求解.

【詳解】由題意,因?yàn)?=0,當(dāng)〃=1時(shí),/(x)=|sinx|,x€[(),%],

又因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)me[0,1),力(x)=m總有兩個(gè)不同的根,所以4=乃,

所以<(x)=sinx,xe[0,捫,④=萬,

\\X

又上(入)=|5足5(工一〃2)1=|5訪5(工一兀)|=cos—[肛%],

對(duì)任意的實(shí)數(shù)相力*)二根總有兩個(gè)不同的根,所以火=3萬,

\\X

又力(x)=|sin§(x-a3)l=lsin5(x-3萬)|=cos-,xe[3^,a4],

對(duì)任意的實(shí)數(shù)力。)=%總有兩個(gè)不同的根,所以4=6萬,

由此可得見+i一?!?〃萬,

/、/、,/八〃(〃一1)%

卜力以Cln=q+(%—%)+,,?+(4〃—Q〃_1)=1+7T+?,,+(71—1)7T=--------,

所以4=幽”

故答案為止巫.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用,以及誘導(dǎo)公式,數(shù)列的遞推關(guān)系

式和“累加”方法等知識(shí)的綜合應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.

8.(2021?上海高一單元測試)已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù),且xVO時(shí),/(X)單

調(diào)遞增,已知/(-1)=0,設(shè)8(%)=5足2%+/^€?%-2,?7,集合

M=<w|對(duì)任意xw0仁,有g(shù)(x)V。},集合

N=</〃|對(duì)任意xe0,],有y[g(x)]vo},則Afp|N=.

【答案】(4-272,+oo)

【分析】由己知可得:x<-4時(shí),〃x)<0,0<x<lH't,/(x)<0,將/[g(x)]<0

轉(zhuǎn)化成g(x)<-1或0<g(x)<1,即可將McN轉(zhuǎn)化成:

71=1"2|對(duì)任意工£0,—,有g(shù)(x)<T},即可轉(zhuǎn)化成:-----<m

IL2」J12-cosx」1rax

對(duì)任意xe0,y成立,令r=2-cosx,整理得:一弓+[+4<m,再利用基本

-」L',」max

不等式即可得解.

【詳解】因?yàn)?(X)是定義在R上的奇函數(shù),XV0時(shí),/(力單調(diào)遞增,且/(-1)=0

所以x<-l時(shí),/(x)<0,0<x<l時(shí),/(x)<0,

所以/[g(x)]<。可化為:g(x)<T或0<g(x)<l,

所以集合N=<加|對(duì)任意xe0,y,有/'[g(x)]vO”可化為:

冗,

集合N=,/%|對(duì)任意%£0,—,有g(shù)(x)v-l或0vg(x)<l>,

-rjr1、

所以A/nN=A=<,川對(duì)任意xe0,—,有g(shù)(x)<-4>

即:si/x+mcosx—2加<一1對(duì)任意尤£°,,恒成立.

即:---------<加對(duì)彳王忘XE0,—怛成u,即:---------<m

2-COSXL2J12-COSX」max

G2

記y=41£21_£,令f=2-cosx,則f?L3],且cosx=2-r,代入得:

2-cosx

y=—1:+,+44—2后?+4=—2夜+4,當(dāng)且僅當(dāng)0時(shí),等號(hào)成立.

所以>皿=一2夜+4,

所以—2夜+4<M,

所以MPIN=(4—2及,+oo)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了奇函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,還考查了交集運(yùn)算及參變分

離法解決恒成立問題,還考查了換元法、轉(zhuǎn)化思想及利用基本不等式求最值,屬于難題.

9.(2021?上海高一單元測試)將函數(shù)/(x)=2sin2x的圖象向右平移9(0<夕<〃)個(gè)

單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,若對(duì)滿足|/(xj-g(x2)|=4的%、々,有歸一引的最小

值為=,則夕=______.

6

【答案】g或?qū)?/p>

33

【分析】先求解g(x)的解析式,根據(jù)|/(西)一8(/)|=4可知一個(gè)取得最大值一個(gè)是最小

值,不妨設(shè)/(石)取得最大值,g(w)取得最小值,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)|石-々|的最小

值為高,即可求解夕的值:

6

【詳解】山函數(shù)〃x)=2sin2x的圖象向右平移。,可得g(x)=2sin(2x—20)

不妨設(shè)/(石)取得最大值,g(£)取得最小值,

式3乃

2%|=—+2kjr,2x1—2(p―—F2k.兀,keZ.

可得2(菁_9)+20="

-xj的最小值為g,即%-馬=±g.

66

,71八

/.±一+2/=冗

,口冗42乃

得/=二或丁

33

故答案為王或多.

【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)y=Asin(@x+>)的解析式,函數(shù)y=Asin(&)x+。)的圖

象變換規(guī)律,屬于中檔題.

10.(2021?上海高一單元測試)已知函數(shù)

/(x)=5sin(2x—弓,xe[O,5句,若函數(shù)尸(x)=/(x)—3的所有零點(diǎn)依次

記為王,尤2,芻,…,X"且玉<七<…<X"T<X",riGN:若

83

玉+2x2+2X34---F2玉―2+2%7+xn=—7t,則。=.

【答案】]71

rrn0K7E

【詳解】由題意,令2x—。=2+攵肛左eZ,解得■#eZ.

2422

?.?函數(shù)/(x)的最小正周期為7=夸=萬,,x?O,5句

當(dāng)%=0時(shí),可得第一個(gè)對(duì)稱軸8=工+且,當(dāng)4=9時(shí),可得x="工+’<5".

4242

函數(shù)/(x)在[0,5句上有9條對(duì)稱軸

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知:函數(shù)/(x)=5sin(2x-6)與y=3的交點(diǎn)有9個(gè)點(diǎn),即

“十7te、”十3乃6,c,n6、

玉,工2關(guān)卜尤=不+,對(duì)稱,12,工3關(guān)于X="^+萬"對(duì)不小,…,即X]+元2=2x(W+5),

c3nc,17冗。\

x2+x3=2x(—+-),…,xn_]+xn=2x(-^—+—).

cccc83

%1+2%2+2/+???+2X〃_2+2x〃_]+Xn=71

.、尸e3九。177r0.83〃

..2x(—H--+—+—+…+---+—)=----

4242422

?“十

71

故答案為《.

點(diǎn)睛:本題考查了三角函數(shù)的零點(diǎn)問題,三角函數(shù)的考查重點(diǎn)是性質(zhì)的考查,比如周期

性,單調(diào)性,對(duì)稱性等,處理抽象的性質(zhì)最好的方法結(jié)合函數(shù)的圖象,本題解答的關(guān)鍵是

根據(jù)對(duì)稱性找到七1與五的數(shù)量關(guān)系,本題有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是,會(huì)算錯(cuò)定義域內(nèi)的交點(diǎn)的個(gè)

數(shù),這就需結(jié)合對(duì)稱軸和數(shù)列的相關(guān)知識(shí),防止出錯(cuò).

11.(2020?上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三期中)已知3,B,"是非零向量,|£-4=26,

(c-?)(c-ft)=-2,X為任意實(shí)數(shù),當(dāng)£-3與£的夾角為?時(shí),評(píng)砌的最小值是

【答案】;

【分析】設(shè)方=£,而="PC=C'c(x,y),利用口一4=26可以設(shè)4卜6,0)

8(60)利用僅一£)?伍詞=—2即可求出點(diǎn)0的軌跡為單位圓,p—砌=附+4司,

|c-A?|的最小值是點(diǎn)C到直線PA的距離,從而求得答案.

【詳解】設(shè)方=£,PB=b-PC=c^。(羽丁)

因?yàn)闅w一]=|百一麗卜|祠=26,

y

A(->/3,0),8(石,0),

因?yàn)椤?石與£的夾角為?,所以麗與兩夾角為工,所以N5AP=(,

所以|oR=|Q4|tan60'=3,所以P(-3,0),

因?yàn)閭鱛@}k_石)=_2得:所AC-BC=(無+g,y)?(x_b,y)=%2+y2_3=_2,

所以f+y2=i,所以點(diǎn)。的軌跡為單位圓,

|c-Aa|=|PC-APA|=|PC+AAP|

所以苗-/1£|的最小值是點(diǎn)C到直線PA的距離.

過點(diǎn)。作O”_LP4于點(diǎn)H,交單位圓于點(diǎn)G,

所以力”=色咽=回也,

△A",22

即典2=叵兩。叫,解得:|?!▅=3,

222

Q1

所以口_之@=\GH\^\OH\-\OG\=^-l=~,

故答案為:;

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的幾何意義,運(yùn)用坐標(biāo)法可以使向量問題更簡單,屬于難

題.

12.(2020?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中)在AABC中,BD^^DC,荏=麗,點(diǎn)尸

為△AOC內(nèi)(包括邊界)任意一點(diǎn),若麗=/1而+〃而,則4-2〃的取值范圍為

【答案】[-8,-1]

【分析】記麗=—2西,可得出喬=4麗—2〃方,設(shè)直線EF交BG于點(diǎn)N,設(shè)

_______EF\

EN=mEB+tiEG,證明出加+〃=1,設(shè)EF=&EN,可得出九一2〃=%=—扁,

一\E局P\'求出局\EP的\最大值和

然后過點(diǎn)F作BG的平行線交CE于點(diǎn)P,進(jìn)而得出攵

最小值,進(jìn)而可得出久-2幺的取值范圍.

【詳解】記而=一2而,從而麗=4麗+〃麗=4而一2M的,

在直線BG上任取一點(diǎn)N,設(shè)麗=加麗+〃旃,

由于麗〃的,則存在實(shí)數(shù)x,使得麗=》的,即麗一麗=x(函一函),

:.EN=(l-x)EB+xEG=niEB+nEG,則m+n=\—x+x=l,

設(shè)直線EE交直線BG于點(diǎn)N,過點(diǎn)F作直線BG的平行線交直線CE于點(diǎn)P,

\EF\\EP\____

則標(biāo)彳=向4,設(shè)EF=kEN,^\EP=kEM.

且彷=%函=4(加麗+〃的),EpAEB-2/JEG=kmEB+knEG,

___uuui4—kin.、

由于麗、EG不共線,則〈八,,:.九一2jLi=km+kn=k(m+n)=k,

—2〃=kn

一_.7\EP\

由于EP與.EM方向相反,則k<0且%=

\EM\

過點(diǎn)A作宜線BG的平行線交CE于點(diǎn)Q,

\EP\|EP||E4|

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí),此時(shí)局取得最小值,此時(shí)局=局

=1,即Amax=T

\EP\

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí),此時(shí)閾取得最大值,

設(shè)直線AQ交于點(diǎn)5,直線AQ交。G于點(diǎn)T,

易證AAET三ABEG,可得|EG|=|,

,ED=-2EG>可得|七。|=2|£6|=2|£71,所以,T為線段ED的中點(diǎn),

\DS\_\DT\_1

-.AS//BG,\BD\~\DG\~3

?.?麗=;嵐,則|£>C|=2忸=6|D5|,

取的中點(diǎn)U,連接UE,則UE〃AS,且忸U|=;忸必,從而依。|=8忸

幽幽

vAS//BG,則EU〃BG,所以,

\EM\\BU\

\EP\

所以’后的最大值為8,即端=.

綜上所述,4-2〃的取值范圍是卜8,—1].

故答案為:[-

【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的基本定理求含參代數(shù)式的取值范圍,考查了等和線性質(zhì)

的應(yīng)用,考查數(shù)形結(jié)合思想以及計(jì)算能力,屬于難題.

13.(2020?上海浦東新區(qū)?華師大二附中高二月考)已知點(diǎn)。在以。為圓心的圓弧A3

2—.—.—.

上運(yùn)動(dòng),且NA08=§萬,若OC=xQ4+yO3,則2x+3y的取值范圍為.

【答案】[2,2咨]

【分析】設(shè)刀為直角坐標(biāo)系的X軸,建立平面直角坐標(biāo)系.記反與函夾角為

0\0<0<^\,求出三個(gè)向量坐標(biāo),進(jìn)而利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,可得到

2x+3y=Z字sin(。+夕)(其中tane=乎),結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得答案.

【詳解】設(shè)方為直角坐標(biāo)系的x軸,建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示,記說與礪夾角

為《0"嚀)

則反=(cose,sin。),函=(1,0),礪=,代入4=》礪+),而,有

<227

(y百/

(cos0,sin0)=(x,0)+,——-,

I22J

.ya上y.Q.百?c,a26.aI1

??x--=cost/,———=sin6/,??x=——sin6/+cost/,y=----sine/?U

2233

2尤+3y=2^7sin(6+e)(其中tan(p=

),

0?。4—°?。+°S-^-+°,而sin(p=,sin[0+2萬)3757V57

->-

338lF'

當(dāng)6+0=工時(shí),2x+3y取最大值宜豆,當(dāng)6+。=。,即。=0時(shí),2x+3y取最小值

23

2,

2x+3y的取值范圍為[2,

【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性關(guān)系,運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換和性質(zhì)求最值,關(guān)鍵在于建立

合適的平面直角坐標(biāo)系,將所求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù),屬于中檔題.

14.(2019?上海市建平中學(xué)高二期中)設(shè)復(fù)數(shù)4=-l—i,Z2=3+3i,若

z=&sin6+i(亞cos6+2),6wR,則|z-zj+|z—的最小值為.

【答案】4&

【分析】根據(jù)題意,將|z-zj+|z-z2|轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離公式,求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,可

知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓.再由點(diǎn)到直線距離公式可判定圓與兩個(gè)定點(diǎn)形成的直線相切,進(jìn)而

可知兩點(diǎn)間距離即為|z-zJ+|z-Z2|的最小值.

【詳解】因?yàn)?=一1一八Z2=3+3i,z=0sin9+i(J^cos9+2)

則|z-zj+jz—z2]

=|(&sine+l)+(亞cos6+3)+sin6-3)+(痣cos。一1計(jì)

=J(瓜ne+iy+(0cos8+3『+J(&sin夕一3『+(夜cos8-

設(shè)4(—1,—3),8(3,1),P(夜sin。,及cos。),OeR,

由參數(shù)方程可知,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為/+V=2

所以上一馬|+,一22|表示點(diǎn)A與點(diǎn)B到圓V+y2=2上任意一點(diǎn)的距離之和

設(shè)直線A6的方程為y=依+/代入4(-1,一3),B(3,l)可得

-4=-"+hk=T

1=35'解方程可得

0=—2

所以直線A3的方程為x-y-2=0

|-2|p-

圓心(0,0)到直線A8的距離為d=-J===V2

因?yàn)閐=r=5/2

所以直線AB與圓相切,設(shè)切點(diǎn)為M

則當(dāng)P與M重合時(shí),|AP|+忸P|取得最小值

所以(卜-小2-22%="+忸”=/

=7(3+1)2+(1+3)2=472

故答案為4夜

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義,將模長轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離公式,利用數(shù)形結(jié)合的思想

解決最短距離,屬于中檔題.

15.(2020?全國高一課時(shí)練習(xí))(后一if“、.

【答案】-2237(l+6i)

【分析】利用("+1丫=8,(行1)(6二)(后-1)].即得解.

【詳解】/_「/1)(盤)(61)『:盧即")

''V3i-1V3i-1(V3i-l)(V3i+l)

二巴等U叫+網(wǎng)

故答案為:—2237(1+

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的事指數(shù)運(yùn)算,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于

中檔題.

三、解答題

16.(2021?上海高一單元測試)用a,Ac分別表示AA6c的三個(gè)內(nèi)角A3,C所對(duì)邊的邊

長,R表示AABC的外接圓半徑.

(1)A=2,a=2,B=45。,求A3的長;

(2)在AAbC中,若NC是鈍角,求證:a2+b2<4/?2;

(3)給定三個(gè)正實(shí)數(shù)其中hVa,問滿足怎樣的關(guān)系時(shí)?,以。功為邊長,

R為外接圓半徑的△ABC不存在,存在一個(gè)或存在兩個(gè)(全等的三角形算作同一個(gè))?

在△MC存在的情況下,用a,"A表示

【答案】(1)c=娓+近(2)見解析(3)見解析

【分析】(1)先根據(jù)正弦定理得力,再根據(jù)余弦定理求A8的長;

(2)先根據(jù)余弦定理得M+kcc?,再根據(jù)正弦定理放縮證明結(jié)果;

(3)先根據(jù)正弦定理討論三角形解的個(gè)數(shù),再根據(jù)余弦定理求仁

【詳解】(1)由正弦定理得人=2/?sin8=2x2x注=2&

2

所以/=a2+c2-2accos—8=4+c2-2\/2c/.c-V6+y/2(負(fù)舍);

4

(2)因?yàn)椤?+。2一。2=2a〃cosC,NC是鈍角,

所以〃+。2一。2<。.癥+/<c2=(2RsinC)2<(2R)2=4R2

22

因此/+b<4/?;

(3)當(dāng)時(shí),AABC不存在,

當(dāng)a>2R>。時(shí),AABC不存在,

當(dāng)a=2R>。時(shí),存在一個(gè)△ABC,此時(shí)A=工,c=二P'

2

當(dāng)2A>a=b時(shí),存在一個(gè)△ABC,

此時(shí)c=2acosB=2aV1-sin2B=2tzjl-=2ajl一,

當(dāng)2R>a>b時(shí),存在兩個(gè)△ABC,

cosC=一cos(A+3)=sinAsin8-cosAcosB

當(dāng)A為銳角時(shí),

cosC=sinAsin8-Jl-sin2Ajl-sin2B=———

2R2RV4/?2V4H2

r-27~2,77I212n>—y]4R"—(2~yl4/?"—b'

c=\a~+b'-labcosC=da2+b~-lab-------------------------------

\4R2

=]?①砌"-J4H2-a力4R2_白]

-v+2F

當(dāng)A為鈍角時(shí),

cosC-sinAsinB+Jl-sin?/ijl-sin?Bahf

2R2R+yl一幫1-4F

I~2~2~~~I2ic,ab+74R--a~\J4-R~—h~

c=\a"+h"-labcosC=Ja-+-lab------------;---------

V4R2

(2?、ab[ab+d4R2-7“心—H]

=V+市

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用,考查綜合分析論證與求解能力,屬較難

題.

17.(2021?上海高一專題練習(xí))對(duì)于定義域?yàn)?的函數(shù)y=/(x),部分x與>的對(duì)應(yīng)關(guān)

系如表:

X-2-1012345

y02320-102

(1)求/{/[/(O)]}:

(2)數(shù)列{玉}滿足玉=2,且對(duì)任意〃wN*,點(diǎn)(x“,X"+i)都在函數(shù)y=/(x)的圖象

上,求玉+々+巧+....+七”

(3)若y=/(%)=Asin(0x+0)+h,其中24>0,0</<肛0<0<乃,0<人<3,求此

函數(shù)的解析式,并求/(1)+/(2)+???+f(3n)(neN*).

【答案】(1)2;(2)4〃;(3)見解析

【分析】(1)由內(nèi)往外計(jì)算即可;

(2)由已知,通過計(jì)算易得數(shù)列{玉}是以4為周期的周期數(shù)列,先計(jì)算%+々+%+匕

的值,利用玉+電+x3+.......+x4ll=n(%+々+W+X4)即可得到答案;

(3)代入表中數(shù)據(jù)即可得到y(tǒng)=/(x)的解析式,再分〃為奇數(shù)、偶數(shù)討論求和即司;

【詳解】(1)由表中數(shù)據(jù)可得/{/"(0)]}=/(/(3))=/(-1)=2.

(2)玉=2,由于x“+|=/'(無“),則々=/(%)=/(2)=0,七=/(工2)=/(0)=3,

%4=/(工3)=/(3)=-1,%5=/'(匕)=/'(-1)=2,所以玉=毛,…,依次遞推可得數(shù)列

卜“}的周期為4,又玉+X2+X3+X4=4,所以玉+々+£+....+.,=4〃.

/(-I)=2

/⑴=2

(3)山題意得《,山/(-1)=/'(I),得sin(<w+°)=sin(-<y+Q),即

/(0)=3

/(2)=0

sin(ycos^=0,又0<啰(不,則sin。。。,從而cose=0,而0<。<萬,所以

f(0)=A+b=3

Acosco+3-A=2

(p=—,故,/(2)=Acos2a)+b=0,消b,得,

2A(2cos2<y-l)+3-A=0

f(i)-Acosa)+h-2

所以2A2-4A+2-2A2+3A=0,解得A=2,6=l,cos<y=!,又0<。<乃,

2

兀jrjrjr

所以<y=§,所以/(x)=2sin(y%+—)+1=2cosyx+l,

此函數(shù)有最小正周期6,且/(6)=/(0)=3,

/(D+/(2)+”3)+/(4)+/(5)+/(6)=6,

當(dāng)〃=2左,左eN*時(shí),/(I)+/(2)+-??+/(3n)=

/(l)+/(2)+L+/(6^)=^[/(l)+/(2)+L+/(6)]=6Z=3〃;

當(dāng)〃=2%—1,左eN*時(shí),/(1)+/(2)4-----1-f(3n)=

/(D+/(2)+L+f(6k)-f(6k-2)-f(6k-1)-f(6k)=M/(l)+/(2)+L+/(6)]-5

=6k-5=3”-2.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用,涉及到求三角函數(shù)的解析式、周期數(shù)列的

和,是一道中檔題.

18.(2021?上海高一單元測試)設(shè)函數(shù)

f(x)=5cos8sinx—5sin(x-6)+(4tan8—3)sinx-5sin8為偶函數(shù).

(1)求tan。的值:

(2)若/(x)的最小值為-6,求Ax)的最大值及此時(shí)x的取值;

(3)在(2)的條件下,設(shè)函數(shù)g(x)=X/(s)-/+其中2>0,0>0.已知

y=g(x)在x=£處取得最小值并且點(diǎn)(竺,3-3/l]是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,試求

2+。的最小值.

3

【答案】(1)-;(2)最大值為0,此時(shí)x的取值為x=2br,左@Z;(3)6+7

4

【分析】(1)根據(jù)/(幻是偶函數(shù),轉(zhuǎn)化為(4tan6—3)sinx=0對(duì)一切xeR恒成立求

解.

(2)由(1)得到/(x)=5sin(9(cosx-l),根據(jù)/(x)最小值為一6,則cosx=-l,

3

得到sin,=],然后再求最大值.

TT

(3)由(2)得到g(x)=3/lcos<yx-3>l+3sin0x+3,根據(jù)8(%)在*="處取最小

6

值,點(diǎn)(與’3-3九)是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,,由8(-?)=8(^]=3-3;1求解.

【詳解】

(1)因?yàn)?(x)=5cosxsine+(4tan8-3)sinx-5sine,f(x)是偶函數(shù),

所以(4tan(9-3)sinx=0對(duì)一切xeR恒成立,

3

所以tan6=—.

4

(2)由(1)知/(x)=5sin6(cos尤-1),

因?yàn)槠渥钚≈禐?6,

3

所以sin^=—,cosx=-l,

所以/(x)=3(cosx-1),

當(dāng)8sx=1時(shí),f(x)取得最大值0,此時(shí)x=2匕T,ZGZ;

(3)由⑵知:g(X)=/l/(3X)-/(3X+J|),

=32cos3/1-3cosa>x+—+3,

I2

=3Acosiox+3sin+3-3/1,

TT-^-,3-321是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心,

因?yàn)間(x)在冗=二處取最小值,目一點(diǎn)

6

cc23nc.2(071八

32cos------b3sm-------=0,

33

4,CO7T,10)71,(.2Gt,,0)71,2(071

所以%=tan----=-tan------=tanKTT-------,則-----=k兀--------,

33I3J33

即<y=A(kGZ),

又因?yàn)?>0,。>0,

所以/tan等…年=60=3/-2(/eN*),

當(dāng)G=1時(shí),^(x)=3>/3cosx+3sinx+3-373=6sinx+—1+3-3石,

g(§=6sin仁+(卜3-36=9一3百,g。)在片高處取得最大值,不符合題意;

當(dāng)勿=4時(shí),g(x)=3百cos4x+3sin4x+3-3百=6sin(4x+q)+3-3省,

g(令=6sin[4x^+q)+3-30=3-3月,g(x)在x=^■取不到最小值,,不符合

題意;

當(dāng)①=7時(shí),g(x)=3百cos7x+3sin7x+3-3\/^=6sin(7x+^)+3—3百,

^(^-)=6sin^7x^4-yj+3-3V3=-3-3>/3,g(x)在工=7處取得最小值,

g(-^-)=6sin(7x?-+1]+3-36二3-3百,g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(羊,3-36)中

心對(duì)稱,

所以4+G的最小值為y/3+7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于難題.

1T

19.(2020?徐匯區(qū)?上海中學(xué)高二期中)如圖,Z.xOy=—,定義平面坐標(biāo)系為仿

射坐標(biāo)系,在該仿射坐標(biāo)系中,任意一點(diǎn)P的斜坐標(biāo)這樣定義:[、或分別為與x軸、y

umiuLI

軸正方向同向的單位向量,若。P=xq+ye?。/eR),則規(guī)定點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(x,y).

(1)求以。為圓心,半徑為1的圓在該仿射坐標(biāo)系中的方程;

(2)已知點(diǎn)A的斜坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)8的斜坐標(biāo)為(—2,0),求直線AB在該仿射坐標(biāo)系中

的方程.

【答案】(1)x2+y2+xy-\=0;(2)2x—3y+4=0

【分析】(1)先設(shè)出直角坐標(biāo)卜沿%軸,V軸的方向向量,再根據(jù)仿射坐標(biāo)系的定義,寫

出OP.轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo),并利用坐標(biāo)變換以及圓在直角坐標(biāo)下的方程即可求出;

(2)利用向量共線即可求出.

【詳解】解:(1)設(shè)在直角坐標(biāo)系下,沿x軸,V軸的方向向量分別為

7T

又???在仿射坐標(biāo)系中,ZxOy=-f

3

e、=i,e2

22

又?.?OP=

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