蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考點(diǎn)大串講專題05直線與圓的位置關(guān)系【考題猜想壓軸26題6種題型】(原卷版+解析)

專題05直線與圓的位置關(guān)系（壓軸26題6種題型）一、判斷直線與圓的位置關(guān)系（共4小題）1．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若圖形與圖形有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則稱圖形與圖形互為“雙聯(lián)圖形”，即圖形是圖形的“雙聯(lián)圖形”，圖形是圖形的“雙聯(lián)圖形”．(1)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2，下列函數(shù)圖象中與互為“雙聯(lián)圖形”的是________（只需填寫序號(hào)）；①直線；②雙曲線；③拋物線．(2)若直線與拋物線互為“雙聯(lián)圖形”，且直線不是雙曲線的“雙聯(lián)圖形”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)如圖2，已知，，三點(diǎn)．若二次函數(shù)的圖象與互為“雙聯(lián)圖形”，直接寫出的取值范圍．2．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（3，0）、（5，0）、（0，4）．(1)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出過A、B、C三點(diǎn)的⊙P，求圓心P的坐標(biāo)；(2)如圖2，若過A、B兩點(diǎn)的⊙M恰好與直線l：相切，請直接寫出圓心M的坐標(biāo)：．3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）（1）如圖①，AB是⊙O的直徑，C、D在⊙O上，且BC＝BD，AD＝CD．求證：∠ADC＝2∠BDC．（2）如圖②，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上．若平面內(nèi)的點(diǎn)D滿足AD＝CD，且∠ADC＝2∠BDC．①利用直尺和圓規(guī)在圖②中作出所有滿足條件的點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；②若AB＝4，BC長度為m（0＜m＜4），則平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)D的個(gè)數(shù)隨著m的值變化而變化，請直接寫出滿足條件點(diǎn)D的個(gè)數(shù)及對應(yīng)m的取值范圍．4．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)景山中學(xué)?？计谥校拘轮?9世紀(jì)英國著名文學(xué)家和歷史學(xué)家卡萊爾給出了一元二次方程的幾何解法：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，以為直徑作．若交x軸于點(diǎn)、，則為方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)【探究】由勾股定理得，，，，在中，，所以．化簡得：，同理可得：______．所以m、n為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(2)【運(yùn)用】在圖2中的x軸上畫出以方程兩根為橫坐標(biāo)的點(diǎn)M、N．(3)已知點(diǎn)、，以為直徑作．請運(yùn)用以上知識(shí)判斷與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．(4)【拓展】在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)、，若以為直徑的圓與交x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，則以點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程______．二、切線性質(zhì)與判定定理綜合（共6小題）5．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)無錫市東林中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的直徑，是的弦，連接、、，其中，平分，過點(diǎn)B作交的延長線于E．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．6．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知中，，以為直徑的⊙O交于點(diǎn)D，過D作，垂足為E，連結(jié)，，．(1)求證：是⊙O的切線；(2)若以、的長為方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求b的值；(3)求圖中以線段、和弧所圍成圖形的面積．7．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）問題提出：蘇科版九年級(jí)（上冊）教材在探究圓內(nèi)接四邊形對角的數(shù)量關(guān)系時(shí)提出了兩個(gè)問題：1．如圖（1），在的內(nèi)接四邊形中，是的直徑．與、與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？2．如圖（2），若圓心不在的內(nèi)接四邊形的對角線上，問題（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？（1）小明發(fā)現(xiàn)問題1中的與、與都滿足互補(bǔ)關(guān)系，請幫助他完善問題1的證明：∵是的直徑，∴__________________，∴，∵四邊形內(nèi)角和等于，∴__________________．（2）請回答問題2，并說明理由．深入探究：如圖3，的內(nèi)接四邊形恰有一個(gè)內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是點(diǎn)、、、，連接，．（1）直接寫出四邊形邊滿足的數(shù)量關(guān)系_________；（2）探究、滿足的位置關(guān)系；（3）如圖4，若，，，請直接寫出圖中陰影部分的面積．8．（2022春·全國·九年級(jí)期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D作射線AC的垂線，垂足為M，點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：MD是⊙O的切線；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，說明理由；(3)若點(diǎn)E恰好運(yùn)動(dòng)到∠ACB的角平分線上，連接CE并延長，交⊙O于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)P，連接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的長．9．（2022春·江西吉安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，D為AB邊上的一點(diǎn)，以AD為直徑的交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)E的弦EP交AB于點(diǎn)Q（EP不是直徑），點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn)，連結(jié)BP，BP恰好為的切線．(1)求證：BC是的切線；(2)求證：AE平分；(3)若，，，求四邊形CHQE的面積．10．（2022秋·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O為△ABC的外接圓．(1)如圖1，求證：AD是⊙O的切線；(2)如圖2，CD交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AG⊥BE，垂足為F，交BC于點(diǎn)G．①求證：AG＝BG；②若AD＝2，CD＝3，求FG的長．三、利用切線長定理求解（共5小題）11．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB⊥MN于點(diǎn)B，且AB＝10cm，將線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0≤α≤360°）得到線段BC，過點(diǎn)C作CD⊥MN于點(diǎn)D，⊙O是△BCD的內(nèi)切圓，直線AO、BC相交于點(diǎn)H．(1)若α＝60°，則CD＝cm．(2)若AO⊥BC①點(diǎn)H與⊙O的位置關(guān)系是A．點(diǎn)H在⊙O外B．點(diǎn)H在⊙O上C．點(diǎn)H在⊙O內(nèi)②求線段AO的長度．(3)線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，求點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長．12．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，平行四邊形中，，，，點(diǎn)P在對角線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），以P為圓心，為半徑作．(1)當(dāng)與邊相切時(shí)，．(2)當(dāng)與邊相切時(shí)，求的值．(3)隨著的變化，與平行四邊形的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化．請根據(jù)的取值范圍探索與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．13．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）探究問題：（1）如圖1，PM、PN、EF分別切⊙O于點(diǎn)A、B、C，猜想△PEF的周長與切線長PA的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．變式遷移：（2）如果圖1的條件不變，且PO=10厘米，△PEF的周長為16厘米，那么⊙O的半徑為厘米．拓展提高：（3）如圖2，點(diǎn)E是∠MPN的邊PM上的點(diǎn)，EF⊥PN于點(diǎn)F，⊙O與邊EF及射線PM、射線PN都相切．①畫出符合條件的⊙O；②若EF=3，PF=4，求⊙O的半徑．14．（2022秋·北京豐臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：若圖形M和圖形N有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，則稱點(diǎn)P是圖形M和圖形N的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．已知點(diǎn)，，，．(1)直線l經(jīng)過點(diǎn)A，的半徑為2，在點(diǎn)A，C，D中，直線l和的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是______；(2)G為線段OA中點(diǎn)，Q為線段DG上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D，G重合），若和有“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求半徑r的取值范圍；(3)的圓心為點(diǎn)，半徑為t，直線m過點(diǎn)A且不與x軸重合．若和直線m的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在直線上，請直接寫出b的取值范圍．15．（2022秋·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，AB是⊙O的直徑，AB＝16，點(diǎn)C在⊙O的半徑OA上運(yùn)動(dòng)，PC⊥AB，垂足為C，PC＝10，PT為⊙O的切線，切點(diǎn)為T．（1）如圖（1），當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，求PT的長；（2）如圖（2），當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，連接PO、BT，求證：PO∥BT；（3）如圖（3），設(shè)PT＝y(tǒng)，AC＝x，求y與x的解析式并求出y的最小值．四、與三角形內(nèi)切圓有關(guān)的計(jì)算（共5小題）16．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)景山中學(xué)校考期中）如圖1，拋物線y＝tx2﹣16tx＋48t（t為常數(shù)，t＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是；（2）如圖2，點(diǎn)D是拋物線上的一點(diǎn)，且位于第一象限，連接BD，延長BD交y軸于點(diǎn)E，若∠BCE＝∠BEC．①求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含t的式子表示）；②若以點(diǎn)D為圓心，半徑為8作⊙D，試判斷⊙D與y軸的位置關(guān)系；（3）若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)（h，），且對于任意實(shí)數(shù)x，不等式tx2﹣16tx＋48t≤恒成立，求△BOC外心F與內(nèi)心I之間的距離．17．（2022春·江蘇·九年級(jí)期末）數(shù)學(xué)概念若點(diǎn)在的內(nèi)部，且、和中有兩個(gè)角相等，則稱是的“等角點(diǎn)”，特別地，若這三個(gè)角都相等，則稱是的“強(qiáng)等角點(diǎn)”.理解概念（1）若點(diǎn)是的等角點(diǎn)，且，則的度數(shù)是.（2）已知點(diǎn)在的外部，且與點(diǎn)在的異側(cè)，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點(diǎn).當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時(shí)，求證：是的等角點(diǎn).（要求：只選擇其中一道題進(jìn)行證明?。偃鐖D①，②如圖②，深入思考（3）如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規(guī)作它的強(qiáng)等角點(diǎn).（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）下列關(guān)于“等角點(diǎn)”、“強(qiáng)等角點(diǎn)”的說法：①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點(diǎn)；②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點(diǎn)；③正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn)；④若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；⑤若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)是三角形內(nèi)部到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，其中正確的有.（填序號(hào)）18．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解答下列問題(1)【習(xí)題再現(xiàn)】完成原習(xí)題；（教材P74第10題）如圖①，I是的內(nèi)心，的延長線交的外接圓于點(diǎn)D．和相等嗎？為什么？(2)【逆向思考】如圖②，I為內(nèi)一點(diǎn)，的延長線交的外接圓于點(diǎn)D．若，求證：I為的內(nèi)心．(3)【遷移運(yùn)用】如圖③，利用無刻度直尺和圓規(guī)，作出的內(nèi)心I．（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明．）20．（2022秋·廣東湛江·九年級(jí)?？计谥校┚C合與探究拋物線與x軸交于兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊），與y軸交于C點(diǎn)，已知．(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使的內(nèi)心在x軸上？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．五、與三角形外接圓有關(guān)的計(jì)算（共4小題）21．（2022春·全國·九年級(jí)期末）拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D（m，3）在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接BC、BD，點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)的拋物線上，若∠PBC＝∠DBC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)Q為第四象限拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)過C、D、Q三點(diǎn)作⊙M，⊙M的弦QF∥y軸，求證：點(diǎn)F在定直線上．22．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．(1)如圖①，線段，則線段的最小覆蓋圓的半徑為_________；(2)如圖②，中，，，，請用尺規(guī)作圖，作出的最小覆蓋圓（保留作圖痕跡，不寫作法）．此最小覆蓋圓的半徑為_________；(3)如圖③，矩形中，，，則矩形的最小覆蓋圓的半徑為_________；若用兩個(gè)等圓完全覆蓋該矩形，那么這兩個(gè)等圓的最小半徑為_________．23．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣3x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)）．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；（2）試探究的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線EF平行y軸交x軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．求面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．24．（2022秋·浙江嘉興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，它的對稱軸是直線，動(dòng)點(diǎn)從拋物線的頂點(diǎn)出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個(gè)單位的速度向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接并延長交拋物線于點(diǎn)，連接，．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值；(3)如圖2，為的外接圓，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)變化，請你探究：在時(shí)，求點(diǎn)經(jīng)過的路徑長度．六、三角形內(nèi)切圓與外接圓綜合（共2小題）25．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考期中）若一個(gè)四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個(gè)四邊形為奇妙四邊形．如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形．根據(jù)奇妙四邊形對角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)：奇妙四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據(jù)以上信息回答：（1）矩形奇妙四邊形（填“是”或“不是”）；（2）如圖2，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形，若⊙O的半徑為6，∠BCD=60°．求奇妙四邊形ABCD的面積；（3）如圖3，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形作OM⊥BC于M．請猜測OM與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．26．（2022秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，AB是⊙O的直徑，且AB=8，過點(diǎn)B作⊙O的切線，C是切線上一點(diǎn)，連接AC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F．（1）比較大?。骸螩BD∠CAB（填“＜”、“=”、“＞”中的一個(gè)）；（2）求證：CB=CF；（3）若AF=4，求CB的值；（4）在圖1的基礎(chǔ)上，作∠ADB的平分線交BE于點(diǎn)I，交⊙O于點(diǎn)G，連接OI（如圖2）寫出OI的最小值，并說明理由．

專題05直線與圓的位置關(guān)系（壓軸26題6種題型）一、判斷直線與圓的位置關(guān)系（共4小題）1．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若圖形與圖形有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則稱圖形與圖形互為“雙聯(lián)圖形”，即圖形是圖形的“雙聯(lián)圖形”，圖形是圖形的“雙聯(lián)圖形”．(1)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2，下列函數(shù)圖象中與互為“雙聯(lián)圖形”的是________（只需填寫序號(hào)）；①直線；②雙曲線；③拋物線．(2)若直線與拋物線互為“雙聯(lián)圖形”，且直線不是雙曲線的“雙聯(lián)圖形”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)如圖2，已知，，三點(diǎn)．若二次函數(shù)的圖象與互為“雙聯(lián)圖形”，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①(2)的取值范圍是(3)或【分析】（1）根據(jù)圖形M與圖形N是雙聯(lián)圖形的定義可直接判斷即可；（2）根據(jù)函數(shù)解析式聯(lián)立方程，再根據(jù)“雙聯(lián)圖形”的定義，由一元二次方程的判別式可得結(jié)論；（3）根據(jù)雙聯(lián)圖形的寶座進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）選項(xiàng)①的直線經(jīng)過第一、二、三象限，且經(jīng)過點(diǎn)（0，1）和（-1，0）又的半徑為2，∴這兩個(gè)圖形有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴這兩個(gè)圖形是“雙聯(lián)圖形”；選項(xiàng)②的雙曲線在第一、三象限與圖1中的圖象分別有兩個(gè)公共點(diǎn)，一共有四個(gè)公共點(diǎn)，不符合“雙聯(lián)圖形”的定義，故這兩個(gè)圖形不是“雙聯(lián)圖形”；選項(xiàng)③的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)漸（-1，2），并且開口方向向上，與圖1中的圖象沒有公共點(diǎn)，故這兩個(gè)圖形不是“雙聯(lián)圖形”；∴選①故答案為①；（2）已知直線與拋物線有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴將代入拋物線中，得，配方得，∵方程有實(shí)數(shù)解，∴即又直線不是雙曲線的“雙聯(lián)圖形”，∴直線與雙曲線最多有一個(gè)公共點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，代入得，，即，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）∵是二次函數(shù)，∴∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3），且對稱軸為直線x=-1，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象與的圖象沒有交點(diǎn)，∴不成立；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，為使它與互為雙聯(lián)圖形，即有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴①當(dāng)拋物線與AC和AB相交時(shí)，設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，把C(1，4)，B(4，0)代入，得，∴，∴y=-x+4，∵拋物線與BC不想交，∴，即ax2+(2a+1)x+a-1=0無實(shí)數(shù)根，∴(2a+1)2-4a(a-1)<0，解得a<，又當(dāng)時(shí)，要滿足，相當(dāng)于，所以；∴；②當(dāng)拋物線與AC和BC相交時(shí)，當(dāng)x=4時(shí)，要滿足，相當(dāng)于，所以，，∴；綜上，a的取值范圍為：或【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，切線的判定和性質(zhì)，圖形M與圖形N是和諧圖形的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)，特殊位置解決問題．2．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（3，0）、（5，0）、（0，4）．(1)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出過A、B、C三點(diǎn)的⊙P，求圓心P的坐標(biāo)；(2)如圖2，若過A、B兩點(diǎn)的⊙M恰好與直線l：相切，請直接寫出圓心M的坐標(biāo)：．【答案】(1)畫圖見解析，圓心P的坐標(biāo)為(2)或【分析】（1）作出AB和AC的垂直平分線，兩條直線的交點(diǎn)即為圓心P，（2）設(shè)⊙M與直線l：相切相切與點(diǎn)N，連接AM，MN，根據(jù)題意表示出MN的表達(dá)式，進(jìn)而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，最后根據(jù)半徑相等列出方程求解即可．【詳解】（1）如圖所示．作出AB和AC的垂直平分線，兩條直線的交點(diǎn)即為圓心P，連接AP，CP，AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，∵，A（3，0）、B（5，0）∴，即點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，y）∵∴，解得∴圓心P的坐標(biāo)為；（2）如圖所示，設(shè)⊙M與直線l：相切相切與點(diǎn)N，連接AM，MN，同（1）可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為∵⊙M與直線l：相切相切與點(diǎn)N∴∴設(shè)MN所在直線的表達(dá)式為將點(diǎn)M代入得，即∴MN所在直線的表達(dá)式為∴聯(lián)立得：，解得∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為∵點(diǎn)A和點(diǎn)N都在⊙M上∴∴整理得解得：或∴圓心M的坐標(biāo)為或故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了確定要圓的條件，一次函數(shù)和圓綜合題，切線的性質(zhì)和垂徑定理知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）（1）如圖①，AB是⊙O的直徑，C、D在⊙O上，且BC＝BD，AD＝CD．求證：∠ADC＝2∠BDC．（2）如圖②，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上．若平面內(nèi)的點(diǎn)D滿足AD＝CD，且∠ADC＝2∠BDC．①利用直尺和圓規(guī)在圖②中作出所有滿足條件的點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不寫作法）；②若AB＝4，BC長度為m（0＜m＜4），則平面內(nèi)滿足條件的點(diǎn)D的個(gè)數(shù)隨著m的值變化而變化，請直接寫出滿足條件點(diǎn)D的個(gè)數(shù)及對應(yīng)m的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②當(dāng)0＜m＜時(shí)，點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)m＝時(shí)，點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為1，當(dāng)＜m＜4時(shí)，點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為2【分析】（1）連接AC，根據(jù)垂徑定理得出AB垂直平分CD，再證明△ACD是等邊三角形，就可以求出和的度數(shù)，即可證明結(jié)論；（2）①以B為圓心，BC長為半徑作⊙B，⊙B與AC的垂直平分線的交點(diǎn)為D、D'；②假設(shè)AC的垂直平分線和以BC為半徑的⊙B只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此交點(diǎn)就是AB的中點(diǎn)，得到AC＝2BC，利用勾股定理求出m的值，當(dāng)m小于此值時(shí)沒有交點(diǎn)，大于此值時(shí)兩個(gè)交點(diǎn)．【詳解】解：（1）如圖，連接AC，∵BD＝BC，∴，∵AB是直徑，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∵CD＝AD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ADC＝60°＝∠DAC，∵AB垂直平分CD，∴∠BAC＝∠BAD＝30°＝∠BDC，∴∠ADC＝2∠BDC；（2）①如圖，以B為圓心，BC長為半徑作⊙B，⊙B與AC的垂直平分線的交點(diǎn)為D、D'；②如圖，當(dāng)⊙B與AC的垂直平分線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為1，∴AC＝2BC，∵AB2＝AC2+BC2，∴16＝5m2，∴m＝，∵0＜m＜4，∴當(dāng)0＜m＜時(shí)，點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)m＝時(shí)，點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)＜m＜4時(shí)，點(diǎn)D的個(gè)數(shù)為2．【點(diǎn)睛】本題考查圓，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理，垂徑定理，尺規(guī)作圖的方法，以及直線與圓的位置關(guān)系．4．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)景山中學(xué)校考期中）【新知】19世紀(jì)英國著名文學(xué)家和歷史學(xué)家卡萊爾給出了一元二次方程的幾何解法：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，以為直徑作．若交x軸于點(diǎn)、，則為方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(1)【探究】由勾股定理得，，，，在中，，所以．化簡得：，同理可得：______．所以m、n為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．(2)【運(yùn)用】在圖2中的x軸上畫出以方程兩根為橫坐標(biāo)的點(diǎn)M、N．(3)已知點(diǎn)、，以為直徑作．請運(yùn)用以上知識(shí)判斷與x軸的位置關(guān)系，并說明理由．(4)【拓展】在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)、，若以為直徑的圓與交x軸有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，則以點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為根的一元二次方程______．【答案】(1)；(2)見解析(3)與x軸相切．理由見解析(4)【分析】（1）仿照已知中的推理過程即可得到，從而問題解決；（2）以及兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為直徑畫圓，圓與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的兩個(gè)根，兩交點(diǎn)即為所畫的點(diǎn)；（3）由題意得有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，從而可得與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即與軸相切；（4）仿照（1）的過程即可求得．【詳解】（1）解：如圖，連接，，由勾股定理得，，，，在中，，所以．化簡得：，所以n為方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根．故答案為：．（2）解：以及兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為直徑畫圓，圓與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的兩個(gè)根，兩交點(diǎn)M、N即為所畫的點(diǎn)，如圖所示；（3）解：與x軸相切；理由如下：由題意知，與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為于方程的兩個(gè)根，，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，對應(yīng)地，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即與x軸相切（4）如圖，由勾股定理得，，，在中，，所以，化簡得：，同理可得：．所以為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是材料問題，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直線與圓的位置關(guān)系，代數(shù)式的變形等知識(shí)，關(guān)鍵是讀懂題中材料提供的方法，并能加以靈活運(yùn)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．二、切線性質(zhì)與判定定理綜合（共6小題）5．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)無錫市東林中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的直徑，是的弦，連接、、，其中，平分，過點(diǎn)B作交的延長線于E．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線平分角定義，得到，根據(jù)同圓的半徑相等，得到，推出，得到，根據(jù)，得到，推出是的切線（2）過點(diǎn)O作于H，連接，得到，，根據(jù)，推出四邊形是矩形，得到，，根據(jù)，，得到,結(jié)合，得到，得到，推出，推出，，推出，得到，，得到，推出，推出．【詳解】（1）證明：∵平分，∴∵∴∴∴∵∴∴是的切線（2）過點(diǎn)O作于H，連接，則，,∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，且，∴,∵，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴，，∴,∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線，垂徑定理，矩形，圓的切線，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形，梯形，扇形等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線定義，垂直弦的直徑平分弦，矩形的判定和性質(zhì)，圓的切線的判定和性質(zhì)，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，梯形面積公式，扇形面積公式．6．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知中，，以為直徑的⊙O交于點(diǎn)D，過D作，垂足為E，連結(jié)，，．(1)求證：是⊙O的切線；(2)若以、的長為方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求b的值；(3)求圖中以線段、和弧所圍成圖形的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】連接，，可證得是三角形中位線，進(jìn)一步得出結(jié)論；(2)在正三角形中求得，在直角三角形中求得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得b的值；(3)根據(jù)圓周角定理求出，求出的面積，由（2）求出的長，從而求出的面積，再求出扇形的面積，進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，∵是直徑，∴又∵，∴，∴∴，∴是⊙O的切線；（2）解：在中，∴，∴，在中，，，∴，在中，，∴；（3）解：如圖，過D作，∵，∴，∴∴∵、分別是弧所對的圓周角與圓心角，∴，∴由（2）得，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定圓周角定理，扇形面積公式，30°直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有知識(shí)．7．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）問題提出：蘇科版九年級(jí)（上冊）教材在探究圓內(nèi)接四邊形對角的數(shù)量關(guān)系時(shí)提出了兩個(gè)問題：1．如圖（1），在的內(nèi)接四邊形中，是的直徑．與、與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？2．如圖（2），若圓心不在的內(nèi)接四邊形的對角線上，問題（1）中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？（1）小明發(fā)現(xiàn)問題1中的與、與都滿足互補(bǔ)關(guān)系，請幫助他完善問題1的證明：∵是的直徑，∴__________________，∴，∵四邊形內(nèi)角和等于，∴__________________．（2）請回答問題2，并說明理由．深入探究：如圖3，的內(nèi)接四邊形恰有一個(gè)內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別是點(diǎn)、、、，連接，．（1）直接寫出四邊形邊滿足的數(shù)量關(guān)系_________；（2）探究、滿足的位置關(guān)系；（3）如圖4，若，，，請直接寫出圖中陰影部分的面積．【答案】問題提出：（1），；（2）見解析；深入探究：（1）；（2）；（3）【分析】問題提出：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得，再結(jié)合四邊形內(nèi)角和等于即可得到答案；（2）連接，根據(jù)圓周角定理可得，，結(jié)合可得，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于即可得到答案；深入探究：（1）根據(jù)切線定理可得，可推算出；（2）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得切角為直角，結(jié)合四邊形內(nèi)角和知識(shí)推算出，再根據(jù)圓周角定理得到，最終推算出，從而得到答案；（3）先根據(jù)切線的性質(zhì)證明四邊形是正方形，且邊長為，再證明，，先計(jì)算出，再根據(jù)計(jì)算出圓I的半徑，從而計(jì)算出圓I的面積，最終得到陰影部分的面積=．【詳解】問題提出：（1）∵是的直徑，∴，∴，∵四邊形內(nèi)角和等于，∴．故答案為：；；（2）如下圖所示，連接，

∵，，∴，∵，∴，∵四邊形內(nèi)角和等于，∴；深入探究：（1）∵點(diǎn)、、、是的切點(diǎn)，∴，∴∴；（2），證明:如下圖所示，連接,設(shè)交于點(diǎn)M，∵點(diǎn)、、、是的切點(diǎn)，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如下圖所示，連接設(shè)半徑為，∵點(diǎn)、、、是的切點(diǎn)，∴，∵，∴，∴四邊形是正方形，且邊長為，∴，，∵∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴陰影部分的面積=．【點(diǎn)睛】本題考查圓、四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用圓周角定理、切線定理．8．（2022春·全國·九年級(jí)期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D作射線AC的垂線，垂足為M，點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：MD是⊙O的切線；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，說明理由；(3)若點(diǎn)E恰好運(yùn)動(dòng)到∠ACB的角平分線上，連接CE并延長，交⊙O于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)P，連接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的長．【答案】(1)證明見解析(2)存在，EC+EM的最小值為，理由見解析(3)6【分析】（1）連接OD，交BC于點(diǎn)N，通過證明四邊形CNDM為矩形得出，利用切線的判定定理即可得出結(jié)論．（2）過點(diǎn)C作，并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接MF，交AB于點(diǎn)E，連接EC，利用將軍飲馬模型可知此時(shí)EC+EM的值最小，由題意可得FD為圓的直徑，在中，利用勾股定理即可求得結(jié)論．（3）利用角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)可以判定為等腰三角形，證明，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，解關(guān)于AF的方程即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，連接OD，交BC于點(diǎn)N，AB為直徑弦AD平分∠BAC，四邊形CNDM為矩形OD為圓的半徑MD是⊙O的切線（2）解：在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，EC+EM存在最小值，理由如下：過點(diǎn)C作，并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接MF，交AB于點(diǎn)E，連接EC，則此時(shí)EC+EM的值最小弦AD平分∠BAC，與的度數(shù)為AB是直徑，AB是直徑為半圓FD為圓的直徑由（1）知：MD是⊙O的切線由題意得：AB垂直平分FC由（1）知：四邊形CNDM為矩形在中在中EC+EM的最小值為．（3）解：如圖FC平分，AD平分，解得或（不合題意，舍去）【點(diǎn)睛】本題是一道圓的綜合題，此題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理及其推論，軸對稱的性質(zhì)，角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，連接半徑OD和利用軸對稱中的將軍飲馬模型找出EC+EM存在最小值是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·江西吉安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，D為AB邊上的一點(diǎn)，以AD為直徑的交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，交AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)E的弦EP交AB于點(diǎn)Q（EP不是直徑），點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn)，連結(jié)BP，BP恰好為的切線．(1)求證：BC是的切線；(2)求證：AE平分；(3)若，，，求四邊形CHQE的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)20【分析】（1）連接OE，OP，證明≌，可得，進(jìn)而證明BC是的切線；（2）由，可得，進(jìn)而可得，由得，進(jìn)而可得∠，即AE平分（3）由（1）得：，證明，得，證明≌（AAS），四邊形CHQE是菱形，設(shè)，則，，在中，勾股定理建立方程，解方程進(jìn)而求得四邊形CHQE的面積．【詳解】（1）連接OE，OP，∵AD為直徑，點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn)，∴AB垂直平分EP，∴，∵，，∴≌，∴，∵BP為的切線，∴，∴，∴，∴于點(diǎn)E，∵OE是的半徑，∴BC是的切線．（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴∠，∴AE平分．（3）由（1）得：，∴．∵，∴，∴，∴，即．∴．∵，，由（2）得，∴≌（AAS），∴，，∴，∴，∴，∵，∴四邊形CHQE是平行四邊形．∵，∴四邊形CHQE是菱形，∴．設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，解得，（不合題意，舍去）．∴，．∴四邊形CHQE的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·湖北鄂州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O為△ABC的外接圓．(1)如圖1，求證：AD是⊙O的切線；(2)如圖2，CD交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AG⊥BE，垂足為F，交BC于點(diǎn)G．①求證：AG＝BG；②若AD＝2，CD＝3，求FG的長．【答案】(1)AD是OO的切線(2)①；②【分析】（1)連接OA，OB，OC，由AC=AB，OA=OA，OC=OB可證出ΔOACΔOAB(SSS),利用全等三角形的性質(zhì)可得出∠OAC=∠OAB,即AO平分∠BAC，利用垂徑定理可得出AO⊥BC,結(jié)合AD//BC可得出AD⊥AO，由此即可證出AD是OO的切線；（2)①連接AE，由圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)結(jié)合∠BCE=90°可得出∠BAE=90°，由同角的余角相等可得出∠BAG=∠AEB，結(jié)合∠ABC=∠ACB=∠AEB可得出∠BAG=∠ABC，再利用等角對等腰可證出AG=BG；②由∠ADC=∠AFB=90°，∠ACD=∠ABF，AC=AB可證出ΔADCΔAFB(AAS)，利用全等三角形的性質(zhì)可求出AF，BF的長，設(shè)FG=x，在RtΔBFG中，利用勾股定理可求出x的值，此題得解．【詳解】（1）證明：如圖1，連接OA，OB，OC．在△OAC和△OAB中，∴，∴，∴AO平分，∴，又∵，∴，∴AD是的切線．（2）①證明：如圖2，連接AE．∵，∴.又∵，∴．∵∴.∵，∴，∴．②在△ADC和△AFB中，，∴，∴，．設(shè)，在中，，，，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定義、平行線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形、等腰三角形的判定以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1)利用全等三角形的性質(zhì)及垂徑定理，找出AO⊥BC；(2)①利用等角的余角相等及圓周角定理，找出∠BAG=∠ABC；②在RtΔBFG中，利用勾股定理求出FG的長。三、利用切線長定理求解（共5小題）11．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB⊥MN于點(diǎn)B，且AB＝10cm，將線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0≤α≤360°）得到線段BC，過點(diǎn)C作CD⊥MN于點(diǎn)D，⊙O是△BCD的內(nèi)切圓，直線AO、BC相交于點(diǎn)H．(1)若α＝60°，則CD＝cm．(2)若AO⊥BC①點(diǎn)H與⊙O的位置關(guān)系是A．點(diǎn)H在⊙O外B．點(diǎn)H在⊙O上C．點(diǎn)H在⊙O內(nèi)②求線段AO的長度．(3)線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，求點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的路徑長．【答案】(1)5(2)①B；②10cm(3)πcm【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BC=BA=10cm，則CD=BC=5cm；（2）①若⊙O與BC相切于P，則OP⊥BC，則點(diǎn)P與H重合，可得答案；②延長AO交BD于E，利用∠A=∠CBD=90°-α，用α的代數(shù)式表示∠AOB和∠ABO，從而解決問題；（3）在直線BD上取BG=BC，連接OG，以BG為斜邊在等腰直角△BFG，利用SAS證明△BOG≌△BOC，得∠BOC=∠BOG，而∠BOC=135°，從而確定點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑．【詳解】（1）解：∵線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0≤α≤360°）得到線段BC，∴BC=BA=10cm，當(dāng)α=60°時(shí)，∠CBD=30°，∴CD=BC=5cm，故答案為：5；（2）①當(dāng)AO⊥BC時(shí)，則OH⊥BC，若⊙O與BC相切于P，則OP⊥BC，∴點(diǎn)P與H重合，∴點(diǎn)H在⊙O上，故選：B；②延長AO交BD于E，∵AO⊥BC，∴∠A=∠CBD=90°-α，∵⊙O是△BCD的內(nèi)切圓，∴BO平分∠CBD，∴∠OBC=∠CBD=45°-α，∴∠AOB=90°-∠OBC=90°-（45°-α）=45°+α，∵∠ABO=∠ABC+∠CBO=α+45°-α=45°+α，∴∠AOB=∠ABO，∴AO=AB=10cm；（3）如圖，在直線BD上取BG=BC，連接OG，以BG為斜邊在等腰直角△BFG，∵∠OBG=∠OBC，OB=OB，∴△BOG≌△BOC（SAS），∴∠BOC=∠BOG，∵∠BCD+∠CBD=90°，∴∠BCO+∠OBC=45°，∴∠BOC=135°，∴∠BOG=135°，∴點(diǎn)O在以F為圓心、BF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵BG=BC=10cm，∴BF=cm，∴當(dāng)線段AB繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，O運(yùn)動(dòng)的路徑長為=πcm．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形得出點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．12．（2022秋·江蘇無錫·九年級(jí)江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，平行四邊形中，，，，點(diǎn)P在對角線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），以P為圓心，為半徑作．(1)當(dāng)與邊相切時(shí)，．(2)當(dāng)與邊相切時(shí)，求的值．(3)隨著的變化，與平行四邊形的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化．請根據(jù)的取值范圍探索與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(1)4(2)(3)當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)；當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)；當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)；當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)【分析】（1）先利用勾股定理求出，再證明，當(dāng)與邊相切時(shí)，切點(diǎn)即為點(diǎn)C，此時(shí)是的直徑，由此求解即可；（2）如圖所示，當(dāng)與邊相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)E，連接PE，由切線長定理求出的長進(jìn)而求出的長，即可利用勾股定理求出答案；（3）分別討論當(dāng)與相切前，與相切時(shí)，與相切后到與相切前，與相切時(shí)，與相切后未經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)D后，畫出對應(yīng)的圖形求解即可．【詳解】（1）解：∵平行四邊形中，，，，∴，，∴，即，∴當(dāng)與邊相切時(shí)，切點(diǎn)即為點(diǎn)C，則此時(shí)是的直徑，∴，故答案為：4（2）解：如圖所示，當(dāng)與邊相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)E，連接PE，∴，∵，∴是的切線，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，∴；（3）解：由（2）可知當(dāng)時(shí)，與相切，此時(shí)與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)；如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；由（1）可知當(dāng)時(shí)，與相切，此時(shí)與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)；如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)；如圖3-3所示，當(dāng)恰好經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，此時(shí)與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)，連接，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，∴，解得，如圖3-4所示，當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)；如圖3-5所示，當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；綜上所述，當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)；當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4個(gè)；當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)；當(dāng)時(shí)，與平行四邊形四邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)等等，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵。13．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）探究問題：（1）如圖1，PM、PN、EF分別切⊙O于點(diǎn)A、B、C，猜想△PEF的周長與切線長PA的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．變式遷移：（2）如果圖1的條件不變，且PO=10厘米，△PEF的周長為16厘米，那么⊙O的半徑為厘米．拓展提高：（3）如圖2，點(diǎn)E是∠MPN的邊PM上的點(diǎn)，EF⊥PN于點(diǎn)F，⊙O與邊EF及射線PM、射線PN都相切．①畫出符合條件的⊙O；②若EF=3，PF=4，求⊙O的半徑．【答案】（1）△PEF的周長=2PA，證明見解析；（2）6；（3）①見解析；②1或2【分析】（1）根據(jù)切線長定理可得,，根據(jù)三角形周長公式，以及線段的等量代換即可求得的周長等于；（2）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，進(jìn)而勾股定理求得即可；（3）①根據(jù)題意作出圖形即可；②當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，設(shè)與射線相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，根據(jù)切線長定理即可得到，進(jìn)而證明四邊形是正方形，得到，設(shè)的半徑為，進(jìn)而根據(jù)切線長定理列方程求解即可，同理求得另一種情況的半徑．【詳解】（1）△PEF的周長=2PA，理由如下，分別相切⊙O于，，分別相切⊙O于同理可得的周長△PEF的周長=2PA，（2）連接，如圖，是的切線，的周長為厘米厘米厘米的半徑為厘米故答案為：6（3）①如圖，分別作的角平分線交于點(diǎn)，以為圓心，點(diǎn)到的距離為半徑作圓，或者分別作的角平分線交于點(diǎn)，以為圓心，點(diǎn)到的距離為半徑作圓，即為所求，②當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，與相切于點(diǎn),則，連接四邊形是矩形四邊形是正方形設(shè)的半徑為即解得的半徑為當(dāng)在的左側(cè)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，則，連接四邊形是矩形四邊形是正方形設(shè)的半徑為即解得的半徑為1綜上所述，的半徑為1或2【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正確的作出輔助線分類討論是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·北京豐臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：若圖形M和圖形N有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，則稱點(diǎn)P是圖形M和圖形N的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．已知點(diǎn)，，，．(1)直線l經(jīng)過點(diǎn)A，的半徑為2，在點(diǎn)A，C，D中，直線l和的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是______；(2)G為線段OA中點(diǎn)，Q為線段DG上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D，G重合），若和有“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求半徑r的取值范圍；(3)的圓心為點(diǎn)，半徑為t，直線m過點(diǎn)A且不與x軸重合．若和直線m的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在直線上，請直接寫出b的取值范圍．【答案】(1)C(2)(3)【分析】（1）作出圖形，根據(jù)切線的定義結(jié)合“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”即可求解；（2）根據(jù)題意，為等邊三角形，則僅與相切時(shí)，和有“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，進(jìn)而求得半徑r的取值范圍；（3）根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)以及切線的性質(zhì)，直徑所對的角是直角，找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心半徑為的半圓在軸上的部分，進(jìn)而即可求得的值．【詳解】（1）解：如圖，，，，,，軸,.的半徑為2，直線與相切直線l和的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是點(diǎn)故答案為：（2）如圖，根據(jù)題意與有“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則與相切，且與相離,是等邊三角形為的中點(diǎn)，則當(dāng)與相切時(shí)，則點(diǎn)為的內(nèi)心半徑r的取值范圍為：（3）如圖，設(shè)和直線m的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為，，交軸于點(diǎn)，是的切線，的圓心為點(diǎn)，半徑為t，軸是的切線點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心半徑為的半圓在軸上的部分，則點(diǎn)，在直線上，當(dāng)直線與相切時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最大，此時(shí)與軸交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，則過點(diǎn)，則解得b的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，切線長定理，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，AB是⊙O的直徑，AB＝16，點(diǎn)C在⊙O的半徑OA上運(yùn)動(dòng)，PC⊥AB，垂足為C，PC＝10，PT為⊙O的切線，切點(diǎn)為T．（1）如圖（1），當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，求PT的長；（2）如圖（2），當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，連接PO、BT，求證：PO∥BT；（3）如圖（3），設(shè)PT＝y(tǒng)，AC＝x，求y與x的解析式并求出y的最小值．【答案】（1）6；（2）見解析；（3）y＝，最小值為6【分析】（1）連接OT，則OT⊥PT，由勾股定理即可得出結(jié)果；（2）連接OT，易證PA是⊙O的切線，由切線長定理得出PA＝PT，由SSS證得△OPA≌△OPT，得∠AOP＝∠TOP＝∠AOT，由圓周角定理得出∠AOT＝2∠B，推出∠AOP＝∠B，即可得出結(jié)論；（3）連接PO、OT，求出OC＝8﹣x，在Rt△PCO中，由勾股定理得PO＝，在Rt△OTP中，由勾股定理得y＝PT＝＝，當(dāng)x＝8時(shí)，y有的最小值，y最小值為6．【詳解】（1）解：連接OT，如圖（1）所示：則OT⊥PT，∴∠OTP＝90°，∵AB是⊙O的直徑，AB＝16，∴OT＝AB＝×16＝8，在Rt△OTP中，由勾股定理得：PT＝；（2）證明：連接OT，如圖（2）所示：∵PC⊥AB，點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，AB是⊙O的直徑，∴PA是⊙O的切線，∵PT為⊙O的切線，∴PA＝PT，在△OPA和△OPT中，，∴△OPA≌△OPT（SSS），∴∠AOP＝∠TOP＝∠AOT，∵∠AOT＝2∠B，∴∠AOP＝∠B，∴PO∥BT；（3）解：連接PO、OT，如圖（3）所示：∵AB是⊙O的直徑，AB＝16，AC＝x，∴OC＝OA﹣AC＝AB﹣AC＝8﹣x，OT＝8，∵PC⊥AB，∴∠PCO＝90°，在Rt△PCO中，由勾股定理得：PO＝，∵PT為⊙O的切線，∴PT⊥OT，在Rt△OTP中，由勾股定理得：y＝PT＝＝，∴y與x的解析式為：y＝，∴當(dāng)x＝8時(shí)，y有的最小值，y最小值為6．【點(diǎn)睛】本題考查切線長定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度一般，是常見典型題型，作出適當(dāng)?shù)妮o助線、掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵。四、與三角形內(nèi)切圓有關(guān)的計(jì)算（共5小題）16．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)景山中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，拋物線y＝tx2﹣16tx＋48t（t為常數(shù)，t＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是；（2）如圖2，點(diǎn)D是拋物線上的一點(diǎn)，且位于第一象限，連接BD，延長BD交y軸于點(diǎn)E，若∠BCE＝∠BEC．①求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含t的式子表示）；②若以點(diǎn)D為圓心，半徑為8作⊙D，試判斷⊙D與y軸的位置關(guān)系；（3）若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)（h，），且對于任意實(shí)數(shù)x，不等式tx2﹣16tx＋48t≤恒成立，求△BOC外心F與內(nèi)心I之間的距離．【答案】（1），；（2）①；②與軸相切，證明見解答；（3）．【分析】（1）令，則，可得答案；（2）①如圖2，根據(jù)“三角形中，等角對等邊”可得，進(jìn)而可根據(jù)等腰三角形旋轉(zhuǎn)得出，可得，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，聯(lián)立方程組求解即可得出答案；②根據(jù)⊙D到y(tǒng)軸的距離等于半徑，利用切線的判定定理即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意可得該拋物線頂點(diǎn)為，建立方程求出，從而得出：，，，過的內(nèi)心作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，利用，可求得，進(jìn)而得出，再由是的外心，可得，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式即可求得答案．【詳解】解：（1）令，則，解得：，，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，，，故答案為：，；（2）①如圖2，，，，，，在中，令，得，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立方程組，得，解得：，（舍去），；②與軸相切，理由如下：，點(diǎn)到軸的距離為8，的半徑為8，與軸相切．（3）對于任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)，該拋物線頂點(diǎn)為，，拋物線頂點(diǎn)為，，解得：，，，，，，，過的內(nèi)心作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則，，，解得：，，是的外心，是的中點(diǎn)，，．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸及直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，三角形的內(nèi)心和外心，三角形面積，中點(diǎn)公式，勾股定理，圓的切線判定等，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，有一定難度，是一道典型的中考數(shù)學(xué)壓軸題．17．（2022春·江蘇·九年級(jí)期末）數(shù)學(xué)概念若點(diǎn)在的內(nèi)部，且、和中有兩個(gè)角相等，則稱是的“等角點(diǎn)”，特別地，若這三個(gè)角都相等，則稱是的“強(qiáng)等角點(diǎn)”.理解概念（1）若點(diǎn)是的等角點(diǎn)，且，則的度數(shù)是.（2）已知點(diǎn)在的外部，且與點(diǎn)在的異側(cè)，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點(diǎn).當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時(shí)，求證：是的等角點(diǎn).（要求：只選擇其中一道題進(jìn)行證明！）①如圖①，②如圖②，深入思考（3）如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規(guī)作它的強(qiáng)等角點(diǎn).（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）下列關(guān)于“等角點(diǎn)”、“強(qiáng)等角點(diǎn)”的說法：①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點(diǎn)；②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點(diǎn)；③正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn)；④若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；⑤若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)是三角形內(nèi)部到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，其中正確的有.（填序號(hào)）【答案】（1）100、130或160；（2）選擇①或②，理由見解析；（3）見解析；（4）③⑤【分析】（1）根據(jù)“等角點(diǎn)”的定義，分類討論即可；（2）①根據(jù)在同圓中，弧和弦的關(guān)系和同弧所對的圓周角相等即可證明；②弧和弦的關(guān)系和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、弧和弦的關(guān)系和同弧所對的圓周角相等作圖即可；（4）根據(jù)“等角點(diǎn)”和“強(qiáng)等角點(diǎn)”的定義，逐一分析判斷即可．【詳解】（1）（i）若=時(shí)，∴==100°（ii）若時(shí)，∴（360°－）=130°；（iii）若=時(shí)，360°－－=160°，綜上所述：=100°、130°或160°故答案為：100、130或160．（2）選擇①：連接∵∴∴∵，∴∴是的等角點(diǎn)．選擇②連接∵∴∴∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴∵∴∴是的等角點(diǎn)（3）作BC的中垂線MN，以C為圓心，BC的長為半徑作弧交MN與點(diǎn)D，連接BD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和作圖方法可得：BD=CD=BC∴△BCD為等邊三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分線交MN于點(diǎn)O以O(shè)為圓心OB為半徑作圓，交AD于點(diǎn)Q，圓O即為△BCD的外接圓∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如圖③，點(diǎn)即為所求．（4）③⑤．①如下圖所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的內(nèi)心假設(shè)∠BAC=60°，∠ACB=30°∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°顯然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①錯(cuò)誤；②對于鈍角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角點(diǎn)的定義，故②錯(cuò)誤；③正三角形的每個(gè)中心角都為：360°÷3=120°，滿足強(qiáng)等角點(diǎn)的定義，所以正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn)，故③正確；④由（3）可知，點(diǎn)Q為△ABC的強(qiáng)等角，但Q不在BC的中垂線上，故QB≠Q(mào)C，故④錯(cuò)誤；⑤由（3）可知，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角都小于時(shí)，必存在強(qiáng)等角點(diǎn)．如圖④，在三個(gè)內(nèi)角都小于的內(nèi)任取一點(diǎn)，連接、、，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，∵由旋轉(zhuǎn)得，，∴是等邊三角形．∴∴∵、是定點(diǎn)，∴當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最?。?dāng)為的強(qiáng)等角點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)便能保證、、、四點(diǎn)共線，進(jìn)而使最?。蚀鸢笧椋孩邰荩军c(diǎn)睛】此題考查的是新定義類問題、圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、圓的內(nèi)接多邊形綜合大題，掌握“等角點(diǎn)”和“強(qiáng)等角點(diǎn)”的定義、圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、圓的內(nèi)接多邊形中心角公式和分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵．18．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解答下列問題(1)【習(xí)題再現(xiàn)】完成原習(xí)題；（教材P74第10題）如圖①，I是的內(nèi)心，的延長線交的外接圓于點(diǎn)D．和相等嗎？為什么？(2)【逆向思考】如圖②，I為內(nèi)一點(diǎn)，的延長線交的外接圓于點(diǎn)D．若，求證：I為的內(nèi)心．(3)【遷移運(yùn)用】如圖③，利用無刻度直尺和圓規(guī)，作出的內(nèi)心I．（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明．）【答案】(1)，理由見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）如圖①，連接．首先根據(jù)三角形內(nèi)心的概念得到，然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到，然后通過角度之間的轉(zhuǎn)化即可證明，進(jìn)而得到；（2）連接．首先根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到，然后根據(jù)得到，然后根據(jù)角度之間的轉(zhuǎn)化得到，即可證明出I為的內(nèi)心；（3）根據(jù)題意作出和的角平分線，兩條平分線的交點(diǎn)即為的內(nèi)心I．【詳解】（1）證明：如圖①，連接．∵I是的內(nèi)心，∴．∵是所對的圓周角，∴．∴．根據(jù)角之間的關(guān)系可得．又∵是的一個(gè)外角，∴．∴．∴；（2）證明：連接．∵，∴．∴．即平分．∵，∴．∵是的一個(gè)外角，∴．∵，∴，即平分．∴I為的內(nèi)心；（3）文字說明：①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長度為半徑畫弧，交，于點(diǎn)M和N，②以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心，以大于長度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)H，作射線，③以點(diǎn)C為圓心，以適當(dāng)長度為半徑畫弧，交，于點(diǎn)E和F，④以點(diǎn)E和點(diǎn)F為圓心，以大于長度為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)G，作射線，∴射線和射線交于點(diǎn)I，∴點(diǎn)I即為的內(nèi)心．畫圖如下：【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的定義，圓周角定理的推論，等腰三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)心的定義，圓周角定理的推論是解答本題的關(guān)鍵．19．（2022秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考期中）我們知道到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形的外心.在三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是三角形的內(nèi)心.由此，我們可以引入如下新的概念：定義1：到三角形兩個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的準(zhǔn)外心，如圖①，，點(diǎn)P叫做的準(zhǔn)外心，也可以稱作邊上的準(zhǔn)外心.定義2：到三角形的內(nèi)角兩邊距離相等的點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的準(zhǔn)內(nèi)心，如圖②，，，且，則點(diǎn)Q叫做的準(zhǔn)內(nèi)心，也可以稱作邊和上的準(zhǔn)內(nèi)心.應(yīng)用：(1)）如圖③，為等邊三角形的高，準(zhǔn)外心Р在高上，且，則________°.(2)如圖④，在中，，，①若點(diǎn)M是的準(zhǔn)內(nèi)心，且M在邊上，求的長②若點(diǎn)N是的準(zhǔn)外心，且是邊和上的準(zhǔn)內(nèi)心，求的值.【答案】(1)(2)①

②【分析】（1）由定義1準(zhǔn)外心的概念可得：準(zhǔn)外心Р在等邊三角形的高上，則可分類討論：①若，②若，③若，再由，依次判斷三種情況是否成立；逐一判斷后，可得當(dāng)，由與題意相符，可得，即可求出的度數(shù)．（2）①作于點(diǎn)，連接，由勾股定理可得，由于點(diǎn)是的準(zhǔn)外心，可證明，從而得到的長度，設(shè)，利用勾股定理可得的長，即可求出的長．②連接、、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn),于點(diǎn)，由，可得的長，即可得到的長．【詳解】（1）解：①若，連接，則，∵CD為等邊三角形的高，∴，，∴，∴，與已知矛盾，∴，②若，連接PA，同理可得，③若，由，得.∴，故；（2）①如圖4作于點(diǎn)，連接，∵，，，∴，又∵點(diǎn)是的準(zhǔn)外心，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：，∴，∴，②連接、、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn),于點(diǎn)，由題可知：，∵，∴，，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓與外心，三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，也考查了新定義的運(yùn)用能力和勾股定理．20．（2022秋·廣東湛江·九年級(jí)?？计谥校┚C合與探究拋物線與x軸交于兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊），與y軸交于C點(diǎn)，已知．(1)求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求拋物線的解析式；(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使的內(nèi)心在x軸上？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）令可得，解之可得；（2）根據(jù)，得，可得a的值，即可得拋物線解析式；（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)在x軸上，則此時(shí)x軸就是的角平分線，從而得知點(diǎn)的對稱點(diǎn)在直線上，待定系數(shù)法可得直線的解析式，由直線的解析式和拋物線解析式可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：根據(jù)題意知，，即，∴，解得：或，∴；（2）∵，∴，∴，∴，代入拋物線得：，∴，∴拋物線解析式為；（3）存在，假設(shè)存在點(diǎn)P，使三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)在x軸上，則此時(shí)x軸就是的角平分線．∴C點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)必在直線上．設(shè)為，∵，∴，∴直線過，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∵直線與二次函數(shù)相交于P點(diǎn)，∴，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即為點(diǎn)A，∴存在一點(diǎn)P，使三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，三角形的內(nèi)心，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．五、與三角形外接圓有關(guān)的計(jì)算（共4小題）21．（2022春·全國·九年級(jí)期末）拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D（m，3）在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，連接BC、BD，點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)的拋物線上，若∠PBC＝∠DBC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)Q為第四象限拋物線上一點(diǎn)，經(jīng)過C、D、Q三點(diǎn)作⊙M，⊙M的弦QF∥y軸，求證：點(diǎn)F在定直線上．【答案】(1)(2)P（，）(3)證明見解析【分析】（1）把A、C坐標(biāo)代入可得關(guān)于a、c的二元一次方程組，解方程組求出a、c的值即可得答案；（2）如圖，設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E，直線解析式為，根據(jù)（1）中解析式可知D、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得CD//AB，利用ASA可證明△DCB≌△ECB，可得CE=CD，即可得出點(diǎn)E坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線BP的解析式，聯(lián)立直線BP與拋物線解析式求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可得答案；（3）如圖，連接MD，MF，設(shè)Q（m，-m2+2m+3），F(xiàn)（m，t），根據(jù)CD、QF為⊙M的弦可得圓心M是CD、QF的垂直平分線的交點(diǎn)，即可表示出點(diǎn)M坐標(biāo)，根據(jù)MD=MF，利用兩點(diǎn)間距離公式可得（）2+（2-1）2=（m-1）2+（）2，整理可得t=2，即可得答案．【詳解】（1）∵A（﹣1，0）、C（0，3）在拋物線y＝ax2+2x+c圖象上，∴，解得：，∴拋物線解析式為：．（2）如圖，設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E，直線解析式為，∵點(diǎn)D（m，3）在拋物線上，∴，解得：，（與點(diǎn)C重合，舍去），∴D（2，3），∴CD//AB，CD=2，當(dāng)y=0時(shí)，，解得：，，

∴B（3，0），∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，在△DCB和△ECB中，∵，∴△DCB≌△ECB，∴CE=CD=2，∴OE=OC-CE=1，∴E（0，1），∴，解得：，∴直線BP的解析式為，聯(lián)立直線BP與拋物線解析式得：，解得：（舍去），，∴P（，）．（3）如圖，連接MD，MF，設(shè)Q（m，-m2+2m+3），F(xiàn)（m，t），∵CD、QF為⊙M的弦，∴圓心M是CD、QF的垂直平分線的交點(diǎn)，∵C（0，3），D（2，3），QF//y軸，∴M（1，），∵M(jìn)D=MF，∴2+（2-1）2=（m-1）2+（）2，整理得：t=2，∴點(diǎn)F在定直線y=2上．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題及圓的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)及定理是解題關(guān)鍵．22．（2022秋·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．(1)如圖①，線段，則線段的最小覆蓋圓的半徑為_________；(2)如圖②，中，，，，請用尺規(guī)作圖，作出的最小覆蓋圓（保留作圖痕跡，不寫作法）．此最小覆蓋圓的半徑為_________；(3)如圖③，矩形中，，，則矩形的最小覆蓋圓的半徑為_________；若用兩個(gè)等圓完全覆蓋該矩形，那么這兩個(gè)等圓的最小半徑為_________．【答案】(1)(2)作圖見解析，(3)，【分析】（1）根據(jù)最小覆蓋圓的定義可知，當(dāng)為圓的直徑時(shí)，此圓即為最小覆蓋圓；（2）根據(jù)最小覆蓋圓的定義可知，直角三角形的最小覆蓋圓即為該直角三角形的外接圓，據(jù)此求解即可；（3）根據(jù)最小覆蓋圓的定義可知，矩形的外接圓即為最小覆蓋圓，如圖③所示，連接交于O，則點(diǎn)O即為矩形的外接圓圓心，利用勾股定理求出的長即可得到答案；如圖④所示，分別取的中點(diǎn)G，H，連接交于E，連接交于F，連接，則四邊形，四邊形都是矩形，同理可得圓E和圓F分別是四邊形，四邊形的最小覆蓋圓，同理求出即可．【詳解】（1）解：如圖所示，∵，∴（O為AB中點(diǎn)，），∴，當(dāng)為圓的直徑時(shí)，此圓即為最小覆蓋圓，∴線段的最小覆蓋圓的半徑為，故答案為：；（2）解：由題意可知的最小覆蓋圓即為的外接圓，作線段的垂直平分線交于D，點(diǎn)D即為最小覆蓋圓圓心，∵在中，，，，∴，∴，∴最小覆蓋圓的半徑為，故答案為：；（3）解：由題意得，矩形的外接圓即為最小覆蓋圓，如圖③所示，連接交于O，∵四邊形是矩形，∴，∴點(diǎn)O即為矩形的外接圓圓心，∵，∴，∴，∴矩形的最小覆蓋圓半徑為；如圖④所示，分別取的中點(diǎn)G，H，連接交于E，連接交于F，連接，則四邊形，四邊形都是矩形，同理可得圓E和圓F分別是四邊形，四邊形的最小覆蓋圓，在中，，∴，∴，∴這兩個(gè)等圓的最小半徑為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外接圓以及四邊形的外接圓的相關(guān)知識(shí)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解最小覆蓋圓的定義是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣3x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)）．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)；（2）試探究的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線EF平行y軸交x軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．求面積的最大值，并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線解析式為，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；（2）△ABC外接圓圓心在直線上，其坐標(biāo)為（1，）；（3）的最大值為，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．【分析】（1）先由一次函數(shù)解析式求出AC的坐標(biāo)，然后把AC的坐標(biāo)代入拋物線解析式中求解出拋物線解析式，然后求出B點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）設(shè)△ABC外接圓圓心為P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），又A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），得到拋物線的對稱軸為直線，根據(jù)外接圓圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，推出點(diǎn)P在直線上，即m=1，PB=PC，再由，則即，由此求解即可；（3）先求出直線BC的解析式為，設(shè)M的坐標(biāo)為（t，t-3），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（t，），則，根據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）∵直線與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)C，∴A點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），∵拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得或，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；（2）設(shè)△ABC外接圓圓心為P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），∴拋物線的對稱軸為直線，∵外接圓圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)P在直線上，即m=1，PB=PC，∵，∴即，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1）；（3）設(shè)直線BC的解析式為，∴，，∴直線BC的解析式為，設(shè)M的坐標(biāo)為（t，t-3），則E點(diǎn)坐標(biāo)為（t，），∴，∴，，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，∴此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，三角形外接圓圓心坐標(biāo)，三角形面積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)．24．（2022秋·浙江嘉興·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖1，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，它的對稱軸是直線，動(dòng)點(diǎn)從拋物線的頂點(diǎn)出發(fā)，在對稱軸上以每秒1個(gè)單位的速度向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接并延