空間向量的應(yīng)用 2025年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)專項(xiàng)復(fù)習(xí)

第七章立體幾何與空間向量2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)第六節(jié)空間向量的應(yīng)用目錄利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系壹利用空間向量求線線角貳利用空間向量求線面角叁利用空間向量求空間距離伍利用空間向量求二面角肆基于長(zhǎng)方體模型滲透數(shù)學(xué)建模思想陸利用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系壹教材知識(shí)萃取1.直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量平面的法向量教材知識(shí)萃取2.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示

教材知識(shí)萃取思維拓展確定平面法向量的方法（1）直接法：觀察是否有垂直于平面的直線，若有，則此直線的方向向量就是平面的法向量.

教材知識(shí)萃取

教材知識(shí)萃取方法技巧1.利用空間向量證明平行問題的方法線線平行證明兩條直線的方向向量共線.線面平行（1）證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；（2）證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；（3）證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示.面面平行（1）證明兩個(gè)平面的法向量平行；（2）轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行問題.教材知識(shí)萃取2.利用空間向量證明垂直問題的方法線線垂直證明兩直線的方向向量垂直，即證它們的數(shù)量積為零．線面垂直（1）證明直線的方向向量與平面的法向量共線；（2）證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條相交直線的方向向量都垂直．面面垂直（1）其中一個(gè)平面與另一個(gè)平面的法向量平行；（2）兩個(gè)平面的法向量垂直.注意

用向量法證明平行與垂直問題時(shí)，要注意解題的規(guī)范性.如證明線面平行時(shí)，需要說明一條直線在平面內(nèi)，另一條直線在平面外.教材素材變式1.［多選］［蘇教選必二P31練習(xí)第1,2題變式］給出下列命題，其中是真命題的是(

)

AD

選項(xiàng)正誤原因A√BCD√

【解析】

AC

利用空間向量求線線角貳教材知識(shí)萃取

易錯(cuò)提醒

教材知識(shí)萃取方法技巧求異面直線所成角的方法幾何法將兩直線平移到同一平面內(nèi)，構(gòu)造三角形，利用勾股定理或解三角形求兩異面直線的夾角或其余弦值.向量法教材素材變式

B

C

A

解后反思求線線角時(shí)，若不易建系，且從題干條件中可以得到三條長(zhǎng)度已知的棱，并且這三條棱兩兩之間的夾角均已知，也符合空間的一個(gè)基底的條件，則可以考慮用基底法求解.

C

C

利用空間向量求線面角叁教材知識(shí)萃取

教材知識(shí)萃取

圖1教材知識(shí)萃取方法技巧求直線與平面所成角的方法幾何法利用直線與平面所成角的定義求解，具體步驟：（1）尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；（2）連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角即為所求的角；（3）通過解該角所在的三角形求解．注意

直線與平面平行或垂直的特殊情況.向量法教材素材變式

A

A

利用空間向量求二面角肆教材知識(shí)萃取教材知識(shí)萃取

教材知識(shí)萃取方法技巧求二面角常用的方法幾何法根據(jù)定義作出二面角的平面角求解.向量法教材素材變式

C

易錯(cuò)警示求二面角的正弦值的易錯(cuò)點(diǎn)：一是求平面的法向量出錯(cuò)，應(yīng)注意點(diǎn)的坐標(biāo)的求解的準(zhǔn)確性；二是公式用錯(cuò)，把線面角的向量公式與二面角的向量公式搞混，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)；三是空間想象能力不足而失分，當(dāng)求出兩個(gè)法向量的夾角的余弦值時(shí)，誤以為是所求二面角的余弦值，因忽視對(duì)二面角是銳角或鈍角的判斷，導(dǎo)致所得結(jié)果出錯(cuò).

利用空間向量求空間距離伍教材知識(shí)萃取教材知識(shí)萃取方法技巧求點(diǎn)到平面的距離的常用方法幾何法找到點(diǎn)到平面的距離，通過解三角形求出距離，若點(diǎn)到平面的距離不易求，還可轉(zhuǎn)化為過已知點(diǎn)且與相關(guān)平面平行的直線上的其他點(diǎn)到平面的距離求解.等體積法利用已知的點(diǎn)和平面構(gòu)造四面體，利用四面體能夠以任何一個(gè)面作為底面去求體積的特征，把四面體的體積以不同面為底表示兩次，列出方程，解方程即可求出距離．教材知識(shí)萃取向量法續(xù)表教材素材變式

D

ABD

圖1

圖2

基于長(zhǎng)方體模型滲透數(shù)學(xué)建模思想陸模型解讀長(zhǎng)方體的外接球問題外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半.與三棱錐有關(guān)的問題若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示.若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示.若三