2024-2025學(xué)年江蘇省徐州某中學(xué)高三（上）第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年江蘇省徐州三中高三(上)第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.如圖，已知全集〃=凡集合4={處(2%-3)?(x+1)W0},B={x\x>0),則圖中陰影部分表示的集

合為()

A.{x\x<—1}B.(x\x<-1}

C.{x\x<0或久>-}D.{x\x<0或久>-}

2.“x>l”是“§<1”的()

A.充要條件B.充分非必要條件

C.必要非充分條件D.既非充分又非必要條件

3.甲、乙、丙、丁四人打算從北京、上海、西安、長(zhǎng)沙四個(gè)城市中任選一個(gè)前去游玩，其中甲去過(guò)北京,

所以甲不去北京，則不同的選法有()

A.18種B.48種C.108種D.192種

4.已知sin(a+$+sina=|,貝！Jcos(2a+今=()

1119

A19B--C-D—

A-一》9927

5.已知函數(shù)f(%)=e-|x|,則使得/(2Q)</(a+1)成立的正實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.。,+8)B.扇+8)C.(1,+8)D.(0,1)

6.已知sin(a—/?)=2cos(a+S),tan(a—S)=貝亞cma-tan^=()

4747

A-7ByC.-D.-

7.已知a>b20且=+W=1,貝U2a+b的最小值為()

a+ba-b

A.12B.8/3C.16D.8混

8.已知函數(shù)f(%)=2%+2-%+cos%+/,若。=/(5,2"),b=/(2)5兀)，c=/(SZHTT2),貝(J()

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列說(shuō)法中，正確的是()

111

A.若PQ4|B)=P(B|4)=土P(4)=I，則P(B)=焉

B.已知隨機(jī)變量f服從正態(tài)分布N(2*2),<4)=0.74,則P(2<§<4)=0.24

C.已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)類系，其回歸直線方程為y=a+bx；若b=2,x=l,y=3,則a=1

D.若樣本數(shù)據(jù)%i，K2，…，So的方差為2,則數(shù)據(jù)2/-1,2X2-1,2/0-1的方差為4

10.已知AaBC內(nèi)角4B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,2=2B,則()

A.a2=b(_b+c)B.2+4的最小值為3

cb

C.若A/IBC為銳角三角形，貝哈e(1,2)口.若口=2混,匕=3,貝!]0=3

11.設(shè)函數(shù)/(x)=2刀3-3ax2+i,貝ij()

A.當(dāng)a>1時(shí)，/(%)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a<0時(shí)，x=。是/(久)的極小值點(diǎn)

C.存在a,b,使得x=6為曲線y=/(x)的對(duì)稱軸

D.存在a,使得點(diǎn)(1)(1))為曲線y=/(x)的對(duì)稱中心

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在(2x-的展開(kāi)式中，/的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

13.已知函數(shù)/Q)=x3f(l)-4Znx-12,則/'(3)=.

14.在AABC,角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,^ABC=120°,BD1BC交AC于點(diǎn)D,且BD=1,則

2a+c的最小值為_(kāi)____.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—2BCD中，底面48C0為正方形，PA1平面力BCD,M,N分別為棱PD,BC的中點(diǎn)，

PA=AB^2.

(I)求證：MN〃平面24B；

(II)求直線MN與平面PC。所成角的正弦值.

16.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=As譏(3%+0)(4>0,3>0,/夕/V兀)的一段圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若久e［一**求函數(shù)TO)的值域.

17.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=%2—(2a+l)x+alnx,aGR.

(1)若a=0,求曲線y=/(比)在點(diǎn)P(2,/(2))處的切線方程.

(2)若f(X)在x=1處取得極值，求/(久)的極值.

(3)若/(久)在［l,e］上的最小值為-2a,求a的取值范圍.

18.(本小題12分)

△2BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.己知asin(4+B)=csin§^.

(I)求4

(II)已知b=l,c=3,且邊BC上有一點(diǎn)。滿足SMBD=3SAADC，求力

19.(本小題12分)

若曲線C的切線I與曲線C共有幾個(gè)公共點(diǎn)(其中幾6N,n>1),則稱2為曲線C的“&一切線”.

(1)若曲線y=/(X)在點(diǎn)(1,-2)處的切線為0—切線，另一個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4),求/'(1)的值;

(2)求曲線y=%3-3/所有A一切線的方程；

(3)設(shè)/(x)=x+s譏x,是否存在te(o,》使得曲線y=/(x)在點(diǎn)(療⑷)處的切線為73—切線？若存在,

探究滿足條件的t的個(gè)數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案

l.B

2.5

3.D

4.0

5.C

6.4

7.C

8.D

9.BC

10.ABC

11.ABD

12.24

13.42-4Zn3

14苧

15.解：(I)證明：在四棱錐P—ABC。中，

取PA的中點(diǎn)E,連接E8、EM,

因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，

所以EM〃/W,且=

又因?yàn)榈酌?8CD是正方形，N是8c的中點(diǎn)，

1

所以BN〃AD,且BN=%D.

所以EM-BN-

所以四邊形MNBE是平行四邊形.

所以MN//EB.

由于EBu平面PAB,MN，平面PAB,

所以MN〃平面P4B.

(〃)因?yàn)榈酌媪CD是正方形，所以AB1AD.

又因?yàn)?4_L平面4BCD.

所以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD,4P分別為％、y>z軸，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系.4(000),C(2,2,0)，0(020),P(0,0,2),M(OJ,1),N(2,l,0).PC=

(2,2,-2),而=(-2,0,0)，

設(shè)平面PCD的法向量為記=(x,y,z).

有：儼.匡=0,即1+：-z=0,令,則z=i,

所以沅=(0,1,1).W=(2,0,-1).

設(shè)直線MN與平面PCD所成角為。.

有-mW-?而,沅?-|0x2+lx0+lx(-l)|_710

有：sine-|cos〈MN,m)|_麗阿-/5x/2-io-

所以直線MN與平面PCD所成角的正弦值為點(diǎn).

10

16.解：⑴由題意知：A=2,最小正周期T=2x得+$=7T,

???3=2,

由f管)=-2,即s譏弓+0)=-1,

///冗/37r77r

1■1/,/<兀，<彳+9〈彳，

37r3TTJ日37r

???1+"=f倚口=彳，

故函數(shù)/(久)的解析式為：/(%)=2sin(2x+

由2/CTT——<2x+—W2kli-,k6Z,

Z4Z

得kn-%〈kji—J

oo

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為生兀一^水兀―g,kez；

(2)VXG[-^，5，

2x+與e[0,棠,

2sin(2x+—)€[—2].

???函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇―，％2].

17.解：(1)若a=0,則/(%)=/一%,則r(x)=2x—1,

故f(2)=2,尸(2)=3,

故曲線y=/(x)在點(diǎn)P(2,/(2))處的切線方程為y-2=3(x-2),即3x-y-4=0；

(2)/(%)=x2—(2a+l)x+alnx,aGR定義域?yàn)?0,+8),

則=2x-(2a+1)+%

由于f(x)在x=1處取得極值,故((1)=2-(2a+1)+a=0,a=1,

則((久)=2%-3+-=2/-3T+1=(21)(1),

XXX

令f'(x)>0,則0<x<3或%>1,函數(shù)/(久)在(0,；),(1,+8)上均單調(diào)遞增,

1

貝nt

u2-函數(shù)/(%)在6,1)上單調(diào)遞減,

故當(dāng)%=只時(shí),f(%)取到極大值f(5)=^-|+ln|=---Zn2,

ZZ4ZZ4

當(dāng)x=1時(shí)，fO)取到極小值/(I)=1-3=-2；

(3)由于/'(%)=2x—(2a+1)+9=(2x?*a),xe

當(dāng)Q<1時(shí)，//(x)>0,僅在a=l,%=1時(shí)等號(hào)取得，/(%)在［l,e］上單調(diào)遞增，

則5=/(I)=-2a,符合題意；

當(dāng)1VQ<C時(shí),則1VQVa時(shí),尸(%)V0,/(%)在［l,a］上單調(diào)遞減，

aV%Ve時(shí)，//(%)>0,/(%)在［a,e］上單調(diào)遞增,

故/(%)疝九=/(a)</(I)=-2a,不符合題意；

當(dāng)QNe時(shí),f(x)<0,/(%)在［l,e］上單調(diào)遞減,

故勿=f(e)</(I)=-2a,不符合題意；

綜上，可知a的取值范圍為

18.解：(I)由/+8+C=?？傻茫簊in(i4+8)=sin(7r—C)=sinC,sin^^-=sin^y^=cosp

Xasin(i4+8)=csin^^-,得asinC=ccos^,

由正弦定理得sin/sinC=sinCcos^

因?yàn)?<C<TI,所以si?iCH0,所以sinA=cosp

所以2si7i?cos?=cosp

因?yàn)?</<7T,所以0V9<5則cos^HO,

所以sin］=:，即曰=￡所以

LLZO5

(II)解法一：設(shè)ATlBn的4B邊上的高為上，△4DC的4C邊上的高為修

因?yàn)镾—BQ=3s△aoc，c=3，b=1,

所以9c.h1=3X/.九2,

所以七=電，40是△ABC角/的內(nèi)角平分線，所以

因?yàn)镾^ABD=3s—oc，可知SMBQ=74S^ABC，

所以2x3xZDxsin7=?x2x3xlxsin2

L6423

所以4。=歲.

4

解法二：設(shè)N8AD=a(0VaV?則"AC=尹a,

因?yàn)镾—BO=3s△zoc，c=3,b=1,

所以2cxADxsina=3x-bxADxsin(--a),

所以sina=sin(^—a),

所以sina=^-cosa—^sinaf???tana=亨，

因?yàn)椤?lt;仇<§，所以NBA。=S*BD=3s△AQc，可知S-BQ=^^ABC9

所以2x3xZDxsing=gx2x3xlxsing

Z64，3

所以4D=qi

4

解法三：設(shè)/。=%,4BDA=a,則N4DC=7T-a,

在△ABC中，由c=3,b=1及余弦定理可得：a2=b2+c2—2bccosA,

所以a=V-7,

因?yàn)镾MBO=3s△4oc，可知3。=3DC——,

在aZBD中標(biāo)=BD2+AD2-2BD?AD?cosa,

即9=H+402—~Y~?AD?cosa①

在^ADC中，1=/+AD2——二?AD.COS(TT—a)，

16L

即1=三+AD2+g-AD-cosa，

16L

①②結(jié)合，可解得力。=厚.

4

19.解：(1)曲線y=/(久)在點(diǎn)(1,-2)處的切線為72-切線，另一個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4),

則該切線的斜率為空2=3,

D-1

因此廣(1)=3.

(2)由y=%3—3/求導(dǎo)得y，=3%2—6%,

3

則曲線y=x-3M在(%。,端-3部)處的切線方程為：y-(%o-3就)=(3%o-6x0)(x-%。)，

32

令h(%)=%—3%—(3%o—6x0)x+3%o—6詔—若+3%Q,

2x

整理得h(%)=(x-x0)(+2x0-3),

此切線為71-切線，等價(jià)于方程九(%)=0有且僅有一個(gè)根，即久。=3-2&,即%。=1,

所以曲線y=x3-3"的7\一切線僅有一條，為y=-3%+1.

(3)由(％+sinxY=1+cosx,

得曲線y=/(%)在點(diǎn)CfO)處的切線方程為：y-t-sint=(1+cost)(%-t),即y=(1+cost)%+

sint—tcost,

令0(%)=(%+sinx)—[(1+cost)x+