Ch123均值方差偏好下的投資組合選擇

2024/11/71本章教學(xué)目的和要求1.了解和掌握投資組合理論中的均值—方差分析的假設(shè)條件及其與期望效用理論的兼容性；2.掌握投資組合收益與風(fēng)險(xiǎn)度量的基本方法及其計(jì)算；3.掌握均值－方差模型描述的構(gòu)建最優(yōu)投資組合的技術(shù)路徑的規(guī)范數(shù)理模型；4.掌握兩基金分離定理的內(nèi)容及其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。2024/11/72教學(xué)重點(diǎn)1.均值—方差分析方法的合理性及其含義；

2.選擇最優(yōu)投資組合的數(shù)理方法及其中蘊(yùn)涵的多元化投資、風(fēng)險(xiǎn)、收益間關(guān)系；

3.掌握兩基金分離定理的內(nèi)容及其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。2024/11/73一、均值—方差分析的假設(shè)條件（一）問題的提出

1.前章對(duì)最優(yōu)投資組合的分析是建立在一般期望效用理論基礎(chǔ)之上的。在這種分析中，我們對(duì)經(jīng)濟(jì)主體的效用函數(shù)和資產(chǎn)的收益分布只做了一般性的規(guī)定。其結(jié)論的應(yīng)用范圍難以確定，也限制了期望效用理論在資產(chǎn)定價(jià)中的應(yīng)用。

2.Markowitz(1952)發(fā)展了一個(gè)在不確定條件下嚴(yán)格陳述的可操作的資產(chǎn)組合選擇理論：均值-方差方法Mean-Variancemethodology.2024/11/74

這一理論的問世，使金融學(xué)開始擺脫了純粹的描述性研究和單憑經(jīng)驗(yàn)操作的狀態(tài)，標(biāo)志著數(shù)量化方法進(jìn)入金融領(lǐng)域。

馬科維茨的工作所開始的數(shù)量化分析和MM理論中的無套利均衡思想相結(jié)合，醞釀了一系列金融學(xué)理論的重大突破。正因?yàn)槿绱耍R科維茨獲得了1990年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

2024/11/75

馬科維茨投資組合選擇理論的基本思想為：投資組合是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)與收益的trade-off問題，此外投資組合通過分散化的投資來對(duì)沖掉一部分風(fēng)險(xiǎn)?！皀othingventured,nothinggained”——"foragivenlevelofreturntominimizetherisk,andforagivenlevelofrisktomaximizethereturn”——“Don’tputalleggsintoonebasket”2024/11/763.馬科維茨均值-方差組合理論的基本內(nèi)容：在禁止融券和沒有無風(fēng)險(xiǎn)借貸的假設(shè)下，以資產(chǎn)組合中個(gè)別資產(chǎn)收益率的均值和方差找出投資組合的有效前沿(EfficientFrontier)，即一定收益率水平下方差最小的投資組合，并導(dǎo)出投資者只在有效組合前沿上選擇投資組合。欲使投資組合風(fēng)險(xiǎn)最小，除了多樣化投資于不同的資產(chǎn)之外，還應(yīng)挑選相關(guān)系數(shù)較低的資產(chǎn)。2024/11/774.均值-方差組合選擇的實(shí)現(xiàn)方法：

（1）收益——證券組合的期望報(bào)酬（2）風(fēng)險(xiǎn)——證券組合的方差（3）風(fēng)險(xiǎn)和收益的權(quán)衡——求解二次規(guī)劃首先，投資組合的兩個(gè)相關(guān)特征是：（1）它的期望回報(bào)率（均值）（2）可能的回報(bào)率圍繞其期望偏離程度的某種度量，其中方差作為一種度量在分析上是最易于處理的。2024/11/78

其次，理性的投資者將選擇并持有有效率投資組合，即那些在給定的風(fēng)險(xiǎn)水平下的期望回報(bào)最大化的投資組合，或者那些在給定期望回報(bào)率水平上使風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資組合。再次，通過對(duì)某種資產(chǎn)的期望回報(bào)率、回報(bào)率的方差和某一資產(chǎn)與其它資產(chǎn)之間回報(bào)率的相互關(guān)系（用協(xié)方差度量）這三類信息的適當(dāng)分析，辨識(shí)出有效投資組合在理論上是可行的。2024/11/79

最后，通過求解二次規(guī)劃，可以算出有效投資組合的集合，計(jì)算結(jié)果指明各種資產(chǎn)在投資者的投資中所占份額，以便實(shí)現(xiàn)投資組合的有效性——即對(duì)給定的風(fēng)險(xiǎn)使期望回報(bào)率最大化，或?qū)τ诮o定的期望回報(bào)使風(fēng)險(xiǎn)最小化。2024/11/7105.馬科維茨均值-方差組合理論的假設(shè)條件：（1）單期投資單期投資是指投資者在期初投資，在期末獲得回報(bào)。單期模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)的一種近似描述，如對(duì)零息債券、歐式期權(quán)等的投資。雖然許多問題不是單期模型，但作為一種簡化，對(duì)單期模型的分析成為我們對(duì)多期模型分析的基礎(chǔ)。（2）投資者事先知道資產(chǎn)收益率的概率分布，并且收益率滿足正態(tài)分布的條件。

2024/11/711（3）經(jīng)濟(jì)主體的效用函數(shù)是二次的，即。（4）經(jīng)濟(jì)主體以期望收益率（亦稱收益率均值）來衡量未來實(shí)際收益率的總體水平，以收益率的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來衡量收益率的不確定性（風(fēng)險(xiǎn)），因而經(jīng)濟(jì)主體在決策中只關(guān)心資產(chǎn)的期望收益率和方差。（5）經(jīng)濟(jì)主體都是非飽和的和厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，遵循占優(yōu)原則，即：在同一風(fēng)險(xiǎn)水平下，選擇收益率較高的證券；在同一收益率水平下，選擇風(fēng)險(xiǎn)較低的證券。

2024/11/712

6.問題：為何在馬科維茨的均值-方差分析中需要對(duì)效用函數(shù)和資產(chǎn)收益率的分布作出限制？2024/11/713（二）均值-方差分析的局限性

M-V模型以資產(chǎn)回報(bào)的均值和方差作為選擇對(duì)象，但是一般而言，資產(chǎn)回報(bào)的均值和方差不能完全包含個(gè)體資產(chǎn)選擇時(shí)的所有個(gè)人期望效用函數(shù)信息。對(duì)于任意的效用函數(shù)和資產(chǎn)的收益分布，期望效用并不能僅僅用預(yù)期收益和方差這兩個(gè)元素來描述。2024/11/714

例1:

假設(shè)有兩個(gè)博彩L1和L2，其中：

L1=[0.75；10，100]，

L2=[0.99；22.727，1000]E（R1）=32.5E（R2）=32.5Var（R1）=1518.75Var（R2）=9455.11顯然，L2的風(fēng)險(xiǎn)比L1大。2024/11/715

考慮一個(gè)效用函數(shù)為，顯然，該個(gè)體為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，其在兩個(gè)博彩中的期望效用分別為：

Eu(R1)=4.872Eu(R2)=5.036

即該風(fēng)險(xiǎn)厭惡者在預(yù)期收益相等的兩個(gè)博彩中，方差較大的博彩獲得的期望效用較高。2024/11/716

一般地，假設(shè)經(jīng)濟(jì)主體在未來的全部收益或財(cái)富是一個(gè)隨機(jī)變量，關(guān)于這個(gè)未來財(cái)富變量的效用函數(shù)可以通過泰勒展開式在經(jīng)濟(jì)行為主體對(duì)于這個(gè)隨機(jī)變量的預(yù)期值周圍展開。即

2024/11/717兩邊取期望值后得到：

顯然，對(duì)于具有嚴(yán)格凹的遞增效用函數(shù)的經(jīng)濟(jì)主體而言，其評(píng)價(jià)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的效用不能僅僅只考慮其期望收益率和方差，因?yàn)槿A以上的中心矩E（R3）也影響其期望收益。2024/11/718

但是，如果財(cái)富的高階矩為0或者財(cái)富的高階矩可用財(cái)富的期望和方差來表示，則期望效用函數(shù)就僅僅是財(cái)富的期望和方差的函數(shù)。2024/11/719（三）均值—方差分析的基本假設(shè)

定理一：在經(jīng)濟(jì)主體的未來收益或財(cái)富為任意分布的情況下，如果經(jīng)濟(jì)主體的效用函數(shù)為二次效用函數(shù)那么，期望效用僅僅是財(cái)富的期望和方差的函數(shù)。證明：P1802024/11/720

定理二：在經(jīng)濟(jì)主體的偏好為任意偏好的情況下，如果資產(chǎn)收益的分布服從正態(tài)分布，則期望效用函數(shù)僅僅是財(cái)富的期望和方差的函數(shù)。在收益分布為正態(tài)分布的情況下，上述展開式中，三階以上的中心矩中，奇數(shù)項(xiàng)為零，偶數(shù)階的中心矩可寫成均值和方差的函數(shù)。2024/11/721（三）二次效用函數(shù)與收益正態(tài)分布假設(shè)的局限性

1.二次效用函數(shù)的局限性二次效用函數(shù)具有遞增的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡和滿足性兩個(gè)性質(zhì)。滿足性意味著在滿足點(diǎn)以上，財(cái)富的增加使效用減少，遞增的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡意味著風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是劣質(zhì)品。這與那些偏好更多的財(cái)富和將風(fēng)險(xiǎn)視為正常商品的投資者不符。所以在二次效用函數(shù)中，我們需要對(duì)參數(shù)b的取值范圍加以限制。2024/11/722

2.收益正態(tài)分布的局限性（1）資產(chǎn)收益的正態(tài)分布假設(shè)與現(xiàn)實(shí)中資產(chǎn)收益往往偏向正值相矛盾。收益的正態(tài)分布意味著資產(chǎn)收益率可取負(fù)值，但這與有限責(zé)任的經(jīng)濟(jì)原則相悖（如股票的價(jià)格不能為負(fù)）。（2）對(duì)于密度函數(shù)的分布而言，均值-方差分析沒有考慮其偏斜度。概率論中用三階矩表示偏斜度，它描述分布的對(duì)稱性和相對(duì)于均值而言隨機(jī)變量落在其左或其右的大致趨勢。顯然，正態(tài)分布下的均值-方差分析不能做到這一點(diǎn)。2024/11/723

（3）用均值-方差無法刻畫函數(shù)分布中的峭度。概率論中用四階矩表示峭度。但這一點(diǎn)在正態(tài)分布中不能表達(dá)。實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)表明，資產(chǎn)回報(bào)往往具有“尖峰”“胖尾”的特征。這顯然不符合正態(tài)分布。2024/11/724

盡管均值-方差分析存在缺陷，且只有在嚴(yán)格的假設(shè)條件下才能夠與期望效用函數(shù)的分析兼容，但由于其分析上的靈活性，相對(duì)便利的實(shí)證檢驗(yàn)以及簡潔的預(yù)測功能，使其成為廣泛運(yùn)用的金融和財(cái)務(wù)分析手段。2024/11/725二、資產(chǎn)組合收益與風(fēng)險(xiǎn)的度量及分散化效應(yīng)（一）先行案例

A公司的股票價(jià)值對(duì)糖的價(jià)格很敏感。多年以來，當(dāng)當(dāng)?shù)靥堑漠a(chǎn)量下降時(shí)，糖的價(jià)格便猛漲，而A公司便會(huì)遭受巨大的損失。該公司股票收益率在不同狀況下的情況如下：A公司股票收益10.5%，標(biāo)準(zhǔn)差為18.9%。糖生產(chǎn)的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產(chǎn)危機(jī)概率0.50.30.2收益率%2510-252024/11/726

假定某投資者考慮下列幾種可供選擇的資產(chǎn)，一種是持有A公司的股票，一種是購買無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，還有一種是持有糖業(yè)公司B的股票?，F(xiàn)已知投資者持有50%A公司的股票，另外的50%在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和持有糖業(yè)公司股票之間進(jìn)行選擇。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為5%。糖業(yè)公司B的股票收益率變化如下：2024/11/727B公司股票收益為6%，標(biāo)準(zhǔn)差為14.43%糖生產(chǎn)的正常年份異常年份股市的牛市股市的熊市糖的生產(chǎn)危機(jī)概率0.50.30.2收益率%1-5352024/11/728E(rArB)25%×1%10%×（－5%）35%×（－25%）0.50.30.22024/11/729

投資者不同投資策略下期望收益與標(biāo)準(zhǔn)差：

資產(chǎn)組合預(yù)期收益率%標(biāo)準(zhǔn)差(%)全部投資在于A公司股票10.518.90組合一：A公司股票和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)各投資50%7.759.45組合二：A公司和B公司股票各投資50%8.254.592024/11/730（二）資產(chǎn)的期望收益（均值）（1）單一資產(chǎn)的期望收益在任何情況下，資產(chǎn)的均值或期望收益是其收益的概率加權(quán)平均值。Pr(s)表示s狀態(tài)下的概率，r(s)為該狀態(tài)下的收益率，則期望收益E(r)為

在上例中，我們可以算出投資于A公司股票的期望收益率為10.5%。2024/11/7312.資產(chǎn)組合的期望收益（均值）

資產(chǎn)組合的期望收益是構(gòu)成組合的每一資產(chǎn)收益率的加權(quán)平均，以構(gòu)成比例為權(quán)重.每一資產(chǎn)對(duì)組合的預(yù)期收益率的貢獻(xiàn)依賴于它的預(yù)期收益率，以及它在組合初始價(jià)值中所占份額，而與其他一切無關(guān)。上例中第一種投資組合的收益率為7.75%，第二種投資組合的收益率為8.25%.2024/11/732

假定市場上有資產(chǎn)1，2，

，N。資產(chǎn)i的期望收益率為，方差為

i，資產(chǎn)i與資產(chǎn)j的協(xié)方差為

ij（或相關(guān)系數(shù)為

ij）（i=1，2，

，n，j=1，2，

，m）投資者的投資組合為：投資于資產(chǎn)i的比例為，i=1，2，

，N，則資產(chǎn)組合的期望收益為2024/11/733

（三）資產(chǎn)的方差1.單一資產(chǎn)的方差

資產(chǎn)收益的方差是期望收益偏差的平方的期望值：在上例中，A公司股票收益的方差為357.25/W，標(biāo)準(zhǔn)差為18.9%。B公司股票收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為14.73%.2024/11/7342.資產(chǎn)組合的方差（1）兩資產(chǎn)組合收益率的方差方差分別為與的兩個(gè)資產(chǎn)以W1與W2的權(quán)重構(gòu)成一個(gè)資產(chǎn)組合的方差為，如果一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成組合，則該組合的標(biāo)準(zhǔn)差等于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差乘以該組合投資于這部分風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例。

2024/11/735

在上例中投資組合1的標(biāo)準(zhǔn)差為9.45%，投資組合2的方差為21.1/W，標(biāo)準(zhǔn)差為4.59%。2024/11/736（2）多資產(chǎn)組合的方差

2024/11/737（四）資產(chǎn)的協(xié)方差

協(xié)方差是兩個(gè)隨機(jī)變量相互關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)測度，即它測度兩個(gè)隨機(jī)變量，如資產(chǎn)A和B的收益率之間的互動(dòng)性。2024/11/738（五）相關(guān)系數(shù)

與協(xié)方差密切相關(guān)的另一個(gè)統(tǒng)計(jì)測量度是相關(guān)系數(shù)。事實(shí)上，兩個(gè)隨機(jī)變量間的協(xié)方差等于這兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)乘以它們各自的標(biāo)準(zhǔn)差的積。

資產(chǎn)A和資產(chǎn)B相關(guān)系數(shù)為2024/11/739

測量兩種股票收益共同變動(dòng)的趨勢: -1.0+1.0

完全正相關(guān):+1.0

完全負(fù)相關(guān):-1.0

在-1.0和+1.0之間的相關(guān)性可減少風(fēng)險(xiǎn)但不是全部2024/11/740

在上例中，投資組合2中兩公司股票收益的協(xié)方差為

-240.5/w，其相關(guān)系數(shù)為-0.88。

2024/11/741（六）多個(gè)資產(chǎn)的方差-協(xié)方差矩陣2024/11/742（七）資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)分散效應(yīng)資產(chǎn)組合的方差不僅取決于單個(gè)資產(chǎn)的方差，而且還取決于各種資產(chǎn)間的協(xié)方差。

隨著組合中資產(chǎn)數(shù)目的增加，在決定組合方差時(shí)，協(xié)方差的作用越來越大，而方差的作用越來越小。例如，在一個(gè)由30種證券組成的組合中，有30個(gè)方差和870個(gè)協(xié)方差。若一個(gè)組合進(jìn)一步擴(kuò)大到包括所有的證券，則協(xié)方差幾乎就成了組合標(biāo)準(zhǔn)差的決定性因素。2024/11/743

風(fēng)險(xiǎn)的分散化原理被認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)中唯一“白吃的午餐”。將多項(xiàng)有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合到一起，可以對(duì)沖掉部分風(fēng)險(xiǎn)而不降低平均的預(yù)期收益率。2024/11/744

假定資產(chǎn)1在組合中的比重是w，則資產(chǎn)2的比重就是1-w。它們的預(yù)期收益率和收益率的方差分別記為E(r1)和E(r2)，

21和

22，組合的預(yù)期收益率和收益率的方差則記為E(r)和

2。那么，2024/11/745因?yàn)?1≤

≤+1，所以有[w

1-(1-w)

2]2≤

2≤[w

1+(1-w)

2]2

這表明，組合的標(biāo)準(zhǔn)差不會(huì)大于標(biāo)準(zhǔn)差的組合。事實(shí)上，只要

<1，就有，∣

∣<∣w

1+(1-w)

2∣,

即資產(chǎn)組合的標(biāo)準(zhǔn)差就會(huì)小于單個(gè)資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均數(shù)，這意味著只要資產(chǎn)的變動(dòng)不完全一致，單個(gè)有高風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)就能組成單個(gè)有中低風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合，這就是投資分散化的原理。2024/11/746構(gòu)造一個(gè)投資每種資產(chǎn)等權(quán)重的組合來看分散化的力量：其中，2024/11/747

隨著組合中資產(chǎn)數(shù)目的增加，組合收益的方差將越來越依賴于協(xié)方差。若這個(gè)組合中的所有資產(chǎn)不相關(guān)，即當(dāng)隨證券數(shù)目增加，這個(gè)組合的方差將為零（保險(xiǎn)原則）。2024/11/748相關(guān)結(jié)論：

1.資產(chǎn)組合的方差是以協(xié)方差矩陣各元素與投資比例為權(quán)重相乘的加權(quán)平均總值。它除與各資產(chǎn)的方差有關(guān)外，還與各資產(chǎn)間的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)有關(guān)。

2024/11/749

2.資產(chǎn)組合的預(yù)期收益可以通過對(duì)各種單項(xiàng)資產(chǎn)加權(quán)平均得到，但風(fēng)險(xiǎn)卻不能通過各項(xiàng)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均得到(這只是組合中成分資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)為一且成分資產(chǎn)方差相等，權(quán)重相等時(shí)的特例情況)。2024/11/750

3.在資產(chǎn)方差或標(biāo)準(zhǔn)差給定下，組合的每對(duì)資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)越高，組合的方差越高。只要每兩種資產(chǎn)的收益間的相關(guān)系數(shù)小于一，組合的標(biāo)準(zhǔn)差一定小于組合中各種證券的標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均數(shù)。如果每對(duì)資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)為完全負(fù)相關(guān)即為－1且成分證券方差和權(quán)重相等時(shí)，則可得到一個(gè)零方差的投資組合。但由于系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)不能消除，所以這種情況在實(shí)際中是不存在的。

2024/11/751三、兩資產(chǎn)模型下的有效組合前沿（一）先行案例某投資者持有的投資組合由兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成，兩資產(chǎn)的期望收益率和方差如下：

資產(chǎn)期望收（%）標(biāo)準(zhǔn)差（%）A812B13202024/11/752

以下為設(shè)想的投資者在兩種資產(chǎn)中投資比例及資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)不同時(shí)的投資組合的期望收益和方差：2024/11/753α1-αE(r)σ(ρ=-1)σ(ρ=0)σ(ρ=0.3)σ(ρ=1)0.01.013.020.020.020.020.00.30.711.510.414.4615.4717.600.50.510.54.011.6613.1116.000.70.39.52.410.3211.7014.400.90.18.58.810.9811.5612.801.00.08.012.012.012.012.02024/11/754標(biāo)準(zhǔn)差期望收益Ρ=1ρ=-12024/11/755（二）相關(guān)概念

1.投資者均值-方差無差異曲線對(duì)一個(gè)特定的投資者而言，任意給定一個(gè)證券組合，根據(jù)他對(duì)期望收益率和風(fēng)險(xiǎn)的偏好態(tài)度，按照期望收益率對(duì)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)囊螅梢缘玫揭幌盗袧M意程度相同的（無差異）證券組合。所有這些組合在均值方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）坐標(biāo)系中形成一條曲線，這條曲線就稱為該投資者的均值-方差無差異曲線。

2024/11/756風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的均方無差異曲線方差期望收益2024/11/757

同一條無差異曲線上的組合滿意程度相同；無差異曲線位置越高，該曲線上的組合的滿意程度越高。無差異曲線滿足下列特征：

(1)無差異曲線向右上方傾斜。

(2)無差異曲線是下凸的。

(3)同一投資者有無數(shù)條無差異曲線。

(4)同一投資者在同一時(shí)間、同一時(shí)點(diǎn)的任何兩條無差異曲線都不相交。(5)無差異曲線向上彎曲的程度大小反映了投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的強(qiáng)弱。2024/11/7582.可行集

可行集也稱資產(chǎn)組合的機(jī)會(huì)集合。它表示在收益和風(fēng)險(xiǎn)平面上，由多種資產(chǎn)所形成的所有期望收益率和方差的組合的集合。

可行集包括了現(xiàn)實(shí)生活中所有可能的組合，即所有可能的證券投資組合將位于可行集的內(nèi)部或邊界上。一般說來，N種資產(chǎn)的可行集的形狀像傘形：2024/11/759標(biāo)準(zhǔn)差期望收益2024/11/7603.有效集或有效前沿（邊界）均值－方差前沿（mean-variancefrontierMVF）

可行集中有無窮多個(gè)組合，對(duì)于非飽和且風(fēng)險(xiǎn)厭惡的理性投資者而言，他們都是厭惡風(fēng)險(xiǎn)而偏好收益的。對(duì)于同樣的風(fēng)險(xiǎn)水平，他們將會(huì)選擇能提供最大預(yù)期收益率的組合；對(duì)于同樣的預(yù)期收益率，他們將會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)最小的組合。能同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的投資組合的集合被稱為有效集（EfficientSet）或有效邊界（EfficientFrontier)。有效集描繪了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益的最優(yōu)配置。2024/11/761有效集的導(dǎo)出：資產(chǎn)組合的所有可能的點(diǎn)構(gòu)成了平面上可行區(qū)域，對(duì)于給定的，使組合的方差越小越好，即求解下列二次規(guī)劃：2024/11/7622024/11/7632024/11/764

因?yàn)橥顿Y者是非飽和且厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，即風(fēng)險(xiǎn)一定時(shí)追求收益最大，收益一定時(shí)追求風(fēng)險(xiǎn)最小。所以，同時(shí)滿足在各種風(fēng)險(xiǎn)水平下，提供最大預(yù)期收益和在各種預(yù)期收益下能提供最小風(fēng)險(xiǎn)這兩個(gè)條件就稱為有效邊界。即雙曲線的上半部。上面各點(diǎn)所代表的投資組合一定是通過充分分散化而消除了非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的組合。2024/11/765有效集的形狀：有效邊界全局最小方差資產(chǎn)組合最小方差邊界個(gè)人資產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差期望收益MVP2024/11/766有效集曲線的形狀具有如下特點(diǎn)：（1）有效集是一條向右上方傾斜的曲線，它反映了“高收益、高風(fēng)險(xiǎn)”的原則；（2）有效集是一條向左凸的曲線。有效集上的任意兩點(diǎn)所代表的兩個(gè)組合再組合起來得到的新的點(diǎn)（代表一個(gè)新的組合）一定落在原來兩個(gè)點(diǎn)的連線的左側(cè)，這是因?yàn)樾碌慕M合能進(jìn)一步起到分散風(fēng)險(xiǎn)的作用。（3）有效集曲線上不可能有凹陷的地方MVF的任意組合也是MVF組合。2024/11/767四、N種資產(chǎn)的一般模型（一）模型的基本假定

1.市場上存在n>2種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，w代表投資到n種資產(chǎn)上的投資比例，w為一個(gè)n維列向量。記為：

同時(shí)，允許w<0，即賣空不受限制。

2.為i資產(chǎn)的期望收益率，為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的期望收益，同時(shí)，令所有n種資產(chǎn)的期望收益率組成的向量為2024/11/768

3.假設(shè)n種資產(chǎn)的收益率是非共線性的，即其中任何一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的隨機(jī)收益都不能表示為其他資產(chǎn)隨即收益的線性組合。則組合的期望收益為：

4.組合的方差、協(xié)方差矩陣為：2024/11/769

由于我們假定組合中資產(chǎn)的隨機(jī)收益是非共線性的，所以，該矩陣是非奇異（nonsingular）的。此外，由于組合的方差是非負(fù)的，所以，組合的方差必須是一個(gè)正定矩陣，即對(duì)于任何非0的向量，都有，因此，整個(gè)組合的方差為2024/11/770（二）N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的組合前沿1.定義給定收益率水平μ，如果一個(gè)資產(chǎn)組合收益率的方差是所有期望收益率為μ的組合中最小的，則稱它為一個(gè)邊界組合（frontierportfolio），所有邊界組合構(gòu)成的集合為組合邊界。

用數(shù)學(xué)語言描述為：p是一個(gè)前沿資產(chǎn)組合當(dāng)且僅當(dāng)它的資產(chǎn)組合權(quán)重是二次規(guī)劃問題P的解。2024/11/7712024/11/772

通過上述二次規(guī)劃問題的求解，我們可以得到組合邊界方程，它是均值-方差平面上的一條拋物線，這條拋物線稱為最小方差曲線（minimumvariancecurve,MVC）拋物線的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)在所有組合中方差最小的組合，稱為最小方差組合（minimumvarianceportfolio,MVP）。2024/11/773組合邊界方差均值mvp2024/11/774（三）有效組合前沿期望收益率嚴(yán)格高于最小方差組合期望收益率的前沿邊界稱為有效組合前沿。位于資產(chǎn)組合前沿邊界，既不是有效資產(chǎn)組合，又不是最小方差資產(chǎn)組合的前沿邊界合稱為非有效組合前沿。對(duì)于每一個(gè)屬于非有效組合前沿上的資產(chǎn)組合，存在一個(gè)具有相同方差但更高期望收益率的有效資產(chǎn)組合。2024/11/775（四）組合前沿的性質(zhì)

1.任何一個(gè)具有均值-方差偏好的經(jīng)濟(jì)主體的最優(yōu)組合是一個(gè)均值-方差前沿組合。

2.任意的前沿資產(chǎn)組合都可以由期望收益為0和期望收益為1的兩個(gè)前沿組合組合而成。

3.任何前沿邊界組合的線性組合仍在前沿邊界上。有效資產(chǎn)組合的任何凸組合仍是有效組合，有效組合的集合因此是一個(gè)凸集。

2024/11/7764.任何具有均值-方差效率的資產(chǎn)組合都是由任何兩個(gè)具有均值-方差效率的組合構(gòu)成；由兩個(gè)均有均值-方差效率的資產(chǎn)組合的線性組合構(gòu)成的資產(chǎn)組合也是具有均值-方差效率的資產(chǎn)組合。

5.最小方差組合mvp，與任何資產(chǎn)組合（不僅僅是前沿邊界上的）收益率的協(xié)方差總是等于最小方差資產(chǎn)組合的收益率的方差。

2024/11/7776.資產(chǎn)組合邊界的一個(gè)重要性質(zhì)是，對(duì)于前沿邊界上的任何資產(chǎn)p，除了最小方差資產(chǎn)組合，存在唯一的前沿邊界資產(chǎn)組合，用zc(p)表示，與p的協(xié)方差為0。

7.不存在與最小方差資產(chǎn)組合具有0協(xié)方差的前沿邊界資產(chǎn)組合。2024/11/778（五）考慮無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形考慮無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下的投資者的二次規(guī)劃問題為：

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該二次規(guī)劃問題的解表明，包含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在內(nèi)的資產(chǎn)組合的均值-方差有效組合前沿為一條直線。MABC2024/11/780圖中的AM線為效率組合前沿，該直線的方程可寫為：當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合M固定時(shí)，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的期望值收益和標(biāo)準(zhǔn)差呈線性關(guān)系。直線AM也稱為對(duì)應(yīng)于切點(diǎn)組合M的轉(zhuǎn)換線（transformationline），它刻畫了投資者在特定風(fēng)險(xiǎn)組合和無風(fēng)險(xiǎn)收益率之間的轉(zhuǎn)換。在轉(zhuǎn)換線上，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)著投資者將所有財(cái)富投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合。2024/11/781

位于點(diǎn)M左側(cè)的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)于投資者將其財(cái)富的一部分投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，另一部分則用于貸出生息；位于點(diǎn)M右側(cè)的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)于投資者在市場上賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。該轉(zhuǎn)換線也稱之為資本市場線（CapitalMarketLine，CML）。它表明所由具有均值-方差偏好的經(jīng)濟(jì)主體都在資本市場線上選擇最優(yōu)的資產(chǎn)組合。轉(zhuǎn)換線的斜率為：2024/11/782

其分子為組合M的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，該斜率刻畫了組合單位風(fēng)險(xiǎn)所帶來的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，我們稱其為夏普比率（SharpRatio）。同樣地，我們可知，有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的組合的夏普比率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合M的夏普比率相等。在存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下，如果組合M是一個(gè)有效組合前沿上的資產(chǎn)組合，那么，對(duì)于任意的組合p，我們有2024/11/7832024/11/784分散化證券的風(fēng)險(xiǎn)由兩部分組成，一是市場（系統(tǒng)）風(fēng)險(xiǎn)，二是個(gè)別（或非系統(tǒng)）風(fēng)險(xiǎn)2024/11/785組合的總風(fēng)險(xiǎn)2024/11/