2024-2025學年新教材高中數(shù)學第二章平面向量及其應(yīng)用2.6.1第1課時余弦定理與正弦定理課時作業(yè)含解析北師大版必修第二冊

PAGE課時分層作業(yè)(二十一)余弦定理與正弦定理(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．在△ABC中，a＝5，b＝3，則eq\f(sinA,sinB)的值是()A．eq\f(5,3) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,7) D．eq\f(5,7)A[依據(jù)正弦定理，得eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,b)＝eq\f(5,3).]2．已知a、b、c是△ABC的三邊，B＝60°，則a2－ac＋c2－b2的值是()A．大于0 B．小于0C．等于0 D．不確定C[由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60°＝a2＋c2－ac，所以a2－ac＋c2－b2＝eq(\a\vs4\al\co1(a2＋c2－ac))－b2＝b2－b2＝0.]3．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c.若a＝c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，且∠A＝75°，則b＝()A．2 B．4＋2eq\r(3)C．4－2eq\r(3) D．eq\r(6)－eq\r(2)A[在△ABC中，易知∠B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos30°＝4.∴b＝2.]4．在△ABC中，a＝bsinA，則△ABC肯定是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形B[由題意有eq\f(a,sinA)＝b＝eq\f(b,sinB)，則sinB＝1，又B∈(0，π)，故角B為直角，故△ABC是直角三角形．]5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝eq\r(2)，b＝eq\r(6)，B＝120°，則a等于()A．eq\r(6) B．2C．eq\r(3) D．eq\r(2)D[由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cosB，∴6＝a2＋2＋eq\r(2)a∴a＝eq\r(2)或－2eq\r(2)(舍去)．]二、填空題6．△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)________.eq\r(2)[由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝eq\r(2)sinA，故sinB＝eq\r(2)sinA，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2).]7．已知銳角三角形的邊長分別為1,3，a，則a的取值范圍是________．(2eq\r(2)，eq\r(10))[只需讓3和a所對的角均為銳角即可．故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(12＋32－a2,2·1·3)>0，,\f(12＋a2－32,2·1·a)>0，,1＋3>a，,1＋a>3，))解得2eq\r(2)<a<eq\r(10).]8．在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2π,3)，則a＝________.1[由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴a2＋1＋a＝3，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍)．]三、解答題9．已知△ABC的邊長滿意等式eq\f(a2－b－c2,bc)＝1，求A．[解]由eq\f(a2－b－c2,bc)＝1，得b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2)，又0<A<π，所以A＝eq\f(π,3).10．在△ABC中，∠A的平分線AD與邊BC相交于點D，求證：eq\f(BD,DC)＝eq\f(AB,AC).[證明]如圖在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得eq\f(BD,sinβ)＝eq\f(AB,sinα)，eq\f(DC,sinβ)＝eq\f(AC,sin180°－α)＝eq\f(AC,sinα)，兩式相除得eq\f(BD,DC)＝eq\f(AB,AC).11．在△ABC中，已知a＝2，則bcosC＋ccosB等于()A．1 B．eq\r(2)C．2 D．4C[bcosC＋ccosB＝b·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＝eq\f(2a2,2a)＝a＝2.]12．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cosBA．eq\f(1,4) B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(2),3)B[∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq\f(3,4).]13．若△ABC為鈍角三角形，三邊長分別為2,3，x，則x的取值范圍是()A．(1，eq\r(5)) B．(eq\r(13)，5)C．(eq\r(5)，eq\r(13)) D．(1，eq\r(5))∪(eq\r(13)，5)D[(1)若x>3，則x對角的余弦值eq\f(22＋32－x2,2×2×3)<0且2＋3>x，解得eq\r(13)<x<5.(2)若x<3，則3對角的余弦值eq\f(22＋x2－32,2×2×x)<0且x＋2>3，解得1<x<eq\r(5).故x的取值范圍是(1，eq\r(5))∪(eq\r(13)，5)．]14．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosC,c)，則C的值為________．45°[由正弦定理知eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinC,c)，∴eq\f(sinC,c)＝eq\f(cosC,c)，∴cosC＝sinC，∴tanC＝1，又∵C∈(0，π)，∴C＝45°.]15．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB＝3，bsinA＝4.(1)求邊長a；(2)若△ABC的面積S＝10，求△ABC的周長．[解](1)由已知得acosB＝3，bsinA＝4，∴eq\f(acosB,bsinA)＝eq\f(3,4)，即eq\f(a,sinA)·eq\f(cosB,b)＝eq\f(3,4).①由正弦定理知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)代入①式得：eq\f(b,sinB)·eq\f(cosB,b)＝eq\f(3,4)，∴sinB＝eq\f(4,3)cosB．由acosB＝3＞0知：B為銳角．依據(jù)sin2B＋cos2B＝1，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)cosB))eq\s\up12(2)＋cos2B＝1，∴cosB＝eq\f(3,5)，∴sinB＝eq\f(4,5)，∴a＝eq\f(3,cosB)＝5.(2)設(shè)△ABC底邊BC上的高為h，則h＝csinB，∴三角形ABC的面積S＝eq\f(1,2)·BC·h＝eq\f