2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章計數(shù)原理四組合組合數(shù)課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE四組合組合數(shù)(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)1.(多選題)下列問題中,是組合問題的是()A.設(shè)集合A={a,b,c,d,e},則集合A的子集中含有3個元素的有多少個B.某鐵路途上有5個車站,則這條線上共需打算多少種車票C.3人去干5種不同的工作,每人干一種,有多少種分工方法D.把3本相同的書分給5個學(xué)生,每人最多得1本,有幾種安排方法【解析】選AD.A.因為本問題與元素依次無關(guān),故是組合問題.B.因為甲站到乙站,與乙站到甲站車票是不同的,故是排列問題.C.因為分工方法是從5種不同的工作中取出3種,按肯定次序分給3個人去干,故是排列問題.D.因為3本書是相同的,無論把3本書分給哪三人,都不需考慮他們的依次,故是組合問題.【加練·固】以下四個命題,屬于組合問題的是()A.從3個不同的小球中,取出2個排成一列B.老師在排座次時將甲、乙兩位同學(xué)支配為同桌C.在電視節(jié)目中,主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星D.從13位司機中任選出兩位開同一輛車來回甲、乙兩地【解析】選C.從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星,與依次無關(guān),是組合問題.【類題·通】推斷一個問題是否是組合問題的流程2.集合M={x|x=QUOTE,n≥0且n∈N},集合Q={1,2,3,4},則下列結(jié)論正確的是()A.M∪Q={0,1,2,3,4} B.Q?MC.M?Q D.M∩Q={1,4}【解析】選D.由QUOTE知n=0,1,2,3,4,因為QUOTE=1,QUOTE=4,QUOTE=QUOTE=6,QUOTE=QUOTE=4,QUOTE=1,所以M={1,4,6}.故M∩Q={1,4}.3.方程QUOTE=QUOTE的解集為()A.{1,3} B.{3,5}C.(1,3) D.{1,3,5,-7}【解析】選A.因為QUOTE=QUOTE,所以x2-x=5x-5①,或(x2-x)+(5x-5)=16②,解①可得x=1或x=5(舍去),解②可得x=3或x=-7(舍),所以該方程的解集是{1,3}.4.若QUOTE-QUOTE=QUOTE,則n等于()A.12 B.13 C.14 D.15【解析】選C.因為QUOTE-QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以n+1=7+8,即n=14.二、填空題(每小題5分,共10分)5.平面凸n邊形的對角線的條數(shù)為________.

【解析】從n個頂點中任選2個可形成QUOTE條線段,其中有n條線段是凸n邊形的邊,故對角線條數(shù)為QUOTE-n=QUOTE條.答案:QUOTE6.從2,3,5,7四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)相乘,有m個不同的積;任取兩個不同的數(shù)相除,有n個不同的商,則m∶n=________.

【解析】因為m=QUOTE,n=QUOTE,所以m∶n=1∶2.答案:1∶2三、解答題(每小題10分,共20分)7.解不等式QUOTE>QUOTE+2QUOTE+QUOTE.【解題指南】由題中的QUOTE,QUOTE,QUOTE想到先用性質(zhì)化簡不等式,再進一步求解.【解析】因為QUOTE=QUOTE,所以原不等式可化為QUOTE>(QUOTE+QUOTE)+(QUOTE+QUOTE),即QUOTE>QUOTE+QUOTE,也就是QUOTE>QUOTE,所以QUOTE>QUOTE,即(n-3)(n-4)>20,解得n>8或n<-1.又n∈N*,n≥5.所以n≥9且n∈N*.8.(1)解方程:3QUOTE=5QUOTE.(2)求值QUOTE+QUOTE.【解題指南】(1)依據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的階乘公式將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程求解.(2)依據(jù)上下標的大小關(guān)系得到r的可能取值,代入求得組合數(shù)的值.【解析】(1)由排列數(shù)和組合數(shù)公式,原方程可化為3·QUOTE=5·QUOTE,則QUOTE=QUOTE,即為(x-3)(x-6)=40.所以x2-9x-22=0,解之可得x=11或x=-2.經(jīng)檢驗知x=11是原方程的解,所以方程的解為x=11.(2)由組合數(shù)的定義知QUOTE所以7≤r≤9.又r∈N*,所以r=7,8,9,當r=7時,原式=QUOTE+QUOTE=46;當r=8時,原式=QUOTE+QUOTE=20;當r=9時,原式=QUOTE+QUOTE=46.(15分鐘·30分)1.(5分)算式QUOTE可以表示為()A.QUOTE B.QUOTEC.21QUOTE D.21QUOTE【解析】選D.QUOTE=QUOTE=QUOTE×21=21QUOTE.2.(5分)(QUOTE+QUOTE)÷QUOTE的值為()A.6 B.101 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.(QUOTE+QUOTE)÷QUOTE=(QUOTE+QUOTE)÷QUOTE=QUOTE÷QUOTE=QUOTE÷QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.(5分)QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=________.

【解析】QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=…=QUOTE+QUOTE=QUOTE=220.答案:2204.(5分)(2024·揚州高二檢測)已知QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE,則x=________.

【解析】因為QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以x=2x-3,或x+2x-3=9,解得x=3,或x=4.答案:3或4【加練·固】已知x,y滿意組合數(shù)方程QUOTE=QUOTE,則xy的最大值是________.

【解析】因為x,y滿意組合數(shù)方程QUOTE=QUOTE,所以2x=y,0≤x≤8或2x+y=17,所以xy=2x2∈[0,128],或2xy≤QUOTE=QUOTE,即xy≤QUOTE.(當且僅當x=y=QUOTE時,取“=”)綜上,當2x=y=16時,xy取最大值128.答案:1285.(10分)求20QUOTE=4(n+4)QUOTE+15QUOTE中n的值.【解析】原方程可化為20×QUOTE=4(n+4)×QUOTE+15(n+3)(n+2),即QUOTE=QUOTE+15(n+3)(n+2),所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90,即5(n+4)(n+1)=90,所以n2+5n-14=0,即n=2或n=-7.留意到n≥1且n∈N*,所以n=2.1.若QUOTE-QUOTE=QUOTE(n∈N*),則n等于()A.11 B.12 C.13 D.14【解析】選B.依據(jù)題意,QUOTE-QUOTE=QUOTE變形可得,QUOTE=QUOTE+QUOTE;由組合數(shù)的性質(zhì)可得,QUOTE+QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,則可得到n+1=6+7?n=12.2.(2024·上海高二檢測)推廣組合數(shù)公式,定義QUOTE=QUOTE,其中x∈R,m∈N*,且規(guī)定QUOTE=1.(1)求