吉林省八校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第二?三章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得正確答案.【詳解】依題意，，且拋物線的開(kāi)口向上，焦點(diǎn)在軸上，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B2.圓與的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離 C.外切 D.內(nèi)切【答案】D【解析】【分析】計(jì)算兩圓圓心距，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑．兩圓圓心距為，所以圓與圓內(nèi)切．故選：D.3.若雙曲線的右支上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為9，則到左焦點(diǎn)的距離為（）A.3 B.12 C.15 D.3或15【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線方程求得，再利用雙曲線的定義即可得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，則，設(shè)雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，又點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，所以，則.故選：C.4已知直線與垂直，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直得到斜率關(guān)系，列式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與垂直，且直線斜率為0，所以直線的斜率不存在，即，解得.故選：C5.已知直線與直線平行，且與橢圓的交點(diǎn)為，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合斜率，利用點(diǎn)差法可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以直線的斜率為，即，因?yàn)?，都在橢圓上，所以，，則，即，所以，所以，故選：A.6.已知直線與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則恒過(guò)點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直線恒過(guò)點(diǎn)，然后利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求出其對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€恒過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線恒過(guò)點(diǎn).故選：A7.設(shè)有一組圓，若圓上恰有兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)即可求解.【詳解】圓，其圓心為，半徑為．因?yàn)閳A上恰有兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，所以圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)．因?yàn)閳A心距為，所以，解得．故選：B8.如圖，某雙曲線筆簡(jiǎn)的軸截面曲線部分為一條離心率為且焦距為的雙曲線的一部分.忽略筆筒的厚度，該筆筒中間最窄處的直徑為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出，該筆筒中間最窄處的直徑為得解.【詳解】依題意可得，所以，所以該筆筒中間最窄處的直徑為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓，則（）A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10 B.橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為C.橢圓的焦距為8 D.橢圓的離心率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，且橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，頂點(diǎn)為，焦距為8，離心率.故選：ACD10.已知直線和曲線相交于兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線的長(zhǎng)度為 B.C. D.若，則【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于A，確定曲線為半圓即可判斷，對(duì)于B結(jié)合圖像數(shù)形結(jié)合即可判斷，對(duì)于C利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合m的范圍即可判斷，對(duì)于D，求出的垂直平分線，利用點(diǎn)D在滿(mǎn)足直線方程即可判斷.【詳解】由，得，因?yàn)?，所以曲線表示以為圓心，半徑的半圓，則其周長(zhǎng)為，A錯(cuò)誤；如上圖：當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，圓心到直線的距離，解得舍去）．當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線和曲線有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，解得．當(dāng)直線和曲線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，B錯(cuò)誤；，因?yàn)?，所以，C正確；線段的中垂線過(guò)圓心2,0，斜率為1，所以方程為，點(diǎn)直線上，D正確。.故選：CD11.已知拋物線的準(zhǔn)線l與圓相切，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，N是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為Q，C的焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)F的坐標(biāo)為B.的最小值為C.存在兩個(gè)P點(diǎn)，使得D.若正三角形，則圓M與直線PQ相交【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，準(zhǔn)線與圓相切，可知，即可確定焦點(diǎn)為F坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng)；對(duì)B，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)將軍飲馬理論可判斷選項(xiàng)；對(duì)C，若，則PM=PF，做中垂線，解出方程，與拋物線聯(lián)立，解得個(gè)數(shù)，即可判斷幾個(gè)交點(diǎn)；對(duì)D，根據(jù)為正三角形，可得解得縱坐標(biāo)，和圓與軸交點(diǎn)比較，即可判斷.【詳解】對(duì)A，準(zhǔn)線與圓相切，可知，可得，所以F1,0，故A正確；對(duì)B，根據(jù)可得，可確定最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，則PM=PF，做中垂線，根據(jù)題意知，設(shè)為中點(diǎn)，則可得，直線斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式可確定為，與拋物線聯(lián)立得，，所以可知有兩個(gè)解，所以存在兩個(gè)P點(diǎn)，使得，故C正確；對(duì)D，根據(jù)為正三角形，所以，則，且，所以可得，和圓與軸交點(diǎn)為0,3，，所以可知圓M與直線PQ相交，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：合理利用拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和到準(zhǔn)線距離相等.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓的短軸長(zhǎng)為_(kāi)_________，該橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為_(kāi)_________.【答案】①.②.【解析】【分析】現(xiàn)根據(jù)橢圓方程得到的值，再結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)及定義即可求解.【詳解】由橢圓，則，即，所以短軸長(zhǎng)為，該橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.故答案為：2；.13.直線的傾斜角的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】依題意，直線的斜率，則，所以.故答案為：14.若過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且，則__________．【答案】2或4【解析】【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)可求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，利用，即可求出答案.【詳解】如圖，記圓的圓心為與交于點(diǎn)，圓的半徑為r，由題意可得，，所以，即，解得或16，即或4，經(jīng)檢驗(yàn)，都滿(mǎn)足題意．故答案為：2或4四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求平行四邊形的面積．【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合直線的方程，即可求出的方程，聯(lián)立即可求得答案；（2）求出AB以及點(diǎn)到直線的距離，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意得直線的斜率為，則其方程為，直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線平行，且過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，因?yàn)橹本€與直線平行，且過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為1．聯(lián)立，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，又點(diǎn)到直線的距離，故平行四邊形的面積.16.求符合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率為；（2）焦點(diǎn)在軸上，焦距，漸近線方程為.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）（2）結(jié)合題意求出雙曲線的長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)，根據(jù)焦點(diǎn)位置，即可求得雙曲線方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率為，所以，解得，所以，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意，可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因?yàn)榻咕酁椋?，所?又漸近線方程為，所以，則，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.17.已知橢圓C:x2a2+（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為?3,2，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)列方程組求解可得；（2）利用點(diǎn)差法即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，則.因，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)Ax1兩式相減得，整理可得.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為?3,2，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.直線和軸的交點(diǎn)為，該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故直線和橢圓相交，滿(mǎn)足條件.18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在拋物線上，，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，且的最小值為5.（1）求的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為，求的斜率.【答案】（1）（2）4或【解析】【分析】（1）利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化一個(gè)距離，則可用兩點(diǎn)間距離線段最短得解；（2）利用方程組思想結(jié)合韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化到坐標(biāo)法來(lái)研究，即可得解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，則，當(dāng)三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上時(shí)，取得最小值，則，整理得，解得或，因?yàn)椋?，故的方程?【小問(wèn)2詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線.聯(lián)立，消元得，則，由，得代入韋達(dá)定理得：化簡(jiǎn)得，得或.故的斜率為4或.19.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓．后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的軌跡方程；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求AB；（3）若曲線與軸的交點(diǎn)為，直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用軌跡法，代入兩點(diǎn)間距離公式，即可求解；（2）代入直線與圓相交的