二次函數(shù)圖像與各項系數(shù)之間關(guān)系的三種考法（解析版）（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題03二次函數(shù)圖像與各項系數(shù)關(guān)系的三種考法類型一、圖像與a，b，c，之間關(guān)系例．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸分別相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，，則由拋物線的特征判斷以下結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（

）A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得，，即可判斷①；根據(jù)函數(shù)圖象得函數(shù)有兩個不相等的實數(shù)根，得，即可判斷②；根據(jù)函數(shù)圖象得，當時，，即可判斷③；根據(jù)函數(shù)的圖象得，根據(jù)，得，當時，，即可判斷④；即可得．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象得，∵拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，∴，∴，故①正確；根據(jù)函數(shù)圖象得函數(shù)有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，故②錯誤；根據(jù)函數(shù)圖象得，當時，，故③正確；根據(jù)函數(shù)的圖象得，∵，∴，當時，，，故④正確；綜上，①③④正確，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【變式訓練1】．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸的交點在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結(jié)論：；；；；．其中正確的結(jié)論有（

）個A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)對稱軸、圖象開口方向、與軸的交點判斷出的符號，從而判斷①；根據(jù)對稱軸得到函數(shù)圖象經(jīng)過，從而判斷②；根據(jù)圖象與軸有兩個交點可以得到，從而可以判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與軸的交點在和之間可以得出，再根據(jù)即可判斷④，根據(jù)，進行比較即可判斷⑤，從而得到答案．【詳解】解：函數(shù)開口向上，，對稱軸在軸右側(cè)，異號，，拋物線與軸交點在軸負半軸，，，故①正確，符合題意；圖象與軸交于點，對稱軸為直線，圖象與軸的另一個交點為，當時，，故②錯誤，不符合題意；由圖象可得：拋物線與軸有兩個交點，，，，，，故③正確，符合題意；二次函數(shù)的圖象與軸的交點在和之間，，圖象與軸交于點，對稱軸為直線，，，，，，，故④正確，符合題意；，，，故⑤正確，符合題意；綜上所述，正確的有：①③④⑤，共4個，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與軸的交點位置確定，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【變式訓練2】．如圖，拋物線經(jīng)過點，，且，有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】利用函數(shù)圖象，由拋物線開口方向得，由拋物線的對稱軸位置得，由拋物線與軸的交點位置得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象分別判斷即可得出答案．【詳解】解：拋物線開口向上，，拋物線的對稱軸在軸的右側(cè)，，故①正確，符合題意；拋物線經(jīng)過點，，，故②正確，符合題意；，，，，，故③不正確，不符合題意；當時，，，，，，故④正確，符合題意．故選：．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式訓練3】．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論有（

）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．【詳解】解：①∵函數(shù)開口方向向上，∴，∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴a、b異號，，∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，∴，∴，故①正確；②∵圖象與x軸交于點，對稱軸為直線，∴圖象與x軸的另一個交點為，∴當時，，∴，故②錯誤；③∵拋物線與y軸B交點在和之間，對稱軸為直線，∴頂點縱坐標要小于，∴，且，∴，故③正確；④∵圖象與y軸的交點B在和之間，∴，∵圖象與x軸交于點和，∴的兩根為和3，由韋達定理可知：，∴，∴，∴，故④正確；⑤∵對稱軸為直線為，∴，∵，，∴，故⑤正確．綜上所述，正確的有①③④⑤，，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點位置確定．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．【變式訓練4】．如圖是二次函數(shù)的圖象，其對稱軸為．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤若，是拋物線上兩點，則；⑥若點在該拋物線上，則．其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】由拋物線開口方向得到，根據(jù)對稱軸得到，由拋物線與y軸的交點位置得到，則可對①進行判斷；由可對②進行判斷；根據(jù)得出，從而把化簡為，然后結(jié)合，可對③進行判斷；觀察圖形可得出當時，，然后結(jié)合求出，可對④判斷；通過二次函數(shù)的增減性可對⑤進行判斷；根據(jù)函數(shù)在頂點處取最大值可對⑥判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴，∴，故①錯誤；∵，∴，故②正確；∵，∴，∴，∵，，∴，即，故③錯誤；觀察圖形可知：當時，，即，又，∴，即，∴，故④正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當時，y隨x的增大而增大，∵，在拋物線上，，∴，故⑤正確；當時，，當時，有最大值為，∴，∴，故⑥正確；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，觀察函數(shù)圖象，逐一分析各結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．類型二、二次函數(shù)與一次函數(shù)圖像例1．拋物線和直線在同一坐標系內(nèi)的圖像如圖，其中正確的是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】先由二次函數(shù)圖像得到字母系數(shù)的正負，再與一次函數(shù)的圖像相比較看是否一致，逐一判斷即可．【詳解】解：A．由二次函數(shù)圖象的開口方向可知，根據(jù)對稱軸在y軸的右側(cè)，可知a、b異號，，此時直線應經(jīng)過一、三、四象限，與圖中一次函數(shù)圖象一致，符合要求；B．由二次函數(shù)圖象的開口方向可知，根據(jù)對稱軸在y軸的右側(cè)，可知a、b異號，，此時直線應經(jīng)過一、三、四象限，與圖中一次函數(shù)圖象不一致，故可排除；C．由二次函數(shù)圖象的開口方向可知，根據(jù)對稱軸在y軸的右側(cè)，可知a、b異號，，此時直線應經(jīng)過一、二、四象限，與圖中一次函數(shù)圖象不一致，故可排除；D．由二次函數(shù)圖象的開口方向可知，根據(jù)對稱軸在y軸的右側(cè)，可知a、b異號，，此時直線應經(jīng)過一、二、四象限，與圖中一次函數(shù)圖象不一致，故可排除；故選D．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)圖象判斷解析式中系數(shù)的正負．【變式訓練1】．在同一直角坐標系中，一次函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題可先由一次函數(shù)圖象得到字母系數(shù)的正負，再與二次函數(shù)的圖象相比是否一致．【詳解】解：A．由拋物線可知，，即，由直線可知，，故本選項不符合題意；B．由拋物線可知，，即，由直線可知，，∵拋物線與y軸的交點為，直線與y軸的交點為，∴拋物線與y軸的交點與直線與y軸的交點關(guān)于x軸對稱，而圖中兩個點明顯不關(guān)于x軸對稱，故本選項符合題意；C．由拋物線可知，，即，由直線可知，，且圖中拋物線與y軸的交點與直線與y軸的交點關(guān)于x軸對稱，故本選項符合題意；D．由拋物線可知，，即，由直線可知，，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)a、b的正負確定一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限是解題的關(guān)鍵．【變式訓練2】．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷兩個值，函數(shù)的圖象是否正確即可得到答案．【詳解】解：A、根據(jù)函數(shù)圖象可知：一次函數(shù)解析式中，二次函數(shù)解析式中，故該選項不符合題意；B、根據(jù)函數(shù)圖象可知：一次函數(shù)解析式中，二次函數(shù)解析式中，但對稱軸，矛盾，故該選項不符合題意；C、根據(jù)函數(shù)圖象可知：一次函數(shù)解析式中，二次函數(shù)解析式中，故該選項不符合題意；D、根據(jù)函數(shù)圖象可知：一次函數(shù)解析式中，二次函數(shù)解析式中，兩者符號相同，根據(jù)，得拋物線的對稱軸應在軸的左側(cè)，與圖象相符，故該選項符合題意；故選：D．【點睛】此題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，根據(jù)圖象判斷函數(shù)解析式中字母的取值，正確理解函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3】．已知一次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象，確定的取值范圍，進而進行判斷即可．【詳解】解：∵的圖象過一、二、四象限，∴，∵，，∴拋物線的頂點坐標為，∴拋物線的開口向上，頂點位于第一象限，故滿足題意，只有選項D．故選D．【點睛】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的綜合判斷，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式訓練4】．如圖，函數(shù)的圖象過點，那么函數(shù)的圖像是（

）

B．

C．

D．

【答案】B【分析】利用二次函數(shù)的圖象判斷，由函數(shù)的圖象過點，得出，即可得出函數(shù)的圖象經(jīng)過點，據(jù)此即可得出結(jié)論．【詳解】解：對稱軸在軸的右側(cè)，、異號，，，直線隨的增大而減小，函數(shù)的圖象過點，，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能夠判斷直線隨的增大而減小，且經(jīng)過點是解題的關(guān)鍵．類型三、二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像例．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象推出，再根據(jù)一次函數(shù)，反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即可得到答案．【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，且與y軸交于負半軸，∴，∴，∴一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，∴四個選項中只有B選項符合題意，故選B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的綜合判斷，熟知三個函數(shù)圖象與其對應的系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓練1】．在同一直角坐標系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)的取值范圍分當時和當時兩種情況進行討論，根據(jù)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：當時，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過一、三象限，二次函數(shù)的圖像開口向上，其對稱軸在軸右側(cè)，且與軸交于負半軸，故選項C、D不符合題意；當時，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過二、四象限，二次函數(shù)的圖像開口向上，其對稱軸在軸左側(cè)，且與軸交于正半軸，故選項A不符合題意，選項B符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)的取值范圍分當時和當時兩種情況進行討論．【變式訓練2】．函數(shù)與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】先根據(jù)拋物線頂點排除A、C，然后根據(jù)函數(shù)圖象得到的正負，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．【詳解】解：由函數(shù)可知拋物線的頂點為，故A、C不合題意；B、由拋物線可知，，由雙曲線可知，，故B不合題意；D、由拋物線可知，，由雙曲線可知，，故D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟記反比例函數(shù)與二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練3】．二次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)的取值范圍分當時和當時兩種情況進行討論，根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】當時，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，當時，二次函數(shù)圖象，開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，則A選項不符合題意，當時，二次函數(shù)圖象，開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，則C選項不符合題意，B選項符合題意；當時，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，當時，二次函數(shù)圖象，開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)，則D選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意對的取值進行分類討論（當時和當時），注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，充分觀尋找圖象中的關(guān)鍵點，結(jié)合函數(shù)解析式進行求解．【變式訓練4】．若雙曲線的兩個分支在第二、四象限內(nèi)，則拋物線的圖象大致是圖中的（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的圖象位置可知；再根據(jù)k的符號判斷拋物線的開口方向及對稱軸，從而得出答案．【詳解】解：∵雙曲線的兩個分支在第二、四象限內(nèi)，∴，∴拋物線開口向下，可以排除C、D選項；對稱軸，∴拋物線的對稱軸在y軸的左邊．可以排除B選項，∴A選項符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象．熟練掌握反比例數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．課后作業(yè)1．函數(shù)與在同一直角坐標系中的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，結(jié)合兩個函數(shù)的圖象及其性質(zhì)分類討論．【詳解】解：分兩種情況討論：①當時，反比例函數(shù)，在二、四象限，而二次函數(shù)開口向下，與y軸交點在原點上方，故選項B、C、D都不符合題意，選項A符合題意；②當時，反比例函數(shù)，在一、三象限，而二次函數(shù)開口向上，與y軸交點在原點下方，故選項A、B、C、D都不符合題意，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)及反比例函數(shù)和圖象，解決此類問題步驟一般為：（1）先根據(jù)圖象的特點判斷k取值是否矛盾；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線與y軸的交點是否符合要求．2．函數(shù)，在同一平面直角坐標系中的圖像如圖所示，則在該平面直角坐標系中，函數(shù)的圖像可能是（

） B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖像的開口大小與軸的交點位置以及對稱軸的位置進行判斷即可．【詳解】解：設，，由圖像知，，，，，，，，∴，∵函數(shù)的圖像開口大于函數(shù)的圖像開口，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴函數(shù)的圖像是拋物線，開口向下，對稱軸在軸的右側(cè)，與軸的交點在軸的正半軸上，A．圖像開口向下，對稱軸在軸的右側(cè)，與軸的交點在軸的正半軸上，故此選項符合題意；B．圖像開口向上，故此選項不符合題意；C．圖像對稱軸在軸的左側(cè)，故此選項不符合題意；D．圖像開口向上，故此選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，不等式的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．注意：二次函數(shù)的越大，圖像開口越?。?．二次函數(shù)二次函數(shù)的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①；②；③為任意實數(shù)、則；④；⑤若且，則，其中正確結(jié)論的個數(shù)有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．【詳解】解：①圖象開口向下，與y軸交于正半軸，對稱軸在y軸右側(cè)，，，，，，故①錯誤；②對稱軸是直線，與x軸交點在左邊，二次函數(shù)與x軸的另一個交點在與之間，∴當時，，，故②錯誤；③對稱軸是直線，圖象開口向下，時，函數(shù)最大值是，m為任意實數(shù)，則，，③正確；④，，由②得，，④正確；⑤，，，，，∴，，，，，⑤正確；綜上可知，正確的有③④⑤，共3個，故選：C．【點睛】本題考查根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子的符號，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．4．已知二次函數(shù)為