2019年高考數(shù)學(xué)試卷（理）（新課標(biāo)Ⅲ）（解析卷）

第頁(yè)|共頁(yè)絕密★啟用前2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）答案解析版一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B再求出交集.【詳解】由題意得，，則．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集的求法，是基礎(chǔ)題.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則求解即可.【詳解】．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的商的運(yùn)算，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取運(yùn)算法則法，利用方程思想解題．3.《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題先求出閱讀過(guò)西游記的人數(shù)，進(jìn)而得解.【詳解】由題意得，閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0．7．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．4.（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為A.12 B.16 C.20 D.24【答案】A【解析】【分析】本題利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開式通項(xiàng)公式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù)．5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出關(guān)于的方程組，求出，再利用通項(xiàng)公式即可求得的值．【詳解】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．【點(diǎn)睛】應(yīng)用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式解題時(shí)，要注意公比是否等于1，防止出錯(cuò)．6.已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得．【詳解】詳解：將代入得，故選D．【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的基礎(chǔ)，本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤．求導(dǎo)要“慢”，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類問(wèn)題的基本要求．7.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)C．又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B．【點(diǎn)睛】本題通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過(guò)計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．8.如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線段的中點(diǎn)，則（）A.，且直線是相交直線B.，且直線是相交直線C.，且直線是異面直線D.，且直線是異面直線【答案】B【解析】【分析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問(wèn)題．【詳解】，為中點(diǎn)為中點(diǎn)，，共面相交，選項(xiàng)C，D為錯(cuò)．作于，連接，過(guò)作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長(zhǎng)2，易知，．，故選B．【點(diǎn)睛】本題為立體幾何中等問(wèn)題，考查垂直關(guān)系，線面、線線位置關(guān)系.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的為，則輸出的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)程序框圖，結(jié)合循環(huán)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算，可得結(jié)果.【詳解】不成立不成立成立輸出，故選D．【點(diǎn)睛】循環(huán)運(yùn)算，何時(shí)滿足精確度成為關(guān)鍵，加大了運(yùn)算量，輸出前項(xiàng)數(shù)需準(zhǔn)確，此為易錯(cuò)點(diǎn)．10.雙曲線C：=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△PFO的面積為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題．【詳解】由．，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，，故選A．【點(diǎn)睛】忽視圓錐曲線方程和兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積．11.設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再比較大小．【詳解】是R的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調(diào)遞減，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．12.設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①在（）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②在（）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④【答案】D【解析】【分析】本題為三角函數(shù)與零點(diǎn)結(jié)合問(wèn)題，難度大，可數(shù)形結(jié)合，分析得出答案，要求大，理解深度高，考查數(shù)形結(jié)合思想．【詳解】，在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)．，，，④正確．如圖為極大值點(diǎn)為3個(gè)，①正確；極小值點(diǎn)為2個(gè)或3個(gè)．②不正確．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．③正確，故選D．【點(diǎn)睛】極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)動(dòng)態(tài)的，易錯(cuò)，③正確性考查需認(rèn)真計(jì)算，易出錯(cuò)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知a，b為單位向量，且a·b=0，若，則___________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)結(jié)合向量夾角公式求出，進(jìn)一步求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積、向量的夾角．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．14.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________.【答案】4.【解析】【分析】根據(jù)已知求出和的關(guān)系，再結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求得結(jié)果.【詳解】因，所以，即，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．15.設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義分別求出，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出的坐標(biāo).【詳解】由已知可得，．．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．16.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長(zhǎng)方體的中心，分別為所在棱的中點(diǎn)，，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________.【答案】118．8【解析】【分析】根據(jù)題意可知模型的體積為四棱錐體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量.【詳解】由題意得，四棱錐O-EFGH的底面積為，其高為點(diǎn)O到底面的距離為3cm，則此四棱錐的體積為．又長(zhǎng)方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為．【點(diǎn)睛】此題牽涉到的是3D打印新時(shí)代背景下的幾何體質(zhì)量，忽略問(wèn)題易致誤，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成兩組，每組100只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中的值；（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.【答案】(1)，；(2)，.【解析】【分析】(1)由可解得和的值；(2)根據(jù)公式求平均數(shù).【詳解】(1)由題得，解得，由，解得.(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為，乙離子殘留百分比的平均值為【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1);(2).【解析】分析】(1)利用正弦定理化簡(jiǎn)題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角解得.(2)根據(jù)三角形面積公式，又根據(jù)正弦定理和得到關(guān)于的函數(shù)，由于是銳角三角形，所以利用三個(gè)內(nèi)角都小于來(lái)計(jì)算的定義域，最后求解的值域.【詳解】(1)根據(jù)題意由正弦定理得，因?yàn)?，故，消去得。，因?yàn)楣驶蛘?，而根?jù)題意，故不成立，所以，又因?yàn)?，代入得，所?(2)因?yàn)槭卿J角三角形，又由前問(wèn)，，得到，故又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有.又因,故，故.故的取值范圍是【點(diǎn)睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，和正弦定理或者余弦定理的使用（此題也可以用余弦定理求解），最后考查是銳角三角形這個(gè)條件的利用?？疾榈暮苋?，是一道很好的考題.19.圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2).【解析】【分析】(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?，和菱形?nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€，所以易證.(2)在圖中找到對(duì)應(yīng)的平面角，再求此平面角即可.于是考慮關(guān)于的垂線，發(fā)現(xiàn)此垂足與的連線也垂直于.按照此思路即證.【詳解】(1)證：，，又因?yàn)楹驼吃谝黄?，A，C，G，D四點(diǎn)共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得證.(2)過(guò)B作延長(zhǎng)線于H，連結(jié)AH，因?yàn)锳B平面BCGE，所以而又，故平面，所以.又因?yàn)樗允嵌娼堑钠矫娼牵谥?，又因?yàn)楣剩?而在中,，即二面角的度數(shù)為.【點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題。首先是多面體粘合問(wèn)題，考查考生在粘合過(guò)程中哪些量是不變的。再者粘合后的多面體不是直棱柱，建系的向量解法在本題中略顯麻煩，突出考查幾何方法。最后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問(wèn)題考查考生的空間想象能力。20.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)或.【解析】【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)根據(jù)的各種范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行最大值和最小值的判斷，最終得出,的值.【詳解】(1)對(duì)求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若在區(qū)間有最大值1和最小值-1，所以若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，代入解得，，與矛盾，所以不成立.若，區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間.所以，代入解得.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.即相減得，即，又因?yàn)?，所以無(wú)解.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.即在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.即相減得，解得，又因?yàn)?，所以無(wú)解.若，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.所以有區(qū)間上單調(diào)遞減，所以區(qū)間上最大值為，最小值為即解得.綜上得或.【點(diǎn)睛】1)這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少?？疾榈暮瘮?shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計(jì)算。思考量不大，由計(jì)算量補(bǔ)充。21.已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)3或.【解析】【分析】可用解析法和幾何法證明。解析法可設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，然后求出A，B兩點(diǎn)處的切線，兩條切線交于直線之上，所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為聯(lián)立方程可解和的關(guān)系。之后用兩點(diǎn)式求出直線方程，最后根據(jù)直線方程求出它所過(guò)的定點(diǎn).(2)應(yīng)用四邊形面積公式，代入化簡(jiǎn)出關(guān)于和的對(duì)稱式。然后分情況討論求解。如果不知道四面下面積公式則可以將四邊形分成兩個(gè)三角形求面積之后做和，但會(huì)稍微麻煩一些。（此題若用向量積的概念則更為容易）【詳解】(1)證明：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，因?yàn)?，所以，則切線DA為：①，切線DB為：②，代入得，得，因?yàn)楣氏サ媒稽c(diǎn)的縱坐標(biāo)，因?yàn)镈A和DB的交點(diǎn)D為直線上的動(dòng)點(diǎn)，所以有，，直線AB為，點(diǎn)A，B在曲線上，則有，整理得，即.當(dāng)，時(shí)無(wú)論,取何值時(shí)，此等式均成立。因此直線AB過(guò)定點(diǎn)，得證。(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為G，由題得G點(diǎn)坐標(biāo)為，則，又.由題意知，即即.代入得整理得.因，故.所以或.由第一問(wèn)中，為這里的為D點(diǎn)坐標(biāo),然而,故，所以，又因?yàn)?所以。即D坐標(biāo)為.那么,.設(shè)為與的夾角，那么有代入進(jìn)行化簡(jiǎn)有若，則.若，則,代入有.所以四邊形ADBE的面積為3或.【點(diǎn)睛】此題第一問(wèn)是圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題和第二問(wèn)是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班的求解就可以。思路較為清晰，但計(jì)算量不