八年級(jí)期末真題3

八年級(jí)上期末真題精選【考題猜想，易錯(cuò)75題31個(gè)考點(diǎn)專練】一、全等三角形的性質(zhì)（共2小題）1．（2022遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，如果△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D，對(duì)于以下結(jié)論：①AB與CD是對(duì)應(yīng)邊；②AC與CA是對(duì)應(yīng)邊；③點(diǎn)A與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；④點(diǎn)C與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；⑤∠ACB與∠CAD是對(duì)應(yīng)角，其中正確的是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等對(duì)以下結(jié)論進(jìn)行判定．【詳解】解：△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，∠B=∠D．①AB與CD是對(duì)應(yīng)邊．故①正確；②AC與CA是對(duì)應(yīng)邊．故②正確；③點(diǎn)A與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．故③錯(cuò)誤；④點(diǎn)C與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)．故④錯(cuò)誤；⑤∠ACB與∠CAD是對(duì)應(yīng)角．故⑤正確．綜上所述，正確的結(jié)論是①②⑤，共有3個(gè)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)．解題時(shí)應(yīng)注重識(shí)別全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角．2．（2023下·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知△OAB≌△OA1B1，AB與A1O交于點(diǎn)C，AB與

A．∠A=∠A1 B．AC=CO C．OB=OB【答案】B【分析】由△OAB≌△OA1B1可得選項(xiàng)A、C是正確的，再利用外角的性質(zhì)可得【詳解】解：∵△OAB≌△OA∴∠A=∠A1，OB=OB∵∠A∴∠A1DC=∠AOC∵A1B1∴∠A∴AC≠CO，故B錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、運(yùn)用全等三角形證明線段或角相等（共3小題）1．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一直線上，AB∥DE，∠B=∠E，BC=EF．求證：AD=CF．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)AB∥DE，可得∠A=∠EDF，根據(jù)AAS證明△ABC≌△DEF，進(jìn)而可得AC=DF，根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解．【詳解】證明：∵AB∥DE，∴∠A=∠EDF，在△ABC與△DEF中，∠A=∠EDF∠B=∠E∴△ABC≌△DEFAAS∴AC=DF，∴AC-DC=DF-DC，∴AD=CF．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．（2020·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求證：AB=CD．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】根據(jù)AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，可以得到∠ABC=∠CDE=∠ACB=90°，∠ACB+∠ECD=90°，∠ECD+∠CED=90°，從而有∠ACB=∠CED，可以驗(yàn)證ΔABC和【詳解】證明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE∴∠ABC=∠CDE=∠ACB=∴∠ACB+∠ECD=90°∴∠ACB=∠CED在ΔABC和ΔCDE中∠ACB=∠CED∴ΔABC≌ΔCDE故AB=CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，利用角邊角判定三角形全等，其中找到兩兩互余的角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求證：∠A＝∠D．【答案】見(jiàn)解析【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再結(jié)合AB＝DC，∠B＝∠C可證得△ABF≌△DCE，問(wèn)題得證．【詳解】解∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．在△ABF和△DCE中，AB=DC∠B=∠C∴△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，是中考中比較常見(jiàn)的知識(shí)點(diǎn)，一般難度不大，需熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．三、運(yùn)用全等三角形證明線段之間的數(shù)量或位置關(guān)系（共3小題）1．（2022·河北承德·統(tǒng)考二模）如圖，BD=BC，點(diǎn)E在BC上，且BE=AC，DE=AB．(1)求證：△ABC≌△EDB；(2)判斷AC和BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AC∥BD，理由見(jiàn)解析【分析】（1）運(yùn)用SSS證明即可；（2）由（1）得∠DBE=∠BCA，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得結(jié)論．【詳解】（1）在ΔABC和ΔBD=BCBE=AC∴ΔABC?ΔEDB(（2）AC和BD的位置關(guān)系是AC∥BD，理由如下：∵Δ∴∠DBE=∠BCA，∴AC∥BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ΔABC中．AD是BC邊上的中線，交BC于點(diǎn)D．(1)如圖①，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．求證：ΔACD≌ΔEBD(2)如圖②，若∠BAC=90°，試探究AD與BC有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖③，若CE是邊AB上的中線，且CE交AD于點(diǎn)O．請(qǐng)你猜想線段AO與OD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AD=12(3)AO=2OD，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用SAS可得ΔACD≌ΔEBD；（2）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．先根據(jù)△ACD≌△EBD證得∠C=∠CBE，AC=BE，進(jìn)而得到AC∥EB，AD=12AE；再證得△ABC≌△BAE（（3）延長(zhǎng)OE到點(diǎn)M，使EM=OE，連接AM．延長(zhǎng)OD到點(diǎn)N，使DN=OD，連接BM，BN，BO．證得△MOB≌△NBO(ASA)可得MB=NO，進(jìn)而得到AO=2OD．【詳解】（1）證明：在△ACD和△EBD中，DA=DE∴△ACD≌△EBD（SAS）；（2）解：AD=12延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．如圖由（1）得△ACD≌△EBD∴∠C=∠CBE，AC=BE∴AC∥EB，AD=1∴∠BAC+∠ABE=180°，∵∠BAC=90°，∴∠ABE=90°，∴∠BAC=∠ABE在△ABC和△BAE中AC=BE∴△ABC≌△BAE（SAS）∴BC=AE，∴AD=1（3）AO=2OD，理由如下：解：延長(zhǎng)OE到點(diǎn)M，使EM=OE，連接AM．延長(zhǎng)OD到點(diǎn)N，使DN=OD，連接BM，BN，BO．如圖，由（1）得△AOE≌△BME，△ODC≌△NDB∴∠AOE=∠BME，∠OCD=∠NBD，AO=BM∴AO∥BM，OC∥NB，∴∠MBO=∠BON，∠MOB=∠NBO在△MOB和△NBO中∠MBO=∠BONOB=OB∠MOB=∠NBO∴△MOB≌△NBO(ASA)∴MB=NO∴AO=2OD【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中線，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．將一個(gè)含45°角的直角三角尺DEF按圖所示放置，使直角三角尺的直角頂點(diǎn)D恰好落在BC邊的中點(diǎn)處．將直角三角尺DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，設(shè)AB交DF于點(diǎn)N，AC交DE于點(diǎn)M，示意圖如圖所示．(1)【證明推斷】求證：DN=DM；小明給出的思路：若要證明DN=DM，只需證明△BDN≌△ADM即可．請(qǐng)你根據(jù)小明的思路完成證明過(guò)程；(2)【延伸發(fā)現(xiàn)】連接AE，BF，如圖所示，求證：AE=BF；(3)【遷移應(yīng)用】延長(zhǎng)EA交DF于點(diǎn)P，交BF于點(diǎn)Q．在圖中完成如上作圖過(guò)程，猜想并證明AE和BF的位置關(guān)系．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)AE⊥BF，見(jiàn)解析【分析】（1）在△ABC中，根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，得出AD=BD=BC2，由AD⊥BC，△DEF是直角三角尺，得出∠EDF=90°，從而得到∠BDN=∠ADM，在△BDN和△ADM中，立即證明全等，由性質(zhì)即可解答（2）根據(jù)△BDN≌△ADM，得出BN=AM，∠BND=∠AMD，DN=DM，從而得到∠BNF=∠AME，由于△DEF是含45°直角三角尺，推出FN=EM，利用SAS即可證明△BNF和△AME全等，從而求解；（3）猜想：AE⊥BF，理由：根據(jù)△BNF≌△AME和∠FDE=90°，得出∠AEM+∠APD=90°，又根據(jù)∠APD=∠FPQ，等量代換得到∠FQP=90°從而證明．【詳解】（1）證明：在△ABC中，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，又∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD=BD=BC2，且AD⊥BC∴∠ADN+∠BDN=90°，又∵△DEF是直角三角尺，∴∠EDF=90°，即∠ADN+∠ADM=90°，∴∠BDN=∠ADM在△BDN和△ADM中∠B=∠DAM=45°∴△BDN≌△ADM，∴DN=DM；（2）證明：∵△BDN≌△ADM∴BN=AM，∠BND=∠AMD，DN=DM∴∠BNF=∠AME，且由于△DEF是含45°直角三角尺，∴DF=DE，∴DF-DN=DE-DM即FN=EM在△BNF和△AME中BN=AM∴△BNF≌△AME，∴AE=BF；（3）解：作圖正確（如圖所示）猜想：AE⊥BF，理由如下：∵△BNF≌△AME，∴∠BFN=∠AEM，∵∠FDE=90°，∴∠AEM+∠APD=90°又∵∠APD=∠FPQ，∴∠FPQ+∠BFN=90°，∴∠FQP=90°，∴AE⊥BF．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角尺的特征、全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形全等的判定及性質(zhì)．四、折疊問(wèn)題（共2小題）1．（2023上·河北唐山·八年級(jí)唐山市第十二中學(xué)?？计谀┤鐖D，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A=α，∠CEA'=β，∠BDA'A．γ=2β+α B．γ=2α+β C．γ=2α+2β D．γ=α+β【答案】B【分析】設(shè)AC,A'D交于點(diǎn)F，由折疊得：∠A=∠【詳解】解：如圖所示，設(shè)AC,A'D由折疊得：∠A=∠A∵∠BDA∵∠A=α，∴∠BDA故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，折疊問(wèn)題，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一張四邊形紙片ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)D恰好落在邊AB的中點(diǎn)處．設(shè)S1，S2分別為△ADC和△ABC的面積，S1和SA．S1=13S2 B．S【答案】B【分析】由折疊可知△ADC≌△AD'C，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可知△AD'C的面積和△BD'C的面積相等，進(jìn)而求出S1與S【詳解】解：∵由折疊可知△ADC≌△AD'C∴S∵點(diǎn)D'恰好是AB的中點(diǎn)∴S∵△ADC的面積為S1，△ABC的面積是∴S【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，找出各個(gè)三角形的面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．五、車牌號(hào)碼的鏡面對(duì)稱問(wèn)題（共2小題）1．（2023下·江西新余·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面鏡中看到一輛汽車的車牌號(hào)：

，則該汽車的車牌號(hào)是．【答案】M【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．【詳解】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱性質(zhì)得出：實(shí)際車牌號(hào)是：M645379故答案為：M645379【點(diǎn)睛】本題考查了鏡面反射的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到對(duì)稱軸，進(jìn)而得到相應(yīng)數(shù)字．2．（2022下·山西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一輛汽車的牌號(hào)在水中的倒影如圖所示，則這輛汽車的牌號(hào)應(yīng)為．【答案】W17906【分析】由題意得所求的牌照與看到的牌照關(guān)于水面成軸對(duì)稱，作出相應(yīng)圖形即可求解．【詳解】解：如圖所示：所以這輛汽車的牌號(hào)應(yīng)為W17906.六、鐘表鏡面對(duì)稱問(wèn)題（共2小題）1．（2022上·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)階段練習(xí)）小杰從鏡子中看到電子鐘的示數(shù)如圖所示，那么此時(shí)實(shí)際時(shí)間是．【答案】21：05【分析】鏡子中看到的數(shù)字與實(shí)際數(shù)字是關(guān)于鏡面成垂直的線對(duì)稱，在鏡子出現(xiàn)的2實(shí)際應(yīng)是5，在鏡子出現(xiàn)的5，實(shí)際應(yīng)是2．【詳解】解：此時(shí)實(shí)際時(shí)間是21：05．故答案為：21：05．【點(diǎn)睛】關(guān)于鏡面對(duì)稱，也可以看成是關(guān)于數(shù)字右邊某條垂直的直線對(duì)稱．2．（2021上·安徽淮北·八年級(jí)淮北市第二中學(xué)?？计谀┬∶髟阽R中看到身后墻上的時(shí)鐘，實(shí)際時(shí)間最接近8時(shí)的是下圖中的（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解．【詳解】解：8點(diǎn)的時(shí)鐘，在鏡子里看起來(lái)應(yīng)該是4點(diǎn)，所以最接近8點(diǎn)的時(shí)間在鏡子里看起來(lái)就更接近4點(diǎn)，所以應(yīng)該是圖C所示，最接近8點(diǎn)時(shí)間．故選C．【點(diǎn)睛】主要考查鏡面對(duì)稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．七、畫軸對(duì)稱圖形（共2小題）1．（2020上·廣東廣州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的正方形中，點(diǎn)A，B，C在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的△(2)三角形ABC的面積為；(3)在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB的長(zhǎng)最短．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)12.5(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的點(diǎn)A'、B'、（2）利用△ABC所在的矩形的面積減去四周三個(gè)小直角三角形的面積，列式計(jì)算即可得解；（3）連接B與點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，BA'與直線l【詳解】（1）解：△A

（2）解：S△ABC=30-3-12.5-2，=30-17.5，=12.5；（3）解：如圖，連接BA'交AC于點(diǎn)P即為所求的使PA+PB的長(zhǎng)最短的點(diǎn)．

∵點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'∴PA=PA∴PA+PB=PA∴PA+PB的最小值為BA【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．2．（2021上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的5×5的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．（1）如圖1，作出△ABC關(guān)于直線m對(duì)稱的△A（2）如圖2，在直線m上作一點(diǎn)P，使△ACP的周長(zhǎng)最?。▋H用無(wú)刻度直尺作圖，保留作圖痕跡）；（3）如圖3，請(qǐng)作出格點(diǎn)△ABC邊AC上的高BE（僅用無(wú)刻度直尺作圖，保留作圖痕跡）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點(diǎn)直接作出△ABC關(guān)于直線m對(duì)稱的△A'（2）根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點(diǎn)作點(diǎn)A關(guān)于直線m對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A″C，交m于點(diǎn)P，點(diǎn)（3）構(gòu)造△ACD≌△BFG，延長(zhǎng)AC交BF于點(diǎn)E，則BE即為所求．【詳解】（1）根據(jù)題意以及網(wǎng)格的特點(diǎn)直接作出△ABC關(guān)于直線m對(duì)稱的△A'B（2）作點(diǎn)A關(guān)于直線m對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A″C，交m于點(diǎn)P則△ACP的周長(zhǎng)=AC+CP+PA=AC+PC+P∴點(diǎn)P即為所求（3）延長(zhǎng)AC交BF于點(diǎn)E，則BE即為所求，如圖所示：∵∠ADC=∠BGF=90°.AD=BG=3,CD=GF=1∴△ACD≌△BFG∴∠CAD=∠FBG∵∠BCE=∠ACD∴∠BEC=∠ADC=90°∴BE⊥AC．BE即為所求△ABC邊AC上的高．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格作軸對(duì)稱圖形，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形的高的定義，三角形全等的性質(zhì)與判定，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．八、軸對(duì)稱中的光線反射問(wèn)題（共3小題）1．（2022·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，在水平地面AB上放一個(gè)平面鏡BC，一束垂直于地面的光線經(jīng)平面鏡反射，若反射光線與地面平行，則平面鏡BC與地面AB所成的銳角α為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)和光的反射原理計(jì)算．【詳解】解：∵入射光線垂直于水平光線，∴它們的夾角為90°，虛線為法線，∠1為入射角，∴∠1∵∠1∴∠3∵兩水平線平行∴∠α故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、光的反射原理、入射角等于反射角等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．（2021上·湖南婁底·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，兩平面鏡α、β的夾角∠θ，入射光線AO平行于β，入射到α上，經(jīng)兩次反射后的出射光線CB平行于α，則∠θ等于（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】利用反射的性質(zhì)得到入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角，再利用平行的性質(zhì)把相應(yīng)的角轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中求解．【詳解】如圖，由題意得，∠1=∠θ=∠3，由鏡面成像原理可知，∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2=∠θ=∠4，∴∠θ=60°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了鏡面對(duì)稱問(wèn)題，需注意利用反射的性質(zhì)、平行的性質(zhì)把相應(yīng)的角轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中求解是正確解答本題的關(guān)鍵．3．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過(guò)平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，則∠AEF=．【答案】40°/40度【分析】根據(jù)入射角等于反射角，可得∠CDB=∠EDO,∠DEO=∠AEF，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠OED=40°，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：依題意，∠CDB=∠EDO,∠DEO=∠AEF，∵∠AOB=120°，∠CDB=20°，∴∠CDB=∠EDO=20°，∴∠OED=180-∠ODE-∠AOB=40°，∴∠AEF=∠DEO=40°．故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．九、垂直平分線性質(zhì)與判定綜合（共3小題）1．（2020上·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，邊AB,BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P．（1）求證PA=PB=PC；（2）點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上？由此你還能得出什么結(jié)論？【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）在，見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可求得，PA=PB，PB=PC，∴PA=PB=PC；（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆定理，可得點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)P是AB的垂直平分線上的點(diǎn)，∴PA=PB．同理PB=PC．∴PA=PB=PC．（2）∵PA=PC，∴點(diǎn)P在邊AC的垂直平分線上（和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）還可得出結(jié)論：①三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)．②這個(gè)點(diǎn)與三頂點(diǎn)距離相等．點(diǎn)P也在邊AC的垂直平分線上，由此可以得出，三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理：（1）線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；（2）和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．2．（2021上·吉林四平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線l1交AB于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)D，AC的垂直平分線l2交AC于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)E，l1與l2相交于點(diǎn)O，△ADE的周長(zhǎng)為10．請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：（1）求BC的長(zhǎng)；（2）試判斷點(diǎn)O是否在邊BC的垂直平分線上，并說(shuō)明理由．【答案】（1）10；（2）點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD，AE=CE，根據(jù)線段的和差關(guān)系及△ADE的周即可得BC的長(zhǎng)；（2）如圖，連接OA、OB、OC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得OA=OB，OA=OC，即可得出OB=OC，可得點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上．【詳解】（1）∵M(jìn)D是AB的垂直平分線，NE是AC的垂直平分線，∴AD=BD，AE=CE，∵△ADE的周長(zhǎng)為10，∴AD+AE+DE=10，∴BC=BD+DE+CE=AD+AE+DE=10．（2）點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上，理由如下：如圖，連接OA、OB、OC，∵M(jìn)O是AB的垂直平分線，NO是AC的垂直平分線，∴OA=OB，OA=OC，∴OB=OC，∴點(diǎn)O在邊BC的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等；熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2022上·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y(cè)）如圖，已知△ABC，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖．（不寫作法，保留作圖痕跡）(1)作∠B的平分線，交AC于點(diǎn)D；(2)在線段BC上求作一點(diǎn)E，使得∠AEB=2∠C，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）作線段AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求．【詳解】（1）解：如圖，射線BD即為所求；（2）解：如圖，點(diǎn)E即為所求．理由：根據(jù)作法得：EF垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠CAE=∠C，∵∠AEB=∠C+∠CAE，∴∠AEB=2∠C．【點(diǎn)睛】本題考查作圖——作線段的垂直平分線，角平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．十、角平分線性質(zhì)與判定綜合（共3小題）1．（2020上·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，如圖，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，求證：DE＝DF．

【答案】見(jiàn)解析【分析】連接AD，利用“邊邊邊”證明△ABD和△ACD全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAD＝∠CAD，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等證明即可．【詳解】證明：如圖，連接AD，在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CD∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AD是∠BAC的平分線，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·黑龍江牡丹江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF．求證：(1)AD平分∠BAC；(2)AC=AB+2BE.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】(1)先根據(jù)HL證明Rt△BDE≌Rt△CDF，則可得DE=DF，根據(jù)角平分線的判定方法即可得證；(2)先根據(jù)AAS證明△AED≌△AFD，則可得AE=AF，又由于BE=FC，則結(jié)論得證．【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BDE與Rt△CDE中BD=CD∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE=DF，∴AD平分∠BAC；（2）證明：由(1)可知AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFA=90°又∵AD=AD，∴△AED≌△AFD(AAS)，∴AE=AF，∵CF=BE，∴AC=AF+CF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·廣東江門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB//CD，M為BC的中點(diǎn)，且AM平分∠BAD．求證：DM平分∠ADC．【答案】見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出BM=NM，再根據(jù)M為BC的中點(diǎn)，即可得到MN=CM，再根據(jù)∠C=90°=∠MND，可得DM平分∠ADC．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AD于N∵AM平分∠BAD，MB⊥AB，MN⊥AD∴MB=MN又MB=MC∴MC=MN∵AB?//?CD∴∠C=90°．∴DM平分∠ADC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．一十一、已知等腰三角形的兩邊求第三邊或周長(zhǎng)（共3小題）1．（2021上·廣東深圳·八年級(jí)深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期末）用一條長(zhǎng)為36cm的細(xì)繩圍成一個(gè)邊長(zhǎng)為8cm的等腰三角形，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為（A．8cm B．12cm C．8cm或14cm D【答案】D【分析】分情況討論，8cm的邊是底或8【詳解】解：若8cm的邊是底，則腰長(zhǎng)是36-8若8cm的邊是腰，則底是36-2×8=20cm，這種情況不滿足三角形的三故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想求等腰三角形的腰長(zhǎng)，需要注意結(jié)果要滿足三角形三邊的數(shù)量關(guān)系．2．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若a、b是等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)系式a-22A．9 B．12 C．9或12 D．15或6【答案】B【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a=2,b=5，再分兩種情況求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，a-2=0,b-5=0，解得a=2,b=5，（1）若2是腰長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：2、2、5，2+2<5，不能組成三角形；（2）若2是底邊長(zhǎng)，則三角形的三邊長(zhǎng)為：2、5、5，2+5>5能組成三角形，周長(zhǎng)為2+5+5=12．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形、構(gòu)成三角形的條件、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·貴州安順·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如果等腰三角形兩邊長(zhǎng)是8cm和4cm，那么它的周長(zhǎng)是（A．20cm B．C．20cm或16cm D【答案】A【分析】分腰長(zhǎng)為8cm和4【詳解】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為8cm時(shí)，則三角形的三邊長(zhǎng)分別為8cm、8cm、4當(dāng)腰長(zhǎng)為4cm時(shí)，則三角形的三邊長(zhǎng)分別為4cm、4cm、8故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況并利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證是解題的關(guān)鍵．一十二、已知等腰三角形的一個(gè)角，求另外兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)（共1小題）1．（2020·青?！そy(tǒng)考中考真題）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是（

）A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°【答案】D【分析】先根據(jù)等腰三角形的定義，分70°的內(nèi)角為頂角和70°的內(nèi)角為底角兩種情況，再分別根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】（1）當(dāng)70°的內(nèi)角為這個(gè)等腰三角形的頂角則另外兩個(gè)內(nèi)角均為底角，它們的度數(shù)為180°-70°（2）當(dāng)70°的內(nèi)角為這個(gè)等腰三角形的底角則另兩個(gè)內(nèi)角一個(gè)為底角，一個(gè)為頂角底角為70°，頂角為180°-70°-70°=40°綜上，另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是55°,55°或70°,40°故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義、三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形的定義，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．一十三、利用等腰三角形的性質(zhì)與判定求解（共3小題）1．（2021下·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，線段AB的垂直平分線MN交BC于D，求證：CD=2BD．【答案】見(jiàn)解析【分析】連接AD，首先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠DAB=∠B=30°，然后根據(jù)AB=AC，求出∠B=∠C=30°，∠DAC=90°，最后根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可證明出CD=2【詳解】證明：連接AD，∵直線MN是線段AB的垂直平分線，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B，又∵∠B=30°，∴∠DAB=30°，又∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，∴∠DAC=90°，又∵∠C=30°，∴CD=2AD，又∵AD=BD，∴CD=2BD．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，30°角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是連接AD求出∠DAB=∠B=2．（2022上·河北邢臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AB上，且AD=CD=BC．(1)求∠A的大??；(2)如圖2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，連接EF交CD于點(diǎn)H．①求證：CD垂直平分EF：②猜想三條線段AE，DB，BF之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)你的猜想進(jìn)行說(shuō)明．【答案】(1)∠A=36°；(2)①見(jiàn)解析；②三條線段AE，DB，BF之間的數(shù)量關(guān)系為：AE=DB+BF，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）設(shè)∠A=x，則∠ACD=∠A=x，進(jìn)而由三角形的外角性質(zhì)得∠CBD=2x，從而可得∠ACB=∠CBD=2x，∠DCB=x，最后由三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）①△DEC≌△DFC得DE=DF，CE=CF，即可證明CD垂直平分EF；②在CA上截取CG=CB，連接DG，如圖2所示，先證明△DEG≌△DFB得DG=DB，∠DGE=∠B，再由∠B=2x，∠A=x，∠DGE=∠A+∠GDA得∠A=∠GDA，從而得AG=DG，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)∠A=x，∵AD=CD，∴∠ACD=∠A=x，∵CD=BC，∴∠CBD=∠CDB=∠ACD+∠A=2x，∵AC=AB，∴∠ACB=∠CBD=2x，∴∠DCB=x，∵x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠A=36°；（2）①證明：由（1）得：∠ACD=∠A=x，∠DCB=x，∴∠ACD=∠DCB，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°，∵CD=CD，∴△DEC≌△DFC，∴DE=DF，CE=CF，∴D點(diǎn)、C點(diǎn)均在EF是垂直平分線上，∴CD垂直平分EF；②三條線段AE，DB，BF之間的數(shù)量關(guān)系為：AE=DB+BF，理由如下：在CA上截取CG=CB，連接DG，如圖2所示，∵△DCE≌△DCF，∴DE=DF，CE=CF，∵CG=CB，∴GE=BF，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEG=∠DFB=90°，∴△DEG≌△DFB，∴DG=DB，∠DGE=∠B，由（1）得：∠B=2x，∠A=x，∴∠DGE=2∠A，∵∠DGE=∠A+∠GDA，∴∠A=∠GDA，∴AG=DG，∴AE=AG+GE=DG+BF=DB+BF【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的判定及性質(zhì)以及作出恰當(dāng)輔助線轉(zhuǎn)化線段的和差是解題的關(guān)鍵．3．（2022上·江蘇南京·八年級(jí)南師附中樹人學(xué)校校考期末）如圖，在△ABC中，BD，CE分別是AC，AB邊上的高，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）若∠A=60°，DE=2，求BC的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的判定解答即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理證得∠BFE=180°-2∠EBF，∠DFC=180°-2∠DCF，進(jìn)而證得∠DFE=60°，則△DEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得DE=DF=EF=2即可求解．【詳解】（1）證明：∵BD，CE分別是AB、AC邊上的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，∵點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，∴EF=12BC，∴EF=DF=BF=CF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：∵EF=DF=BF=CF，∴∠EBF=∠BEF，∠FDC=∠DCF∴∠BFE=180°-2∠EBF，同理∠DFC=180°-2∠DCF，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=60°，∴∠ABF+∠ACF=180°-∠A=120°，∴∠DFE=180°-=180°-=2又△DEF是等腰三角形，∴△DEF是等邊三角形．∴DE=DF=EF=2，∴BC=2EF=4．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．一十四、利用等邊形的性質(zhì)與判定求解（共3小題）1．（2021上·廣西玉林·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在△ABC中，∠ABC=60°，點(diǎn)D、E分別在AC、BC上，連接BD、DE和AE；并且有AB=BE，∠AED=∠C．（1）求∠CDE的度數(shù)；（2）求證：AD+DE=BD．【答案】（1）60°；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）由AB=BE，∠ABC=60°，可得△ABE為等邊三角形，由∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∠AED=∠C，可證∠CDE=∠AEB=60°（2）延長(zhǎng)DA至F，使AF=DE，連接FB，由∠BED=60°+∠AED，∠BAF=60°+∠C，且∠C=∠AED，可證△FBA≌△DBE(SAS)由DB=FB，可證△FBD為等邊三角形，可得BD=FD，可推出結(jié)論，【詳解】解：（1）∵AB=BE，∠ABC=60°，∴△ABE為等邊三角形，∴∠BAE=∠AEB=60°，∵∠AEB=∠EAC+∠C，∠CDE=∠EAC+∠AED，∵∠AED=∠C，∴∠CDE=∠AEB=60°（2）如圖，延長(zhǎng)DA至F，使AF=DE，連接FB，由（1）得△ABE為等邊三角形，∴∠AEB=∠ABE=60°，∵∠BED=∠AEB+∠AED=60°+∠AED，又∵∠BAF=∠ABE+∠C=60°+∠C，且∠C=∠AED，∴∠BED=∠BAF，在△FBA與△DBE中，AB=BE∴△FBA≌△DBE(SAS)∴DB=FB，∠DBE=∠FBA∴∠DBE+∠ABD=∠FBA+∠ABD，∴∠ABE=∠FBD=60°又∵DB=FB，∴△FBD為等邊三角形∴BD=FD，又∵FD=AF+AD，且AF=DE，∴FD=DE+AD=BD，【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，線段和差，三角形外角性質(zhì)，關(guān)鍵是引輔助線構(gòu)造三角形全等證明等邊三角形．2．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)N，使CN=AM，連接MN交AC于點(diǎn)P，MH⊥AC于點(diǎn)H．(1)求證：MP=NP；(2)若AB＝a，求線段PH的長(zhǎng)（結(jié)果用含a的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)0.5a．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MQ∥CN，證明△MQP?△NCP即可；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)推出AH=HQ，則PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．【詳解】（1）如下圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MQ∥CN，∵△ABC為等邊三角形，MQ∥CN，∴AMAQ則AM=AQ，且∠A=60°，∴△AMQ為等邊三角形，則MQ=AM=CN，又∵M(jìn)Q∥CN，∴∠QMP=∠CNP，在△MQP與∠MPQ=∠NPC∠QMP=∠CNP∴△MQP?△NCP，

則MP=NP；（2）∵△AMQ為等邊三角形，且MH⊥AC，∴AH=HQ，

又由（1）得，△MQP?△NCP，則PQ=PC，∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形全等的判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2021上·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．(1)求證：AC＝BD．(2)求∠APB的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)60°【分析】（1）通過(guò)證明△AOC≌△BOD，即可求證；（2）由（1）可得∠OAC＝∠OBD，從而得到∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，利用三角形內(nèi)角和的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD．（2）解：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∵∠PBA＝∠ABO+∠OBD，∠OAB=∠PAB+∠OAC，∴∠PAB+∠PBA＝∠PAB+∠ABO+∠OBD=∠PAB+∠OAC+∠ABO=∠OAB+∠OBA，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠OAB+∠OBA＝120°∴∠PAB+∠PBA＝120°，∴∠APB＝【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．一十五、以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積（共1小題）1．（2022上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖②，它可以看作是由邊長(zhǎng)為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①C為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫出過(guò)程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2(3)如圖⑥，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_______．【答案】(1)c(2)3(3)7.5【分析】（1）梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即可得：c2（2）根據(jù)勾股定理可得三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S（3）根據(jù)半圓面積和勾股定理即可得結(jié)論：S1【詳解】（1）解：c四邊形ABED的面積可以表示為：12也可以表示為12所以12c2（2）設(shè)直角三角形的三條邊按照從小到大分別為a，b，c，則a2圖③，∵S1∴S1圖④，∵S∴S1圖⑤，∵S∴S1故答案為：3．（3）∵S1∴S1∵a2∴S1【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．一十六、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題（共2小題）1．（2020上·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)沈陽(yáng)市雨田實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的邊AC上的高，則BD的長(zhǎng)為（

）A．51326 B．101326 C．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)，利用割補(bǔ)法可得△ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得：AC＝22∵S△ABC＝3×3?12×1×2?12×1×3?12×2×3∴12AC?BD＝7∴13?BD＝7，∴BD＝713故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022下·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在甲、乙兩個(gè)大小不同的6×6的正方形網(wǎng)格中，正方形ABCD，EFGH分別在兩個(gè)網(wǎng)格上，且各頂點(diǎn)均在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．若正方形ABCD，EFGH的面積相等，甲、乙兩個(gè)正方形網(wǎng)格的面積分別記為S甲，S①正方形ABCD的面積等于S甲②正方形EFGH的面積等于S乙③S甲上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．③ D．①②③【答案】B【分析】設(shè)甲正方形網(wǎng)格中每一小格長(zhǎng)度為a，乙正方形網(wǎng)格中每一小格長(zhǎng)度為b，分別求出S甲，AB2，S乙和EF2，根據(jù)S正方形ABCD＝AB2，S正方形EFGH＝EF2即可判斷【詳解】解：設(shè)甲正方形網(wǎng)格中每一小格長(zhǎng)度為a，乙正方形網(wǎng)格中每一小格長(zhǎng)度為b，則S甲=6a?6a=36a2，AB∴S正方形ABCD＝AB2=20a2，S∴正方形ABCD的面積大于S甲的一半；正方形EFGH的面積等于S∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH，∴20a∴a2∴36a2:36∴正確結(jié)論的序號(hào)是②③，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于設(shè)出甲正方形網(wǎng)格中每一小格長(zhǎng)度為a，乙正方形網(wǎng)格中每一小格長(zhǎng)度為b．本題還可以根據(jù)正方形在正方形網(wǎng)格中占面積的比例進(jìn)行求解．一十七、用勾股定理構(gòu)造圖形求最短路徑（共4小題）1．（2021下·廣東廣州·八年級(jí)廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，圓柱體的底面圓周長(zhǎng)為8cm，高AB為3cm，BC是上底面的直徑．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，則爬行的最短路程為（）A．4cm B．5cm C．73cm D．7cm【答案】B【分析】先把圓柱體沿AB剪開，則AD的長(zhǎng)為圓柱體的底面圓周長(zhǎng)的一半，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示，圓柱體的側(cè)面展開圖：∵底面圓周長(zhǎng)為8cm，∴AD=BC=4cm，又∵AB=3cm，∴在Rt△ABC中，AC=AB2+BC∴螞蟻爬行的最短路程為5cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開圖最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是會(huì)將圓柱的側(cè)面展開，并利用勾股定理解答．2.（2021上·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，有一長(zhǎng)方體容器，AB=3,BC=2,AA'=4，一只螞蟻沿長(zhǎng)方體的表面，從點(diǎn)C爬到點(diǎn)A'的最短爬行距離是（

）A．29 B．41 C．7 D．53【答案】B【分析】畫出展開圖，從點(diǎn)C爬到點(diǎn)A'的最短爬行距離為CA'的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，當(dāng)從正面和右側(cè)面爬行時(shí)，從點(diǎn)C爬到點(diǎn)A'的最短爬行距離為CA'的長(zhǎng)度，，在Rt△CAA'中，AC=AB+BC=5，AA'=4∴CA'=A如圖，當(dāng)從上面和右側(cè)面爬行時(shí)，從點(diǎn)C爬到點(diǎn)A'的最短爬行距離為CA'的長(zhǎng)度，，在Rt△A'BD'中，A'B=A'B'+BB'=7，A'D'=2∴CA'=A'如圖，當(dāng)從后面和上面爬行時(shí)，從點(diǎn)C爬到點(diǎn)A'的最短爬行距離為CA'的長(zhǎng)度，，在Rt△A'B'C中，B'C=B'C'+CC'=6，A'B'=3∴CA'=B'∵41<3故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，畫出展開圖找到最短路徑是解題的關(guān)鍵．3．（2018上·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬和高分別為20、3、2，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是多少？【答案】25【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】解：如圖所示，∵三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為20，寬為（2+3）×3=15，∴螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)，由勾股定理得：AB=15則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)最短路程是25.【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開中的最短路徑問(wèn)題，熟練掌握平面展開圖及勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022下·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠MON=90°，矩形ABCD在∠MON的內(nèi)部，頂點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上，AB=4，BC=2，則點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離是（

）A．22-2 B．22+2 C．【答案】B【分析】取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大，再根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE的長(zhǎng)，兩者相加即可得解．【詳解】取AB中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，∵∠MON=90°，∴OE=1在RtΔDAE中，利用勾股定理可得在ΔODE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知DE+OE>OD，∴當(dāng)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，OD最大為OE+DE=22故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出點(diǎn)O、E、D三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大是解題的關(guān)鍵．一十八、在網(wǎng)格中判斷直角三角形（共3小題）1．（2022上·山西晉中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1），點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，連接AB，AC，BC，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法確定【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出AB、BC、AC，再根據(jù)勾股定理的逆定理計(jì)算可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意得：AC2＝12+∵5+20=25，∴AC∴∠BAC＝90°，∴△ABC為直角三角形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2021上·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為（

）A．45° B．50° C．55° D．60°【答案】A【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，從而得到∠ABC的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連結(jié)AC，由題意可得：AB=∴AC=BC，AB∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在正方形格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．AB2=20 B．∠BAC=90°C．S△ABC=10 D．點(diǎn)A到直線BC【答案】C【分析】利用勾股定理即可判斷A；利用勾股定理的逆定理即可判斷B；利用割補(bǔ)法求出△ABC的面積進(jìn)而求出點(diǎn)A到直線BC的距離即可判斷C、D．【詳解】解：由題意得，AC2=12∴AC∴△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°，∵S△ABC∴點(diǎn)A到直線BC的距離是51∴四個(gè)選項(xiàng)中，只有C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面積，點(diǎn)到直線的距離，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．一十九、已知直角三角形的兩邊求第三邊（共1小題）1．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)是（）A．5 B．25 C．7 D．5或7【答案】D【分析】分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，②3和4【詳解】解：如圖，分為兩種情況：①斜邊是4有一條直角邊是3，由勾股定理得：第三邊長(zhǎng)是42②3和4由勾股定理得：第三邊長(zhǎng)是42即第三邊長(zhǎng)是5或7，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．二十、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根（共2小題）1．實(shí)數(shù)a2A．a(chǎn) B．±a C．±a D．【答案】D【分析】首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義可以求得a2=|a|【詳解】∵當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，a2=|a|，而|a|的平方根為±a，∴實(shí)數(shù)a2故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·山東青島·八年級(jí)青島大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）364的算術(shù)平方根是（

A．2 B．±2 C．2 D．±【答案】A【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求出結(jié)果．【詳解】解：364=4，4的算術(shù)平方根是2故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了算術(shù)平方根的定義．一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根就是其正的平方根．二十一、估計(jì)算術(shù)平方根的取值范圍（共2小題）1．（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）已知432=1849,442=1936,452=2025,46A．43 B．44 C．45 D．46【答案】B【分析】由題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵432∴442∴44<2021∴n=44；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．2．（2022上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知a、b表示表中兩個(gè)相鄰的數(shù)，且a＜310＜b，則a＝（）x1717.117.217.317.417.517.617.717.817.918x2289292.41295.84299.29302.76306.25309.76313.29316.84320.41324A．17.4 B．17.5 C．17.6 D．17.7【答案】C【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)以及算術(shù)平方根的定義求解即可，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫a的平方根，其中屬于非負(fù)數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．【詳解】解：∵309.76<310<313.29∴又a、b表示表中兩個(gè)相鄰的數(shù)，a＜310＜b，∴a=故選C【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的估算，根據(jù)表中信息求解是解題的關(guān)鍵．二十二、實(shí)數(shù)的性質(zhì)（共3小題）1．（2022上·河南駐馬店·八年級(jí)統(tǒng)考期末）1-2的相反數(shù)是（

A．1-2 B．1+2 C．2【答案】C【分析】根據(jù)相反數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解：1-2的相反數(shù)是2故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相反數(shù)及實(shí)數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）1-2的絕對(duì)值是（

A．1-2 B．2-1 C．1+2【答案】B【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義求解即可．【詳解】解：∵2>1，∴｜1-2｜＝2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值，估算無(wú)理數(shù)，熟練掌握一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反相數(shù)，0的絕對(duì)值中0是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）對(duì)于數(shù)字2+5，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．它不能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái) B．它比0小C．它是一個(gè)無(wú)理數(shù) D．它的相反數(shù)為2+5【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸的意義，實(shí)數(shù)的計(jì)算，無(wú)理數(shù)的定義，相反數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，故該說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B．-2+5C．-2+5D．-2+5的相反數(shù)為2-故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的意義，實(shí)數(shù)的計(jì)算，無(wú)理數(shù)的定義，相反數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則是解答本題的關(guān)鍵．二十三、程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)（共2小題）1．（2021上·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的值為9，則最后輸出的y值是（）A．3 B．±3 C．3 D．±3【答案】B【分析】將9取平方根，然后判斷所得結(jié)果不是無(wú)理數(shù)，然后再將所得結(jié)果取平方根，再判斷所得結(jié)果即可．【詳解】解：∵9=3∴將3取平方根，得3的平方根為±3，都是無(wú)理數(shù)∴最后輸出的y值是±3故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是條件程序圖和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握算術(shù)平方根和平方根的定義是解題關(guān)鍵．2．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考一模）按如圖所示的程序進(jìn)行計(jì)算，若輸入x的值為6，則輸出y的值為（

）A．2 B．2+2 C．2-2 D【答案】A【分析】把x=6代入程序流程圖進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：把x=6代入，得6÷3-2∵2-2∴y=2-故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是按照題中箭頭的方向依次計(jì)算，遇到判斷框時(shí)，注意判斷清楚滿足否和是哪個(gè)路徑的要求．二十四、指出一個(gè)數(shù)精確到哪一位（共2小題）1．（2022上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）用四舍五入法得到的近似數(shù)1.05萬(wàn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．精確到百分位 B．精確到0.01C．精確到百位 D．精確到萬(wàn)位【答案】C【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度求解．【詳解】解：四舍五入法得到的近似數(shù)1.05萬(wàn)，近似數(shù)精確到百位．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)：“精確到第幾位”是精確度的常用的表示形式，2．（2021上·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列關(guān)于近似數(shù)的說(shuō)法正確的是（

）A．1.566精確到十分位是1.5B．近似數(shù)0.25精確到百位C．59000精確到萬(wàn)位是6D．我國(guó)人口有14億，其中14億是近似數(shù)【答案】D【分析】近似數(shù)是指與準(zhǔn)確數(shù)相近的一個(gè)數(shù)，即經(jīng)過(guò)四舍五入、進(jìn)一法或者去尾法等方法得到的一個(gè)與原始數(shù)據(jù)相差不大的一個(gè)數(shù)，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、1.566精確到十分位是1.6，此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、近似數(shù)0.25精確到百分位，此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、59000精確到萬(wàn)位是6×10D、我國(guó)人口有14億，其中14億是近似數(shù)，此選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)：“精確到第幾位”是近似數(shù)的精確度的常用的表示形式．二十五、已知點(diǎn)所在象限求參數(shù)值或取值范圍（共3小題）1．（2023下·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，有一點(diǎn)A(n-1,m+3)在第一象限，且點(diǎn)A到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為4，則n、m的值分別為（

）A．5，-1 B．3，1 C．2，4 D．4，2【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到x軸的距離為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，到y(tǒng)軸的距離為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，得到點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)可能的值，進(jìn)而根據(jù)所在象限可得m、n的值．【詳解】∵點(diǎn)A(n-1,m+3)到x軸的距離為2，到y(tǒng)軸的距離為4，∴n-1=4，m+3又∵點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，∴n-1=4，m+3=2∴n=5，m=-1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)以及點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離是解題的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限+，+；第二象限-，+；第三象限2．（2021·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）若點(diǎn)P(a+1,2-2a)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第四象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示為（

）A． B．C． D【答案】C【分析】先根據(jù)題意求出點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P'坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P'【詳解】∵P(a+1,2-2a)∴點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P'坐標(biāo)為∵P'∴{a+1>0解得：-1<a<1故選：C【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)求法，以及根據(jù)象限點(diǎn)去判斷參數(shù)的取值范圍，能根據(jù)題意找見(jiàn)相關(guān)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．3．（2022上·浙江衢州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)P（2﹣m，m﹣5）在第三象限，則整數(shù)m的值是（）A．4 B．3，4 C．4，5 D．2，3，4【答案】B【分析】根據(jù)第三象限點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)列不等式組求出解集，再結(jié)合整數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：∵P（2﹣m，m﹣5）在第三象限∴2-m＜0m-5＜∵m是整數(shù)∴m的值為３，４．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、解不等式組等知識(shí)點(diǎn)，掌握第三象限內(nèi)的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均小于零成為解答本題的關(guān)鍵．二十六、求關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱后點(diǎn)的坐標(biāo)（共2小題）1．（2022下·四川雅安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A（2，a）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B（b，﹣3），則a＋b的值為（

）A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5【答案】A【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得a、b的值．【詳解】解：∵點(diǎn)A（2，a）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B（b，﹣3），∴a=3，∴a+b=3+2=5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．2．（2022·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,3關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(

A．-2,-3 B．-2,3 C．2,-3 D．-3,-2【答案】B【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”即可解答．【詳解】解：點(diǎn)A（2，3）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，3）．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：①關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；②關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．二十七、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象（共2小題）1．（2022上·安徽滁州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，DM＝2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿路徑A→B→C→M運(yùn)動(dòng)，則△AMP的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意找到點(diǎn)P到達(dá)D、C前后的一般情況，列出函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】解：由題意可知當(dāng)0≤x≤6時(shí)，y=12當(dāng)6≤x≤10時(shí)，y=4×6-1當(dāng)10≤x≤14時(shí)，y=1根據(jù)函數(shù)解析式，可知D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查列函數(shù)關(guān)系式以及函數(shù)圖象性質(zhì)，解答關(guān)鍵是確定動(dòng)點(diǎn)到達(dá)臨界點(diǎn)前后的圖形變化規(guī)律．2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖①所示（圖中各角均為直角)，動(dòng)點(diǎn)Р從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C→D→E路線勻速運(yùn)動(dòng)，△AFP的面積y隨點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)的時(shí)間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，下列說(shuō)法正確的是（

）A．AF=5 B．AB=4 C．DE=3 D．EF=8【答案】B【分析】路線為A→B→C→D→E，將每段路線在坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)清楚即可得出結(jié)論．【詳解】解：坐標(biāo)系中(4,12)對(duì)應(yīng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)AB=v?t=1×4=4B選項(xiàng)正確S即：12=解得：AF=6A選項(xiàng)錯(cuò)誤12~16s對(duì)應(yīng)的DE段DE=v?△t=1×(16-12)=4C選項(xiàng)錯(cuò)誤6~12s對(duì)應(yīng)的CD段CD=v?△t=1×(12-6)=6EF=AB+CD=4+6=10D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和坐標(biāo)系，將坐標(biāo)系中的圖象與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程對(duì)應(yīng)是本題的解題關(guān)鍵．二十八、根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)值（共2小題）1．（2022下·廣西桂林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=m+3x+2是一次函數(shù)，則m的取值范圍是（A．m≠3 B．m≠1 C．m≠0 D．m為任意實(shí)數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義進(jìn)行解答．【詳解】解：根據(jù)題意，m+3≠0，解得m≠-3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的定義．1．（2022下·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶市育才中學(xué)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y＝（m+3）x+m2﹣9的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m的值為（）A．m＝﹣3 B．m＝3 C．m＝±3 D．m＝4【答案】B【分析】把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9求解，注意m的取值范圍．【詳解】解：把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9得m2﹣9＝0，解得m＝3或m＝﹣3，∵m+3≠0，∴m＝3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與方程的關(guān)系，注意一次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)不為0．二十九、一次函數(shù)與坐標(biāo)交點(diǎn)問(wèn)題（共1小題）1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y=2x+1向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是（

）A．34 B．94 C．32【答案】B【分析】先根據(jù)圖形平移的性質(zhì)得出平移后的解析式，再求出此直線與x、y軸的交點(diǎn)，利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：將直線y=2x+1的圖象向上平移2個(gè)單位，得到y(tǒng)=2x+3，令x=0，得y=3，令y=0，得x=-3∴平移后的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是12故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，解答此題的關(guān)鍵是求出平移后直線的解析式及與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．三十、已知一次函數(shù)的解析式判斷其經(jīng)過(guò)象限（共2小題）1．（2022上·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則一次函數(shù)y＝bx﹣k的圖象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定k，b的符號(hào)，即可解答．【詳解】解：∵一次函數(shù)y＝kx＋b經(jīng)過(guò)第二，三，四象限，∴k＜0，b＜0，∴?k＞0，所以一次函數(shù)y＝bx﹣k的圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，先利用一次函數(shù)的性質(zhì)確定k，b的取值是關(guān)鍵．2．（2021下·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一次函數(shù)y=ax+b與y=bax在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中的圖象A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】A、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可知，a<0,b>0，則ba<0；由函數(shù)y=baxB、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可知，a>0,b<0，則ba<0；由函數(shù)y=baxC、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可知，a>0,b<0，則ba<0；由函數(shù)y=baxD、由一次函數(shù)y=ax+b的圖象可知，a<0,b<0，則ba>0；由函數(shù)y=bax的故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)的圖象特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．三十一、一次函數(shù)與方程（組）、不等式（共6小題）1．（2023上·山東棗莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=k2x+b的圖象與y軸交于點(diǎn)B，與正比例函數(shù)y=k1x的(1)分別求出這兩個(gè)函數(shù)的解析式；(2)求△AOB的面積；(3)點(diǎn)P在x軸上，且△POA是以O(shè)A為腰的等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)正比例函數(shù)的解析式為y=34(2)10(3)-5,0或5,0或8,0【分析】（1）把點(diǎn)A4,3代入y=k1x可得k1=（2）根據(jù)S△AOB（3）分OP=OA和AP=OA兩種情況，利用等腰三角形的定義和性質(zhì)分別求解即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)y=k2x+b的圖象與y軸交于點(diǎn)B，與正比例函數(shù)y=k1∴4k1=3∴正比例函數(shù)的解析式為y=3∵A4,3∴OA=3∵OA=OB，∴OB=5，∴點(diǎn)B0,-5把點(diǎn)A4,3，B0,-5代入b=-54k2+b=3∴一次函數(shù)的解析式為y=2x-5；（2）解：由題意知S△AOB即△AOB的面積為10；（3）解：當(dāng)OP=OA=5時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為-5,0或5,0；當(dāng)AP=OA時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，∵A4,3∴OC=PC=4，∴OP=8，∴點(diǎn)P8,0綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為-5,0或5,0或8,0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合解答是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過(guò)點(diǎn)A-2,0的直線l1:y=kx+b與直線l(1)求直線l1(2)直接寫出方程組y=kx+by=-x+1(3)求四邊形PAOC的面積．【答案】(1)y=2x+4(2)x=-1(3)5【分析】（1）