專題11二元二次方程組的列方程（組）解應(yīng)用題（5大考點(diǎn)5種題型）

專題11二元二次方程組的、列方程（組）解應(yīng)用題（5大考點(diǎn)+5種題型）思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)與題型分類聚焦考點(diǎn)一：二元二次方程考點(diǎn)二：二元二次方程組考點(diǎn)三：二元二次方程組的解法考點(diǎn)四：一元二次方程的應(yīng)用考點(diǎn)五：分式方程的應(yīng)用考點(diǎn)一：二元二次方程考點(diǎn)二：二元二次方程組考點(diǎn)三：二元二次方程組的解法(1)解二元二次方程組的基本思想：是消元和降次.(2)題型一：解方程組即方程組由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組.方法：代入消元法；一般步驟：①將方程組中二元一次方程的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；②將這個(gè)未知數(shù)所表示的代數(shù)式代入二元二次方程中，得到關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元二次方程；③解這個(gè)一元二次方程；④將求得的兩個(gè)解分別代入二元一次方程，求相應(yīng)的另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤把相應(yīng)的兩組解寫(xiě)出來(lái)，即是原方程組的解.(3)題型二：解方程組（其中一個(gè)方程可以分解為兩個(gè)一次因式積等于零的形式）方法：因式分解法；解法：把原方程組化為兩個(gè)分別由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程所組成的方程組，然后分別求解.考點(diǎn)四：一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見(jiàn)問(wèn)題：（1）數(shù)字問(wèn)題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長(zhǎng)率問(wèn)題：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長(zhǎng)百分率）2＝后來(lái)數(shù)．（3）形積問(wèn)題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng)．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過(guò)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問(wèn)題．6．答：寫(xiě)出答案．考點(diǎn)五：分式方程的應(yīng)用1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫(xiě)出單位等．2、要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：速度＝路程時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率＝工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．題型一：二元二次方程【例1】．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)二元二次方程_______________，使得該方程有一個(gè)解是．【答案】（答案不唯一）【分析】此題為開(kāi)放型的題目，答案不唯一，根據(jù)二元二次方程的定義及該方程的解直接寫(xiě)出方程即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查二元二次方程的定義，方程的解，理解方程的解和二元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┒畏匠炭梢曰癁閮蓚€(gè)一次方程，它們是______．【答案】x6y=0或x+y=0【分析】把y看成常量，方程就是關(guān)于x的一元二次方程，利用因式分解法化為兩個(gè)一次方程即可．【詳解】解：x25xy6y2=0，（x6y）（x+y）=0，∴x6y=0或x+y=0．故答案為：x6y=0或x+y=0．【點(diǎn)睛】本題考查了二元二次方程，把y看成常量，方程看成關(guān)于x的一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．題型二：二元二次方程組【例2】．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)校考階段練習(xí)）下列方程組中是二元二次方程組的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程組是二元二次方程組，根據(jù)定義逐一分析即可．【詳解】解：不符合整式方程組的條件，故A不符合題意；不符合整式方程組的條件，故B不符合題意；的最高次項(xiàng)的次數(shù)是1，故C不符合題意；符合二元二次方程組的條件，故D符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查二元二次方程組的識(shí)別，掌握該定義是求解本題的關(guān)鍵．【變式1】．（2022秋·上海浦東新·八年級(jí)?？计谥校┓匠探M的解的情況是（

）A．有兩組相同的實(shí)數(shù)解 B．有兩組不同的實(shí)數(shù)解C．沒(méi)有實(shí)數(shù)解 D．不能確定【答案】B【分析】首先運(yùn)用代入法，將方程組進(jìn)行變形，然后利用根的判別式即可判定.【詳解】將①代入②，得故方程有兩組不同的實(shí)數(shù)解，故選：B.【點(diǎn)睛】此題主要考查二元二次方程組的求解，熟練掌握，即可解題.【變式2】．（2022春·上海靜安·八年級(jí)新中初級(jí)中學(xué)校考期末）寫(xiě)出一個(gè)由二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組___________，使它的解是和．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)方程組的解可得，再由平方差公式得到，則可寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)方程組為．【詳解】解：方程組的解為和，，，方程組可以是，故答案為：答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查二元二次方程組，熟練掌握二元一次方程和二元一次方程的基本形式，根據(jù)所給的條件寫(xiě)出符合題意的方程組是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2022秋·上海浦東新·八年級(jí)?？计谥校┓匠探M的解只有一組，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)條件表示方程組的解，再求的范圍．【詳解】解：，由，得或，，．當(dāng)時(shí)，代入得：，原方程組的一組解為：，當(dāng)時(shí)，代入得：，原方程只有一組解，無(wú)解，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二元二次方程組的解，根據(jù)第一個(gè)方程，求得，是解題的關(guān)鍵．題型三：二元二次方程組的解法【例3】．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)期中）解方程組.【答案】，，，．【分析】先把方程組轉(zhuǎn)化成兩個(gè)二元二次方程組，再求出兩個(gè)方程組的解即可．【詳解】解：由原方程組變形得：，

由①變形得：y=x，把y=x代入②得：，解得，把代入②解得：，所以解為：，，由③變形得：y=x，把y=x代入②得：，解得，把代入②解得：，所以解為：，，綜上所述解為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元二次方程組是解此題的關(guān)鍵．【變式1】．（2022秋·上海奉賢·八年級(jí)?？计谀┙夥匠探M：【答案】或【分析】根據(jù)①得，即或，分別與②聯(lián)立解方程組即可求解．【詳解】解：由①得，則或，∴或，解得：或．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元二次方程組，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2022秋·上海浦東新·八年級(jí)?？计谥校┙夥匠探M：．【答案】【分析】設(shè)，，解關(guān)于a、b的方程組求出的a、b值，再列出關(guān)于x和y的方程組求解即可.【詳解】解：設(shè)，，則原方程組化為：，解得：，即，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程組的解，所以原方程組的解是．【點(diǎn)睛】本題考查換元法解分式方程組，以及二元一次方程組的解法，掌握換元法是解答本題的關(guān)鍵.【變式3】．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┙夥匠探M：【答案】，【分析】由①可知代入②可得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)行解答，求出x值，再進(jìn)一步求y即可．【詳解】由得：，代入化簡(jiǎn)得，解得，，分別將，代入，得，．原方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元二次方程組，掌握十字相乘法，把原方程組轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次方程組是解決本題的關(guān)鍵．【變式4】．（2022秋·上海閔行·八年級(jí)上海市民辦文綺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程組：【答案】【分析】把方程①因式分解得出x與y的關(guān)系式，分別帶入方程②即可解得．【詳解】由①得x=y，x=6y把x=y帶入②得把x=6y帶入②得【點(diǎn)睛】此題考查了求方程組的解，解題的關(guān)鍵是對(duì)方程用十字交叉法進(jìn)行因式分解．【變式5】．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)上海市市西初級(jí)中學(xué)校考期中）“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》對(duì)方程一詞給出的注釋．對(duì)于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的一個(gè)解，則稱這兩個(gè)方程為“相似方程”：②若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個(gè)方程為“相伴方程”．(1)判斷分式方程與無(wú)理方程是否是“相似方程”，并說(shuō)明理由；(2)已知關(guān)于x，y的方程：和，它們是“相似方程”嗎？如果是，請(qǐng)寫(xiě)出它們的公共解；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知關(guān)于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數(shù)）是“相伴方程”，求k的值.【答案】(1)分式方程與無(wú)理方程是“相似方程”，理由見(jiàn)解析；(2)和，它們是“相似方程”，公共解為(3)或或【分析】（1）分別求出分式方程和無(wú)理方程的解，然后根據(jù)“相似方程”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）聯(lián)立兩個(gè)兩個(gè)方程，求出它們的公共解，如果只有唯一解，即說(shuō)明兩個(gè)方程是“相似方程”，如果沒(méi)有唯一解則說(shuō)明兩個(gè)方程不是“相似方程”；（3）聯(lián)立兩個(gè)方程得到，再分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩種情況討論求解即可．(1)解：分式方程與無(wú)理方程是“相似方程”，理由如下：兩邊用時(shí)乘以得：，∴，∴，∴或，經(jīng)檢驗(yàn)和都是原方程的解；∵，∴，∴，∴，解得或，∴分式方程與無(wú)理方程有一個(gè)相同的解，∴分式方程與無(wú)理方程是“相似方程”；(2)解：聯(lián)立得：，∴，∴，∴，∴原方程組的解為，∴方程和方程有一個(gè)公共解，∴和，它們是“相似方程”，公共解為(3)解：∵關(guān)于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數(shù)）是“相伴方程”，∴，∴，當(dāng)時(shí)，即不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，∵x、y都是整數(shù)，∴或或【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解無(wú)理方程，解二元二次方程，解二元一次方程組等等，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．題型四：．一元二次方程的應(yīng)用【例4】．（2023秋?黃浦區(qū)期末）一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．問(wèn)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元？【分析】設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)元，則每件商品的銷售利潤(rùn)為元，平均每天的銷售量為件，根據(jù)每天的銷售利潤(rùn)每件的銷售利潤(rùn)平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合每件商品盈利不少于25元，即可確定的值．【解答】解：設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)元，則每件商品的銷售利潤(rùn)為元，平均每天的銷售量為件，依題意得：，整理得：，解得：，．要求每件盈利不少于25元，應(yīng)舍去，故為所求．答：每件商品應(yīng)降價(jià)10元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)為1200元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）某商店以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批文具盒，然后以每只30元的價(jià)格出售，結(jié)果每周可以售出400只，后來(lái)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)單價(jià)每提高0.5元，每周銷售量會(huì)少10只，如果某一周銷售這種文具盒的總利潤(rùn)是4500元，那么這周每只文具盒的售價(jià)為多少元？【分析】設(shè)這周每只文具盒的售價(jià)為元，則每只文具盒的利潤(rùn)為元，銷量為只，根據(jù)總利潤(rùn)是4500元列出方程，即可求解．【解答】解：設(shè)這周每只文具盒的售價(jià)為元，由題意知：，整理得，解得，即這周每只文具盒的售價(jià)為35元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2021春?浦東新區(qū)期中）聯(lián)華超市于今年年初以每件25元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到400件，設(shè)二、三這兩個(gè)月月平均增長(zhǎng)率不變．（1）求二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率．（2）從四月份起，聯(lián)華超市決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)與月平均銷售的關(guān)系如下表：銷售單價(jià)（元34353637383940月平均銷售量（件430425420415410405400若要使利潤(rùn)達(dá)到4250元，且盡可能多的提升月平均銷售量，則銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？【分析】（1）由題意可得，1月份的銷售量為：256件；設(shè)2月份到3月份銷售額的月平均增長(zhǎng)率，則二月份的銷售量為：；三月份的銷售量為：，又知三月份的銷售量為：400元，由此等量關(guān)系列出方程求出的值，即求出了平均增長(zhǎng)率；（2）利用銷量每件商品的利潤(rùn)求出即可．【解答】解：（1）設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可得：，解得：，（不合題意舍去）．答：二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為．（2）由表可知：該商品每降價(jià)1元，銷售量增加5件，設(shè)當(dāng)商品降價(jià)元時(shí)，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：，解得：，（不合題意舍去），元．答：銷售單價(jià)應(yīng)定為35元，商品獲利4250元．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵在于理解題意，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3】．（2021春?浦東新區(qū)月考）阿里巴巴電商扶貧對(duì)某貧困地區(qū)一種特色農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)上銷售，按原價(jià)每件300元出售，一個(gè)月可賣出100件，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)每件每降低10元，月銷售件數(shù)增加20件．已知該農(nóng)產(chǎn)品的成本是每件200元，在保持月利潤(rùn)不變的情況下，盡快銷售完畢，則售價(jià)應(yīng)定為多少元？【分析】根據(jù)月利潤(rùn)每件利潤(rùn)月銷售量，可求出售價(jià)為300元時(shí)的原利潤(rùn)，設(shè)售價(jià)應(yīng)定為元，則每件的利潤(rùn)為元，月銷售量為件，根據(jù)月利潤(rùn)每件利潤(rùn)月銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)售價(jià)應(yīng)定為元，則每件的利潤(rùn)為元，月銷售量為件，依題意，得：，整理，得：，解得：，（舍去）．答：售價(jià)應(yīng)定為250元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型五：分式方程的應(yīng)用【例5】．（2023春?楊浦區(qū)期末）近年來(lái)，我國(guó)逐步完善養(yǎng)老金保險(xiǎn)制度．甲、乙兩人計(jì)劃分別繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金12萬(wàn)元和8萬(wàn)元，雖然甲計(jì)劃每年比乙計(jì)劃每年多繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金0.1萬(wàn)元，但是甲計(jì)劃繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金的年數(shù)還是比乙要多4年，已知甲、乙兩人計(jì)劃繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金的年數(shù)都不超過(guò)20年，求甲計(jì)劃每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金多少萬(wàn)元？【分析】設(shè)甲計(jì)劃每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金萬(wàn)元，則乙計(jì)劃每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金萬(wàn)元，根據(jù)甲計(jì)劃繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金的年數(shù)比乙要多4年，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)甲計(jì)劃每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金萬(wàn)元，則乙計(jì)劃每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金萬(wàn)元，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，，均為所列方程的解，不符合題意，舍去，符合題意．答：甲計(jì)劃每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金0.6萬(wàn)元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023春?松江區(qū)期末）松江區(qū)于4月22日，舉辦“”上海余山半程馬拉松比賽．主辦方打算為參賽選手定制一批護(hù)膝，并交由廠家完成．已知廠家要在規(guī)定的天數(shù)內(nèi)生產(chǎn)3600對(duì)護(hù)膝，但由于參賽選手臨時(shí)增加，不但要求廠家在原計(jì)劃基礎(chǔ)上增加的總量，而且還要比原計(jì)劃提前3天完成．經(jīng)預(yù)測(cè)，要完成新計(jì)劃，平均每天的生產(chǎn)總量要比原計(jì)劃多20對(duì)，求原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少對(duì)護(hù)膝．【分析】設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)對(duì)護(hù)膝，實(shí)際每天生產(chǎn)對(duì)護(hù)膝，利用工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合實(shí)際比計(jì)劃提前3天完成，可列出關(guān)于的分式方程，解答檢驗(yàn)即可．【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)對(duì)護(hù)膝，則實(shí)際每天生產(chǎn)對(duì)護(hù)膝，根據(jù)題意，可列方程，整理得：，解得：，（不合題意，舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，是原方程的解，答：原計(jì)劃每天生產(chǎn)100對(duì)護(hù)膝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2022春?靜安區(qū)校級(jí)期中）甲、乙兩城間的鐵路路程為1600千米，經(jīng)過(guò)技術(shù)改造，列車實(shí)施了提速，提速后比提速前速度增加了20千米時(shí)，列車從甲城到乙城行駛時(shí)間減少4小時(shí)，這條鐵路在現(xiàn)有條件下安全行駛速度不得超過(guò)140千米時(shí)，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的知識(shí)說(shuō)明在這條鐵路的現(xiàn)有條件下列車是否還可以再次提速．【分析】提速前后路程沒(méi)變，關(guān)鍵描述語(yǔ)為：“列車從到地行駛的時(shí)間減少了”；等量關(guān)系為：提速前的列車所用時(shí)間提速后的列車所用時(shí)間．【解答】解：設(shè)提速前的列車速度為．則：．解之得：．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．所以，提速前的列車速度為．因?yàn)椋钥梢栽偬崴伲军c(diǎn)評(píng)】考查了分式方程的應(yīng)用．分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）甲、乙兩位同學(xué)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，騎自行車前往距離學(xué)校10千米的郊野公園．已知甲同學(xué)比乙同學(xué)平均每小時(shí)多騎行2千米，甲同學(xué)在路上因事耽擱了15分鐘，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)公園．問(wèn)：甲、乙兩位同學(xué)平均每小時(shí)各騎行多少千米？【分析】設(shè)乙平均每小時(shí)騎行千米，則甲平均每小時(shí)騎行千米，根據(jù)題意可得，同樣20千米的距離，乙比甲多走30分鐘，據(jù)此列方程求解．【解答】解：設(shè)乙平均每小時(shí)騎行千米，則甲平均每小時(shí)騎行千米，由題意得，，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：，都是原方程的根，但，不符合題意，故舍去，則甲平均每小時(shí)騎行千米．答：甲平均每小時(shí)騎行10千米，乙平均每小時(shí)騎行8千米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗(yàn)．一、單選題1．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）下列方程組中是二元二次方程組的是（

）A．B． C． D．【答案】D【分析】含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程組是二元二次方程組，根據(jù)定義逐一分析即可．【詳解】解：不符合整式方程組的條件，故A不符合題意；不符合整式方程組的條件，故B不符合題意；的最高次項(xiàng)的次數(shù)是1，故C不符合題意；符合二元二次方程組的條件，故D符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查二元二次方程組的識(shí)別，掌握該定義是求解本題的關(guān)鍵．2．（2023下·上海寶山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）上海市16個(gè)區(qū)共約1326條健身步進(jìn)和綠道，甲、乙兩人沿著總長(zhǎng)度為9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分鐘走完全程，如果設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，那么下列方程中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，熟練掌握分式方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·八年級(jí)單元測(cè)試）方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將分解因式，將x?y＝1代入可得x＋y＝3，據(jù)此可求出x，y．【詳解】解：由得：（x＋y）（x?y）＝3，∵x?y＝1①，∴x＋y＝3②，由①＋②得2x＝4，解得：x＝2，把x＝2代入x?y＝1得y＝1，∴方程組的解為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解二元二次方程組，解題的關(guān)鍵是將二次方程通過(guò)因式分解和整體代換轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組．4．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）“綠水青山就是金山銀山”．某工程隊(duì)承接了60萬(wàn)平方米的荒山綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來(lái)，實(shí)際工作時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高了，結(jié)果提前30天完成了這一任務(wù)．設(shè)實(shí)際工作時(shí)每天綠化的面積x萬(wàn)平方米，則下面所列方程中正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用．設(shè)實(shí)際工作時(shí)每天綠化的面積x萬(wàn)平方米，根據(jù)工作時(shí)間工作總量工作效率，結(jié)合提前30天完成任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程．【詳解】解：設(shè)實(shí)際工作時(shí)每天綠化的面積x萬(wàn)平方米，則原計(jì)劃每天綠化的面積萬(wàn)平方米，依題意得：即．故選：C．5．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）二元二次方程組的解的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出結(jié)論．【詳解】解：，由①得x＝﹣1或y＝2，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，代入②得∶y＝1，當(dāng)y＝2時(shí)，代入②得∶x＝±，所以方程組的解或或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查解方程的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中化歸思想，消元和降次是解此類問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（2023下·上海浦東新·八年級(jí)上海市進(jìn)才中學(xué)北校?？茧A段練習(xí)）方程組有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】①②得出，求出，根據(jù)方程組有實(shí)數(shù)解得出，再求出k的取值范圍即可．【詳解】解：，①②，得，即，∵方程組有實(shí)數(shù)解，∴一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了解高次方程組和一元二次方程根的判別式，方程組消元轉(zhuǎn)化成一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．二、填空題7．（2023下·八年級(jí)單元測(cè)試）已知方程組，消去y，化簡(jiǎn)后所得到的方程是．【答案】【分析】利用代入消元法即可消去y．【詳解】解：，由①得：③，將③代入②得：，化簡(jiǎn)得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了代入消元法，解題關(guān)鍵是通過(guò)變形將y轉(zhuǎn)化為含有x的式子．8．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)二元二次方程組，使它的的解是和．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)方程組的解可得，，則可寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)方程組為（答案不唯一）．【詳解】解：方程組的解為和，，，方程組可以是，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程組，能熟記二元二次方程組的定義是解此題的關(guān)鍵，方程組中共含有兩個(gè)不同的未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程組，叫二元二次方程組．9．（2023下·上海浦東新·八年級(jí)統(tǒng)考期末）寫(xiě)出二元二次方程的一對(duì)整數(shù)解是．【答案】（任意寫(xiě)一組即可）【分析】根據(jù)整數(shù)解的條件先確定正整數(shù)解，再確定負(fù)整數(shù)解及其他即可．【詳解】解：∵，∴其整數(shù)解為或或或或或或或；故答案為：（任意寫(xiě)一組即可）【點(diǎn)睛】本題考查的是二元二次方程的整數(shù)解，熟練的求解二元二次方程的整數(shù)解是解本題的關(guān)鍵．10．（2023下·八年級(jí)單元測(cè)試）把方程組，化成兩個(gè)二元二次方程組是．【答案】，（答案不唯一）【分析】可以把①×2得到③，用③和②組成一個(gè)新的二元二次方程組，把②×2得到④，用①和④組成一個(gè)新的二元二次方程組即可【詳解】解：用①×2得：，②×2得，∴②③組成新方程組為：；∴①④組成新的方程組為：，故答案為：，（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元二次方程組，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（2023下·八年級(jí)單元測(cè)試）方程組的解只有一組，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)條件表示方程組的解，再求的范圍．【詳解】解：，由，得或，，．當(dāng)時(shí)，代入得：，原方程組的一組解為：，當(dāng)時(shí)，代入得：，原方程只有一組解，無(wú)解，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二元二次方程組的解，根據(jù)第一個(gè)方程，求得，是解題的關(guān)鍵．12．（2023下·八年級(jí)單元測(cè)試）把方程化為兩個(gè)二元一次方程，它們是和．【答案】【分析】先把方程左邊分解得到，則原方程可轉(zhuǎn)化為或．【詳解】解：∵，∴，∴或．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的因式分解法，解題的關(guān)鍵是通常利用換元法或因式分解法把高次方程化為一元二次方程求解．13．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）已知二元二次方程組有一組解是，寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的二元二次方程組為．【答案】（答案不唯一）【分析】分別列兩個(gè)方程代入x，y的值就可以．【詳解】解：把代入符合要求；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二元二次方程組定義，方程組的解，解題關(guān)鍵x，y都能使兩個(gè)方程左右值相等．14．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）甲乙兩人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成，如果甲乙兩人一起加工，6天可加工完，如設(shè)甲、乙兩人單獨(dú)加工完成這批零件各需x天．y天可列方程組為．【答案】【分析】根據(jù)“甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了10天完成”得到第一個(gè)等量關(guān)系；根據(jù)“如果甲乙兩人一起加工，6天可加工完”得到第二個(gè)等量關(guān)系，據(jù)此列出方程組即可．【詳解】解：由題意，得，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系，工程問(wèn)題中常用的關(guān)系式有：工作時(shí)間=工作總量÷工作效率．15．（2023下·上?！ぐ四昙?jí)期中）某工人要完成個(gè)零件，起初機(jī)器出現(xiàn)故障，每分鐘比原計(jì)劃少加工個(gè)零件，加工個(gè)零件后，換了一臺(tái)新機(jī)器，每分鐘比原計(jì)劃多加工個(gè)零件．已知用新機(jī)器加工零件的時(shí)間比前面用舊機(jī)器加工零件的時(shí)間少分鐘，設(shè)原計(jì)劃每分鐘加工個(gè)零件，則可列方程為：．【答案】【分析】根據(jù)題意可知：用新機(jī)器加工零件的時(shí)間比前面用舊機(jī)器加工零件的時(shí)間少分鐘，即可列出相應(yīng)的分式方程．【詳解】解：由題意可得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程．三、解答題16．（2023下·上海黃浦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程組：【答案】或【分析】由②得從而將原方程組化成兩個(gè)二元一次方程組，分別求二元一次方程組的解即可．【詳解】解：由②得：，∴，即或，∴原方程組可化為兩個(gè)二元一次方程組，，解得：解得：所以原方程組的解是，．【點(diǎn)睛】本題考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．17．（2023下·上海虹口·八年級(jí)上外附中?？计谀敬鸢浮?，．【分析】①②得③，由①得或，和③組成方程組，再得出答案即可．【詳解】解：．①②得③，由①得，解得或，和③組成方程組，或，解，得，，解，整理得，沒(méi)有實(shí)數(shù)解，故方程組的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查了解高次方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵．18．（2023下·上海虹口·八年級(jí)上外附中?？计谀敬鸢浮?，．【分析】由①②得，代入②得出或，和③組成方程組，再得出答案即可．【詳解】解：，①②得③，即，把代入②得，整理得，∴或，和③組成方程組，和，解，得，無(wú)實(shí)數(shù)解，，得，．故方程組的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元二次方程方程組，能把高次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵．19．（2023下·上海浦東新·八年級(jí)?？计谀敬鸢浮?，，，【分析】由于組中的兩個(gè)二元二次方程都可以分解為兩個(gè)二元一次方程，所以先分解組中的兩個(gè)二元二次方程，得到四個(gè)二元一次方程，重新組合成四個(gè)二元一次方程組，再解答即可．【詳解】解：將①因式分解得：，∴或?qū)ⅱ谝蚴椒纸獾茫骸嗷颉嘣匠袒癁椋海?，，解這些方程組得：，，，∴原方程組的解為：，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了二元二次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是利用因式分解法將原方程組轉(zhuǎn)化為四個(gè)方程組．20．（2023下·上海楊浦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程組：【答案】，【分析】首先對(duì)原方程組中的第一個(gè)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，用含y的表達(dá)式表示出x，然后分別重新組合，成為兩個(gè)方程組，最后解這兩個(gè)方程組即可．【詳解】解：方程可變形為，即為或，∴原方程組可變形為兩個(gè)方程組①，②；解方程組①，得，解方程組②，得，∴原方程組的解為，．【點(diǎn)睛】本題主要考查解二元二次方程組，關(guān)鍵在于對(duì)原方程組的兩個(gè)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，重新組合．21．（2023下·上海靜安·八年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┘?、乙兩家便利店到批發(fā)站采購(gòu)一批飲料，共25箱，由于兩店所處的地理位置不同，因此甲店的銷售價(jià)格比乙店的銷售價(jià)格每箱多10元．當(dāng)兩店將所進(jìn)的飲料全部售完后，甲店的營(yíng)業(yè)額為1000元，比乙店少350元，求甲、乙兩店各進(jìn)貨多少箱飲料？【答案】甲、乙兩店各進(jìn)貨箱和箱【分析】設(shè)甲店進(jìn)貨x箱，乙店進(jìn)貨箱，根據(jù)“甲店的銷售價(jià)格比乙店的銷售價(jià)格每箱多10元”列出方程解題即可．【詳解】解：設(shè)甲店進(jìn)貨x箱，乙店進(jìn)貨箱，列方程得：，解得：或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，∴乙店進(jìn)貨（箱）答：甲、乙兩店各進(jìn)貨箱和箱．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程解應(yīng)用題，注意分式方程需要驗(yàn)根，解題的關(guān)鍵是分析題意出列方程．22．（2023下·上海楊浦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）近年來(lái)，我國(guó)逐步完善養(yǎng)老金保險(xiǎn)制度．甲，乙兩人計(jì)劃分別繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金12萬(wàn)元和8萬(wàn)元，雖然甲計(jì)劃每年比乙計(jì)劃每年多繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金0.1萬(wàn)元，但是甲計(jì)劃繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金的年數(shù)還是比乙要多4年，已知甲、乙兩人計(jì)劃繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金的年數(shù)都不超過(guò)20年，求甲計(jì)劃每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金多少萬(wàn)元？【答案】甲計(jì)劃每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金0.6萬(wàn)元【分析】設(shè)乙每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金為x萬(wàn)元，則甲每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金為萬(wàn)元，根據(jù)：甲計(jì)劃繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金的年數(shù)還是比乙要多4年，即可列出方程，解方程并檢驗(yàn)后即得答案．【詳解】解：設(shè)乙每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金為x萬(wàn)元，則甲每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金為萬(wàn)元，根據(jù)題意可得：，解這個(gè)方程，得，經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根，但是當(dāng)時(shí)，甲計(jì)劃繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金的年數(shù)是年，超過(guò)了20年，不合題意，應(yīng)舍去，萬(wàn)元；答：甲計(jì)劃每年繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)金0.6萬(wàn)元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意、找準(zhǔn)相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23．（2023下·上海楊浦·八年級(jí)?？计谥校┬≌瑢W(xué)帶著48元錢去水果店買水果，看到水果店里的蘋(píng)果比梨每千克貴2元，數(shù)學(xué)能手小正同學(xué)發(fā)現(xiàn)：如果將48元全部買蘋(píng)果就比將48元全部買梨少4千克，最后，小正同學(xué)用42元買了這兩種水果，且兩者的千克數(shù)相同．(1)這家水果店的蘋(píng)果和梨每千克的價(jià)格各是多少元？(2)小正同學(xué)最終買了多少千克的水果？【答案】(1)蘋(píng)果每千克的價(jià)格是6元；梨每千克的價(jià)格是4元(2)最終購(gòu)買了千克水果【分析】（1）設(shè)這家水果店的蘋(píng)果每千克的價(jià)格是x元，則梨每千克為元，根據(jù)等量關(guān)系：48元全部買蘋(píng)果就比將48元全部買梨少4千克，列出分式方程求解即可；（2）設(shè)梨和蘋(píng)果各買了y千克，由題意列出一元一次方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)這家水果店的蘋(píng)果每千克的價(jià)格是x元，則梨每千克為元，根據(jù)題意得：，解方程得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，、都是原方程的解，但不符合題意，故舍去，∴（元）；答：這家水果店的蘋(píng)果和梨每千克的價(jià)格分別是6元與4元；（2）解：設(shè)梨和蘋(píng)果各買了y千克，由題意得：，解得：，∴（千克），答：最終購(gòu)買了千克水果．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程與一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系列出方程是關(guān)鍵．注意分式方程要檢驗(yàn)．24．（2023下·上海虹口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知甲