吉林省通化市2024-2025學年高二上學期11月期中考試數學試題（含解析）

2024—2025學年度上學期期中考試高二數學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一冊第二、三章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為A. B. C. D.2.已知拋物線，則的焦點到準線的距離是A. B. C.2 D.43.已知橢圓的短軸長為4，則A.2 B.4 C.8 D.164.若方程表示一個圓，則的取值范圍為A. B.C. D.5.已知直線與拋物線相交于，兩點，且線段的中點坐標為，則直線的斜率為A. B.2 C. D.66.如圖，某雙曲線筆筒的軸截面曲線部分為一條離心率為且焦距為10cm的雙曲線的一部分.忽略筆筒的厚度，該筆筒中間最窄處的直徑為A.4cm B. C.6cm D.7.已知圓內切于圓，圓內切于圓，則動圓的圓心軌跡方程為A. B. C. D.8.已知為曲線上任意一點，，，則的最小值為A. B.5 C. D.7二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，，則A.當時， B.存在實數，使得C.當時， D.與直線之間的距離為10.已知圓與直線，點在圓上，點在直線上，則下列說法正確的是A.若，則直線與圓相切B.若圓上存在兩點關于直線對稱，則C.若，則D.若，從點向圓引切線，則切線長的最小值是11.已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與交于，兩點，其中點在第一象限.若動點在的準線上，則A.的最小值為0B.當為等腰三角形時，點的縱坐標的最大值為C.當的重心在軸上時，的面積為D.當為鈍角三角形時，點的縱坐標的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的虛軸長為，以的左焦點為圓心，1為半徑的圓的標準方程為.13.在中，，，，則點的軌跡方程為.14.已知為橢圓上一點，，為的兩個焦點，，，則的離心率為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）求符合下列條件的雙曲線的標準方程：（1）焦點在軸上，實軸長為8，離心率為；（2）焦點在軸上，焦距為，漸近線方程為.16.（15分）已知是拋物線上的一點.（1）求的焦點坐標與準線方程；（2）若直線經過的焦點，且與交于，兩點，求的最小值.17.（15分）已知圓（為常數）.（1）當時，求直線被圓截得的弦長.（2）證明：圓經過兩個定點.（3）設圓經過的兩個定點為，，若，且，求圓的標準方程.18.（17分）已知橢圓的左、右焦點分別為，，，兩點均在上，且，.（1）若，求的方程；（2）若，直線與軸交于點，且，求四邊形的周長.19.（17分）已知為坐標原點，動點到軸的距離為，且，其中，均為常數，動點的軌跡稱為曲線.（1）判斷曲線為何種圓錐曲線.（2）若曲線為雙曲線，試問，應滿足什么條件？（3）設曲線為曲線，斜率為（且）的直線過的右焦點，且與交于，兩個不同的點.（i）若，求；（ii）若點關于軸的對稱點為，試證明直線過定點.

2024—2025學年度上學期期中考試高二數學試題參考答案1.C由，得傾斜角為.2.B將拋物線的方程轉化為標準方程，得，則的焦點到準線的距離是.3.B由的短軸長為4，得，即，則，所以或，解得或.經檢驗，當時，橢圓的短軸長為4.4.D依題意可得，則，則，則，解得.5.A設，兩點的坐標分別為，，則兩式相減得.因為線段的中點坐標為，所以，所以.6.B依題意可得，，所以，所以該筆筒中間最窄處的直徑為.7.A設圓的半徑為，則，，則，所以點的軌跡是以，為焦點，7為長軸長的橢圓.因為，，所以，，所以動圓的圓心軌跡方程為.8.D由，得，所以為雙曲線的右支，為該雙曲線的左焦點.設右焦點為，則，所以，所以，當且僅當點在線段上時，等號成立，所以的最小值為7.9.AD若，則，即，A正確，C錯誤.若，則，即，此時，即，與重合，B錯誤.與直線之間的距離為，D正確.10.BC圓的標準方程為，圓心為，半徑.圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故A不正確；若圓上存在兩點關于直線對稱，則直線經過圓的圓心，所以，得，故B正確；若，則圓心到直線的距離，所以，故C正確；若，從點向圓引切線，設一個切點為，連接（圖略），則，則，當時，取得最小值，此時取得最小值，即，故D不正確.11.AC依題意可得，直線的方程為，代入，消去得，解得，，因為點在第一象限，所以，.的準線方程為，設，則，，所以，A正確.當為等腰三角形時，要使得點的縱坐標最大，則，即，且，解得，B錯誤.的重心坐標為，即，當的重心在軸上時，，得，的面積為正確.當，，三點共線時，.由，得為銳角或直角，當為直角或為直角時，或，得或，當為鈍角三角形時，點的縱坐標的取值范圍為，D錯誤.12.；由，得，則，，，所以雙曲線的虛軸長為，左焦點的坐標為，則所求圓的標準方程為.13.（或）設，則，整理得.因為，，三點不能共線，所以，所以點的軌跡方程為.14.因為，，所以，所以.15.解：（1）因為實軸長為8，離心率為，所以 2分解得 4分所以. 5分因為焦點在軸上，所以所求雙曲線的標準方程為. 6分（2）依題意，可設所求雙曲線的標準方程為. 7分因為焦距為，所以， 8分所以. 9分又漸近線方程為，所以， 11分則，，所以所求雙曲線的標準方程為. 13分16.解：（1）因為是拋物線上的一點，所以， 1分則，， 2分所以的焦點坐標為， 4分準線方程為. 6分（2）因為直線經過的焦點，所以. 7分聯(lián)立得. 8分設，，則， 9分所以， 11分所以， 13分當且僅當，即時，等號成立， 14分所以的最小值為. 15分17.（1）解：當時，圓， 1分此時，圓的圓心為，半徑， 3分則圓心到直線的距離， 4分所以直線被圓截得的弦長為. 5分（2）證明：由，得， 7分令，得，解得或 9分所以圓經過兩個定點，且這兩個定點的坐標為. 10分（3）解：（方法一）設的中點為，則點的坐標為. 11分因為，所以， 12分所以， 13分解得， 14分所以圓的標準方程為. 15分（方法二）因為，所以， 11分解得， 13分所以圓的標準方程為. 15分18.解：由橢圓定義可知，，. 1分（1）由，可知，若，則為等腰直角三角形，， 3分解得，故的方程為. 5分（2）若，不妨設，，則，且，，. 6分因為，點在軸上，且，所以，且. 7分由余弦定理可得， 8分整理得，因為，所以. 9分同理可得， 10分即， 11分整理得. 13分由韋達定理得，，可知， 14分則， 15分解得，故四邊形的周長為. 17分19.解：（1）設，由，得， 1分當，時，，即，所以曲線為橢圓. 3分（2）由，得.若曲線為雙曲線，則，所以可化為，所以，則， 5分故，應滿足