山西省太原市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

太原市2023年高三年級模擬考試（二）數(shù)學(xué)試卷（考試時間：下午3：00—5：00）注意事項：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至4頁，第II卷5至8頁.2.回答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試編號填寫在答題卡上.3.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，寫在本試卷上無效.4.回答第II卷時，將答案寫在答題卡相應(yīng)位置上，寫在本試卷上無效.5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求出集合，再由交集的定義計算即可．【詳解】因為，所以，所以，故選：B．2.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)定義域，利用特殊值即可判斷結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，不妨取則，此時不滿足，即A錯誤；易得，此時，所以B錯誤；對于D，無意義，所以D錯誤，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，當(dāng)時，，即C正確.故選：C3.已知，，與的夾角為，則（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律、結(jié)合數(shù)量積的定義求解作答.【詳解】因為，，與的夾角為，則，所以.故選：A4.2025年某省將實行“3+1+2”模式的新高考，其中“3”表示語文、數(shù)學(xué)和英語這三門必考科目，“1”表示必須從物理和歷史中選考一門科目，“2”表示要從化學(xué)、生物、政治和地理中選考兩門科目.為幫助甲、乙兩名高一學(xué)生應(yīng)對新高考，合理選擇選考科目，將其高一年級的成績綜合指標(biāo)值（指標(biāo)值滿分為5分，分值越高成績越優(yōu)）整理得到如下的雷達(dá)圖，則下列選擇最合理的是（）A.選考科目甲應(yīng)選物理、化學(xué)、歷史B.選考科目甲應(yīng)選化學(xué)、歷史、地理C.選考科目乙應(yīng)選物理、政治、歷史D.選考科目乙應(yīng)選政治、歷史、地理【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雷達(dá)圖得到兩位同學(xué)綜合指標(biāo)值順序，然后根據(jù)選科要求從高到低選擇即可.【詳解】根據(jù)雷達(dá)圖，甲同學(xué)按照科目綜合指標(biāo)值從高到低順序為：物理、歷史（化學(xué)）、地理、生物、政治，乙同學(xué)按照科目綜合指標(biāo)值從高到低順序為：歷史、物理（政治）、地理、生物、化學(xué)，根據(jù)新高考選科模式規(guī)則，選考科目甲應(yīng)選物理、化學(xué)、地理；選考科目乙應(yīng)選歷史、政治、地理.故選：D5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，以及三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的正負(fù)，可得，從而求出的值.【詳解】因為，所以，即，所以.因為，所以，所以.因為，所以.故選：B.6.已知等比數(shù)列的前項和，滿足，則（）A.16 B.32 C.81 D.243【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，作差得到等比數(shù)列的公比為，再求出，最后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得.【詳解】等比數(shù)列的前項和為，且，∴，∴，∴，故等比數(shù)列的公比為．在中，令，可得，∴，則．故選：A．7.已知圓，過直線上的動點作圓的切線，切點為，則的最小值是（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意易知當(dāng)圓心到直線上點的距離最小時，最小，利用點到直線的距離公式計算即可.【詳解】圓，圓心，半徑，設(shè)圓心到直線：的距離為，則，易得，則，故當(dāng)圓心到直線上點的距離最小時，即圓心到直線的距離，此時最小，因為，所以，故最小值是．故選：D.8.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將轉(zhuǎn)化為，由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性結(jié)合對數(shù)運算，即可得出答案.【詳解】由題意可知，于是構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，又，故，故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：解答數(shù)的比較大小問題，關(guān)鍵是將數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)一致的形式，從而確定變量，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而比較大小.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.9.已知在處取得極大值3，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)原函數(shù)極值點即為導(dǎo)函數(shù)零點可得，即可知，再根據(jù)極大值為3可解得或；易知當(dāng)時，在處取得極小值，與題意不符，當(dāng)時，函數(shù)在處取得極大值，符合題意，可得，，即，即可判斷出結(jié)論.【詳解】由題意可得，且是函數(shù)的極大值點，即，可得，又極大值為3，所以，解得或；當(dāng)時，，此時，時，，時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；此時函數(shù)處取得極小值，與題意不符，即舍去；當(dāng)時，，此時，時，，時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；此時函數(shù)在處取得極大值，符合題意，所以，，即，所以A正確，B錯誤；此時，所以，，即C錯誤，D正確.故選：AD10.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，拋物線的焦點與雙曲線的焦點重合，點是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為 B.C.的面積為 D.【答案】AB【解析】【分析】先根據(jù)拋物線方程得出的坐標(biāo)，即的值，進(jìn)而求出，得出雙曲線的方程.即可得出A項；聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，求出點坐標(biāo)，即可求得的值，判斷B項、得出的面積，判斷C項、求得的值，根據(jù)余弦定理，得出的值，判斷D項.【詳解】由已知，拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以雙曲線右焦點，即.又，所以，所以，雙曲線的方程為.對于A項，雙曲線的的漸近線方程為，故A項正確；對于B項，聯(lián)立雙曲線與拋物線的方程，整理可得，，解得或（舍去負(fù)值），所以，代入可得，.設(shè)，又，所以，故B項正確；對于C項，易知，故C項錯誤；對于D項，因為，所以，由余弦定理可得，，故D項錯誤.故選：AB.11.已知在上有且僅有2個極值點，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若關(guān)于直線對稱，則的最小正周期C.若關(guān)于點對稱，則在上單調(diào)遞增D.，使得在上的最小值為【答案】BC【解析】【分析】先根據(jù)在上有且僅有2個極值點確定范圍判斷A選項；根據(jù)范圍結(jié)合對稱軸可以判斷B選項；據(jù)范圍結(jié)合對稱中心可以判斷C選項；據(jù)范圍結(jié)合給定范圍求最值可以判斷D選項.【詳解】因為在上有且僅有2個極值點，所以所以，所以，故A選項錯誤；關(guān)于直線對稱，，又因為，所以，所以的最小正周期，故B正確；關(guān)于點對稱，，，又因為，所以，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，故C選項正確；，又因為，所以，所以在上的最小值小于，故D選項錯誤.故選:BC.12.已知三棱錐的所有棱長均為，平面ABC，O為垂足，是PO的中點，AD的延長線交平面PBC于點，的延長線交平面PAB于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.//B.若是棱PB上動點，則的最小值為C.三棱錐外接球的表面積為D.【答案】ACD【解析】【分析】A選項，設(shè)分別為中點，先證明是等腰三角形底邊上的高線上一點，且滿足，同理可以說明是等腰三角形底邊上的高線上一點同樣位置，然后可得到//，再由中位線可得//，進(jìn)而得到證明；B選項，將三棱錐保留展開成平面圖形后處理；C選項，根據(jù)正棱錐的對稱性，球心必定落在射線上，列出勾股定理方程計算；D選項，利用同高不同底的棱錐，體積之比是底面積之比，結(jié)合A選項，考察之間的關(guān)系.【詳解】A選項，由題知，該三棱錐是正四面體，取中點，連接，顯然會經(jīng)過，于是，過作//，交于.由于是在的投影，由正棱錐性質(zhì)，為等邊的重心，于是，由//可知，和相似，于是，由是PO的中點，易得和全等，則，于是，同理可說明，于是和相似，于是//，又為中邊對應(yīng)的中位線，故//，于是//，A選項正確；B選項，將三棱錐保留邊展開，成如圖所示的平面圖形，該圖形由兩個等邊三角形拼成的菱形，顯然的最小值在共線取得，即的最小值為，B選項錯誤；C選項，先算一些數(shù)據(jù)，借助A選項的圖，的外接圓半徑，故，，于是.根據(jù)對稱性，三棱錐外接球的球心在射線上，不妨設(shè)球心為，外接球半徑為，則，，又，則，解得（由于，實際上球心在三棱錐外），故外接球表面積為：，C選項正確；D選項，三棱錐和等高，由，于是，根據(jù)A選項，，，即，于是，注意到三棱錐和等高，故，于是，D選項正確.故選：ACD第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則_______．【答案】##i+1【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則，求得，得到答案.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，可得.故答案為：14.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】應(yīng)用賦值法令，得，令，得，即可得到答案.【詳解】依題意，令，得，令，得.因為可以得出,，故.故答案為：.15.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是上一點，點是直線與軸的交點，的內(nèi)切圓與相切于點，若，則橢圓的離心率__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)內(nèi)切圓與AM切于Q，與切于P，由切線性質(zhì)知，結(jié)合橢圓定義建立的關(guān)系求得.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓與AM切于Q，與切于P，由切線性質(zhì)知，，，由對稱性知，所以，即，所以，所以故答案為：16.已知，，且滿足，則__________．【答案】【解析】【分析】原式等價于.構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最值，可得，即可得出，，求出的值，即可得出答案.【詳解】因為，構(gòu)造，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極大值，也是最大值，所以.由題意可知，，所以，.因為，所以，，所以.故答案為：.【點睛】方法點睛：同構(gòu)變形后，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而得出結(jié)論.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知是正項等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.（1）求和的通項公式；（2）從下面條件①、②中選擇一個作為已知條件，求數(shù)列的前項和.條件①：；條件②：.注：若條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1），；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）應(yīng)用等差等比的通項公式計算求解即可；（2）錯位相減法求和可得.【小問1詳解】設(shè)的公比為，的公差為，由題意可得解得或（舍去），，，；【小問2詳解】由（1）得，選擇條件①：，則.，①，②①-②得，.選擇條件②：，則.，①，②①-②得，18.在銳角中，分別為內(nèi)角的對邊，，角的平分線交于，.（1）求；（2）求外接圓面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對于題干條件，結(jié)合余弦定理，正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化后求解；（2）結(jié)合角平分線長度，面積的等量關(guān)系，得出滿足的條件，進(jìn)而由余弦定理得到的范圍，然后由正弦定理得出外接圓半徑的最小值.【小問1詳解】，，由余弦定理可得，，化簡得，，由正弦定理可得，，.【小問2詳解】由（1）得，.，，，整理得.由基本不等式，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），，，外接圓的直徑，，當(dāng)且僅當(dāng)時，外接圓的面積取最小值.19.為響應(yīng)國家使用新能源的號召，促進(jìn)“碳達(dá)峰碳中和”的目標(biāo)實現(xiàn)，某汽車生產(chǎn)企業(yè)在積極上市四款新能源汽車后，對它們進(jìn)行了市場調(diào)研.該企業(yè)研發(fā)部門從購買這四款車的車主中隨機(jī)抽取了50人，讓車主對所購汽車的性能進(jìn)行評分，每款車的性能都有1分、2分、3分、4分、5分五個等級，各評分及相應(yīng)人數(shù)的統(tǒng)計結(jié)果如下表.性能評分汽車款式12345基礎(chǔ)班基礎(chǔ)版122310基礎(chǔ)版244531豪華版豪華版113541豪華版200353（1）求所抽車主對這四款車性能評分的平均數(shù)和第90百分位數(shù)；（2）當(dāng)評分不小于4時，認(rèn)為該款車性能優(yōu)秀，否則認(rèn)為性能一般.根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為汽車的性能與款式有關(guān)？并解釋所得結(jié)論的實際含義.汽車性能汽車款式合計基礎(chǔ)班豪華版一般優(yōu)秀合計（3）為提高這四款新車的性能，現(xiàn)從樣本評分不大于2的基礎(chǔ)版車主中，隨機(jī)抽取3人征求意見，記X為其中基礎(chǔ)版1車主的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：.0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1）平均數(shù)為3，第90百分位數(shù)為4.5；（2）答案見解析（3）分布列見解析，1【解析】【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)定義求解即可；（2）根據(jù)聯(lián)表計算對應(yīng)數(shù)據(jù)判斷可得汽車的性能與款式的相關(guān)性；（3）根據(jù)超幾何分布計算概率和分布列及期望得解.【小問1詳解】由題意得這四款車性能評分的平均數(shù)為；其第90百分位數(shù)為；【小問2詳解】由題意得汽車性能汽車款式合計基礎(chǔ)版豪華版一般201232優(yōu)秀51318合計252550零假設(shè)為：汽車性能與款式無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為汽車性能與款式有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05；汽車性能一般中基礎(chǔ)版和豪華版的頻率分別為和，性能優(yōu)秀中基礎(chǔ)版和豪華版的頻率分別為和，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性能優(yōu)秀時豪華版的概率大.【小問3詳解】由題意可得X服從超幾何分布，且，，，由題意知，X的所有可能取值為，則，，，所以X分布列為X0123P.20.如圖，三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，D是AB的中點.（1）證明：；（2）若平面，E是上的動點，平面與平面夾角的余弦值為，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明線面垂直，根據(jù)線面垂直得出線線垂直；（2）先設(shè)比值得出向量關(guān)系，根據(jù)空間向量法求已知二面角的值即可求出比值.【小問1詳解】取BC的中點F，連接，，記，是AB的中點，，，，在矩形中，，，，，，，平面,平面，平面，平面，；【小問2詳解】因為平面，，平面，所以，，由矩形得，以點為原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，，則，，，，所以設(shè)是平面的一個法向量，則，令，則.設(shè)是平面的一個法向量，則，令，則，，.，或（舍去），.21.已知雙曲線經(jīng)過點，直線、分別是雙曲線的漸近線，過分別作和的平行線l′1和l′2，直線l′1交軸于點，直線l′2交軸于點，且（是坐標(biāo)原點）（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)、分別是雙曲線的左、右頂點，過右焦點的直線交雙曲線于、兩個不同點，直線與相交于點，證明：點在定直線上.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出點、的坐標(biāo)，根據(jù)題中條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出雙曲線的方程；（2）分析可知直線不與軸重合，設(shè)、，直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線與的方程，將這兩條直線聯(lián)立，求出點的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由題意得，，不妨設(shè)直線的方程為，則直線l′1的方程為，在直線l′1的方程中，令可得，即點，同理可得，，由可得，因此，雙曲線的方程為.小問2詳解】證明：由（1）得、、，若直線與軸重合，則、為雙曲線的頂點，不合乎題意，設(shè)、，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，解得，，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與的方程，可得，所以，，因為，解得，因此，點在定直線上.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方