2024-2025學(xué)年廣東省廣州市某中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9月份）（含答案）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市西關(guān)外國語學(xué)校高三（上）月考

數(shù)學(xué)試卷（9月份）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1,已知集合4={x\x>1],B={x|2x2-5x-3<0},則2UB=（）

A.{x\x>1]B.[x\x>-1]C.{x|l<%<|}D.{x|l<x<3}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足5z+3z=8-2i,則|z|=（）

A.1B.2C.V2D.2也

3.已知等比數(shù)列{詼}的前2項和為12,由-a3=6,則公比q的值為（）

11

A.-B.2C.-D.3

4.已知平面向量而萬滿足：|曲=|m=2,且記在五上的投影向量為五，則向量訪與向量云-云的夾角為（）

A.30°B,60°C.120°D,150°

5.若小〉0,n>0,且3zn+2n—1=0,則高+押最小值為（）

A.20B.12C.16D.25

JTTT

6.已知函數(shù)/'（X）=sin（3x+0）（3>0,|租|<g）滿足/（§）=1,最小正周期為兀，函數(shù)g（x）=sin2x,則將

f（x）的圖象向左平移（）個單位長度后可以得到g（x）的圖象.

A竟B.?C.D.

o612

7.已知心,尸2是橢圓C：,+3=1（口〉6〉0）的左、右焦點，4是橢圓C的左頂點，點P在過4且斜率為塔

的直線上，△PF1&為等腰三角形，NF/2P=120。，則橢圓C的離心率為

2ill

A-B-C-D-

3N34

YPXV<<1

{N1,若5〃久）+1=°有3個實數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.[-p+8）B.+oo）C.[-1,e]D.[-pe-1]

二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列說法正確的是（）

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A.已知隨機變量X服從正態(tài)分布NO，/),。越小，表示隨機變量X分布越集中

B.數(shù)據(jù)1,9,4,5,16,7,11,3的第75百分位數(shù)為9

C.線性回歸分析中，若線性相關(guān)系數(shù)H越大，則兩個變量的線性相關(guān)性越弱

17

D.已知隨機變量不小(7,金,則￡(&或

10.在平行六面體ABCD—AiBiCiDi中，已知ZB=AD=A4i=1,ZTh

AB=AA^AD=4BAD=60°,貝!J()

A,直線&C與BD所成的角為90°

B.線段&C的長度為避

C.直線4C與BB1所成的角為90°

D.直線AiC與平面4BCD所成角的正弦值為當(dāng)

11.設(shè)函數(shù)/'(久)與其導(dǎo)函數(shù)/'(久)的定義域均為R,且/''(￡+2)為偶函數(shù),/(I+x)-f(l-x)=0,則()

A.f(l+^)=f'(l-x)B.f(3)=0

C.f(2025)=0D./(2+x)+f(2-x)=2/(2)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

12.(/+?)3的展開式中，常數(shù)項為____.

13.在△ABC中，^ABC=90。，AB=4,BC=3,點D在線段AC上，若lBDC=45°,則BD=；

cosZ-ABD=.

2

14.已知函數(shù)/(%)=|lnx-l|,0<x1<e<x2<e,函數(shù)/(%)的圖象在點和點7(冷/3))的

兩條切線互相垂直，且分別與y軸交于P,Q兩點，則明|的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.已知數(shù)列｛3叼是首項為3,公比為9的等比數(shù)列，數(shù)列也｝滿足打+與+*+…+含=3幾

(1)求數(shù)列｛斯｝和｛怎｝的通項公式;

(2)求數(shù)歹!]｛詈｝的前?1項和S”

16.已知三棱錐P-4BC滿足4B1AC,AB1PB,AC1PC,且4P=3,BP=飆BC=2".

(1)求證：AP1BC；

(2)求直線BC與平面4BP所成角的正弦值,

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17.已知函數(shù)/'(x)=2alnx+^x2-(a+3)x.(aeR)

(1)若曲線y=/(x)在點(1/(1))處的切線方程為〃X)=-x+b,求a和6的值；

(2)討論f(x)的單調(diào)性.

18.如圖，已知拋物線必=軌的焦點為F,過點P(-l,2)作一條不經(jīng)過F的直線/,若直線I與拋物線交于異于

原點的4B兩點，點8在無軸下方，且4在線段PB上.

(1)試判斷：直線F4FB的斜率之積是否為定值?若是，求出這個定值;若不是，請說明理由.

(2)過點B作PF的垂線交直線AF于點C,若△FBC的面積為4,求點B的坐標(biāo).

19.對于一個四元整數(shù)集力=｛a,b,c,d｝,如果它能劃分成兩個不相交的二元子集｛a,6｝和｛c,d｝,滿足

ab-cd=1,則稱這個四元整數(shù)集為“有趣的”.

(1)寫出集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝的一個“有趣的”四元子集；

(2)證明：集合｛1,2,3,4,5,6,7,8｝不能劃分成兩個不相交的“有趣的”四元子集；

(3)證明：對任意正整數(shù)n(n>2),集合｛1,2,3,…,4冊不能劃分成n個兩兩不相交的“有趣的”四元子集.

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參考答案

1.5

2.C

3.X

4.C

5.D

6.A

7.0

8.B

9.AD

10.AC

ll.BCD

12.3

iq127A/2

'5；IF

14.(3,+00)

15.解:⑴由題意得3。”=3><9時1=32"-1,

所以an=2n-l.

由歷+與+*+…+/r=3n,

得當(dāng)幾之2時，兒+笄+的+???3(n-1),

所以含=3,即刈=3n.

又當(dāng)71=1時，厲=3也符合，所以勾=3九.

(2)設(shè)％=黃=(2?1—1)。)"，

2n

則Sn=c1+c2+■■-+cn=1x1+3x(1)+???+(2n-l)(1),

畀=1x&2+3x弓尸+...+(2n-l)?(扔+i,

n+1

兩式作差得|sn=lx1+2x(今2+2x?)3+…+2x(1)-(2n-l)(1r,

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即|sn=一!+打管”］一(2f好+1=|-2^+2;

所以s.二「限

16.解：(1)證明：?■-AP=3,BP=^,AB1PB,AB=2,

???BC=2也,AB1AC,：.AC=2,

AC1PC,PC="，

即：AB=AC=2,PB=PC—^/5,

取BC中點。，連接A。，PO,則4。1BC,PO1BC,且4。ClP。=0,AO,POu平面40P,

：.BC1平面力。P,

???APu平面AOP,

BC1AP.

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點，。4OB所在直線分別為％,y軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由⑴可知4(避,0,0),B(0,V2,0),C(0-*,0),

△40P中，cosNPA。=早AP=3,P(一#,0,1),

XB=(-72,72,0),XP=(-272,0,1),BC=(0,-272,0),

設(shè)△ZB尸的法向量薪=

貝糕弟:‘心就箕。,

取為=(1,1,2"),

記BC與平面4BP所成角為仇

則s譏”|cos(BC,m)|=需a=力*=嚅?

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17.解：(1)/(%)=2alnx+22_(q+3)%,則f'(%)=^+|x—a—3,

曲線y=/(%)在點(1,/Q))處的切線方程為/(%)=f+b,

Q.1

則=。_,=_1,解得Q=-,

Q.7

由/'(1)=-a-471=-1+4b1,解得6=

o

(2)/(%)=2alnx+-x2-(a+3)%,函數(shù)定義域為(0,+8),

4

則「(X)=§+|x—a—3=3-2磐-2),

令f'(x)=0，解得x=2或％=與，

若a<0,則當(dāng)xG(0,2)時，f'(x)<0,毛支)單調(diào)遞減,當(dāng)x￡(2,+:)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

若0<a<3,則當(dāng)xG咨,2)時，f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)xG(0,竽)和x6(2,+8)時,f'(x)>0,

/(久)單調(diào)遞增，

若a=3,則廣(%)20在(0,+8)1恒成立,/(久)單調(diào)遞增，

若a>3,則當(dāng)xG(2爭時，f'(x)<0,〃X)單調(diào)遞減，當(dāng)久G(0,2)和％G號,+8)時，f(x)>0,

/(%)單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)aW0時，外嗎的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)；

當(dāng)0<a<3時，/⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為(0第和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為笛2)；

當(dāng)a=3時，/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>3時，f(久)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)和印,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(2哥.

18.解：(1)若4F的斜率不存在，則點B不存在或與原點重合；

若B尸的斜率不存在，則點4與原點重合.

因此，直線4F與BF的斜率均存在.

設(shè)直線/：%=m(y-2)-1,代入拋物線方程得：y2-4my+8m+4=0,

設(shè)8(%2,丫2)，則以+及=4m,yry2=8m+4,

I,yiyi4yl4y2

kFA.RFB=-T---7=-2―7.-2―7

x±—l%2—1yf—4yg—4

______________16yly2_______________i.

(yiy2)2-4(yi+y2)2+8yly2+16__'

(2)由題意可知，尸尸的斜率為-1,方程為y=—x+1,

設(shè)點(力<0,t±-1),所以直線-2力=x-t2,

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解方程組｛遍得光=〃-2；+1,

因此直線BC與PF的交點坐標(biāo)為+1，一"+；'+與

因為版尸=言),由(1)得左4尸=與黃，

r七2_]

所以直線2F：y=與三加—1),解方程組V:久;1)'得x=-2：：成寧1=「23

zt(y—2t=%—tz,t^-zt-i

因此可得c(l—2t,l—/),所以M為BC的中點，

從而S△尸BC=2S"BM=|BM|?\FM\,

2±1

SAFBC=^\t-^\-V2|^±l-l|=||(t2_3)2_8|=4)

所以(12—3)2—8=±8,因為t<0,解得t=—4或±=—々，

因此，所求的點8的坐標(biāo)為B(3,—2避)與(7,—2〃).

19.解:(1)｛1,2,3,5｝(符合要求即可)；

(2)證明：假設(shè)可以劃分，Vab-cd=1,

ab和cd一定是一個奇數(shù)一個偶數(shù)，

??.a,b,c,d中至多兩個偶數(shù).

則對于｛1,2,3,4,5,6,7,8｝的一種符合要求的劃分｛3如％心｝和｛￡12/2,。2必｝,

每個四元子集中均有兩個偶數(shù).

若兩個集合分別為｛2,4,“%｝和｛6