浙教版七年級數(shù)學上冊同步講義：圓（學生版+解析）

第10課圓

0目標導航

學習目標

L理解圓的概念，用符號、字母正確表示弦和弧，了解點與圓的位置關系.

2.會在簡單條件下判斷點與圓的位置關系.

3.了解不在同一條直線上的三個點確定一個圓以及過不在同一條直線上的三個點作圓的方法，了解三角形

的外接圓角形的外心等概念.

4.會過不在同一條直線上的三點作圓.

視劉識精講

知識點01圓的有關概念

1.圓：在同一平面內(nèi)，線段0P繞它固定的一個端點o旋轉一周，另一個端點p所經(jīng)過的封閉曲線叫做圓.

2.弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.

3.?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)弧:大于半圓的弧叫做優(yōu)?。?/p>

劣弧:小于半圓的弧叫做劣弧.

4.同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.

等圓：圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等

5.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

知識點02點和圓的位置關系

設。。的半徑為r,點尸到圓心的距離。尸=d,則有：

①點尸在圓外Od＞廠

②點尸在圓上O"=r

③點P在圓內(nèi)OdO.

知識點03確定圓的條件

1.已知圓心和半徑可以確定圓；

2.不在同一直線上的三點可以確定一個圓；

知識點03三角形的外接圓與外心

1.經(jīng)過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形叫做圓

的內(nèi)接三角形.

2.外心是三角形三邊的垂直平分線的交點.

3.銳角三角形。外心位于三角形內(nèi)部，

直角三角形。外心位于邊上（斜邊中點），

鈍角三角形0外心位于三角形外部.

能力拓展

考點01圓的有關概念

【典例1】下列說法：（1）長度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直徑；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直

徑是圓中最長的弦，其中正確的有（）

A.1B.2個C.3個D.4個

【即學即練1】A、B是半徑為5c機的。。上兩個不同的點，則弦43的取值范圍是（）

A.AB>0B.0<AB<5C.0<AB<10D.0<AB^10

考點02點和圓的位置關系

【典例2】己知的半徑為3,。4=5,則點A和的位置關系是（）

A.點A在圓上B.點A在圓外C.點A在圓內(nèi)D.不確定

【即學即練2】在平面直角坐標系中，若OA的半徑為5,A點的坐標是（4,0）,P點的坐標是（0,3）,

則點尸與OA的位置關系是（）

A.點尸在OA內(nèi)B.點尸在OA外C.點P在OA上D.不能確定

考點03確定圓的條件

【典例3】小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡

子，小明帶到商店去的一塊碎片應該是（）

①

*?.___.?

A.第一塊B.第二塊C.第三塊D.第四塊

【即學即練3】下列條件中不能確定一個圓的是（）

A.圓心與半徑B.直徑C.三角形的三個頂點D.平面上的三個已知點

考點04三角形的外接圓與外心

【典例4】如圖，。。是△A8C的外接圓，則點。是△ABC的（）

A.三條高線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點

C.三條中線的交點D.三角形三內(nèi)角角平分線的交點

【即學即練4】若一個三角形的外心在這個三角形的邊上，那么這個三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

fii分層提分

題組A基礎過關練

1.已知是半徑為2的圓的一條弦，則的長不可能是（）

A.2B.3C.4D.5

2.如圖所示，點M是。。上的任意一點，下列結論：

①以M為端點的弦只有一條；②以M為端點的直徑只有一條；

③以M為端點的弧只有一條.則（）

A.①、②錯誤，③正確B.②、③錯誤，①正確

C.①、③錯誤，②正確D.①、②、③錯誤

3.下列說法：①直徑是最長的弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等??；④長度相等的兩條弧是等

弧；⑤半徑相等的兩個圓是等圓；其中說法正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.下列說法正確的是（）

A.弦是直徑B.弧是半圓C.直徑是圓中最長的弦D.半圓是圓中最長的弧

5.已知O。的半徑是一元二次方程3尤-4=0的一個根，點A與圓心。的距離為6,則下列說法正確在

是（）

A.點A在。。外B.點A在O。上C.點A在。。內(nèi)D.無法判斷

6.已知。。的直徑為6,點A到圓心。的距離為d,且點A在。。的外部，則（）

A.d\6B.心3C.d>6D.d>3

7.下列關于圓的說法，正確的是（）

A.弦是直徑，直徑也是弦B.半圓是圓中最長的弧

C.圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸D.過三點可以作一個圓

8.下列說法正確的是（）

A.一個三角形只有一個外接圓B.三點確定一個圓

C.長度相等的弧是等弧D.三角形的外心到三角形三條邊的距離相等

9.兩直角邊分別為15和20的直角三角形的外接圓半徑為（）

A.12.5B.25C.20D.10

10.三角形外心具有的性質(zhì)是（）

A.到三個頂點距離相等B.到三邊距離相等

C.外心必在三角形外D.到頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍

11.如圖，CD是。。的直徑，點A在。C的延長線上，ZA=20°,AE交。。于點8,且A8=OC.

（1）求/AOB的度數(shù).

（2）求的度數(shù).

瓦

12.如圖，△ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點。是4B的中點.

（1）若以點。為圓心,以R為半徑作。。，且點A,B,C都在。。上，求R的值;

（2）若以點8為圓心，以r為半徑作08,且點。，A,C中有兩個點在08內(nèi)，有一個點在OB外，求

廠的取值范圍.

題組B能力提升練

13.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=4,BC=7,點D在邊BC上,CD=3,以點。為圓心作O。,

其半徑長為廣，要使點A恰在。。外，點8在內(nèi)，那么7■的取值范圍是（）

A.4<r<5B.3<r<4C.3<r<5D.l<r<7

14.下列四邊形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四個頂點一定能在同一個圓上的有（）

A.①②③④B.②③④C.②④D.③④

15.已知A為。。外一點，若點A到。。上的點的最短距離為2,最長距離為4,則的半徑為一.

16.如圖，有兩條公路OM,ON相交成30°,沿公路0M方向離兩條公路的交叉處。點80米的A處有一

所希望小學，當拖拉機沿ON方向行駛時，路兩旁50米內(nèi)會受到噪音影響，已知有兩臺相距30米的拖

拉機正沿ON方向行駛，它們的速度均為5米/秒，問這兩臺拖拉機沿ON方向行駛時給小學帶來噪音影

題組C培優(yōu)拔尖練

17.矩形ABC。中，AB=8,BC=3爬,點尸在邊AB上，且2P=3AP,如果圓尸是以點尸為圓心，PD

為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

A.點、B,C均在圓P外B.點8在圓P外，點C在圓尸內(nèi)

C.點2在圓P內(nèi)，點C在圓尸外D.點2,C均在圓P內(nèi)

18.如圖，△ABC的外接圓半徑為5,其圓心。恰好在中線C。上，若AB=C。，則△ABC的面積為（）

A.36B.32C.24D.18

19.如圖，△A8C中，AB^AC,8c=24,AO_L2C于點O,AD=5,尸是半徑為3的OA上一動點，連結

PC,若E是PC的中點，連結。E,則OE長的最大值為（）

A.8B.8.5C.9D.9.5

20.如圖，已知矩形ABCD的邊A8=6,BC=8,現(xiàn)以點A為圓心作圓，如果B、C、。至少有一點在圓內(nèi),

且至少有一點在圓外，那么OA半徑廠的取值范圍是—.

21.已知：如圖，圓。是△ABC的外接圓，AO平分NBAC.

（1）求證：△ABC是等腰三角形；

（2）當OA=4,48=6,求邊的長.

第10課圓

0目標導航

學習目標

1.理解圓的概念，用符號、字母正確表示弦和弧，了解點與圓的位置關系.

2.會在簡單條件下判斷點與圓的位置關系.

3.了解不在同一條直線上的三個點確定一個圓以及過不在同一條直線上的三個點作圓的方

法，了解三角形的外接圓角形的外心等概念.

4.會過不在同一條直線上的三點作圓.

視他識精講

知識點01圓的有關概念

1.圓：在同一平面內(nèi)，線段0P繞它固定的一個端點。旋轉一周，另一個端點P所經(jīng)過的

封閉曲線叫做圓.

2.弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦.經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.

3.弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)弧:大于半圓的弧叫做優(yōu)??；

劣弧:小于半圓的弧叫做劣弧.

4.同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.

等圓：圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等

5.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

知識點02點和圓的位置關系

設。。的半徑為廠，點尸到圓心的距離OP=d,則有：

①點尸在圓外Od>r

②點尸在圓上Od=r

③點尸在圓內(nèi)

知識點03確定圓的條件

1.已知圓心和半徑可以確定圓；

2.不在同一直線上的三點可以確定一個圓；

知識點03三角形的外接圓與外心

1.經(jīng)過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個外接圓的圓心叫做三角形的外心,

三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

2.外心是三角形三邊的垂直平分線的交點.

3.銳角三角形Q外心位于三角形內(nèi)部，

直角三角形O外心位于邊上（斜邊中點），

鈍角三角形O外心位于三角形外部.

能力拓展

考點01圓的有關概念

【典例1】下列說法：（I）長度相等的弧是等??；（2）弦不包括直徑；（3）劣弧一定比

優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最長的弦，其中正確的有（）

A.1B.2個C.3個D.4個

【思路點撥】利用等弧的定義、圓周角定理、弧的定義及弦的定義分別判斷后即可確定

正確的選項.

【解析】解：（1）長度相等的弧不一定是等弧，弧的度數(shù)必須相同，故不符合題意；

（2）弦包括直徑，故不符合題意；

（3）同圓或等圓中劣弧一定比優(yōu)弧短，故不符合題意；

（4）直徑是圓中最長的弦，符合題意，

正確的只有1個，

故選：A.

【點睛】本題考查了圓的有關定義，能夠了解圓的有關知識是解答本題的關鍵，難度不

大.

【即學即練1】A、B是半徑為5c根的。。上兩個不同的點，則弦A3的取值范圍是（）

A.AB>0B.0<AB<5C.0<AB<10D.0<AB^10

【思路點撥】根據(jù)直徑是圓中最長的弦求解.

【解析】解：：圓中最長的弦為直徑，

，0<A8W10.

故選：D.

【點睛】本題考查了圓的認識，了解圓中最長的弦是直徑最關鍵.

考點02點和圓的位置關系

【典例2】己知。。的半徑為3,0A=5,則點A和。。的位置關系是（）

A.點A在圓上B.點A在圓外C.點A在圓內(nèi)D.不確定

【思路點撥】由。。的半徑為3,。4=5知點到圓心的距離大于半徑，從而得出答案.

【解析】解：：0。的半徑為3,。4=5,

點到圓心的距離大于半徑，

...點A在圓外，

故選：B.

【點睛】本題主要考查點與圓的位置關系，點與圓的位置關系有3種.設。。的半徑為r,

點P到圓心的距離OP=d,則有①點P在圓外od>r；②點P在圓上od=r；③點P

在圓內(nèi)=40.

【即學即練2】在平面直角坐標系中，若OA的半徑為5,A點的坐標是（4,0）,P點的

坐標是（0,3）,則點尸與。4的位置關系是（）

A.點P在OA內(nèi)B.點P在OA外C.點尸在OA上D.不能確定

【思路點撥】根據(jù)兩點間的距離公式求出AP的長，再與5相比較即可.

【解析】解：???點A的坐標為（4,0）,點P的坐標為（0,3）,

AP=y]（4-0）2+（0-3）2=5=半徑，

點尸與0A的位置關系是：點P在OA上.

故選：C.

【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的三種位置關系是解答此題的關

鍵.

考點03確定圓的條件

【典例3】小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大

小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應該是（）

***.__――

A.第一塊B.第二塊C.第三塊D.第四塊

【思路點撥】要確定圓的大小需知道其半徑.根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小.

【解析】解：第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂

直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長.

故選：A.

【點睛】本題考查了確定圓的條件，解題的關鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分

線的交點即為該圓的圓心.

【即學即練3】下列條件中不能確定一個圓的是（）

A.圓心與半徑B.直徑C.三角形的三個頂點D.平面上的三個已知點

【思路點撥】根據(jù)不在同一條直線上的三個點確定一個圓，直接進行判斷即可.

【解析】解：A、已知圓心和半徑能確定一個圓；

8、已知直徑能確定一個圓；

C、已知三角形的三個頂點，可以確定一個圓；

。、平面上的三個已知點不能確定一個圓.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了確定圓的條件，屬于基礎題型.注意分類討論的思想的運用.

考點04三角形的外接圓與外心

【典例4】如圖，是△ABC的外接圓，則點。是△ABC的（）

A.三條高線的交點B.三條邊的垂直平分線的交點

C.三條中線的交點D.三角形三內(nèi)角角平分線的交點

【思路點撥】根據(jù)三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形

的外心，進而得出答案.

【解析】解：是△ABC的外接圓，

...點。是AABC的三條邊的垂直平分線的交點.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，正確把握外心的定義是解題關鍵.

【即學即練4】若一個三角形的外心在這個三角形的邊上，那么這個三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【思路點撥】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，則該三角形是直角三角形.

【解析】解：???根據(jù)圓周角定理：直徑所對的圓周角是直角，

，該三角形是直角三角形.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了三角形的外心，注意：直角三角形的外心就是它的斜邊的中點.

M分層提分

題組A基礎過關練

1.已知A3是半徑為2的圓的一條弦，則43的長不可能是（）

A.2B.3C.4D.5

【思路點撥】根據(jù)圓中最長的弦為直徑求解.

【解析】解：因為圓中最長的弦為直徑，所以ABW4.

故選：D.

【點睛】考查了圓的認識，在本題中，圓的弦長的取值范圍0<LW4.

2.如圖所示，點M是。。上的任意一點，下列結論：

①以M為端點的弦只有一條；②以M為端點的直徑只有一條；

③以M為端點的弧只有一條.則（）

A.①、②錯誤，③正確B.②、③錯誤，①正確

C.①、③錯誤，②正確D.①、②、③錯誤

【思路點撥】根據(jù)弦的定義對①進行判斷；根據(jù)直徑的定義對②進行判斷；根據(jù)弧的定

義對③進行判斷.

【解析】解：以M為端點的弦有無數(shù)條，所以①錯誤；

以M為端點的直徑只有一條，所以②正確；

以M為端點的弧有無數(shù)條，所以③錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)

弧、劣弧、等圓、等弧等）.

3.下列說法：①直徑是最長的弦；②弦是直徑；③半徑相等的兩個半圓是等?。虎荛L度相

等的兩條弧是等??；⑤半徑相等的兩個圓是等圓；其中說法正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【思路點撥】利用圓的有關定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.

【解析】解：①直徑是最長的弦，正確，符合題意；

②直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；

③半徑相等的兩個半圓是等弧，正確，符合題意；

④長度相等的兩條弧不一定是等弧，故原命題錯誤，不符合題意；

⑤半徑相等的兩個圓是等圓，正確，符合題意，

故選：C.

【點睛】考查了圓的認識，解題的關鍵是了解圓的有關定義及性質(zhì)，難度不大.

4.下列說法正確的是（）

A.弦是直徑B.弧是半圓C.直徑是圓中最長的弦D.半圓是圓中最長的

弧

【思路點撥】利用圓的有關概念及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.

【解析】解：A、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故錯誤，不符合題意；

8、半圓是弧，但弧不一定是半圓，故錯誤，不符合題意；

C、直徑是圓中最長的弦，正確，符合題意；

D,半圓是小于優(yōu)弧而大于劣弧的弧，故錯誤，不符合題意，

故選：C.

【點睛】考查了圓的認識，解題的關鍵是正確的了解有關概念及性質(zhì)，難度不大.

5.已知。。的半徑是一元二次方程7-3尤-4=0的一個根，點A與圓心。的距離為6,則

下列說法正確在是（）

A.點A在。。外B.點A在。。上C.點A在O。內(nèi)D.無法判斷

【思路點撥】先求方程的根，可得r的值，由點與圓的位置關系的判斷方法可求解.

【解析】解：：/-3x-4=0,

.?.Xl=-1,X2=4,

VOO的半徑為一元二次方程7-3x-4=0的根，

廠=4,

VJ>r,

...點A在OO外，

故選：A.

【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系，解決此類問題可通過比較點到圓心的距離d

與圓半徑大小關系完成判定.

6.已知。。的直徑為6,點A到圓心。的距離為心且點A在。。的外部，則（）

A.心6B.心3C.d>6D.d>3

【思路點撥】根據(jù)點與圓的位置關系判斷得出即可.

【解析】解：直徑為6,

...圓。的半徑為3,

?點A在圓。的外部，

.?.點A到圓心。的距離d的范圍是：d>3.

故選：D.

【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的三種位置關系是解答此題的關

鍵.

7.下列關于圓的說法，正確的是（）

A.弦是直徑，直徑也是弦B.半圓是圓中最長的弧

C.圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸D.過三點可以作一個圓

【思路點撥】根據(jù)弧、弦的概念、對稱軸的概念、過三點的圓的條件判斷即可.

【解析】解：A、弦不一定是直徑，但直徑是弦，本選項說法錯誤，不符合題意；

8、?.?半圓小于優(yōu)弧，

半圓是圓中最長的弧說法錯誤，本選項不符合題意；

C、圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，本選項說法正確，符合題意；

。、過不在同一直線上的三點可以作一個圓，本選項說法錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查的是圓的概念、軸對稱圖形、過三點的圓，掌握弧、弦的概念、過三

點的圓的條件是解題的關鍵.

8.下列說法正確的是（）

A.一個三角形只有一個外接圓B.三點確定一個圓

C.長度相等的弧是等弧D.三角形的外心到三角形三條邊的距離相等

【思路點撥】根據(jù)三角形的外接圓、等弧的定義、三角形外心的性質(zhì)判斷即可.

【解析】解：A、任意三角形都有且只有一個外接圓，正確，本選項符合題意；

2、不共線的三點確定一個圓，原說法錯誤，本選項不符合題意；

C、長度相等的弧不一定是等弧，原說法錯誤，本選項不符合題意；

。、三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，原說法錯誤，本選項不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形的外接圓、等弧的定義，熟練掌握圓的有關概念是解題的關

鍵.

9.兩直角邊分別為15和20的直角三角形的外接圓半徑為（）

A.12.5B.25C.20D.10

【思路點撥】根據(jù)直角三角形的外接圓直徑正好是三角形的斜邊，所以，只要求出三角

形的斜邊即可.

【解析】答：兩直角邊分別為15和20的直角三角形，利用勾股定理可得：斜邊為：25

又因為直角三角形的外接圓直徑，正好是三角形的斜邊，

所以直角三角形的外接圓半徑為：12.5

故選：A.

【點睛】此題主要考查了直角三角形的外接圓的特殊性，斜邊正好是外接圓的直徑.

10.三角形外心具有的性質(zhì)是（）

A.到三個頂點距離相等B.到三邊距離相等

C.外心必在三角形外D,到頂點的距離等于它到對邊中點的距離的兩倍

【思路點撥】根據(jù)三角形外心的形成可得其具備的性質(zhì).

【解析】解：；三角形的外心是任意兩邊垂直平分線的交點，線段垂直平分線上的點到

線段兩個端點的距離相等，

...到三個頂點距離相等.

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形外心的性質(zhì)，用到的知識點為：三角形的外心是任意兩邊垂

直平分線的交點.

11.如圖，是。。的直徑，點A在0c的延長線上，NA=20°,AE交于點B,且

AB^OC.

(1)求NAOB的度數(shù).

(2)求/E0D的度數(shù).

【思路點撥】(1)由42=0得到A2=8。，則/AOB=N1=/A=20°；

(2)Z1=Z￡,因此NE0D=3/A,即可求出NEOD

【解析［解：(1)連。2,如圖，

'：AB=OC,OB=OC,

：.AB=BO,

：.ZAOB=Z1^ZA=20°；

(2)VZ2=ZA+Z1,

：.Z2=2ZA,

'：OB=OE,

；.N2=NE,

：.ZDOE=ZA+ZE=3ZA=60°.

【點睛】本題考查了圓的認識，等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角定理，解題的關鍵是能

從圖形中發(fā)現(xiàn)每個角之間的關系.

12.如圖，ZVIBC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,點。是A2的中點.

（1）若以點。為圓心，以R為半徑作O。，且點A,B,C都在。。上，求R的值；

（2）若以點2為圓心，以r為半徑作02,且點。，A,C中有兩個點在02內(nèi)，有一個

點在。8外，求，的取值范圍.

【思路點撥】（1）利用勾股定理以及直角三角形斜邊中線定理求出0C,可得結論;

（2）根據(jù)點與圓的位置關系求解即可.

【解析】解：連接。C.

VZACB=90°,AC=6,CB=8,

-'-AS=VAC2+BC2==10,

（1）;點A,B,C都在OO上，

：.R=OC=5.

（2）?.?點0,A,C中有兩個點在08內(nèi)，有一個點在OB外，

.?.8<r<10.

【點睛】本題考查點與圓的位置關系，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握點與圓的位

置關系，屬于中考常考題型.

題組B能力提升練

13.如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=4,BC=1,點。在邊上，CD=3,以點

。為圓心作O。，其半徑長為r,要使點A恰在外，點B在。。內(nèi)，那么r的取值范

圍是（）

A.4<r<5B.3<r<4C.3<r<5D.l<r<7

【思路點撥】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，進而得出BD的長，由點與圓的位置關系即

可得出結論.

【解析】解：在RtZ\ADC中，/C=90,AC=4,CD=3,

:-AD=VAC2CD2==5.

?：BC=1,CD=3,

：.BD=BC-CD=7-3=4.

:以點。為圓心作。。，其半徑長為廠，要使點A恰在。。外，點8在。。內(nèi)，

的范圍是4<廠<5,

故選：A.

【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系：設。。的半徑為r,點尸到圓心的距離。尸=

d,則有：①點P在圓外=d>r；②點尸在圓上=d=r；③點P在圓內(nèi),熟知點

與圓的三種位置關系是解答此題的關鍵.

14.下列四邊形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四個頂點一定能在同一

個圓上的有（）

A.①②③④B.②③④C.②④D.③④

【思路點撥】根據(jù)四個點共圓的條件：對角互補，進行判斷.

【解析】解：平行四邊形、菱形的對角不一定互補，不一定能夠四個點共圓；矩形、正

方形的對角互補，四點一定共圓.

故選：C.

【點睛】掌握四點共圓的條件以及特殊四邊形的性質(zhì).

15.已知A為。。外一點，若點A到上的點的最短距離為2,最長距離為4,則。。的

半徑為1.

【思路點撥】先表示距離，再確定最值條件.

【解析】解：如圖：、-----/

連接A。并延長交圓。于點B，C兩點，點A到O。上的點的最短距離線段的長，最

長距離為線段AC的長度.

設圓的半徑為r,則：BC=2r=AC-AB=4-2=2,

r—1.

故答案為：1.

【點睛】本題考查求圓的半徑，確定A到圓上的點的最大距離和最小距離對應的線段是

求解本題的關鍵.

16.如圖，有兩條公路。ON相交成30°,沿公路方向離兩條公路的交叉處。點

80米的A處有一所希望小學，當拖拉機沿ON方向行駛時，路兩旁50米內(nèi)會受到噪音影

響，已知有兩臺相距30米的拖拉機正沿ON方向行駛，它們的速度均為5米/秒，問這兩

臺拖拉機沿ON方向行駛時給小學帶來噪音影響的時間是多少？

A（學校）

【思路點撥】過點A作AC，ON,求出AC的長，第一臺到8點時開始對學校有噪音影

響，第一臺到C點時，第二臺到B點也開始有影響，第一臺到。點，第二臺到C點，直

到第二臺到D點噪音才消失.

【解析】解：如圖，

過點A作AC_LON,

,/ZMON=30°,04=80米，

；.AC=40米，

當?shù)谝慌_拖拉機到B點時對學校產(chǎn)生噪音影響，此時AB=50,

由勾股定理得：BC=30,

第一臺拖拉機到D點時噪音消失，

所以CQ=30.

由于兩臺拖拉機相距30米，則第一臺到。點時第二臺在C點，還須前行30米后才對學

校沒有噪音影響.

所以影響時間應是：90+5=18秒.

答：這兩臺拖拉機沿ON方向行駛給小學帶來噪音影響的時間是18秒.

【點睛】本題考查的是點與圓的位置關系，根據(jù)拖拉機行駛的方向，速度，以及它在以A

為圓心，50米為半徑的圓內(nèi)行駛的8。的弦長，求出對小學產(chǎn)生噪音的時間.

題組C培優(yōu)拔尖練

17.矩形A8C￡）中，AB=8,BC=3正,點P在邊AB上，且如果圓尸是以點

尸為圓心，尸。為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

A.點、B,C均在圓尸外B.點8在圓尸外，點C在圓P內(nèi)

C.點8在圓尸內(nèi)，點C在圓P外D.點、B,C均在圓尸內(nèi)

【思路點撥】由AB=8,得至ljAP=2,BP=6,再根據(jù)勾股定理，在尸

中計算出尸￡）=7,在RtZkPBC中計算出PC=9,則然后根據(jù)點與圓的位

置關系進行判斷.

【解析】解：如圖，

?..四邊形ABC。為矩形，

:.AD=BC=3爬,

；AB=8,BP=3AP,

：.AP=2,BP=6,

在RtZ\A。尸中，AP=2,AD=3痘,

'PD=7AP2+AD2=7，

在RtZXPBC中，'：PB=6,BC=3痘,

.*.PC=iypB2+BC2=9,

：.PC>PD>PB,

.?.點2在圓P內(nèi)，點C在圓尸外.

故選：C.

【點睛】本題考查了點與圓的位置：設。。的半徑為r,點P到圓心的距離。尸=d,則

有：點「在圓外=">r；點P在圓上=d=r；點P在圓內(nèi)Qd<r.

18.如圖，△ABC的外接圓半徑為5,其圓心。恰好在中線上，若AB=C。，貝

C.24D.18

【思路點撥】連接。4,0B,則。4=OB=OC=5,由等腰三角形的性質(zhì)可得CDLA2,

設4。=為則CD=4B=2x,OD^CD-OC=2x-5,利用勾股定理可求解尤值，即可求

得8的值，再利用三角形的面積公式計算可求解.

【解析】解：連接。4,0B,則OA=O2=OC=5,

圓心O恰好在中線CD上，AB=2AD,

J.CDLAB,

設A￡)=尤，貝1|CD=AB=2x,OD=CD-OC=2x-5,

在RtZXOA。中，。爐+人爐=。1,

(2x-5)2+X2=52,

解得x=4,

CD—AB=2x=8,

???5柳。=某0=恭8X8=32。

故選：B.

【點睛】本題主要考查三角形的外接圓，勾股定理，三角形面積，利用勾股定理求解A2,

CD的長是解題的關鍵.

19.如圖，AABCAB^AC,BC=24,AZ)_LBC于點。，AD=5,尸是半徑為3的OA

上一動點，連結尸C,若E是PC的中點，連結。E,則OE長的最大值為()

A.8B.8.5C.9D.9.5

【思路點撥】連接尸8