初中數(shù)學(xué).因式分解的基本方法(一).第13講.教師版

因式分解的基本方法因式分解的基本方法內(nèi)容基本要求略高要求較高要求因式分解了解因式分解的意義及其與整式乘法之間的關(guān)系會用提公因式法、公式法（直接用公式不超過兩次）進(jìn)行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）能運用因式分解的方法進(jìn)行代數(shù)式的變形，解決有關(guān)問題基本概念因式分解：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也可稱為將這個多項式分解因式.因式分解與整式乘法互為逆變形：式中可以代表單項式，也可以代表多項式，它是多項式中各項都含有的因式，稱為公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法.分解因式的一般步驟：如果多項式的各項有公因式，應(yīng)先提公因式；如果各項沒有公因式，再看能否直接運用公式十字相乘法分解，如還不能，就試用分組分解法或其它方法.注意事項：①若不特別說明，分解因式的結(jié)果必須是每個因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止；②結(jié)果一定是乘積的形式；③每一個因式都是整式；④相同的因式的積要寫成冪的形式.在分解因式時，結(jié)果的形式要求：①沒有大括號和中括號；②每個因式中不能含有同類項，如果有需要合并的同類項，合并后要注意能否再分解；③單項式因式寫在多項式因式的前面；④每個因式第一項系數(shù)一般不為負(fù)數(shù)；⑤形式相同的因式寫成冪的形式.提公因式法提取公因式：如果多項式的各項有公因式，一般要將公因式提到括號外面.確定公因式的方法：系數(shù)——取多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母(或多項式因式)——取各項都含有的字母(或多項式因式)的最低次冪.公式法平方差公式：①公式左邊形式上是一個二項式，且兩項的符號相反；②每一項都可以化成某個數(shù)或式的平方形式；③右邊是這兩個數(shù)或式的和與它們差的積，相當(dāng)于兩個一次二項式的積.完全平方公式：①左邊相當(dāng)于一個二次三項式；②左邊首末兩項符號相同且均能寫成某個數(shù)或式的完全平方式；③左邊中間一項是這兩個數(shù)或式的積的2倍，符號可正可負(fù)；④右邊是這兩個數(shù)或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左邊中間一項的符號決定.一些需要了解的公式：提公因式判斷下列各式從左到右的變形是否是分解因式，并說明理由.；⑵；⑷【答案】⑴不是，此變形是整式乘法運算；⑵不是，此等式不成立；⑶不是，等式右邊不是整式乘積的形式；⑷是.分解因式：⑴； ⑵ ⑶ ⑷⑴最后一項，系數(shù)1一般可省略，但因式分解時提出“”后，“”不能漏掉.提公因分解因式時，提完公因式的那個因式等于原多項式除以公因式的商，故那個因式的項數(shù)等于多項式的項數(shù).⑵，按照系數(shù)、字母(或多項式因式)確定公因式⑶或若多項式第一項為負(fù)，一般有兩種處理方法：①首先將“－”提出，初學(xué)時不要省略此步，再對提取“－”后的多項式提取公因式；②若多項式中含有系數(shù)為正數(shù)的項，也可將這一項寫在第一項，然后再提取公因式.⑷因式分解后，最好使多項式中的系數(shù)為整數(shù)，這樣比較整潔.分解因式：⑴；⑵【解析】⑴⑵ 已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均為整數(shù)，則a+b+c=（） A、﹣12 B、﹣32 C、38 D、72【解析】首先要對原式正確因式分解，然后進(jìn)行對號入座，即可得出字母的值．【答案】原式=（13x﹣17）（19x﹣31﹣11x+23）=（13x﹣17）（8x﹣8）∵可以分解成（ax+b）（8x+c），∴a=13，b=﹣17，c=﹣8，∴a+b+c=﹣12．故選A．【點評】各項有公因式時，要先考慮提取公因式．分解因式 ⑴ ⑵⑴原式⑵原式分解因式：⑴ ⑵⑴⑵分解因式：⑵【解析】⑴原式⑵原式分解因式： ⑴(為正整數(shù))⑵(、為大于1的自然數(shù))⑴原式注意整體思想的運用?、?，，已知：，求的值.【解析】原式分解因式：.【解析】觀察原式，我們發(fā)現(xiàn)公因式為，故原式.下列分解因式正確的是（） A、2x2﹣xy﹣x=2x（x﹣y﹣1） B、﹣xy2+2xy﹣3y=﹣y（xy﹣2x﹣3） C、x（x﹣y）﹣y（x﹣y）=（x﹣y）2 D、x2﹣x﹣3=x（x﹣1）﹣3【解析】根據(jù)提公因式法和公式法進(jìn)行判斷求解．【答案】A、公因式是x，應(yīng)為2x2﹣xy﹣x=x（2x﹣y﹣1），錯誤；B、符號錯誤，應(yīng)為﹣xy2+2xy﹣3y=﹣y（xy﹣2x+3），錯誤；C、提公因式法，正確；D、右邊不是積的形式，錯誤；故選C．【點評】本題考查了多項式的因式分解，符號的變化是學(xué)生容易出錯的地方，要克服．若a*b=a2+2ab，則x2*y所表示的代數(shù)式分解因式的結(jié)果是（） A、x2（x2+2y） B、x（x+2） C、y2（y2+2x） D、x2（x2﹣2y）【解析】把x2*y表示成一般形式，分解因式即可．【答案】x2*y=x4+2x2y=x2（x2+2y）．故選A．【點評】正確理解題意，是解決本題的關(guān)鍵．若（p﹣q）2﹣（q﹣p）3=（q﹣p）2E，則E是（） A、1﹣q﹣p B、q﹣p C、1+p﹣q D、1+q﹣p【解析】觀察等式的右邊，提取的是（q﹣p）2，故可把（p﹣q）2變成（q﹣p）2，即左邊=（q﹣p）2（1﹣q+p）．【解答】（p﹣q）2﹣（q﹣p）3=（q﹣p）2（1﹣q+p）．故選C．【點評】注意偶次冪時，交換被減數(shù)和減數(shù)的位置，值不變；奇次冪時，交換被減數(shù)和減數(shù)的位置，應(yīng)加上負(fù)號．利用因式分解計算：2100﹣2101=（） A、﹣2 B、2 C、2100 D、﹣2100【解析】提取公因式2100，整理并計算即可．【答案】2100﹣2101=2100﹣2100?2=2100（1﹣2）=﹣2100．故選D．【點評】主要考查提公因式法分解因式，要注意符號．觀察下列各式：①abx﹣adx；②2x2y+6xy2；③8m3﹣4m2+2m+1；④a3+a2b+ab2﹣b3；⑤（p+q）x2y﹣5x2（p+q）+6（p+q）2；⑥a2（x+y）（x﹣y）﹣4b（y+x）．其中可以用提公因式法分解因式的有（） A、①②⑤ B、②④⑤ C、②④⑥ D、①②⑤⑥【解析】找公因式的要點是：（1）公因式的系數(shù)是多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；（2）字母取各項都含有的相同字母；（3）相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低的．在提公因式時千萬別忘了“﹣1”．【答案】①abx﹣adx=ax（b﹣d）；②2x2y+6xy2=2xy（x+3y）；③8m3﹣4m2+2m+1，不能用提公因式法分解因式；④a3+a2b+ab2﹣b3，不能用提公因式法分解因式；⑤（p+q）x2y﹣5x2（p+q）+6（p+q）2=（p+q）[x2y﹣5x2+6（p+q）]；⑥a2（x+y）（x﹣y）﹣4b（y+x）=（x+y）[a2（x﹣y）﹣4b]．所以可以用提公因式法分解因式的有①②⑤⑥．故選D．【點評】當(dāng)一個多項式有公因式，將其分解因式時應(yīng)先提取公因式，提取公因式后剩下的因式是用原多項式除以公因式所得的商得到的．如果ax（3x﹣4x2y+by2）=6x2﹣8x3y+6xy2成立，則a、b的值為（） A、a=3，b=2 B、a=2，b=3 C、a=﹣3，b=2 D、a=﹣2，b=3【解析】先將6x2﹣8x3y+6xy2提取公因式2x，再根據(jù)對應(yīng)項的系數(shù)相等即可求出a、b的值．【答案】∵6x2﹣8x3y+6xy2=2x（3x﹣4x2y+3y2）=ax（3x﹣4x2y+by2），∴a=2，b=3．故選B．【點評】本題考查了提公因式法分解因式，根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等求解是解本題的關(guān)鍵．下列哪項是x4+x3+x2的因式分解的結(jié)果（） A、x2（x2+x） B、x（x3+x2+x） C、x3（x+1）+x2 D、x2（x2+x+1）【解析】確定公因式為x2，然后提取公因式即可．【解答】x4+x3+x2=x2（x2+x+1）．故選D．【點評】考查了對一個多項式因式分解的能力．本題屬于基礎(chǔ)題，當(dāng)一個多項式有公因式，將其分解因式時應(yīng)先提取公因式．某天數(shù)學(xué)課上，老師講了提取公因式分解因式，放學(xué)后，小華回到家拿出課堂筆記，認(rèn)真復(fù)習(xí)老師課上講的內(nèi)容，他突然發(fā)現(xiàn)一道題：﹣12xy2+6x2y+3xy=﹣3xy?（4y﹣______）橫線空格的地方被鋼筆水弄污了，你認(rèn)為橫線上應(yīng)填寫（） A、2x B、﹣2xC、2x﹣1 D、﹣2x﹣l【解析】根據(jù)題意，提取公因式﹣3xy，再根據(jù)原式對余下的多項式續(xù)繼分解．【答案】原式=﹣3xy×（4y﹣2x﹣1），空格中填2x﹣1．故選C．【點評】本題考查用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解的能力．一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止，同時要注意提取公因式后各項符號的變化．﹣6xn﹣3x2n分解因式正確的是（） A、3（﹣2xn﹣x2n） B、﹣3xn（2﹣xn） C、﹣3（2xn+x2n） D、﹣3xn（2+xn）【解析】根據(jù)公因式的定義，確定出公因式是﹣3xn，然后提取公因式整理即可選取答案．【答案】﹣6xn﹣3x2n=﹣3xn（2+xn）．故選D．【點評】本題考查提公因式法分解因式，準(zhǔn)確找出公因式是解題的關(guān)鍵，要注意符號的處理．分解因式：（x+3y）2﹣（x+3y）=，（a﹣b）2﹣（b﹣a）3=【解析】（x+3y）2﹣（x+3y）可提取公因式（x+3y），（a﹣b）2﹣（b﹣a）3可提取公因式（a﹣b）2，然后整理即可．【答案】（x+3y）2﹣（x+3y）=（x+3y）（x+3y﹣1），（a﹣b）2﹣（b﹣a）3=（a﹣b）2（a﹣b+1）．【點評】本題考查了提公因式法分解因式，找出公因式是解題的關(guān)鍵，注意整體思想的利用．分解因式：x（a﹣y）﹣y（y﹣a）=．【解析】直接提取公因式（a﹣y）即可．【答案】x（a﹣y）﹣y（y﹣a），=（x+y）（a﹣y）．【點評】本題考查了提公因式法分解因式，解答此題的關(guān)鍵把（a﹣y）看作一個整體，利用整體思想進(jìn)行因式分解．公式法分解因式：⑴ ⑵⑶ ⑷(2007年十堰中考題)；【解析】⑴⑵原式⑶⑷ 分解因式：⑴(深圳市中考題)；⑵(瀘州市中考題)；⑶；⑷⑴⑵⑶解首先把原式“理順”，也就是將它的各項按字母a降冪(或升冪)排列，從而有按某個字母降冪排列是一個簡單而有用的措施(簡單的往往是有用的)，值得注意．分解因式：分解因式：⑴；⑵⑴；⑵分解因式：()相當(dāng)于公式中的，相當(dāng)于公式中的．=已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均為整數(shù)，則a+b+c=（） A、﹣12 B、﹣32 C、38 D、72【解析】首先要對原式正確因式分解，然后進(jìn)行對號入座，即可得出字母的值．【答案】原式=（13x﹣17）（19x﹣31﹣11x+23）=（13x﹣17）（8x﹣8），∵可以分解成（ax+b）（8x+c）∴a=13，b=﹣17，c=﹣8∴a+b+c=﹣12．故選A．【點評】各項有公因式時，要先考慮提取公因式．（2010?鐵嶺）若多項式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m的值可以是（） A、4 B、﹣4 C、±2 D、±4【解析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab計算即可．【答案】∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+2，∴m=±4．故選D．【點評】本題要熟記有關(guān)完全平方的幾個變形公式，本題考查對完全平方公式的變形應(yīng)用能力．直角三角形的三條邊的長度是正整數(shù)，其中一條直角邊的長度是13，那么它的周長為（） A、182 B、180 C、32 D、30【解析】設(shè)另一條直角邊的長度為x，斜邊的長度為z，則z2﹣x2=132，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系及數(shù)的整除的知識即可解答．【答案】設(shè)另一條直角邊的長度為x，斜邊的長度z，則z2﹣x2=132，且z＞x，∴（z+x）（z﹣x）=169×1，∴&z+x=169&z﹣x=1【點評】本題考查數(shù)的整除的知識及直角三角形的特點，難度不大，注意得出z2﹣x2=132是解答本題的關(guān)鍵．（2007?江蘇）若a+b=4，則a2+2ab+b2的值是（） A、8 B、16 C、2 D、4【解析】首先將a2+2ab+b2運用完全平方公式進(jìn)行因式分解，再代入求值．【答案】∵a+b=4，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=42=16．故選B．【點評】本題考查用公式法進(jìn)行因式分解，能用公式法進(jìn)行因式分解的式子結(jié)構(gòu)特征需記熟記牢．因式分解4﹣4a+a2，正確的是（） A、4（1﹣a）+a2 B、（2﹣a）2 C、（2﹣a）（2+a） D、（2+a）2【解析】根據(jù)多項式的結(jié)構(gòu)特點，可用完全平方公式進(jìn)行因式分解．【答案】4﹣4a+a2=（2﹣a）2．故選B．【點評】本題考查利用完全平方公式分解因式，熟練掌握公式結(jié)構(gòu)特點是解題的關(guān)鍵．下列各式正確的是（） A、a﹣（b+c）=a﹣b+c B、x2﹣1=（x﹣1）2 C、a2﹣ab+ac﹣bc=（a﹣b）（a+c） D、（﹣x）2÷x3=x（x≠0）【解析】根據(jù)因式分解，去括號法則及單項式的除法法則，對各選項分析判斷后利用排除法求解．A、應(yīng)為a﹣（b+c）=a﹣b﹣c，故本選項錯誤；B、應(yīng)為x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故本選項錯誤；C、a2﹣ab+ac﹣bc=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c），正確；D、應(yīng)為（﹣x）2÷x3=x﹣1，故本選項錯誤．【答案】故選C．【點評】本題主要考查了因式分解及去括號法則及單項式的除法．注意（﹣x）2=x2．小明在抄分解因式的題目時，不小心漏抄了x的指數(shù)，他只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作業(yè)本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指數(shù)），則這個指數(shù)可能的結(jié)果共有（） A、2種 B、3種 C、4種 D、5種【分析】能利用平方差公式分解因式，說明漏掉的是平方項的指數(shù)，只能是偶數(shù)，又只知道該數(shù)為不大于10的正整數(shù)，則該指數(shù)可能是2、4、6、8、10五個數(shù)．【答案】該指數(shù)可能是2、4、6、8、10五個數(shù)．故選D．【點評】能熟練掌握平方差公式的特點，是解答這道題的關(guān)鍵，還要知道不大于就是小于或等于．在多項式①x2+2xy﹣y2；②﹣x2﹣y2+2xy；③x2+xy+y2；④4x2+1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（） A、①② B、②③ C、①④ D、②④【分析】用完全平方公式分解因式應(yīng)具備以下特點：首先是三項式，還要其中有兩項同號且均為一個整的平方，另一項是前兩項冪的底數(shù)的積的2倍，符號可“正”也可“負(fù)．【答案】①x2+2xy﹣y2不符合完全平方公式的特點，不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；②﹣x2﹣y2+2xy符合完全平方公式的特點，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；③x2+xy+y2不符合完全平方公式的特點，不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；④4x2+1+4x符合完全平方公式的特點，能用完全平方公式進(jìn)行因式分解．所以②④選項能用完全平方公式分解因式．故選D．【點評】本題考查的是用完全平方公式進(jìn)行因式分解的能力．解此類題要注意掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活變形整理，如﹣x2﹣y2+2xy從形式上看也許不是，但從式中提出一個負(fù)號得：﹣（x2+y2﹣2xy），符合完全平方公式結(jié)構(gòu)特征，可分解．4x2﹣（y﹣z）2的一個因式是（） A、2x﹣y﹣z B、2x+y﹣z C、2x+y+z D、4x﹣y+z【解析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解，然后選取答案即可．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【答案】4x2﹣（y﹣z）2，=（2x+y﹣z）（2x﹣y+z）．故選B．【點評】本題考查了公式法分解因式，注意把y﹣z看作一個整體，在運用平方差公式時，注意符號的變化．利用1個a×a的正方形，1個b×b的正方形和2個a×b的矩形可拼成一個正方形（如圖所示），從而可得到因式分解的公式．【解析】根據(jù)提示可知1個a×a的正方形，1個b×b的正方形和2個a×b的矩形可拼成一個正方形，利用面積和列出等式即可求解．【答案】兩個正方形的面積分別為a2，b2，兩個長方形的面積都為ab，組成的正方形的邊長為a+b，面積為（a+b）2，所以a2+2ab+b2=（a+b）2．【點評】本題考查了運用完全平方公式分解因式，關(guān)鍵是理解題中給出的各個圖形之間的面積關(guān)系． 若（x+y）2﹣6（x+y）+9=0，則x+y=．【解析】方程的左邊剛好是完全平方式，可以利用完全平方公式分解，得到一個式子的平方是0，所以底數(shù)是0，從而求出要求的解．【答案】原方程化為（x+y﹣3）2=0，所以x+y﹣3=0，解得x+y=3．【點評】本題考查了完全平方式，完全平方式是兩數(shù)的平方和與這兩個數(shù)積的兩倍的和或差，這兩數(shù)中一個是式子（x+y）．若x2﹣y2=30，且x﹣y=﹣5，則x+y的值是（） A、5 B、6 C、﹣6 D、﹣5【解析】運用平方差公式先把x2﹣y2分解因式，再代入數(shù)據(jù)計算即可求出x+y的值．【答案】∵x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=30，x﹣y=﹣5∴x+y=﹣6．故選C．【點評】本題考查了公式法分解因式，運用平方差公式先分解因式，再結(jié)合題意求出代數(shù)式的值，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．已知248﹣1可以被60到70之間的某兩個整數(shù)整除，則這兩個數(shù)分別是、．【解析】先利用平方差公式分解因式，再找出范圍內(nèi)的解即可．【答案】248﹣1=（224+1）（224﹣1），=（224+1）（212+1）（212﹣1），=（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）；∵26=64，∴26﹣1=63，26+1=65，∴這兩個數(shù)是65、63．【點評】本題考查了利用平方差公式分解因式，先分解因式，然后再找出范圍內(nèi)的解是本題解題的思路若、、為的三邊長，且，則按邊分類，應(yīng)是什么三角形？這是一道因式分解與等腰三角形聯(lián)系的綜合性問題．應(yīng)先對等式進(jìn)行化簡，再利用等腰三角形的定義進(jìn)行判斷．在化簡過程中，如果幾個因式的乘積為0，則每一個因式都有可能為0，即若，則等價于或或，所以由，得到或或，若第三個成立則是等邊三角形，但等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以結(jié)論是等腰三角形．∵∴∴，即∴或，即或，∴是等腰三角形 課后作業(yè)課后作業(yè)已知y=2x，則4x2﹣y2的值是．【分析】首先運用平方差公式將所求的代數(shù)式因式分解，然后再代值計算即可．【答案】∵y=2x，∴2x﹣y=0，∴4x2﹣y2=4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y）=（2x+y）×0，=0．【點評】本題考查了公式法分解因式，熟記平方差公式結(jié)構(gòu)，整理出（2x﹣y）形式的多項式是解題的關(guān)鍵．分解因式：x（x﹣1）﹣3x+4=．【解析】首先去括號、合并同類項，再運用完全平方公式分解因式．【答案】x（x﹣1）﹣3x+4=x2﹣x﹣3x+4=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．【點評】此題考查的是運用公式法進(jìn)行因式分解，需注意本題應(yīng)先對所求的代數(shù)式進(jìn)行整理，然后再運用完全平方公式因式分解．化簡：（a+1）2﹣（a﹣1）2=．【解析】運用平方差公式即可解答．【答案】（a+1）2﹣（a﹣1）2=（a+1+a﹣1）（a+1﹣a+1）=4a．【點評】本題考查了公式法分解因式，熟記平方差公式的結(jié)構(gòu)并靈活運用是解題的關(guān)鍵．分解因式x（x+4）+4的結(jié)果．【解析】先將多項式展開，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解．【答案】x（x+4）+4=x2+4x+4=（x+2）2．【點評】本題主要考查利用完全平方公式分解因式，先利用單項式乘多項式的法則整理成多項式一般形式是解題的關(guān)鍵．如果x+y=﹣1，x﹣y=﹣2008，那么x2﹣y2=．【解析】首先把x2﹣y2利用平方差公式進(jìn)行因式分解，然后代入已知數(shù)值即可求出結(jié)果．【答案】x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）∵x+y=﹣1，x﹣y=﹣2008∴x2﹣y2=1×2008=2008．故填空2008．【點評】本題考查了公式法分解因式，利用平方差公式把多項式分解，然后整體代入數(shù)據(jù)計算即可．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A、﹣a2+b2 B、﹣x2﹣y2C、49x