2024−2025學(xué)年瓊海市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷附答案解析

?2025學(xué)年瓊海市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)，則（

）A． B．2 C． D．53．不等式的解集是（

）．A． B．C． D．4．已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．從2，3，5，7，11這5個(gè)素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其積為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的部分圖象大致是（

）A．B．C．D．7．體育是初三學(xué)生中考的第一科，某班50名同學(xué)的體育中考成績(jī)數(shù)據(jù)如表，其中有兩個(gè)數(shù)據(jù)被遮蓋，下列關(guān)于成績(jī)的統(tǒng)計(jì)量中，與被遮蓋的數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)的是（

）分?jǐn)?shù)4344454647484950人數(shù)1213430A．中位數(shù)，眾數(shù) B．中位數(shù)，方差C．平均數(shù)，方差 D．平均數(shù)，眾數(shù)8．若向量是空間中的一個(gè)基底，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標(biāo).設(shè)向量在基底下的斜坐標(biāo)為，則向量在基底下的斜坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)小球，則下列結(jié)論正確的是（

）A．“至少一個(gè)紅球”和“都是紅球”是互斥事件B．“恰有一個(gè)黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少一個(gè)黑球”和“都是紅球”是對(duì)立事件D．“恰有一個(gè)紅球”和“都是紅球”是對(duì)立事件10．以下命題為真命題的是（

）A．若樣本數(shù)據(jù)，，，，，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，，，，的方差為8B．一組數(shù)據(jù)8，9，10，11，12的第80百分位數(shù)是11.5C．?dāng)?shù)據(jù)0，1，2，4的極差與平均數(shù)之積為6D．已知一組不完全相同的數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中加入一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，，，，，其平均數(shù)為，則11．如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面B．三棱錐的體積為定值C．異面直線與所成角的取值范圍是D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊上有一點(diǎn)，則．13．設(shè)向量，，則向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為.14．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是．四、解答題（本大題共5小題）15．在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，.(1)求角的值；(2)若，的面積為，求的最大值.16．平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱，且，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，設(shè)，，；(1)用向量，，表示向量，并求出線段的長(zhǎng)度；(2)請(qǐng)求出異面直線與所成夾角的余弦值.17．從我校高二年級(jí)的500名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于和之間，將測(cè)量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，…，第八組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人.(1)求第七組的頻率；(2)估計(jì)該校的500名男生的身高的平均數(shù)；(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，求出這兩名男生來(lái)自同一組的概率.18．如圖，平面ABCD，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點(diǎn).(1)求證：平面CPM；(2)求平面QPM與平面CPM夾角的大小；(3)若N為線段CQ上的點(diǎn)，且直線DN與平面QPM所成的角為，求N到平面CPM的距離.19．類(lèi)比思想在數(shù)學(xué)中極為重要，例如類(lèi)比于二維平面內(nèi)的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理：如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，記，，，二面角的大小為，則.如圖2，四棱柱中，為菱形，，，，且點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為的中點(diǎn).(1)求的值；(2)直線與平面內(nèi)任意一條直線夾角為，證明：；(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案1．【答案】B【詳解】由集合，解不等式得到：，又因?yàn)?，根?jù)集合交集的概念得到：.故選：B.2．【答案】C【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)則故選：C.3．【答案】C【解析】化簡(jiǎn)不等式為，結(jié)合分式不等式的解法，即可求解.【詳解】由題意，不等式，可化為，即，解得或，即不等式的解集是.故選：C.4．【答案】A【詳解】若，則，解得，顯然“”可以推出“”，“”不可以推出“”，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5．【答案】B【詳解】從2，3，5，7，11這5個(gè)素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種選法，其積為偶數(shù)，即兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)為2，共有4種選法，所以概率為.故選：B.6．【答案】C【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，并判斷時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由，所以為奇函數(shù)，排除BD；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉樯蠝p函數(shù)，為上的增函數(shù)，則為上的減函數(shù)，且當(dāng)，，則當(dāng)，，故，排除A.故選：C.7．【答案】A【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義求解可得．【詳解】這組數(shù)據(jù)中成績(jī)?yōu)?6、47的人數(shù)和為，則這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是50，即眾數(shù)為50，第25、26個(gè)數(shù)據(jù)都是50，則中位數(shù)為50，即中位數(shù)，眾數(shù)不變，平均數(shù)，方差均與具體數(shù)據(jù)有關(guān)，故平均數(shù)，方差與被遮蓋的數(shù)據(jù)有關(guān).故選A．8．【答案】D【詳解】由題意可得，設(shè)，即有即可得，解得，即即向量在基底下的斜坐標(biāo)為.故選：D.9．【答案】BC【解析】根據(jù)題意，寫(xiě)出所有的基本事件，根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】不妨記兩個(gè)黑球?yàn)?，兩個(gè)紅球?yàn)?，從中取?個(gè)球，則所有基本事件如下：，恰有一個(gè)黑球包括基本事件：，都是黑球包括基本事件，兩個(gè)事件沒(méi)有共同的基本事件，故互斥；至少一個(gè)黑球包括基本事件：，都是紅球包括基本事件，兩個(gè)事件沒(méi)有共同的基本事件，且兩者包括的基本事件的并集為全部基本事件，故對(duì)立.故選：BC10．【答案】ABD【詳解】對(duì)A，，，，，，的方差為2，，，，，，的方差為，故A對(duì)；對(duì)B，數(shù)據(jù)8，9，10，11，12共個(gè)數(shù)，，故數(shù)據(jù)8，9，10，11，12的第80百分位數(shù)是：，故B對(duì)；對(duì)C，數(shù)據(jù)0，1，2，4的極差為：，平均數(shù)為：，故極差與平均數(shù)之積為：，故C錯(cuò)；對(duì)D，一組不完全相同的數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，，故，故，故D對(duì).故選：ABD.11．【答案】ABD【詳解】在選項(xiàng)A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直線平面，故A正確；在選項(xiàng)B中，∵，平面，平面，∴平面，∵點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，∴到平面的距離為定值，又的面積是定值，∴三棱錐的體積為定值，故B正確；在選項(xiàng)C中，∵，∴異面直線與所成角為直線與直線的夾角.易知為等邊三角形，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)與點(diǎn)或重合時(shí)，直線與直線的夾角為.故異面直線與所成角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；在選項(xiàng)D中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，所以，.由A選項(xiàng)正確：可知是平面的一個(gè)法向量，∴直線與平面所成角的正弦值為：，∴當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故D正確.故選：ABD12．【答案】-4【分析】由三角函數(shù)定義求出，利用“”的變換，將所求的式子化為的齊次分式，化弦為切，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊上有一點(diǎn)，所以．所以．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義、三角恒等變換求值，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．13．【答案】【詳解】，，..根據(jù)投影向量公式，.所以投影向量為.故答案為:.14．【答案】0.18【分析】本題應(yīng)注意分情況討論，即前五場(chǎng)甲隊(duì)獲勝的兩種情況，應(yīng)用獨(dú)立事件的概率的計(jì)算公式求解．題目有一定的難度，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力及分類(lèi)討論思想的考查．【詳解】前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是綜上所述，甲隊(duì)以獲勝的概率是【點(diǎn)睛】由于本題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊(duì)以獲勝的兩種情況；易錯(cuò)點(diǎn)之三是是否能夠準(zhǔn)確計(jì)算．15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ磉吇强傻?，所以，又，所以，又為銳角，則；（2）由，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，得：，.16．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）如圖所示：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，，，，所以；因?yàn)槠叫辛骟w中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱，且，所以，，，，所以，所以，即線段長(zhǎng)為.（2）因?yàn)?，則，，則，，則與所成夾角的余弦值為.17．【答案】(1)0.06(2)(3)【詳解】（1）第六組的頻率為，∴第七組的頻率為.（2）由直方圖得，身高在第一組的頻率為，身高在第二組的頻率為，身高在第三組的頻率為，身高在第四組的頻率為，身高在第五組的頻率為，身高在第八組的頻率為，則平均數(shù)為：.（3）第六組的抽取人數(shù)為4，設(shè)所抽取的人為a，b，c，d，第八組的抽取人數(shù)為，設(shè)所抽取的人為A，B，則從中隨機(jī)抽取兩名男生有，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，記事件“隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組”，所以事件A包含的基本事件為，，，，，，共7種情況.所以.18．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）連接EM，證得，利用線面平行判定定理即可證明平面MPC；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PMQ和平面MPC法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.（3）設(shè)，則，從而，由（2）知平面PMQ的法向量為，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，求出，進(jìn)而得到，利用點(diǎn)到平面距離公式求出答案.【詳解】（1）證明：連接EM，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以四邊形PABQ為平行四邊形，因?yàn)辄c(diǎn)E和M分別為AP和BQ的中點(diǎn)，所以且，因?yàn)?，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，所以且，可得且，即四邊形EFCM為平行四邊形，所以，又平面MPC，平面MPC，所以平面MPC.（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，，故以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，，，，，，，，，，，設(shè)為平面PQM的法向量，則，不妨設(shè)，可得，設(shè)為平面PMC的法向量，則，不妨設(shè)，可得.所以，設(shè)平面PQM與平面PMC夾角為，所以，即平面PQM與平面PMC夾角的正弦值為.（3）設(shè)，即，則.從而.由（2）知平面PMQ的法向量為，而直線DN與平面PMQ所成的角為，所以，即，整理得，解得或，因?yàn)?，所以，所以，，由?）知：為平面的法向量，故點(diǎn)N到平面CPM的距離為.19．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)存在，【詳解】（1）連接，由已知得平面，，又平面，所以平面