2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：圓的方程【八大題型】

專題8.3圓的方程【八大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1求圓的方程】.........................................................................3

【題型2二元二次方程表示圓的條件】..........................................................4

【題型3圓過定點(diǎn)問題】.......................................................................4

【題型4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷】............................................................5

【題型5與圓有關(guān)的軌跡問題】.................................................................5

【題型6與圓有關(guān)的對稱問題】.................................................................6

【題型7圓系方程】...........................................................................7

【題型8與圓有關(guān)的最值問題】.................................................................7

?考情分析

1、圓的方程

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2022年全國乙卷（文數(shù)）：

第15題，5分

（1）理解確定圓的幾何要

2022年全國甲卷（文數(shù)）：從近幾年的高考情況來看，高考對

素，在平面直角坐標(biāo)系中，

第14題，5分圓的方程的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、

掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般

2023年全國乙卷（文數(shù)）：填空題的形式考查，難度不大；有時(shí)也

方程

第11題，5分會與距離公式、圓錐曲線等結(jié)合考查，

⑵能根據(jù)圓的方程解決

2023年上海卷：第7題，5分復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握圓的方程的求法，靈

一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)

2024年北京卷：第3題，4分活求解.

際問題

2024年天津卷：第12題，5

分

?知識梳理

【知識點(diǎn)1圓的定義和圓的方程】

1.圓的定義

圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）是圓（定點(diǎn)為圓心，定長為半徑）.

圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程（x—。尸+3—6）2="&＞（））叫作以點(diǎn)5力）為圓心，廠為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

（3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母（待定），因此

在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.圓的一般方程

(1)方程1+V+Dx+4+尸=0(。2+—4尸>0)叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因

此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.

下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)。，E,F；

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心:9，-5卜弋入圓心所在的直線

方程，求待定系數(shù)。，E,F.

4.二元二次方程與圓的方程

(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程//+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,對比圓的一般方程/+y2+Dx+Ey+F=0

(D2+E2-4F>0),我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的

方程.

(2)二元二次方程表示圓的條件：

A=C#0

_,B=0

二元二次方程4》2+代^+02+m+3+尸=0表示圓的條件是,.

用+(9一哈)>0

5.圓的參數(shù)方程

圓(X—"尸+⑶一人)2="&>0)的參數(shù)方程為<其中6為參數(shù).

6.求圓的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若己知條件與圓心(0力)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出0,6,，的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,尸的方程組，進(jìn)而求出。，E,尸的值.

【知識點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓/有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.

(2)圓/的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—0)之+3—瓦)2=/,圓心為/(2玲，半徑為廠(廠>0)；圓N的一般方程為

X2+y2+Dx+Ey+F—Q(D2+E2—4F>0').平面內(nèi)一點(diǎn)加(曲,“)).

位置關(guān)系判斷方法

幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)

點(diǎn)在圓上22

\MA\=r(xo-a)2+(y0-b)=r

Xo+yo+Dx0+Ey0+F=0

22

點(diǎn)在圓內(nèi)\MA\<r(Xo-Q)2+(y0-/7)<r加+必+Dx0+Ey0+F<0

222

點(diǎn)在圓外\MA\>r(XQ-O)+(yo-b)>rXQ+yoDXQ+Ey。+F>0

【知識點(diǎn)3軌跡方程】

1.軌跡方程

求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于

變量之間的方程.

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定

義(如圓)時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法(或稱相關(guān)點(diǎn)法).

(2)求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等.

2.求軌跡方程的步驟：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)列出關(guān)于X)的方程；

(3)把方程化為最簡形式；

(4)除去方程中的瑕點(diǎn)伊口不符合題意的點(diǎn))；

(5)作答.

【方法技巧與總結(jié)】

1.以A(xi,yi),8(x242)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-%)(x-X2)+(了一乃)(了一%)=0.

2.圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.

3.圓心在任一弦的垂直平分線上.

?舉一反三

【題型1求圓的方程】

【例1】(2024?遼寧大連?一模)過點(diǎn)和(1,3),且圓心在x軸上的圓的方程為()

A.%2+y2=4B.(x—2)2+y2=8

C.(%—I)2+y2=5D.(%—2)2+y2=10

【變式1-1](2024?河南?模擬預(yù)測)圓心在射線丫=和(>30)上，半徑為5,且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為

().

A.x2+y2—8x—6y—0

B.x2+y2—6x—8y=0

C.x2+y2+8%+6y=0

D.x2+y2+6x+8y=0

【變式1-2]（2024?北京?模擬預(yù)測）圓心為（2,1）且和x軸相切的圓的方程是（）

A.（X—2）2+（y-l）2=1B.（x+2/+（y+1）2=1

C.（x-2）2+（y-1）2=5D.（久+2）2+（y+=5

【變式1-3]（2024?全國?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，圓E與兩坐標(biāo)軸交于四點(diǎn)，其中4（—2,0）

出（0,-3）,點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸的正半軸上，圓E的內(nèi)接四邊形4BCD的面積為當(dāng)，則圓E的方程為

（）

QQ4

A.xz+yz+x+-y=2

B.x2+y2—x+y=6

C.x2+y2—4x—y-12

D.%2+y2++2y=3

【題型2二元二次方程表示圓的條件】

【例2】（2024?貴州?模擬預(yù)測）已知曲線C的方程2%2+2y2+4x+8y+F=0,則“F210”是“曲線C是圓”

的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式2-1]（23-24高二下?上海?期中）方程x2+y2+4?ix—2y+56=0表示圓的充要條件是（）

A.<m<1B.m>1C.D.巾<；或771>1

【變式2-2]（23-24高二上?福建廈門?期中）若ae{-2,-l,0（,l},則方程/+/+2ay+2a2+a—1=0

表示的圓的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式2-3]（23-24高二上?廣東?期末）已知方程/+、2+2萬―2即+2（1+4=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)a取值

范圍是（）

A.（―8,—1]U[3,+8）B.[—1,3]

C.（-00-1）U（3,+00）D.（-1,3）

【題型3圓過定點(diǎn)問題】

【例3】（23-24高二上?湖北荊州?期末）圓C:/+必+a久一2ay-5=0恒過的定點(diǎn)為（）

A.(-2,1),(2,-1)B.(-1,-2),(2,1)

C.(-1-2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【變式3-1](23-24高二上?浙江溫州?期中)點(diǎn)P(x,y)是直線2x+y—5=0上任意一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，貝U

以。P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【變式3-2](2024高三?全國?專題練習(xí))當(dāng)加變化時(shí)，圓/+/+(%+2)x+y—2=0恒過定點(diǎn).

【變式3-3](23-24高三上?上海徐匯?期末)已知二次函數(shù)f(x)=%2+2%+b(x6R)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)

不同的交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C,則圓C經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為(其坐標(biāo)與b無關(guān))

【題型4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷】

【例4】(2024?河北滄州,二模)若點(diǎn)4(2,1)在圓尤2+y2-2ni久-2y+5=0(m為常數(shù))外，則實(shí)數(shù)m的取

值范圍為()

A.(—8,2)B.(2,+8)C.(—8,—2)D.(—2,+8)

【變式4-1](2024?甘肅定西?模擬預(yù)測)若點(diǎn)(2,1)在圓好+必一%+y+a=。的外部，則。的取值范圍是

()

A.G，+8)B.(一8,；)C.(―44)D.(―8,—4)UG，+8)

【變式4-2](24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)“1<6<2”是“點(diǎn)B(0力)在圓C:(xT)2+(y-2)2=2內(nèi)”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【變式4-3](2024高三?全國?專題練習(xí))若點(diǎn)(2a,a+1)在圓N+(j—1)2=5的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.{a|-l<a<l}

B.{a|0<a<l}

C.{a|a<—1或41}

D.{a|-l<a<0}

【題型5與圓有關(guān)的軌跡問題】

【例5】(24-25高二上?上海?課后作業(yè))點(diǎn)P(4,-2)與圓*2+y2=4上任意一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是

()

A.Q—4尸+(y+2尸=4B.(x+2)2+(y—I)2=1

C.（%+4）2+（y-2）2=4D.（%—2）2+（y+l）2=1

【變式5-1］（23-24高二上?廣東東莞?階段練習(xí)）已知線段的端點(diǎn)B的坐標(biāo)（4,3）,端點(diǎn)/在圓％?+y2=4

上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積（）

A.4TlB.V2nC.TTD.?

q

【變式5-2］（2024?山東淄博?一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知向量萬5與被關(guān)于x軸對稱，向量3

=（0,1）,若滿足瓦?2+2.屈=0的點(diǎn)/的軌跡為E,貝U（）

A.￡是一條垂直于x軸的直線B.￡是一個(gè)半徑為1的圓

C.￡是兩條平行直線D.E是橢圓

【變式5-3］（2024?山東德州?三模）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距

離之比為常數(shù)k（k〉O,k力1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,

4（一4,0）,B（2,0）,點(diǎn)M滿足制=2,則點(diǎn)M的軌跡方程為（）

A.(%+4)2+y2-16B.(x—4/+y2-16

C.x2+(y+4)2=16D.x2+(y—鏟=16

【題型6與圓有關(guān)的對稱問題】

【例6】(2024?浙江?模擬預(yù)測)圓C：(比一1)2+(y-2)2=2關(guān)于直線x-y=0對稱的圓的方程是()

A.(x-1)2+(y+2尸=2B.(x+l)2+0+2)2=2

C.(x-2)2+(y—l)2=2D.(x+2)2+(y+1)2=2

【變式6-1］（23-24高二上?安徽黃山?期末）圓2）2+（y—1尸=1與圓N關(guān)于直線x—y=0對稱，則圓

N的方程為（）

A.(x+l)2+(y+2/=1B.(x-2)2+(y+l)2=l

C.(%+2)2+(y+1)2=1D.(x—l)2+(y-2)2=1

【變式6-2](23-24高二下?云南昆明,階段練習(xí))已知圓M:(x+I)2+(y+l)2=1與圓N:(x-4)2+(y+3)2

=1關(guān)于直線1對稱，貝〃的方程為()

A.10x—4y-23=0B.10%+4y—23=0

C.2x—5y—7=0D.2%+5y4-7=0

【變式6-3](2024?陜西寶雞?一模)已知圓％2+y2_2x+4y+4=0關(guān)于直線2a%-by-2=0(a>0fb>0)

對稱，則山?的最大值為()

A.2B.1

【題型7圓系方程】

【例7】（23-24高二下?湖南長沙?階段練習(xí)）過圓%2+必一刀+}/_2=0和久2+}72=5的交點(diǎn)，且圓心在直

線3尤+4y-1=0上的圓的方程為（）

A.x2+y2+2x—2y—ll=0B.x2+y2—2%+2y—11=0.

C.x2+y2—2x—2y—ll=0D.x2+y2+2x+2y-11=0

【變式7-1]（2024高二?遼寧?學(xué)業(yè)考試）過圓*2+}/2-23/一4=0與/+）72一4%+2）/=0的交點(diǎn)，且圓心在

直線1:2久+4y-l=。上的圓的方程是.

【變式7-2]（23-24高一下?江西九江?期中）經(jīng)過兩圓/+/+6%一4=0和％2+y+6}7-28=0的交點(diǎn)，且

圓心在直線久-y-4=0上的圓的方程為.

【變式7-3]（2024高三下?全國?專題練習(xí)）求過圓：久2+,2一2久+2y+1=0與圓：%2+y2+4x-2y—4=0

的交點(diǎn)，圓心在直線：x-2y-5=0圓的方程.

【題型8與圓有關(guān)的最值問題】

【例8】（2024?西藏拉薩?二模）已知點(diǎn)”（3,-3）,N（3,0）,動(dòng)點(diǎn)P在圓。：/+必=1上，則|PM|+g|PN|的最

小值為（）

ABCD

?3?3?9?9

_-1A.

【變式8-1]（2024?河南?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)PQ,y）在以原點(diǎn)。為圓心，半徑r=77的圓上，則用+/石的

最小值為（）

A.?B.亨C.\D.1

【變式8-2]（2024?湖北黃石?三模）已知在等腰直角三角形28c中，C4=CB=4,點(diǎn)M在以C為圓心、2為

半徑的圓上，則|MB|+J"*的最小值為（）

A.375-272B.V17C.1+2V5D.2V5-1

【變式8-3]（2024?廣西貴港?模擬預(yù)測）已知圓C：（%-2尸+（y-2）2=4,直線/：（zn+2）%-zny-4=0,

若/與圓。交于B兩點(diǎn),設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,則|。川+2|。用的最大值為（）

A.4V3B.6V3C.4V15D.2V30

?過關(guān)測試

一、單選題

1.(2024?吉林長春?三模)經(jīng)過力(1,1),B(-l,1),C(0,2)三個(gè)點(diǎn)的圓的方程為()

A.(%+1)2+(y—1)2=2B.(x-l)2+(y-l)2=2

C.x2+(y—1尸=1D.%2+(y+I)2=1

2.(2024?浙江?一模)圓。％2+必_2*+4、=0的圓心。坐標(biāo)和半徑r分別為()

A.C(1,-2),r=V5B.C(1-2),r=5

C.C(-l,2),r=V5D.C(-l,2),r=5

3.(2024?江西?模擬預(yù)測)若點(diǎn)(1,1)在圓*2+y2—x—a=0的外部，則。的取值范圍為()

A.(-pl)B.&1)C.(—8,1)D.(l,+8)

4.(2024?陜西銅川?三模)已知圓。(久一或2+0—6)2=1經(jīng)過點(diǎn)4(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最大值

為()

A.4B.5C.6D.7

5.(2024?河南信陽?模擬預(yù)測)已知圓。：%2+y2=2,點(diǎn)A(m,n)和點(diǎn)B(p,q)在圓。上,滿足mp+nq

=-1＞則m+n+p+q最大值為()

A.V2B.2C.2V2D.4V2

6.(23-24高二上?廣西玉林?期末)若直線/在x軸、y軸上的截距相等，且直線I將圓/+產(chǎn)一2久+4y=0的

周長平分，則直線/的方程為()

A.x+y+1=0B.x+y-1=0

C.x+y+1=0或2x+y=0D.%+y—1=0或2x+y=0

7.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M(2,0),直線=k(x-2)+1,點(diǎn)M關(guān)于直

線I的對稱點(diǎn)為N,則△0MN面積的最大值是()

A.1B.2C.3D.4

222

8.(23-24高三上?遼寧大連?階段練習(xí))已知圓的:(%—2)2+(y-3)=1,0C2:(%-3)+(y-4)=9,M,N

分別是圓Ci,C2上的動(dòng)點(diǎn)，尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為()

A.5V2-2B.V17-1C.6+2V2D.5V2-4

二、多選題

9.(2024?廣西?模擬預(yù)測)若點(diǎn)尸(1,0)在圓aN+yZ+Zx-w+mn。的外部，則小的取值可能為()

A.-3B.1C.4D.7

10.(2024?山西臨汾?三模)已知E,F是以C(l,2)為圓心，魚為半徑的圓上任意兩點(diǎn)，且滿足CE1CF,P是EF

的中點(diǎn)，若存在關(guān)于(3,0)對稱的4B兩點(diǎn)，滿足西?麗=0,則線段長度的可能值為()

A.3B.4C.5D.6

11.(2024?遼寧丹東?模擬預(yù)測)己知曲線E:久2+>2一2田一2僅|=0,貝|()

A.曲線E圍成圖形面積為8+4兀

B.曲線E的長度為4或兀

C.曲線E上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為2

D.曲線E上任意兩點(diǎn)間最大距離4金

三、填空題

12.(2024?湖南邵陽?三模)寫出滿足“點(diǎn)(3,-2)在圓/+外一2%+4)7+6=0外部”的一個(gè)根的值：m=

13.(2024?貴州畢節(jié)?三模)已知直線Sx+ty—5=0,直線%：tx—y—3t+2=0,、與一相交于點(diǎn)，,則點(diǎn)4

的軌跡方程為.

14.(2024?天津河西?模擬預(yù)測)已知點(diǎn)4為圓C：(x-m)2+(y-m-l)2=2上一點(diǎn)，點(diǎn)B(3,0),當(dāng)小變化時(shí)線

段N2長度的最小值為.

四、解答題

15.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知過點(diǎn)(1,0)的動(dòng)直線/與圓的：X2+丫2一4刀=0相交于不同的兩點(diǎn)區(qū)B.

(1)求圓Ci的圓心坐標(biāo)；

(2)求線段的中點(diǎn)M的軌跡C的方程.

16.(23-24高二上?湖南永州?期末)△4BC的頂點(diǎn)是4(0,0),B(-l-l),C(3,l).

(1)求邊4B上的高所在直線的方程；

(2)求過點(diǎn)/,B,C的圓方程.

17.(23-24高二上?湖北十堰,期末)已知直線Lx+2y+3=0,圓C:N+7一6y—6=0.

(1)求與2垂直的C的直徑所在直線小的一般式方程；

(2)若圓E與C關(guān)于直線Z對稱，求E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

18.(23-24高二上?山東濟(jì)南?期末)已知圓心為C的圓經(jīng)過。(0,0),4(0,2舊)兩點(diǎn)，且圓心C在直線

l-.y=V3%±.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)尸在圓C上運(yùn)動(dòng)，求|PO|2+|PA|2的取值范圍.

19.(23-24高二上?湖南?期末)已知四邊形48CD的三個(gè)頂點(diǎn)4(1,0),B(3,—2),C(4,-l).

(1)求過/,B,C三點(diǎn)的圓的方程.

(2)設(shè)線段4B上靠近點(diǎn)/的三等分點(diǎn)為E,過￡的直線/平分四邊形2BCD的面積.若四邊形ABCD為平行四

邊形，求直線/的方程.

專題8.3圓的方程【八大題型】

【新高考專用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1求圓的方程】.........................................................................3

【題型2二元二次方程表示圓的條件】..........................................................5

【題型3圓過定點(diǎn)問題】.......................................................................6

【題型4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷】............................................................8

【題型5與圓有關(guān)的軌跡問題】.................................................................9

【題型6與圓有關(guān)的對稱問題】................................................................11

【題型7圓系方程】..........................................................................12

【題型8與圓有關(guān)的最值問題】................................................................14

?考情分析

1、圓的方程

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

2022年全國乙卷（文數(shù)）：

第15題，5分

（1）理解確定圓的幾何要

2022年全國甲卷（文數(shù)）：從近幾年的高考情況來看，高考對

素，在平面直角坐標(biāo)系中，

第14題，5分圓的方程的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、

掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般

2023年全國乙卷（文數(shù)）：填空題的形式考查，難度不大；有時(shí)也

方程

第11題，5分會與距離公式、圓錐曲線等結(jié)合考查，

⑵能根據(jù)圓的方程解決

2023年上海卷：第7題，5分復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握圓的方程的求法，靈

一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)

2024年北京卷：第3題，4分活求解.

際問題

2024年天津卷：第12題，5

分

?知識梳理

【知識點(diǎn)1圓的定義和圓的方程】

1.圓的定義

圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）是圓（定點(diǎn)為圓心，定長為半徑）.

圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程（x—。尸+3—6）2="&＞（））叫作以點(diǎn)5力）為圓心，廠為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

（3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母（待定），因此

在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.圓的一般方程

(1)方程1+V+Dx+4+尸=0(。2+—4尸>0)叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因

此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.

下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)。，E,F；

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心:9，-5卜弋入圓心所在的直線

方程，求待定系數(shù)。，E,F.

4.二元二次方程與圓的方程

(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程//+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,對比圓的一般方程/+y2+Dx+Ey+F=0

(D2+E2-4F>0),我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的

方程.

(2)二元二次方程表示圓的條件：

A=C#0

_,B=0

二元二次方程4》2+代^+02+m+3+尸=0表示圓的條件是,.

用+(9一哈)>0

5.圓的參數(shù)方程

圓(X—"尸+⑶一人)2="&>0)的參數(shù)方程為<其中6為參數(shù).

6.求圓的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若己知條件與圓心(0力)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出0,6,，的值；

②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于。，E,尸的方程組，進(jìn)而求出。，E,尸的值.

【知識點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】

1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓/有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.

(2)圓/的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—0)之+3—瓦)2=/,圓心為/(2玲，半徑為廠(廠>0)；圓N的一般方程為

X2+y2+Dx+Ey+F—Q(D2+E2—4F>0').平面內(nèi)一點(diǎn)加(曲,“)).

位置關(guān)系判斷方法

幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)

點(diǎn)在圓上22

\MA\=r(xo-a)2+(y0-b)=r

Xo+yo+Dx0+Ey0+F=0

22

點(diǎn)在圓內(nèi)\MA\<r(Xo-Q)2+(y0-/7)<r加+必+Dx0+Ey0+F<0

222

點(diǎn)在圓外\MA\>r(XQ-O)+(yo-b)>rXQ+yoDXQ+Ey。+F>0

【知識點(diǎn)3軌跡方程】

1.軌跡方程

求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于

變量之間的方程.

(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定

義(如圓)時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法(或稱相關(guān)點(diǎn)法).

(2)求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等.

2.求軌跡方程的步驟：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)列出關(guān)于X)的方程；

(3)把方程化為最簡形式；

(4)除去方程中的瑕點(diǎn)伊口不符合題意的點(diǎn))；

(5)作答.

【方法技巧與總結(jié)】

1.以A(xi,yi),8(x242)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-%)(x-X2)+(了一乃)(了一%)=0.

2.圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.

3.圓心在任一弦的垂直平分線上.

?舉一反三

【題型1求圓的方程】

【例1】(2024?遼寧大連?一模)過點(diǎn)(—1,1)和(1,3),且圓心在x軸上的圓的方程為()

A.x2+y2=4B.(x—2)2+y2=8

C.(x—l)2+y2=5D.(x—2)2+y2=10

【解題思路】借助待定系數(shù)法計(jì)算即可得.

【解答過程】令該圓圓心為(a,0),半徑為r,則該圓方程為(%-或2+必=產(chǎn)，

則有，解得C益，

故該圓方程為(x-2)2+y2=io.

故選：D.

【變式1-1](2024?河南?模擬預(yù)測)圓心在射線曠=2(％40)上，半徑為5,且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為

().

A.x2+y2—8x—6y=0

B.x2+y2—6x—8y=0

C.x2+y2+8%+6y=0

D.x2+y2+6X+8y=0

【解題思路】根據(jù)圓心在射線上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到原點(diǎn)距離等于半徑求得圓心坐標(biāo)，即可求出

圓的方程.

【解答過程】因?yàn)閳A心在射線y=%(xW0)上，故設(shè)圓心為(a,9a)(aW0),

又半徑為5,且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以J(a)2+?a)2=5,解得a=-4或a=4(舍去),

即圓的圓心坐標(biāo)為(—4,—3),則圓的方程為(x+4)2+(y+3)2=25,

即7+y2+8%+6y—0.

故選：C.

【變式1-2](2024?北京?模擬預(yù)測)圓心為(2,1)且和久軸相切的圓的方程是()

A.(x—2)2+(y-l)2=1B.(x+2產(chǎn)+(y+1)2=1

C.(x-2)2+(y-1)2=5D.(久+2)2+(y+1)2=5

【解題思路】由題意先求出圓的半徑，再根據(jù)圓心坐標(biāo)，求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解答過程】解：圓心為(2,1)且和x軸相切的圓，它的半徑為1,

故它的的方程是。一2)2+(y-1)2=1,

故選：A.

【變式1-3](2024?全國?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系中，圓E與兩坐標(biāo)軸交于45&D四點(diǎn)，其中4(—2,0)

鳳0,-3),點(diǎn)C在%軸正半軸上，點(diǎn)。在y軸的正半軸上，圓E的內(nèi)接四邊形ABCD的面積為弓，則圓E的方程為

()

A.+y2+%+gy=2

B.x2+y2—x+y=6

C.x2+y2—4x—y=12

1

D.%2+y2+-%+2y=3

【解題思路】根據(jù)題意幾何條件分別求出c、D坐標(biāo)，然后求出圓心E坐標(biāo)及半徑r,從而求解.

【解答過程】設(shè)C（c,0）,D（0,d）（c>0,d>0）,貝=*c+2）（d+3）=合

又因?yàn)镺A-OC=2c=OB-OD=3d,解得c=3,d=2（負(fù)值舍去），

因此圓心喏,后）/=耕圓E的方程為（%—鄉(xiāng)2+（y+^2=卷，

即/-X+y2+y=6,故B正確.

故選:B.

【題型2二元二次方程表示圓的條件】

【例2】（2024?貴州?模擬預(yù)測）已知曲線C的方程2久2+2y2+4x+8y+F=0,則“FW10”是“曲線C是圓”

的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件、必要不充分條件的定義可得答案.

【解答過程】2/+2*+4久+8y+F=0,即/+/+2%+4y+g=0,

???曲線C是圓Q22+42-4彳>0=F<10,;.“尸W10”是“F<10”的必要不充分條件.

故選：A.

【變式2-1］（23-24高二下?上海?期中）方程%2+y2+47nx-2y+5血=0表示圓的充要條件是（）

A.<m<1B.m>1C.mV：D.mV；或

【解題思路】根據(jù)圓的一般式方程的充要條件為。2+5-4尸>0,代入運(yùn)算求解即可.

【解答過程】由題意可得：（4m）2+4-20m>0,解得mV；或?n>l,

所以方程第2+y2+4mx-2y+5m=0表示圓的充要條件是m或6>1.

故選：D.

【變式2-2］（23-24高二上?福建廈門?期中）若則方程7+y2+。％+2。丫+2a2+。-1=。

表示的圓的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)圓的一般方程表示圓的條件求出參數(shù)Q的取值范圍，即可判斷.

【解答過程】若方程久2+y2+。％+2ay+2次+a-l=0表示圓，

則a2+(2a)2-4(2a2+a-1)=-3a2-4a+4>0n(3a-2)(a+2)<0,

7

解得—2<a<-,

又ae{—所以a=—l或a=0,

即程必+y2+ax+2ay+2a2+a—l=0表示的圓的個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

【變式2-3](23-24高二上?廣東?期末)已知方程久2+川+2%-2ay+2a+4=0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)a取值

范圍是()

A.(—oo,—l]U[3,+oo)B.[—1,3]

C.U(3,+oo)D.(—1,3)

【解題思路】根據(jù)方程表示圓的條件可得結(jié)果.

【解答過程】因?yàn)榉匠?+y2+2x-2ay+2a+4=0表示一個(gè)圓，

所以22+(―2a)2—4x(2a+4)>0,

HPa2—2a—3>0,所以a>3或a<—1,

故選：C.

【題型3圓過定點(diǎn)問題】

【例3】(23-24高二上?湖北荊州?期末)圓C:Y+;/+ax-2ay-5=0恒過的定點(diǎn)為()

A.(-2,1),(2,-1)B.(一1,一2),(2,1)

C.(―1,—2),(1,2)D.(-2,-1),(2,1)

【解題思路】將方程進(jìn)行變形整理，解方程組即可求得結(jié)果.

【解答過程】圓。/+y2+必_2叼-5=0的方程化為a(K-2y)+(%2+y2-5)=0,

由t%2+y乙5=0倚ty=1或ty=-1>

故圓C恒過定點(diǎn)(一2,—1),(2,1).

故選：D.

【變式3-1](23-24高二上?浙江溫州?期中)點(diǎn)P(x,y)是直線2x+y-5=0上任意一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

以。P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)()

A.(0,0)和(1,1)B.(0,0)和(2,2)C.(0,0)和(1,2)D.(0,0)和(2,1)

【解題思路】設(shè)點(diǎn)P(t,5-2t),求出以。P為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點(diǎn)坐標(biāo).

【解答過程】設(shè)點(diǎn)P(t,5-2t),則線段。P的中點(diǎn)為知6，與竺)，

圓M的半徑為|0M|==—產(chǎn)+25,

所以，以O(shè)P為直徑為圓的方程為(%-￡)2+(y_由2=5/一2：+25,

即％2+y2-tx+(2t—5)y=0,即(/+y2_5y)+t(2y—x')=0,

由曝浮3°=。，解得旗網(wǎng)力,

因此，以。P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)、(2,1).

故選：D.

【變式3-2](2024高三?全國?專題練習(xí))當(dāng)加變化時(shí)，圓/+產(chǎn)+(人+式x+v—2=0恒過定點(diǎn)(0,一

2)和(0,1).

【解題思路】根據(jù)題意，進(jìn)行求解即可.

【解答過程】方程/+y2+(加+2)x+y—2=0可化為(N+y2+2x+y—2)+mx=0.

j,fx2+y2+2x+y-2=0徂fx=0

田t%=0，侍〔y=_2或y=]，

所以定點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-2)和(0,1).

故答案為：(0,-2)和(0,1).

【變式3-3]⑵-24高三上?上海徐匯?期末)已知二次函數(shù)/(%)=x2+2x+b(xGR)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)

不同的交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C,則圓C經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為一(0,1)和(—2,1).(其坐標(biāo)與b無關(guān))

【解題思路】設(shè)出/(久)的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出圓的一般方程，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程，求

出系數(shù)，得圓的方程(含有b),分析此方程可得圓所過定點(diǎn).

【解答過程】二次函數(shù)人為=/+2久+b(xeR)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，記為

M(m,0),/V(n,0),B(0,b),易知匕40,小,71滿足巾+?1=-2,m^n,m2+2m+b=0,n2+2n+b=0,設(shè)圓

C方程為/+y2+Dx+Ey+F=0,貝！]

m2+Dm+F=0(T)

n2+Dn+F=0@,

.Z?2+附+F=0@

(T)—n2+D(m—n)—0,D——(m+n)—2,.-.n2+2n+F-0,從而尸=b,

代入③得后=一匕一1,

.?.圓C方程為N+y2+2x-(b+l)y+b=0,

整理得%2+y2+2x—y+b(—y+1)—0,

小仁廠。得｛潸閾I).

???圓C過定點(diǎn)(0,1)和(一2,1).

故答案為：(0,1)和(一2,1).

【題型4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷】

【例4】(2024,河北滄州?二模)若點(diǎn)4(2,1)在圓久2+y2-2m久-2y+5=0(m為常數(shù))外，則實(shí)數(shù)m的取

值范圍為()

A.(