專題17全等與相似模型-對(duì)角互補(bǔ)模型（教師卷）

專題17全等與相似模型對(duì)角互補(bǔ)模型全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了．本專題就對(duì)角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型對(duì)角互補(bǔ)模型概念：對(duì)角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。思想方法：解決此類問(wèn)題常用的輔助線畫(huà)法主要有兩種：①過(guò)頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。常見(jiàn)的對(duì)角互補(bǔ)模型含90°90°對(duì)角互補(bǔ)模型、120°60°對(duì)角互補(bǔ)模型、2α（180°2α）對(duì)角互補(bǔ)模型。1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3）“等邊三角形對(duì)120°模型”（1）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4）“等邊三角形對(duì)120°模型”（2）條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.5）“120°等腰三角形對(duì)60°模型”條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。結(jié)論：①PB+PC=PA；6）“2α對(duì)180°2α模型”條件：四邊形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180°結(jié)論：OP平分∠AOB注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三個(gè)條件可知二推一。7）“蝴蝶型對(duì)角互補(bǔ)模型”條件：AP=BP,∠AOB=∠APB結(jié)論：OP平分∠AOB的外角。例1．（2023·黑龍江黑河·八年級(jí)期中）Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論：①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，∴AD=DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN=90°－∠ADN=∠FDC．∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF=BE+AE=AB．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=BC．∴(BE+CF)=BC．∴結(jié)論①正確．設(shè)AB=AC=a，AE=b，則AF=BE=a－b．∴．∴．∴結(jié)論②正確．如圖，過(guò)點(diǎn)E作EI⊥AD于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，ADEF相交于點(diǎn)O．∵四邊形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，∴EO≥EI（EF⊥AD時(shí)取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD時(shí)取等于）=AG．∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴結(jié)論④錯(cuò)誤．∵△EDA≌△FDC，∴．∴結(jié)論③錯(cuò)誤．綜上所述，結(jié)論①②正確．故選C．例2．（2022遼寧九年級(jí)期末模擬）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA，OB(或它們的反向延長(zhǎng)線)相交于點(diǎn)D，E.當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)(如圖①)，易證：OD＋OE＝OC；當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立，線段OD，OE，OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．【答案】圖②中OD＋OE＝OC成立．證明見(jiàn)解析；圖③不成立，有數(shù)量關(guān)系：OE－OD＝OC【分析】當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，易得△CKD≌△CHE，進(jìn)而可得出證明；判斷出結(jié)果，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到全等三角形或等價(jià)關(guān)系，進(jìn)而得出OC與OD、OE的關(guān)系；最后轉(zhuǎn)化得到結(jié)論．【詳解】解：圖②中OD＋OE＝OC成立．證明：過(guò)點(diǎn)C分別作OA，OB的垂線，垂足分別為P，Q有△CPD≌△CQE，∴DP＝EQ，∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，又∵OP＋OQ＝OC，即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，∴OD＋OE＝OC．圖③不成立，有數(shù)量關(guān)系：OE－OD＝OC過(guò)點(diǎn)C分別作CK⊥OA，CH⊥OB，∵OC為∠AOB的角平分線，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，又∵∠KCD與∠HCE都為旋轉(zhuǎn)角，∴∠KCD=∠HCE，∴△CKD≌△CHE，∴DK=EH，∴OEOD=OH+EHOD=OH+DKOD=OH+OK，由（1）知：OH+OK=OC，∴OD，OE，OC滿足OEOD=OC．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心．例3．（2022秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，是過(guò)點(diǎn)的直線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖(1)，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，、、之間的數(shù)量關(guān)系是什么？并給予證明．(2)拓展探究：當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時(shí)，、、之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明．【答案】(1)；證明見(jiàn)解析(2)；證明見(jiàn)解析【分析】(1)過(guò)點(diǎn)作，得到，判斷出，確定為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，判斷出，確定為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，在四邊形中，，，，∴，，，，，，是等腰直角三角形，，，∴；（2）；理由：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．例4．（2022四川宜賓八年級(jí)期末）如圖1，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)E.（1）求證：；（2）圖1中，若，求的長(zhǎng)；（3）如圖2，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn).若，求四邊形的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）OD+OE=；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根據(jù)題意利用AAS定理進(jìn)行證明△CDG≌△CEH，從而求解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD+OE=2OH，然后利用勾股定理求OH的值，從而求解；（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根據(jù)題意利用AAS定理進(jìn)行證明△CDG≌△CEH，從而求得==2，然后利用含30°的直角三角形性質(zhì)求得OH=,CH=從而求得三角形面積，使問(wèn)題得到解決．【詳解】解：（1）如圖,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，∵平分∴CG=CH

∵,

∴∠CDO+∠CEO=180?∵∠CDG+∠CDO=180?∴∠CDG=∠CEO在△CDG與△CEH中∴△CDG≌△CEH(AAS)∴(2)由（1）得△CDG≌△CEH∴DG=HE由題易得△OCG與△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG=OH∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH設(shè)OH=CH=x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得:OH2+CH2=OC2∴∴(舍負(fù))∴OH=∴OD+OE=2OH=（3）如圖,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，∵平分∴CG=CH∵,∴∠CDO+∠CEO=180?∵∠CDG+∠CDO=180?∴∠CDG=∠CEO在△CDG與△CEH中∴△CDG≌△CEH(AAS)∴DG=HE由題易得△OCG與△OCH是全等的直角三角形,且OG=OH∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH∴==2在Rt△OCH中,有∠COH=60°,OC=3，∴OH=,CH=∴∴=2=【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)及判定，含30°直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，是一道綜合性問(wèn)題，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)靈活應(yīng)用解題是本題的解題關(guān)鍵.例5．（2022湖北省宜城市八年級(jí)期末）如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點(diǎn)D、E．（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由詳見(jiàn)解析；（3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為OE﹣OD=OC，證明詳見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)OM是∠AOB的角平分線，可得∠AOB=60°，則∠OCE=30°，再根據(jù)30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出結(jié)論；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根據(jù)AAS證明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，則OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出結(jié)論.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根據(jù)等量代換可得OE﹣OD=OC.【詳解】(1)∵OM是∠AOB的角平分線，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC，(2)(1)中結(jié)論仍然成立，理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如圖，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，∴CF=CG，∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；(3)(1)中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE﹣OD=OC，理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如圖，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，∴CF=CG，∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì).正確作輔助線是解題的關(guān)鍵.例6．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，把∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)DF⊥AC時(shí)，求證：BE=CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）是，2.【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，可求∠DEA=90°，根據(jù)“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可證BE=CF；（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，易證△MBD≌△NCD，則有BM=CN，DM=DN，進(jìn)而可證到△EMD≌△FND，則有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【詳解】（1）∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，則有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°60°90°90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS）BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA）∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，通過(guò)證明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解決本題的關(guān)鍵．例7．（2022山東省棗莊市一模）如圖，已知，在的角平分線上有一點(diǎn)，將一個(gè)角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，它的兩條邊分別與射線相交于點(diǎn).（1）如圖1，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)，請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)位于的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，求線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.【答案】（1），見(jiàn)解析；（2）結(jié)論仍然成立，見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）先判斷出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法得OF＋OG＝OC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代換即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）是的角平分線在中，，同理：（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：過(guò)點(diǎn)作于，于由（1）知，，且點(diǎn)是的平分線上一點(diǎn)（3）結(jié)論為：.理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線OM上一點(diǎn)，∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF?OD＝EG?OD，OG＝OE?EG，∴OF＋OG＝EG?OD＋OE?EG＝OE?OD，∴OE?OD＝OC．【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．例8．（2022秋·福建廈門·九年級(jí)校考期中）如圖，（是常量）．點(diǎn)P在的平分線上，且，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，的兩邊分別與，相交于M，N兩點(diǎn)，若始終與互補(bǔ)，則以下四個(gè)結(jié)論：①；②的值不變；③四邊形的面積不變；④點(diǎn)M與點(diǎn)N的距離保持不變．其中正確的為（）A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③【答案】B【分析】如圖作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，只要證明，即可一一判斷．【詳解】解：如圖所示：作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，，，，，，平分，，，，在和中，，，，在和中，，，，故①正確，，定值，故③正確，定值，故②正確，的位置是變化的，之間的距離也是變化的，故④錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．模型2.對(duì)角互補(bǔ)模型（相似模型）【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形相似.【常見(jiàn)模型及結(jié)論】1）對(duì)角互補(bǔ)相似1 條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，輔助線：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC，垂足為D，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC，垂足為H，結(jié)論：①△ODE～△OHF；②（思路提示：）.2）對(duì)角互補(bǔ)相似 2條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.輔助線：作法1：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA，垂足為F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OB，垂足為G；結(jié)論：①△ECG～△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）輔助線：作法2：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于F；結(jié)論：①△CFE～△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）3）對(duì)角互補(bǔ)相似3 條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°輔助線：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F；結(jié)論：①△DAE～△DCF；②ABCD四點(diǎn)共圓。例1．（2023·成都市·九年級(jí)期中）如圖所示，在中，，，在中，，點(diǎn)P在上，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．當(dāng)時(shí)，的值為（）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】過(guò)P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，證明△PQE∽△PHF，得出PQ=2PH=2BQ，再由PQ∥BC證得△AQP∽△ABC，得到，設(shè)BQ=x，則AQ=3﹣x，PQ=2x，求出x值即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵在中，，，∴AC=，過(guò)P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，則∠PQB=∠PHB=∠B=90°，∴四邊形PQBH是矩形，∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC，∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，∴∠QPE=∠HPF，∴△PQE∽△PHF，∴，又PE=2PF，∴PQ=2PH=2BQ，∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC，∴，設(shè)BQ=x，則AQ=3﹣x，PQ=2x，∴，解得：，AP=3，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線是解答的關(guān)鍵．例2．（2023·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角中，，，過(guò)點(diǎn)作射線，為射線上一點(diǎn)，在邊上（不與重合）且，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：；（3）如果，求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，從而結(jié)合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行線的性質(zhì)得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，從而得到△ADC∽△AEB；（2）根據(jù)題意由相似三角形的性質(zhì)得到AD：AE=AC：AB，轉(zhuǎn)化為AD：AC=AE：AB，結(jié)合∠DAE=∠CAB=45°得證結(jié)果；（3）根據(jù)題意結(jié)合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，從而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求證．【詳解】解：（1）證明：∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，，∴；（2）證明：∵∴，即，∵，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，又∵，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)線段的比例關(guān)系得到三角形相似．例3．（2023·廣西河池·校聯(lián)考一模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在中，，，，在直角三角板中，，將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊，分別與邊，交于點(diǎn)，．【猜想證明】如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【問(wèn)題解決】如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．

【答案】[猜想證明]四邊形是矩形，理由見(jiàn)解析；[問(wèn)題解決]．【分析】[猜想證明]由三角形中位線定理可得，可證，即可求解；[問(wèn)題解決]由勾股定理可求的長(zhǎng)，由中點(diǎn)的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】[猜想證明]四邊形是矩形，理由如下：如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，，，，，，四邊形是矩形；[問(wèn)題解決]過(guò)點(diǎn)作于，如圖：

，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及矩形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．例4．（2023年江西省南昌市月考）如圖，兩個(gè)全等的四邊形和，其中四邊形的頂點(diǎn)O位于四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)O．(1)如圖1，若四邊形和都是正方形，則下列說(shuō)法正確的有_______．（填序號(hào)）①；②重疊部分的面積始終等于四邊形的；③．(2)應(yīng)用提升:如圖2，若四邊形和都是矩形，，寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)類比拓展:如圖3，若四邊形和都是菱形，，判斷（1）中的結(jié)論是否依然成立；如不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論（可用表示），并選取你所寫(xiě)結(jié)論中的一個(gè)說(shuō)明理由．【答案】(1)①②③(2)關(guān)系為，證明見(jiàn)解析(3)①成立，②③不成立，正確結(jié)論②重疊部分的面積始終等于四邊形的；③．證明①的過(guò)程見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖，在圖1中，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∵于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∴∵四邊形和都是正方形∴∴∵,∴在和中∴∴故①正確∵∴∴故②正確∵四邊形是正方形∴∴故③正確（2）關(guān)系為，證明如下：如圖，在圖2中，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∵于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∴∵四邊形和都是矩形∴∵,∴在和中∴∴（3）（1）中結(jié)論，①成立，②③不成立，正確結(jié)論②重疊部分的面積始終等于四邊形的；③．現(xiàn)證明①如下：如圖，在圖3中，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∵于點(diǎn)H,于點(diǎn)G∴∵四邊形和都是菱形∴∴∵,∴在和中∴∴例5．（2023.遼寧中考模擬）如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在線段AB上（點(diǎn)O不與點(diǎn)A，B重合），且OB＝kOA，點(diǎn)M是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，作射線OM，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點(diǎn)N．（1）如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，當(dāng)k＞1時(shí)，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；（3）點(diǎn)P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值（用含k的式子表示）．【答案】（1）OM＝ON，見(jiàn)解析；（2）ON＝k?OM，見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM∽△EON；（3）設(shè)AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代數(shù)式分別表示再利用比例的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）OM＝ON，如圖1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB，∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．（2）如圖2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，∴，由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，∴△DOM∽△EON，∴，∴ON＝k?OM．（3）如圖3，設(shè)AC＝BC＝a，∴AB＝a，∵OB＝k?OA，∴OB＝?a，OA＝?a，∴OE＝OB＝a，∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝?a，∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋?a，由（2）知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°，∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋?a，設(shè)AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，（＋1）x＝AC＋CM，∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，∴k＞1∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作OD⊥AC，OE⊥BC；本題的難點(diǎn)是條件得出k＞1．例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，連接DE，作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，求證：BE＝AF；（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE＝1，連接DE，作DF⊥DE交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)；（3）類比遷移：如圖3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為射線BA上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），連接DE，將射線DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交射線CA于點(diǎn)F，當(dāng)AE＝4AF時(shí)，求AF的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4；（3）或或【分析】（1）證明△BDE≌△ADF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到BE＝AF；（2）方法同（1），利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題；（3）證明△EBD∽△DCF，推出，設(shè)AF＝m，則AE＝4m，分三種情形，分別構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）解：如圖2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4；（3）解：如圖3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°，∴BD＝CD＝AB?sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假設(shè)AF＝m，則AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m，∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴，∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，m是分式方程的解．當(dāng)點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得，∴，解得，m或（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，m是分式方程的解．當(dāng)點(diǎn)E在射線BA上時(shí)，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴，∴解得，m或（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，m是分式方程的解．綜上所述，滿足條件的AF的值為或或．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·江蘇·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點(diǎn)分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點(diǎn)C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若∠BCA=90°，則BC+AC的值為_(kāi)________．【答案】【分析】可將△OBC繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，所得的圖形與△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜邊CD.【詳解】解：將△OBC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，∵OB=OA∴點(diǎn)B落在A處，點(diǎn)C落在D處且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四邊形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三點(diǎn)在同一條直線上，∴△OCD為等要直角三角形，根據(jù)勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=即BC+AC=.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.要求兩條線段的長(zhǎng)，可利用作圖的方法將兩條線段化成一條線段，再求這條線段的長(zhǎng)度即可，本題就是利用旋轉(zhuǎn)的方法做到的，但做本題時(shí)需注意，一定要證明C、A、D三點(diǎn)在同一條直線上.本題還有一種化一般為特殊的方法，因?yàn)榇鸢敢欢煽紤]CB⊥y軸的情況，此時(shí)四邊形OACB剛好是正方形，在做選擇或填空題時(shí)，也可起到事半功倍的效果.2．（2023.廣東九年級(jí)期中）如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點(diǎn)共線；②平分；③；④．其中正確的有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】①設(shè)∠1=x度，把∠2=（60x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起來(lái)等于180度，即可證明D、A、E三點(diǎn)共線；②根據(jù)△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△ACE，判斷出△CDE為等邊三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°60°=60°，可知DC平分∠BDA；③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，從而得到∠E=∠BAC．④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE為等邊三角形，DC=DE=DB+BA．【詳解】解：如圖，①設(shè)∠1=x度，則∠2=（60x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4=60x+60+x+60=180度，∴D、A、E三點(diǎn)共線；故①正確；②∵△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△ACE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE為等邊三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正確；③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正確；④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．∵△CDE為等邊三角形，∴DC=DB+DA．故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，要注意旋轉(zhuǎn)不變性，找到變化過(guò)程中的不變量．3.（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）在菱形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)，分別是邊上的點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，則的值為．

【答案】【分析】由菱形的性質(zhì)及可證，得，；由得，，于是，可得，進(jìn)而求得答案．【詳解】∵∴∴∵四邊形是菱形，∴，∴∴∴，又∵∴．，∵∴，∴．設(shè)，則，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用全等及相似得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023青島版九年級(jí)月考）如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)在上，、分別交、于點(diǎn)、，繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)．當(dāng)時(shí)，的值為；當(dāng)時(shí)，為．（用含的式子表示）【答案】,【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由條件可以表示出HO、GO的值，通過(guò)證明△PHO∽△QGO由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．解答：解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°．∵∠ACB=90°，∴四邊形HCGO為矩形，∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴．∵，設(shè)OA=x，則OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x．在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案為．5．（2023?西城區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，試說(shuō)明AD＝DC．【解答】證明：如圖，過(guò)D作DF⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°，∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，在△ADF和△CDE中∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AD＝CD．6．（2023?阜新中考模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在AB，AC上，且∠EDF＝90°．求證：BE＝AF；（2）點(diǎn)M，N分別在直線AD，AC上，且∠BMN＝90°．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：AB+AN＝AM；②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A，D之間，且∠AMN＝30°時(shí)，已知AB＝2，直接寫(xiě)出線段AM的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠CAD＝∠B，AD＝BD，∵∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥AM，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∴∠AMP＝90°，∵∠PAM＝45°，∴∠P＝∠PAM＝45°，∴AM＝PM，∵∠BMN＝∠AMP＝90°，∴∠BMP＝∠AMN，∵∠DAC＝∠P＝45°，∴△AMN≌△PMB（ASA），∴AN＝PB，∴AP＝AB+BP＝AB+AN，在Rt△AMP中，∠AMP＝90°，AM＝MP，∴AP＝AM，∴AB+AN＝AM；②如圖，在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝，∵∠BMN＝90°，∠AMN＝30°，∴∠BMD＝90°﹣30°＝60°，在Rt△BDM中，DM＝＝，∴AM＝AD﹣DM＝﹣．7、（2023.重慶九年級(jí)期中）已知：如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∠DOE＝120°，∠DOE繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與AB相交于點(diǎn)D，與AC相交于點(diǎn)E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如圖1，求證：OD＝OE．(2)在圖1中，BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．(3)若點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在線段AC上，如圖2，直接寫(xiě)出BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是