浙江省杭州市聯(lián)誼學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題

杭州聯(lián)誼學(xué)校2024年5月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高一數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知，則的虛部為（）A.2 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋詣tz的虛部為2.故選：A2.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為（）A.0.01 B.0.1 C.1 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，所以所求數(shù)據(jù)方差為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件及借助正方體，結(jié)合點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可求解.【詳解】如圖所示對(duì)于A，設(shè)平面為平面,平面為平面,為，則，則，故A錯(cuò)；對(duì)于B，設(shè)平面為平面,平面為平面,為，則，則，故B錯(cuò)；對(duì)于C，過作平面與平面交于直線，，則，，可得，則，故C正確；對(duì)于D，設(shè)平面為平面,為，為，則，則，故D錯(cuò).故選：C.4.已知向量，滿足，，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知：，根據(jù)模長(zhǎng)關(guān)系結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可得，進(jìn)而可求投影向量.【詳解】由題意可知：，因?yàn)?，則，即，可得，所以向量在向量方向上的投影向量為.故選：C.5.函數(shù)的最小正周期等于（）A.π B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為即可求得最小正周期.【詳解】，故最小最周期.故選：A6.已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（）A.－4 B.4 C.5 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集求出的值和的取值范圍，在代入中利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出它的最小值.【詳解】由的解集為，則，且，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以的最小值為5.故選：C7.已知圓錐的軸截面為為該圓錐的頂點(diǎn)，該圓錐內(nèi)切球的表面積為，若，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)，求得圓錐的底面半徑和高，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)內(nèi)切球與PA相切于點(diǎn)，因?yàn)椋?，由?nèi)切球的表面積為，可得球的半徑，則圓錐的高為，圓錐的底面半徑為，所以該圓錐的體積.故選：A.8.在中，角所對(duì)的邊分別是，若，邊上的高為，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理可求得，再由等面積關(guān)系可得，利用余弦定理結(jié)合基本不等式得出，即可求得，再結(jié)合的范圍即可得出結(jié)論.【詳解】，由余弦定理可得，整理可得，又AC邊上的高為，所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，，即，即，，則，，故∠ABC的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是等面積關(guān)系得，由基本不等式得.二、多選題9.下列命題為真命題的是（）A.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限B.若為虛數(shù)單位，則C.在復(fù)數(shù)集中，方程的兩個(gè)解分別為和D.復(fù)平面內(nèi)滿足條件的復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義可判斷A；根據(jù)的性質(zhì)可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)方程的根可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】對(duì)于A，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，所以在復(fù)數(shù)集中，方程有兩個(gè)解，分別為和，故C正確；對(duì)于D，復(fù)平面內(nèi)滿足條件的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓面，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.在中，分別為的對(duì)邊，則下列敘述正確的是（）A.若，則是等腰三角形．B.若為銳角三角形且外心為且，則．C.若，則解此三角形的結(jié)果有一解．D.“為銳角三角形”是“”的充分不必要條件．【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理得，得到，可得判定A正確；化簡(jiǎn)得到，得到B，P，D三點(diǎn)共線，可判定B項(xiàng)正確；由正弦定理，求得三角形的結(jié)果有兩解，可判定C錯(cuò)誤；由為銳角三角形，得到，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性和充分、必要條件的判定，可判定D正確．【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)?，由正弦定理得，即，因?yàn)?，可得，所以，由正弦定理得，所以是等腰三角形，所以A項(xiàng)正確；對(duì)于B中，由，可得，則，即，如圖所示，設(shè)為的中點(diǎn)，則，故，故B，P，D三點(diǎn)共線，因?yàn)镻是的外心，所以BD垂直平分AC，所以，所以B項(xiàng)正確；對(duì)于C中，若，因，所以，因?yàn)椋?，而，所以或，所以解此三角形的結(jié)果有兩解，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D中，若為銳角三角形，則，可得，可得，且在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即充分性應(yīng)立；若，例如符合題意，但為直角三角形，即必要性不成立；綜上所述：“為銳角三角形”是“”的充分不必要條件，所以D項(xiàng)正確．故選：ABD．11.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列命題正確的是（）A.三棱錐A?D1PC的體積不變B.直線CP與直線AD1的所成角的取值范圍為C.直線AP與平面ACD1所成角的大小不變D.二面角P?AD1?C的大小不變【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由已知可得平面，可得BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離相等，由此可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，由，可得直線CP與直線AD1的所成角即為直線CP與直線BC1的所成角，由此可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB與平面AD1C所成的角和直線AC1與平面AD1C所成的角不相等，可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影響，故D正確.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，面，所以平面，所以BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離相等，又，所以三棱錐A﹣D1PC的體積不變，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)，所以直線CP與直線AD1的所成角即為直線CP與直線BC1的所成角，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB與平面AD1C所成的角和直線AC1與平面AD1C所成的角不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影響，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.若，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化可得，結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式和運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：1.13.從某果樹上隨機(jī)摘下11個(gè)水果，其直徑為（單位：，則這組數(shù)據(jù)的第六十百分位數(shù)為__________.【答案】20【解析】【分析】由百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】第六十百分位數(shù)的位置為，即取第7位數(shù)20，故第六十百分位數(shù)為20.故答案為：20.14.已知函數(shù)()在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】因?yàn)?，可得，根?jù)函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，得到，且，可得，驗(yàn)證，，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)（），可得函數(shù)的周期為，因?yàn)椋傻糜钟珊瘮?shù)()在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且滿足，且，可得，即，且，當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出相應(yīng)的不等式組是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.15.在疫情防護(hù)知識(shí)競(jìng)賽中，對(duì)某校的2000名考生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，，60分以下視為不及格.觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）求分?jǐn)?shù)內(nèi)的頻率，并計(jì)算本次競(jìng)賽中不及格考生的人數(shù)；（2）從頻率分布直方圖中，分別估計(jì)本次競(jìng)賽成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù).【答案】（1）分?jǐn)?shù)內(nèi)的頻率為，不及格考生的人數(shù)為：（人）（2）眾數(shù)為75分，中位數(shù)為分【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為1，可求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率；用“樣本容量頻率”可得不及格考生的人數(shù)；（2）用頻率最大的區(qū)間的中間數(shù)據(jù)估計(jì)眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的概念求中位數(shù).【小問1詳解】由頻率分布直方圖得：，解得，所以分?jǐn)?shù)內(nèi)的頻率為.本次競(jìng)賽中不及格考生的人數(shù)為：（人）.【小問2詳解】由題意得：因?yàn)槌煽?jī)?cè)诘念l率最大，又，所以眾數(shù)為75分；設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為分.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)與線面平行判定定理推導(dǎo)即可得；（2）借助線面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理推導(dǎo)即可得；（3）借助點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，可得點(diǎn)與點(diǎn)到平面距離相等，即有，結(jié)合體積公式計(jì)算即可得.【小問1詳解】連接交于點(diǎn)，連接，由底面是正方形，故為中點(diǎn)，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故，又平面，平面，故平面；【小問2詳解】由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，故，由平面，平面，故，又底面是正方形，故，又、平面，，故平面，又平面，故，又、平面，，故平面；【小問3詳解】由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)到平面距離相等，故.17.已知，如圖，在中，點(diǎn)滿足在線段BC上且，點(diǎn)是AD與MN的交點(diǎn)，.（1）分別用來表示和（2）求最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）平面向量基本定理的運(yùn)用，根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解.（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合三點(diǎn)共線性質(zhì)和基本不等式中“1”的妙用即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?【小問2詳解】由（1），因?yàn)?，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.18.在中，對(duì)應(yīng)的邊分別為，已知向量,且為邊上一點(diǎn)，,且.（1）求；（2）求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由得，從而計(jì)算；（2）由題意，兩邊平方結(jié)合基本不等式可得，利用面積公式即可求.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所以，利用二倍角公式和邊化角可得：，即，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?【小問2詳解】因?yàn)椋?，兩邊平方得：，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).由，可得：，所以.所以面積的最大值為.19.如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面是棱的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）若二面角為，求異面直線與所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)判定推理即得.（2）作出二面角的平面角，由此求出，再利用異面直線所成角的定