專題19幾何變式探究和類比變換綜合類問題-2021年中考數(shù)學(xué)經(jīng)典題型講練案(解析版)【江蘇專用】

備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)經(jīng)典題型講練案（江蘇專用）

專題19幾何變式探究和類比變換綜合類問題

【方法指導(dǎo)】

圖形的類比變換是近年來中考的?？键c(diǎn)，常以三角形、四邊形為背景，與翻折、旋轉(zhuǎn)相結(jié)合，考查三角形

全等或相似的性質(zhì)與判定，難度較大.此類題目第一問相對(duì)簡(jiǎn)單，后面的問題需要結(jié)合第一問的方法進(jìn)行

類比解答.根據(jù)其特征大致可分為：幾何變換類比探究問題、旋轉(zhuǎn)綜合問題、翻折類問題等.

解決此類問題要善于將復(fù)雜圖象分解為幾個(gè)基本圖形，通過添加副主席補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形，借助轉(zhuǎn)化、

方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想解決幾何證明問題，計(jì)算則把幾何與代數(shù)知識(shí)綜合起來，滲透數(shù)形

結(jié)合思想，考查學(xué)生分析問題的能力、邏輯思維和推理能力.

【題型剖析】

【類型1】幾何類比變換綜合題

【例1】（2020秋?句容市期中）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)。是射線BC上

一動(dòng)點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形OEF,連接CF.

【問題解決】如圖1,點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，求證：AE=FC；

【類比探究】（1）如圖2,點(diǎn)。在邊BC上，求證：CE+CF=CD；

（2）如圖3,點(diǎn)。在邊8c的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段“，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫

出你的結(jié)論.

【分析】【問題解決】由“SAS”可證△A8E/△C8F,可得AE=CF；

【類比探究】（1）在CO匕截取CH=CE,易證△（?￡：//是等邊三角形，得出EH=EC=CH,由“SAS”

可證得出DH=CF,即可得出結(jié)論；

（2）過。作。G〃/18,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,由平行線的性質(zhì)易證/GDC=NDGC=60°,得出△

GC￡＞為等邊三角形，則。G=CC=CG,由"SAS”可證△EGO絲△FCZ）,得出EG=FC,即可得出FC

=CD+CE.

【解析】證明：【問題解決】

?/△ABC和△￡>￡1/是等邊三角形，

，AB=BC,ZABC=ZEDC=60°,DE=DF,

：.ZABC-NEBC=NEDC-NEBC,

^ZABE=ZCBFf

在△ABE和△CBF中,

AB=BC

乙ABE=(CBF，

DE=DF

：./\ABE^/\CBF(SAS)

：.AE=CF；

【類比探究】(1)如圖2,在CO上截取C”=CE,連接

圖2

???△ABC是等邊三角形，

：.ZECH=60°,

是等邊三角形，

：.EH=EC=CH,ZCEH=60°,

:△OE/是等邊三角形，

:?DE=FE,NDEF=60°,

,NDEH+/HEF=/FEC+NHEF=60°,

:.ZDEH=NFEC,

在△DE”和△莊C中，

DE=FE

乙DEH=乙FEC,

EH=EC

：./\DEH^/\FEC(SAS),

：.DH=CFf

CD=CH+DH=CE+CF,

：.CE+CF^CD-.

(2)線段CE,CF與CD之間的等量關(guān)系是FC=CD+CE；

理由如下：?.'△ABC是等邊三角形，

AZA=ZB=60°,

過。作。G〃A8,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,如圖3所示：

.".ZGDC=ZB=60°,ZDGC=ZA=60°,

.,.ZGDC^ZDGC=60°,

??.△GCO為等邊三角形，

：.DG=CD=CG,NGDC=60°,

?.?△EC尸為等邊三角形，

；.ED=DF,NEDF=NGDC=60°,

ZEDG=ZFDC,

在△EGO和中，

ED=DF

乙EDG=Z.FDC,

DG=CD

.,.△EGO部△PCD(SAS),

:.EG=FC,

：.FC=EG=CG+CE=CD+CE.

【變式1.1](2020秋?常熟市期中)如圖，在△A8C中，AB=AC,ZBAC=90°,BC=8,點(diǎn)D是邊BC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接4￡),以4力為直角邊向右作等腰Rt^AOE,使4O=AE,/D4E=90°,點(diǎn)尸是

OE的中點(diǎn)，連接CE.

(1)如圖①，連接CF,求證：DE=2CF；

(2)如圖②，連接A尸并延長(zhǎng)，交BC邊所在直線于點(diǎn)G,若CG=2,求8。的長(zhǎng).

圖①圖②備用圖

【分析】(1)先判斷出NB4O=/C4F.利用SAS證明絲△ACE,再根據(jù)直角三角形斜邊的中線

等于斜邊的一半即可得出結(jié)論；

(2)利用△A8O嶺ZVICE,分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)G在邊BC上時(shí)，￡>G=8-2-x=6-x,當(dāng)點(diǎn)G在邊

BC延長(zhǎng)線上時(shí)，￡G=CG=8+2-x=10-x,再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【解析】(1)證明：?.?/B4C=/￡>AE=90°,

:.NBAD=NCAE,

在△ABC和△ACF中，

AB=AC

乙BAD=Z.CAEy

AD=AE

：./\ABD^AACE(SAS),

：?NB=NACE,

V4B=AC,ZBAC=90°,

AZABC=ZACB=45°,

AZACE=45°,

ZACE+ZACB=90°,

即NZ)CE=90°,

丁點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，

1

：.CF=^DE,

即DE=2CF；

解：(2)如圖，連接EG,

圖②

,.?AD=4￡，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),

尸是力E的垂直平分線，

:.DG=EG,

設(shè)BD=x,

①當(dāng)點(diǎn)G在邊BC上時(shí)，OG=8-2-x=6-x,

"：/^ABD^/\ACE,

：.BD=CE=x,

在RtZXCEG中，根據(jù)勾股定理，得

CE2+CG1=GE1,

；./+4=（6-x）2,

解得x=|;

②如圖，當(dāng)點(diǎn)G在邊8c延長(zhǎng)線上時(shí)，

?.?EG=￡)G=8+2-x=10-x,

在Rt^CEG中，根據(jù)勾股定理，得

CE，CG2=GE?,

.,./+4=(10-x)2,

解得x=V,

綜上8。長(zhǎng)為W或

35

【變式1.2］（2020春?張家港市校級(jí)期中）愛動(dòng)腦筋的小王同學(xué)在擺弄一副直角三角板（角度分別為30°、

60°、90°和45°、45°、90°）.其中一塊三角板48c的直角邊AC垂直數(shù)軸，AC過數(shù)軸原點(diǎn)O,斜

邊4B交數(shù)軸于點(diǎn)G；另一塊三角板AED的直角邊AE交數(shù)軸于點(diǎn)凡斜邊A。交數(shù)軸于點(diǎn)從

(1)如圖(1)所示，當(dāng)三角板AC8不動(dòng)時(shí)，現(xiàn)將三角板AEZ)繞A點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，如果AH恰好平分

ZFAG,求此時(shí)NHA。的度數(shù)；

(2)如圖(2)所示，設(shè)NA”廠的平分線和NAGH的平分線交于點(diǎn)M,設(shè)/〃4。=尤°,

①當(dāng)NM=N/M。時(shí)，求x的大??；

②設(shè)NEF”的平分線和NFOC的平分線交于點(diǎn)N,問/N+NM的值是否固定不變？如果不變，請(qǐng)求出

這值；如果會(huì)變，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2備用圖

【分析】(1)如圖1中，設(shè)N”AO=x.構(gòu)建方程求解即可.

(2)由NA”廠的平分線和NAG4的平分線交于點(diǎn)M得到ZHGM=^ZHGA,根據(jù)

三角形外角性質(zhì)得/尸F(xiàn)W=NM+NHGM,NFHA=NHGA+NHAG,則2ZM+2ZHGM=ZHGA+Z

HAG,所以(NHAO+NOAG)=1a+22.5°；

1111

(3)根據(jù)(2)中證明方法，可得到NN=90°-iZMO=90°-"FAH-*NOAH=90。-15°一

11

OAH=15a-^ZOAH,再根據(jù)/M=*/O4〃+22.5°,即可得到NM+/N=97.5°.

【解析】(1)如圖1中，設(shè)NHAO=x.

D

圖1

,：AH平分NMG,

:.4FAH=NGAH,

.*.30°+x=45°,

/.x=15°,

：.ZHAO=\50.

(2)如圖2,

圖2

,：4AHF的平分線和NAG”的平分線交于點(diǎn)M,

：.ZFHM=g/FHA,ZHGM=^ZHGA,

:NFHM=NM+NHGM,NFHA=NHGA+NHAG,

：.2NM+2NHGM=NHGA+NHAG,即2/M=NaAG,

1111

：.ZM=^ZHAG=^CZHAO+ZOAG)*(a+45°)=加22?5°.

(3)如圖2,???/￡：f”的平分線和NFOC的平分線交于點(diǎn)M

I1

，NNFO=考/EFO,ZNOF=三/COF,

:.NON中,NN=1800-QNFOMNOF)

1

=180°(ZEFO+ZCOF)

i

=180°—方(1800-NA尸0+1800-ZAOF)

1

=180°一方(360°-ZAFO-NAOF)

1

=180°-J[360°-(180°-ZFAO)]

=180°(180°+ZFAO)

1

=90°-"FAO,

即NN=90。-^ZFAH-^ZOAH

=90°-15°—NOAH

=75°-^ZOAH,

i

又：/M=*O4”+22.5。,

11

；.NM+NN=75°-^ZOAH+^ZOAH+22.5°=97.5°.

[變式1.3](2020秋?崇川區(qū)月考)已知正方形ABC。，ZEAF=45°.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E,尸分別在邊BC,CD±,連接EF,求證：EF=BE+DF；

(2)如圖2,點(diǎn)N,M分別在邊A8,CD上,且BN=DW,當(dāng)點(diǎn)E,尸分別在BM,DN上,連接EF,

請(qǐng)?zhí)骄烤€段EF,BE,DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E,尸分別在對(duì)角線8D,邊CZ)上，若FC=6,則BE=3&.

圖1圖2圖3

【分析】(1)如圖1,將△4。尸繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△ABG,想辦法證明△EAG<(S4S),

得EF=EG,根據(jù)等量代換和線段的和可得結(jié)論；

(2)如圖2,結(jié)論：EF2=BE2+DF2,將△AO尸繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△AB",證明過程跟(1)

類似，證得△￡/!”四△EAR把E尸轉(zhuǎn)化到E”，然后利用證明四邊形8歷DV為平行四邊形，

可得則NE84=90°,由勾股定理可得結(jié)論：

(3)如圖3,連接EF、EC,過點(diǎn)E分別作EM_LCQ于M,ENLBC于N,想辦法證明EF=FC,根據(jù)

等腰三角形三線合一可得CM=FM=3=EN,最后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BE的長(zhǎng).

【解析】(1)證明：如圖1,

?.?四邊形A8CO是正方形，

：.AD=AB,ZD=ZABE=90°,

將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△A8G,

圖1

AADF^AABG,

：.AF=AG,DF=BG,ZDAF=ZBAG,NO=NA8G=90°,

/.ZABE+ZABG=90°+90°=180°,

；.G、B、C在同一直線上，

,：ZEAF=45°,

：.ZDAF+ZBAE=90°-45°=45°,

...NEAG=Na4G+/84E=/a4F+NBAE=45°,即/EAG=/EAF,

'：AE=AE,

：./\EAG^/\EAF(SAS),

:.EG=EF,

,?BE+DF=BE+BG=EG,

：.EF=BE+DF；

(2)解：結(jié)論：E產(chǎn)=8君2+。產(chǎn)，

理由：如圖2,將△A。尸繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得△ABH,連接E”,

：.AF=AH,DF=BH,NDAF=NBAH,NADF=NABH,

,：ZEAF=45°,

：.ZDAF+ZBAE=900-45°=45°,

...NE4H=NBA”+N8AE=/OAF+N3AE=45°,即/E4H=NE4F,

'：AE=AE,

：./\EAH^AEAF(SAS),

:.EH=EF,

,:BN=DM,BN//DM,

二四邊形BMDN是平行四邊形，

NABE=ZMDN,

：.NEBH=NABH+NABE=NADF+NMDN=NAOM=90°,

:.EH2=BEP+BH2,

:.EF2=BEP+DF2,

(3)解：如圖3,連接EF、EC,過點(diǎn)E分別作EMICO于M,EN上BC于N,

圖3

BD為正方形ABCD對(duì)角線,

：.ZEDF=45°,

尸=45°,

:.NEDF=NEAF,

：.A,E,F,。四點(diǎn)共圓，

：.ZADF+ZAEF^\SOQ,

；NAO尸=90°,

AZA￡F=90°,

.?.△AE/為等腰直角三角形，

J.AE^EF,

\"AB=BC,ZABE=ZCBE=45Q,BE=BE,

二△ABE<ACBE(SAS),

：.AE^CE,

；.CE=EF,

'：EMLCF,CF=6,

：.CM=1CF=3,

'：ENLBC,NNCM=90°,

四邊形CMEN是矩形，

:.EN=CM=3,

；NEBN=45°,

:.BE=V2EN=3V2.

故答案為：3a.

【類型2】幾何旋轉(zhuǎn)變換綜合題

【例2】（2020秋?沈北新區(qū)期末）已知正方形A8CQ,E為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AE,BE,將△ABE繞點(diǎn)

B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BFC.

(1)如圖1,求證:

①AE=C尸；

@AELCF.

(2)若BE=2,

①如圖2,點(diǎn)E在正方形內(nèi)，連接EC,若乙4EB=135°,EC=5,求4E的長(zhǎng)；

②如圖3,點(diǎn)E在正方形外，連接EF,若A8=6,當(dāng)C、E、尸在一條直線時(shí)，求AE的長(zhǎng).

【分析】（1）①證明利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角相等證明；

②判斷出得出/尸=乙4E8,NBAE=NCBF,再利用四邊形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論;

（2）①連接EF,由BE_L8F且BE=8F,可得NBFE=45°,￡F2=8,FC=V17,即可得出結(jié)論；

②過點(diǎn)B作BGJ_尸C于點(diǎn)G,利用勾股定理可得，F(xiàn)G=V2，GC=V34,進(jìn)而求出尸C即可得出結(jié)論.

【解析】(1)①；△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BFC,

:AAEB妾4CFB,

：.AE=CF；

②如圖1,

延長(zhǎng)AE交CF于M,

由①知，AAEB義ACFB,

:./F=NAEB,NBAE=NCBF,

VZAEB+ZBAE+ZABE=180°,

ZF+ZCBF+N180°

:四邊形A8CQ是正方形，

AZABC=90°,

AZAMF=360°-ZABC-ZF-ZBAM=90°,

J.AEYCF-,

(2)①如圖2,

連接EF,由旋轉(zhuǎn)知，BE1BFS.BE=BF,

；.NBFE=45°,

在RtABE尸中，BE=BF=2,

產(chǎn)=8,

VZfi￡F=45°,/AEB=135°,

AZAEB+ZBEF=180°,

...點(diǎn)A,E,F在同一條直線上，

由(1)知,AE1CF,

在Rt^ECF中，CE=5,利用勾股定理得，F(xiàn)C=yJCE2-EF2=y[17,

：.AE=CF=V17

②如圖3,；四邊形ABCO是正方形,

：.BC=AB=6,

在RtZsBEF中，BF=BE=2,

:.EF=2五,

過點(diǎn)8作8G，尸C于點(diǎn)G,

：.BG=FG=^EF=V2,

在RtZSBCG中，利用勾股定理得，GC=y/BC2-BG2=y/34,

故FC=CG+FG=V34+A/2,

ACF=V34+V2.

圖1尸

【變式2.1](2020秋?天寧區(qū)校級(jí)期中)在aABC中，AB=AC,在ABC的外部作等邊△ABD,E為AB的

中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若/84C=90°,連接CO,求證：OC平分NA。尸；

(2)如圖2,過點(diǎn)A折疊NC4D,使點(diǎn)C與點(diǎn)力重合，折痕4W交E尸于點(diǎn)若點(diǎn)M正好在乙4BC

的平分線上，連接并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N,

①NBAC的度數(shù)為100°

②在未添加輔助線和其它字母的條件下，找出圖2中所有與MN相等的線段，并證明你的結(jié)論.

圖2

一性質(zhì)證DELAB,推出AC//DE,得出NACD=NFOC,再推出N

ADC=ZACD,即可得出結(jié)論;

（2）①先證并設(shè)其為a,由翻折知，ZMAC=ZMAD=60°+a,在△ABC中，

由三角形的內(nèi)角和定理可求出a=20°,即可求出NB4C的度數(shù)；②如圖2-1,連接MC,由三線合一

定理先求出入4OE=/8￡）E=30°,由翻折知，△?!/?/好Z\ACM,所以NACM=NAOM=30°,求出/

BCM=\0°,由外角性質(zhì)求出NNMC=30°,即可得出NMWC=NNCM,即MN=NC.

【解析】證明：（1）??,△A8C是等邊三角形，且E為48的中點(diǎn)，

J.DELAB,AB=4L>,

；AB=AC,

：.AD^AC,

：./AOC=ZACD,

；N8AC=90°,

：.AC//DE,

NACD=NFDC,

ZADC=ZFDC,

.,.DC平分NA0F；

（2）①:△AB〃是等邊三角形，且E為AB的中點(diǎn),

...OE垂直平分AB,

：.AM=BM,

：.ZMAB^ZMBA,

平分乙48C,

：.ZMBA=ZMBCf

設(shè)NMA3=/MBA=NMBC=a,

'：AB=AC,

???ZACB=ZABC=2af

由翻折知，ZMAC=ZMAD=ZDAB^ZMAB=()0o+a,

工在△ABC中，NA8C+/ACB+NR4M+NMAC=2a+2a+a+60°+a=180°,

：.a=20°,

AZBAC=ZBAM+ZMAC=20Q+60°+20°=100°,

故答案為：100°；

②MN=NC

如圖2,連接MC,

由①知，a=20°,ZBAC=100°,

ZABC=ZACB=40°,

由①知，QE垂直平分A8,

,:DA=DB,NADB=60°,

AZADE=ZBDE=30°,

由翻折知，△AOM0△ACM,

???NACM=/ADM=30°,

/.ZBCM=ZACB-ZACM=10°,

AZNMC=ZMBC+ZMCB=200+10°=30°,

:./NMC=/NCM,

:,MN=NC.

圖2

【變式2.2］（2020秋?徐州期中）如圖，△A5C是等邊三角形，AC=2,點(diǎn)C關(guān)于A8對(duì)稱的點(diǎn)為。，點(diǎn)

P是直線C'8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）若點(diǎn)尸是線段C'8上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C',點(diǎn)B重合）

①如圖1,作/以E=60°交BC于點(diǎn)E,AP與AE相等嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論：

②如圖2,連接AP,作NAPD=60°交射線8C于點(diǎn)。，PO與以相等嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

（2）若點(diǎn)尸在線段C'B的延長(zhǎng)線上.

①連接AP,作NAPD=60°交射線8C于點(diǎn)。，依題意補(bǔ)全圖3；

②直接寫出線段B。、48、BP之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）①由“ASA”可證△B4B絲△EAC,可得AP=AE；

②由“ASA”可證△尸8。絲可得產(chǎn)。=%：

（2）①根據(jù)要求畫出圖形即可解決問題；

②結(jié)論：BD=BP+AB.如圖3中，在BQ上取一點(diǎn)E,使得BE=PB.由“SAS”可證△￡?以名

可得可得結(jié)論.

【解析】（1）①”=AE,

理由如下：???△ABC是等邊三角形，

AZABC=60°=ZBAC,AB=AC,

二,點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于A8對(duì)稱，

.../C8A=NC8A=60°,

VZB4￡=ZBAC=60°,

:.NPAB=NEAC,

△出8嶺△EACCASA）,

：.AP=AE；

（2）PD=PA,

理由如下：如圖2中，作/BPE=60°交AB于點(diǎn)、E,

BD

圖2

?..△ABC是等邊三角形，

AZABC=60°,

:點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于A8對(duì)稱，

NCBA=NCBA=60°=ZBPE,

?,.ZP￡B=60°.

...△PBE是等邊三角形，

：.PB=PE,4EP=12O°=NPBD.

ZBPD+ZDPE=60°,ZAPE+ZDPE=60°,

:.NBPD=4APE,

在△/有力和△PEA中，

2BPD=AAPE

PB=PE,

/PBD=Z.PEA

：.^PBD^/\PEA(ASA).

：.PD=PA；

(2)①解：補(bǔ)全圖形，如圖3所示：

圖3

②解：結(jié)論：BD=BP+AB,

理由：如圖3中，在BD上取一點(diǎn)E,使得BE=PB.

:NEBP=6Q°,BE=BP,

.?.△E8P是等邊三角形,

...N8尸E=/APC=60°，

：.4APB=ZEPD,

,:PB=PE,PA=PD,

：./\BPA^/\EPD(SAS),

：.AB=DE,

：.BD=BE+ED=BP+AB.

【變式2.3](2020秋?儀征市期中)如圖1,在△ABC與△￡>(?￡；中，AB=AC=DC=DE,ZCDE=90°.

(1)連接A。、AE,如圖2,若AD=AC,求/AEZ)的度數(shù)；

(2)若AB=4,BC=2,將圖1中的△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接A。、BD,若△ACD為直角

三角形，求BD2；

(3)將圖1中的△/)<:?繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，連接BE,交△ABC頂角的平分線AP于點(diǎn)M,

交AC于點(diǎn)N,連接CM.求證：BM2+EM2=2AC2.

【分析】(1)先判斷出△AC。是等邊三角形，得出NAOC=60°,進(jìn)而得出NAOE=150°,再由A￡>=

DE,利用三角形的內(nèi)角和，即可得出結(jié)論；

(2)①當(dāng)點(diǎn)。在AC右側(cè)時(shí)，先求出BN=1,AN=/15,再判斷出入4CN=NCDM,進(jìn)而判斷出△ACN

(A45),得出DM=CN=1,CM=AN=屁,進(jìn)而得出8M=CM+8C=皮+2,最后用勾股

定理即可得出結(jié)論；

②當(dāng)點(diǎn)。在AC左側(cè)時(shí)，同①的方法得，DM=1,進(jìn)而得出=6下一2,最后根據(jù)勾股定理

得，即可得出結(jié)論；

(3)利用等腰三角形的性質(zhì)得出NAE8=NA8E,再利用SAS判斷出△ABMg△ACM,得出8M=CM,

ZABE=AACM,再判斷出NCME=90。，根據(jù)勾股定理得出。序=現(xiàn)層+田層，c針=2心,即可得出

結(jié)論.

【解析】(1)VAC=DC,AD=AC,

：.AC=DC=AD,

?**/\ACD是等邊三角形，

ZADC=60°,

VZCDE=90°,

ZADE=ZADC+ZCDE=150°,

u

：AD=ACfDE=AC,

：?AD=DE,

1

：.ZAED=^(180°-ZADE)=15°；

(2)①當(dāng)點(diǎn)。在AC右側(cè)時(shí)，如圖a,

過點(diǎn)4作ANLBC于M

AZACN=90°,

；AB=AC,BC=2,

1

:.BN=CN=^BC=1,

根據(jù)勾股定理得，AN=7AB2-BN2=代,

過點(diǎn)。作。MJ_8C,交BC的延長(zhǎng)線于M,

AZM=900-ZANC,

：.ZCDM+ZDCM=90°,

：△ACC是直角三角形，且AC=CZ),

/.ZACD=90°,

AZACN+ZDCM=90°,

ZACN=ZCDM,

在△ACN和△￡＞四中,

2ANC=ACMD=90°

Z.ACN=Z.CDM,

AC=CD

:AACN沿ADCM(A4S),

:.DM=CN=1,CM=AN=V15,

：.BM=CM+BC=V15+2,

在中，根據(jù)勾股定理得，BD1=BM2+DM1=(V15+2)2+12=20+4<15,

②當(dāng)點(diǎn)。在AC左側(cè)時(shí)，如圖4過點(diǎn)A作AN,3c于N,過點(diǎn)。作。交3C的延長(zhǎng)線于

同①的方法得，CM=>/15,0M=1,

：.BM=CM-BC=V15-2,

在RtABMQ中，根據(jù)勾股定理得，BD2=BM2+DM2=(V15-2)2+12=20-4V15,

即滿足條件的BD2為20+4同或20-4行；

(3)TAP是N3AC的角平分線，

：.ZBAM=ZCAM,

在△AM6和△AMC中，

AB=AC

Z-BAM=匕CAM,

AM=AM

：./\AMB^/\AMC(SAS),

：.BM=CM,ZACM=AABM,

9

：AB=AEf

：.ZABM=ZAEBf

：.ZAEB=ZACM,

VZCA￡=90°,

???NAEB+NANE=90°,

???NACM+NANE=90°,

?//ANE=/CNM,

???NACM+NCMW=90°，

:.NCMN=90°,

在RtZXCME中，根據(jù)勾股定理得，CE2=CM2+EM2=BM2+EA/,

在RtZXACE中，AC^AE,

：.CE1=2AC2,

：.BM2+EM2=2AC2.

【類型3】幾何翻折變換綜合題

[例3]（2019?江都區(qū)三模）如圖1,有一張矩形紙片ABCD,已知4?=5,AD=6,現(xiàn)將紙片進(jìn)行如下

操作：首先將紙片沿折痕即進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A落在BC1邊上的點(diǎn)E處，點(diǎn)F在"＞上（如圖2）；然后將紙

片沿折痕OH進(jìn)行第二次折疊，使點(diǎn)C落在第一次的折痕3斤上的點(diǎn)G處，點(diǎn)H在8c上（如圖3）.

（1）如圖2,判斷四邊形的形狀，并說明理由；

（2）如圖3,求BG的長(zhǎng).

【分析】（1）由折疊可得：AB=BE,且/4=/4跳；=/巫尸=90。，即可得出結(jié)論；’

（2）過G點(diǎn)作交4）、BC于前M、N,由四邊形ABEF1為正方形，可求得AF的長(zhǎng)，得出ABNG

和MWG為等腰直角三角形，'設(shè)BN=x,則可表示出GN、MG、MD，利用折疊的性質(zhì)可得到C￡>=Z)G,

在RtAMDG中，利用勾股定理可求得x,即可得出結(jié)果.

【解析】(1)四邊形ABEF是正方形，理由如下：

?.?四邊形AfiCD為矩形，

:.AB=CD=5,BC=AD=6,

由折疊可得：AB=BE,E.ZA=ZABE=ZBEF=90P,

四邊形ABEF為正方形：

(2)過點(diǎn)G作MN”AB,分別交45、BC于點(diǎn)、M、N,如圖3所示：

?.?四邊形是正方形，

:.AF=AB=5,

-,-MN//AB,

.?.ABNG和A/WG為等腰直角三角形，S.MN=AB=5,

設(shè)BN=x,則GV=AM=x,MG=MN-GN=5-x,MD=AD-AM=6-x,

又由折疊的性質(zhì)可知：DG=DC=5.

在RtAMDG中，由勾股定理可得MO?+MG?=GZ>2,

即(6-X)2+(5-X)2=52,

解得：x=2,

:.GN=BN=2,

:.BG=>/2BN=2y/2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股

【變式3.11(2020秋?儀征市期中)折紙，是生活中一種常見的操作.通過折紙，可以直觀的發(fā)現(xiàn)一些

線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明現(xiàn)有兩張aABC紙片，NC=2NB,進(jìn)行了如下的操作：

(1)操作一：如圖1,小明拿出第一張△ABC紙片，將邊AC沿直線A。折疊，使點(diǎn)C落在邊BC上，

求證：AC+CD=BD；

(2)操作二：如圖2,小明拿出第二張△4BC紙片，將邊AC沿直線AD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上，

判斷AC、CO和A8的數(shù)量關(guān)系并證明.

【分析】(1)如圖1中，在DB上取一點(diǎn)7,使得￡>7=OC,連接AT.證明AT=AC,TA=TB,即可解

決問題.

(2)結(jié)論：AC+CD=AB.如圖2中，在線段AB上取一點(diǎn)H,使得A4=AC,連接?！?證明絲

△ADC(SAS),推出￡W=￡>C,ZAHD=ZC,再證明"B=H￡)=￡>C,可得結(jié)論.

【解析】(1)證明：如圖1中，在08上取一點(diǎn)T,使得。T=OC,連接AT.

：.AT=AC,

：.ZATC=ZC,

VZC=2ZB,

NATC=NB+N7AB=2NB,

；.NB=N7AB,

：.TA=TB,

：.AC+CD^DT+BT=BD.

(2)解：結(jié)論：AC+CD=AB.

理由：如圖2中，在線段48上取一點(diǎn)，，使得4H=AC,連接DH.

由折疊可知，ZDAH=ZDACf

在和△AD。中，

AD=AD

乙DAH=乙DAC,

AH=AC

：./\ADH^^ADC(SAS),

:.DH=DC,NAHD=/C,

VZC=2ZB,

?,.ZAHD=NB+/HDB=2NB,

:?/B=ZHDB,

：.HB=HD=DC,

：.AC+CD=AH^-BH=AB.

【變式3.2](2020春?高郵市期末)已知△ABC,NA8C=80°,點(diǎn)石在BC邊上，點(diǎn)。是射線A8上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△5OE沿?！暾郫B，使點(diǎn)B落在點(diǎn)8處.

(1)如圖1,若NAO夕=125°,求NCE?的度數(shù)；

(2)如圖2.試探究NAQ笈與NCE8的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)連接C8',當(dāng)C8/AB時(shí)，直接寫出NC8E與的數(shù)量關(guān)系為NCB，E+80。=NADB'或

ZCB1E+ZADB1=80°.

B'CCB'

備用圖

【分析】(1)連接3B',利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可.

(2)方法類似(1).

(3)分兩種情形：如圖1-I中，當(dāng)點(diǎn)。在線段A8上時(shí)，結(jié)論：ZCB'E+80°=ZADB'；如圖2中,

當(dāng)點(diǎn)。在A3的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論：ZCB'E+ZADB'=80°.分別利用平行線的性質(zhì)證明即可.

【解析】(1)如圖1中，連接.

圖1

由翻折的性質(zhì)可知，ZDBE=ZDB'￡=80°,

,：ZADB'=NDBB'+ZDB'8=125°,

:./EBB'+/EB'8=160°-125°=35°,

:.NCEB'=ZEBB'+NEB'8=35°.

(2)結(jié)論：ZCEB'^ZADB'+20°.

理由：如圖2中，

,:NADB'+NBEB'=3600-2X(180°-80°),

：.ZADB'+1800-ZCEB'=160°,

：.ZCEB'=NAM+20°.

(3)如圖1-1中，當(dāng)點(diǎn)。在線段A8上時(shí)，結(jié)論：ZCB'￡+80°=ZADB'

理由：連接C8'.

：.ZADB'=ZCB'D,

由翻折可知，NB=NDB'E=80°,

：.ZCB'￡+80°=ZCB'D=ZADB'.

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)。在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論：ZCB'E+NADB'=80°.

理由：連接C8'.

圖2

"：CB'//AD,

：.ZADB'+NDB'C=180°,

VZABC=80°,

：.ZDBE=ZDB'E=100°,

:.NCB'E+1000+ZADB'=180°,

；.NCB'E+ZADB'=80°.

綜上所述，NCBE與NAO8'的數(shù)量關(guān)系為/CB'￡+80°ZADB'或NCB'E+NADB'=80°

故答案為：ZCB'E+80°=NADB'或/CB'E+/ADB'=80°.

【變式3.3］（2020春?錫山區(qū)期中）在AABC中，NBAC=90°,點(diǎn)。是BC上一點(diǎn)，將△ABO沿AO翻折

后得到邊AE交射線8c于點(diǎn)凡（友情提醒：翻折前后的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相

等.）

圖①圖②備用圖

（1）如圖①，當(dāng)AEJ_BC時(shí)，求證：DE//AC；

（2）若NC-NB=10°,ZBAD=x°.

①如圖②，當(dāng)8c時(shí)，求x的值；

②是否存在這樣的x的值，使得△OEF中有兩個(gè)角相等.若存在，并求x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）由余角的性質(zhì)可得NB=NEAC,由折疊的性質(zhì)可得N8=/￡AC=NE,可得結(jié)論；

（2）①先求出N8=40°,ZC=50°,由折疊的性質(zhì)可得NB=NE=40°,ZBAD=ZEAD=x°,由

外角的性質(zhì)可求x的值；

②分三種情況討論，列出方程可求解.

【解析】證明：（1）???AELBC,

...NEAC+NC=90°,

VZBAC=90°,

：.ZB+ZC=90°,

：.NB=/EAC,

將△AB。沿AD翻折后得到△4ED,

：.ZB=ZE,

：.ZEAC=ZE,

：.DE//AC;

（2）①；N8+NC=90°,ZC-Zfi=10°,

ZB=40°,/C=50°,

DEIBC,

：.ZEDF=90°,

???將△"￡>沿AD翻折后得到

/.ZB=ZE=40°,ZBAD=ZEAD=x0,

:?NDFE=50°,

■:NDFE=NB+NBAF,

A2x+40=50,

***x=5；

②由題意可得，ZADC=40+.t,ZADB=140-x,

ZEDF=140-x-(40+x)=100-2x,

ZDFE=40+2x,

若NEDF=NDFE,則100-2x=40+2x,

.,.x=15；

若NEDF=NE,貝I」100-2x=40,

x--30；

若NDFE=NE,則40+2x=40,

.'.x=0(舍去).

綜上可得x=15或30.

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.(2020秋?崇川區(qū)校級(jí)期中)如果一個(gè)三角形能被一條線段分割成兩個(gè)等腰三角形，那么稱這條線段為這

個(gè)三角形的內(nèi)好線，稱這個(gè)三角形為內(nèi)好三角形.

(1)如圖1,ZVIBC是等腰銳角三角形，AB^AC(AB>BC),若/ABC的角平分線8。交4c于點(diǎn)。,

且BO是△ABC的一條內(nèi)好線，則/B￡)C=72度;

(2)如圖2,△ABC中，NB=2NC,線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)￡),交BC于點(diǎn)E.求證：AE

是ABC的一條內(nèi)好線；

(3)如圖3,已知AABC是內(nèi)好三角形，且/A=24°,為鈍角，則所有可能的已8的度數(shù)為108°

或117°或144°或148°(直接寫答案).

【分析】(I)由等腰三角形的性質(zhì)可得NA8C=NAC8,由角平分線的性質(zhì)可得NABZ)=NC8O=

ABC,由“內(nèi)好線”定義可得80=8c=AO,可得NA=NA8。，NBDC=NC,由三角形的內(nèi)角和定理

可求解；

(2)只要證明△ABE,△AEC是等腰三角形即可；

(3)當(dāng)BE是內(nèi)好線時(shí)，分三種情形討論，由等腰三角形的性質(zhì)可求解；當(dāng)CE是內(nèi)好線時(shí)，當(dāng)AE為

內(nèi)好線時(shí)，利用等腰三角形性質(zhì)即可解決問題.

【解析】(1),：AB=AC,

ZABC^ZACB,

平分N48C,

NABD=NCBD=；NABC,

:BD是△ABC的一條內(nèi)好線，

/\ABD和ABDC是等腰三角形，

：.BD=BC^AD,

：.ZA^ZABD,NBDC=NC,

ZBDC=ZA+ZABD=2ZA,

：.NABC=/AC8=2NA,

VZ-4+ZABC+ZACB=180°,

；.乙4=36°,

：.ZBDC=2ZA=12°,

故答案為：72；

(2)???￡>￡是線段AC的垂直平分線，

：.EA=EC,即△EAC是等腰三角形，

.../E4C=/C,

ZAEB=ZEAC+ZC=2ZC,

；NB=2NC,

:.NAEB=NB,即△EA8是等腰三角形,

.?.4E是A8C的條內(nèi)好線；

(3)設(shè)8E是△ABC的的內(nèi)好線，

①如圖3,

圖3

當(dāng)AE=8E時(shí)，則/A=NEBA=24°,

.?./CE8=NA+/E84=48°,

若8c=BE時(shí)，則NC=NCE8=48°,

AZABC=180°-ZA-ZC=108°,

若BC=CE時(shí)，則/C8E=/CEB=48°,

/.ZABC=ZABE+ZCBE=12°<90°（不合題意舍去），

若CE=BE時(shí)，則/C=NCBE=竺與鴛=66°,

AZABC=ZABE+ZCBE=90°（不合題意舍去），

②如圖4,當(dāng)AE=BE時(shí)，WJZAEB=ZAEB=180°~24=78°,

圖4

ZCEB=ZA+ZABE=102°>90°,

,:CE=BE,

.?./C=NCBE=39°,

Z.ZCBA=ZABE+ZCBE=117°,

③如圖5,當(dāng)AB=BE時(shí)，則NA=NAE8=24°,

圖5

/.132°,ZBEC=\56°>0,

,:BE=CE,

：.ZC=ZCBE=\20,

ZCBA=ZABE+ZCBE=144°,

設(shè)CE是△A3C的的內(nèi)好線，

圖6

當(dāng)CE=AE時(shí)，則NA=/4CE=24。，

?:BC=BE,

：.NBEC=ZBCE=NA+N-48°,

AZA5C=84°<0（不合題意舍去），

設(shè)AE是△46。的內(nèi)好線，

圖7

?；CE=AE,

：.ZC=ZCAE,

：.NAEB=NC+NCAE=2NCAE,

?：BE=AB,

JNBAE=NAEB=2NCAE,

；Na4c=24°=3ACAE,

.../C4E=8°,/3AE=16°,

.?.NA8c=148°,

綜上所述：乙48c=108°或117°或144°或148°.

故答案為：108°或117°或144°或148°.

2.（2020秋?靖江市期中）如圖1,△4BC中，C￡）_LAB于點(diǎn)。，且80：AD：CD=2：3：4.

（1）試說明AABC是等腰三角形；

（2）己知SMBC=90cm2,如圖2,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒\cm的速度沿線段B4向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)

動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止.設(shè)點(diǎn)尸

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1（秒），

①若△。尸。的邊與BC平行，求f的值；

②若點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，問在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過程中，△PDE能否成為等腰三角形？若能，求出r的值；

若不能，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2備用圖

【分析】（I）設(shè)8D=2x,根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)等腰三角形的概念證明結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形的面積公式分別求出BD、AD,CD,分DQ//BC.PQ//BC兩種情況，根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)解答；

（3）分點(diǎn)尸與點(diǎn)力重合、DP=DE、PC=PE三種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案.

【解析】（1）設(shè)BQ=2x,則AO=3x,CC=4x,

：.AB=BD+AD=5x,

由勾股定理得，AC=y/AD2+CD2=5x,

：.AB=AC,即△ABC是等腰三角形：

(2)：SAABC=9(W,

1

x5xX4x=90,

2

解得，x=3,

HD—6/77,AZ)=9，"，CZ)—1Itn>

由題意得，BP—t,AQ—t,

則AP=15-t,

當(dāng)OQ〃BC時(shí)，ZADQ=ZABC,ZAQD=ZACB,

：.ZADQ=ZAQD,

：.AQ=AD=9,即t=9,

當(dāng)PQ〃BC時(shí)，ZAPQ=AABC,ZAQP=ZACB,

：.ZAPQ=ZAQP,

：.AP=AQ,即

解得，f=7.5,

綜上所述，當(dāng)△QPQ的邊與8c平行，，的值為9或7.5；

(3)在Rt^CDA中，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

1

：.DE=^AC=AE=1.5,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合時(shí)，△2￡>￡為等腰三角形，此時(shí)f=7.5,

如圖3,當(dāng)。尸=Z)E=7.5時(shí)，BP=BD+DP=13.5,此時(shí)1=13.5,

如圖4,當(dāng)尸。=PE時(shí)，△2￡>￡為等腰三角形，

作EHLAB于H,

,:ED=EA,

：.DH=DA=4.5,

設(shè)DP=EP=x,

由勾股定理得，EH='DE?-DH2=6,

PH=x-6,

在RtaEHP中，EP1=EH1+PH1,即x2=62+(x-4.5)2,

解得，x=竽，

milonn?2549

則8P=6+彳=不

綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，f的值或13.5或了.

4

圖3

3.（2020秋?新吳區(qū)期中）如圖1,△4BC中，C￡）J_48于。，且B。：AD：CD=2：3：4.

（1）試說明△ABC是等腰三角形；

（2）已知SAABC=40C、,"2,如圖2,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)8出發(fā)以每秒1c機(jī)的速度沿線段8A向點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)，同時(shí)

動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止.設(shè)點(diǎn)M

運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f（秒）.

①若△DMN的邊與BC平行，求，的值；

49

②若點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，問在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，t=9或10或差秒時(shí),△MDE是等腰三角形.

【分析】（1）設(shè)BO=2x,AD=3x,CQ=4x,則AB=5x,由勾股定理求出AC,即可得出結(jié)論；

（2）由△ABC的面積求出8。、AD,CD、AC；①當(dāng)MN〃8c時(shí)，AM=AN,當(dāng)￡W〃8c時(shí)，AD=ANx

得出方程，解方程即可；

②根據(jù)題意得出肖點(diǎn)M