2024八年級數(shù)學(xué)上冊階段專訓(xùn)第2招因式分解中的創(chuàng)新題習(xí)題課件魯教版五四制

魯教版八年級上第2招因式分解中的創(chuàng)新題

應(yīng)用情境題1.

[新考向·身邊的數(shù)學(xué)]小南是一位密碼編譯愛好者，在他的

密碼手冊中有這樣一條信息：

a

－

b

，

x

－1，3，

x2＋1，

a

，

x

＋1分別對應(yīng)下列六個(gè)字：

“你”“愛”“中”“數(shù)”“學(xué)”“國”，現(xiàn)將3

a

(

x2－

1)－3

b

(

x2－1)因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是

(

D

)123456789101112A.

你愛數(shù)學(xué)B.

你愛學(xué)C.

愛中國D.

中國愛你【點(diǎn)撥】3

a

(

x2－1)－3

b

(

x2－1)＝3(

x2－1)(

a

－

b

)＝3(

x

＋1)(

x

－1)(

a

－

b

).D∵3對應(yīng)“中”，

x

＋1對應(yīng)“國”，

x

－1對應(yīng)

“愛”，

a

－

b

對應(yīng)“你”，∴結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是中國愛你.【答案】1234567891011122.

八年級(1)班實(shí)行高效課堂教學(xué)，四人一組，每做對一道

題得0.5分，每做錯(cuò)一道題得0分，“奮斗組”的四名同學(xué)

做了四道因式分解題，甲：

x2－4

x

＋4＝(

x

－2)2，乙：

x2

－9＝(

x

－3)2，丙：2

x2－8

x

＋2

x

＝2

x

(

x

－4)，丁：

x2

＋6

x

＋5＝(

x

＋1)(

x

＋5).則“奮斗組”得(

B

)A.0.5分B.1分C.1.5分D.2分B1234567891011123.

在學(xué)習(xí)了因式分解后，勤奮的琪琪同學(xué)通過課余時(shí)間對因

式分解的其他方法進(jìn)行了探究，如：分解因式

x2－3

x

－

4.設(shè)

x2－3

x

－4＝(

x

＋

a

)(

x

＋

b

)(

a

≤

b

)，利用多項(xiàng)式相

等得

a

＝－4，

b

＝1，故

x2－3

x

－4可分解為(

x

－4)·(

x

＋

1).此時(shí)，我們就說多項(xiàng)式

x2－3

x

－4既能被

x

－4整除，

也能被

x

＋1整除.根據(jù)上述方法，下列說法正確的個(gè)數(shù)為

(

D

)123456789101112①

x2＋3

x

＋2能被

x

＋1整除；②若

x2－4

x

－5能被

x

＋

a

整除，則

a

＝1或

a

＝－5；③若

x3＋

ax2＋

bx

－3能被

x2＋2

x

＋3整除，則

a

＝1，

b

＝1.A.0B.1C.2D.3123456789101112【點(diǎn)撥】因?yàn)?/p>

x2＋3

x

＋2＝(

x

＋1)(

x

＋2)，所以

x2＋3

x

＋2能被

x

＋1整除.故①正確.因?yàn)?/p>

x2－4

x

－5＝(

x

＋1)(

x

－5)，且

x2－4

x

－5能被

x

＋

a

整除，所以

x

＋1＝

x

＋

a

或

x

－5＝

x

＋

a

，所以

a

＝1或

a

＝－5.故②正確.因?yàn)?/p>

x3＋

ax2＋

bx

－3能被

x2＋2

x

＋3整除，123456789101112所以將整式

x3＋

ax2＋

bx

－3因式分解后，有一個(gè)因

式為

x2＋2

x

＋3，令

x3＋

ax2＋

bx

－3＝(

x

＋

c

)(

x2＋2

x

＋3)，則

x3＋

ax2＋

bx

－3＝

x3＋(

c

＋2)

x2＋(2

c

＋3)

x

＋3

c

，

D【答案】1234567891011124.

[新考向·身邊的數(shù)學(xué)]現(xiàn)在人們生活已經(jīng)離不開密碼，如取

款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的

密碼，方便記憶.原理是：如對多項(xiàng)式

x4－

y4因式分解的

結(jié)果是(

x

－

y

)·(

x

＋

y

)(

x2＋

y2)，若取

x

＝8，

y

＝8，則各

個(gè)因式的值是

x

－

y

＝0，

x

＋

y

＝16，

x2＋

y2＝128，把這

些值從小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”

作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對于多項(xiàng)式8

x3－2

xy2，當(dāng)

x

＝

9，

y

＝2時(shí)，請你寫出用上述方法產(chǎn)生的密

碼：

?.161820

123456789101112【點(diǎn)撥】8

x3－2

xy2＝2

x

(4

x2－

y2)＝2

x

(2

x

－

y

)(2

x

＋

y

)，當(dāng)

x

＝9，

y

＝2時(shí)，2

x

＝18，2

x

－

y

＝18－2＝16，2

x

＋

y

＝18＋2＝

20，把這些值從小到大排列得到161820.1234567891011125.

有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕的A區(qū)就會自動(dòng)加上

a2，同時(shí)B區(qū)就會自動(dòng)減去3

a

，且均顯示化簡后的結(jié)果.

已知A，B兩區(qū)初始顯示的分別是25和－16.如圖，第一次按鍵后，A，B兩區(qū)分別顯示：(1)從初始狀態(tài)按2次后，分別求A，B兩區(qū)顯示的結(jié)果.【解】A區(qū)顯示的結(jié)果為25＋2

a2，B區(qū)顯

示的結(jié)果為－16－6

a

.123456789101112(2)從初始狀態(tài)按4次后，計(jì)算A，B兩區(qū)式子的和，這個(gè)和

可能為負(fù)數(shù)嗎？說明理由.【解】從初始狀態(tài)按4次后，A區(qū)顯示的結(jié)果為25＋4

a2，B區(qū)顯示的結(jié)果為－16－12

a

，∴25＋4

a2＋(－16－12

a

)＝25＋4

a2－16－12

a

＝4

a2－12

a

＋9＝(2

a

－3)2.這個(gè)和不可能為負(fù)數(shù).理由如下：∵(2

a

－3)2≥0，∴這個(gè)和不可能為負(fù)數(shù).123456789101112

新定義題6.

對于實(shí)數(shù)

a

，

b

，現(xiàn)用“☆”定義新運(yùn)算：

a

☆

b

＝

a3－

ab

，那么將多項(xiàng)式

a

☆4因式分解，其結(jié)果為(

A

)A.

a

(

a

＋2)(

a

－2)B.

a

(

a

＋4)(

a

－4)C.(

a

＋4)(

a

－4)D.

a

(

a2＋4)【點(diǎn)撥】

a

☆4＝

a3－4

a

＝

a

(

a2－4)＝

a

(

a

＋2)(

a

－2).A1234567891011127.

規(guī)定新運(yùn)算：

a

⊕

b

＝3

a

－2

b

，若

a

＝

x2＋2

xy

，

b

＝3

xy

＋6

y2，則把

a

⊕

b

因式分解的結(jié)果是(

A

)A.3(

x

＋2

y

)(

x

－2

y

)B.3(

x

－2

y

)2C.3(

x2－4

y2)D.3(

x

＋4

y

)(

x

－4

y

)【點(diǎn)撥】∵

a

＝

x2＋2

xy

，

b

＝3

xy

＋6

y2，∴

a

⊕

b

＝3(

x2＋2

xy

)－2(3

xy

＋6

y2)＝3

x2＋6

xy

－6

xy

－12

y2＝3

x2－12

y2＝3(

x2－4

y2)＝3(

x

＋2

y

)(

x

－2

y

).A1234567891011128.

對于實(shí)數(shù)

a

，

b

，

表示運(yùn)算2

a

＋

b

.如

＝2×1＋3＝5；

＝2×2＋(－5)＝－1.123456789101112(1)列式計(jì)算：①

；②

.

123456789101112(2)將式子

分解因式.【解】原式＝4

ax2－2

ax

＋

a

－2

ax

＝

a

(4

x2－4

x

＋1)＝

a

(2

x

－1)2.123456789101112

圖形拼組題9.

如圖①，邊長為

a

的大正方形中有一個(gè)邊長為

b

的小正方

形(

a

＞

b

)，圖②是由圖①中陰影部分拼成的一個(gè)長方形.123456789101112(1)觀察圖①②，當(dāng)用不同的方法表示圖形中陰影部分的

面積時(shí)，可以獲得一個(gè)因式分解公式，則這個(gè)公式

是

?；a2－

b2＝(

a

＋

b

)(

a

－

b

)

123456789101112(2)如果大正方形的邊長

a

比小正方形的邊長

b

多3，它們

的面積相差57，試?yán)?1)中的公式，求

a

，

b

的值.

123456789101112

規(guī)律探究題10.

[母題·教材P18復(fù)習(xí)題T14·2023·嘉興]觀察下面的等式：

32－12＝8×1，52－32＝8×2，72－52＝8×3，92－72＝

8×4，….(1)嘗試：132－112＝8×

?；(2)歸納：(2

n

＋1)2－(2

n

－1)2＝8×

(用含

n

的代數(shù)

式表示，

n

為正整數(shù))；6

n

123456789101112(3)推理：運(yùn)用所學(xué)知識，推理說明你歸納的結(jié)論是

正確的.【解】(2

n

＋1)2－(2

n

－1)2＝(2

n

＋1＋2

n

－1)(2

n

＋1－2

n

＋1)＝4

n

×2＝8

n

.12345678910111211.

觀察下列式子的因式分解做法：①

x2－1＝(

x

－1)(

x

＋1)；②

x3－1＝

x3－

x

＋

x

－1＝

x

(

x2－1)＋(

x

－1)＝(

x

－

1)(

x2＋

x

＋1)；③

x4－1＝

x4－

x

＋

x

－1＝

x

(

x3－1)＋(

x

－1)＝(

x

－

1)(

x3＋

x2＋

x

＋1)；……123456789101112(1)模仿上述做法，嘗試對

x5－1進(jìn)行因式分解；(2)觀察以上結(jié)果，猜想：

xn

－1＝