專(zhuān)題06零點(diǎn)問(wèn)題（4月）（期中復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型）（人教A版2019）

專(zhuān)題06零點(diǎn)問(wèn)題一、單選題1．函數(shù)（，且）有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為A． B．C． D．【試題來(lái)源】山西省2021屆高三一?！敬鸢浮緽【分析】令，將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象確定正確選項(xiàng)．【解析】，得，即．由題意知函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，草圖如下，顯然有兩交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，注意到互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可知函數(shù)圖象與直線相切，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)，則，解得綜上，a的取值范圍為．故選B．2．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A． B．C． D．【試題來(lái)源】云南省州硯山縣20202021學(xué)年高一上學(xué)期期末【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，結(jié)合單調(diào)性與最小值，即可求解．【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)．故選A．3．定義在上的函數(shù)滿足，，若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)A．沒(méi)有零點(diǎn) B．有且僅有1個(gè)零點(diǎn)C．至少有2個(gè)零點(diǎn) D．可能有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)【試題來(lái)源】2021屆江西省八所重點(diǎn)中學(xué)高三4月聯(lián)考【答案】B【分析】依據(jù)題意可知函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性，然后簡(jiǎn)單判斷即可．【解析】由題可知，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由，所以，根據(jù)對(duì)稱性可知根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，故選B.4．已知函數(shù)，若有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B．C． D．【試題來(lái)源】超級(jí)全能生”2021屆高三全國(guó)卷地區(qū)1月聯(lián)考丙卷（B）【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義，結(jié)合基本不等式、導(dǎo)數(shù)運(yùn)用轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解即可．【解析】可轉(zhuǎn)化為．設(shè)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值0．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值．若有2個(gè)零點(diǎn)，則與有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，解得，故選C5．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【試題來(lái)源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）【答案】B【分析】等價(jià)轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)根，然后利用導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間的單調(diào)性，最后簡(jiǎn)單計(jì)算可得結(jié)果．【解析】由題可知等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)根即在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)根，令，令，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，，所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以有，即，故選B．【名師點(diǎn)睛】（1）等價(jià)轉(zhuǎn)為在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)根；（2）構(gòu)造函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)；（4）得出結(jié)果．6．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【試題來(lái)源】江西省南昌市新建區(qū)第一中學(xué)20202021學(xué)年高二上學(xué)期期末考試【答案】C【分析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分析可知，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需的最小值小于零即可，由此即可求出結(jié)果．【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．令，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以的最小值為，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選C7．若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【試題來(lái)源】湖南省益陽(yáng)市桃江縣第一中學(xué)20202021學(xué)年高二下學(xué)期入學(xué)考試【答案】A【分析】設(shè)，則函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出．【解析】設(shè)，定義域?yàn)椋瑒t，易知為單調(diào)遞增函數(shù)，且所以當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，所以所以，即．故選A．8．若函數(shù)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A． B．C． D．【試題來(lái)源】廣西河池市20202021學(xué)年高二上學(xué)期期末【答案】D【分析】由題意得，令，求的取值范圍可得答案．【解析】由，則，令，則，當(dāng)?shù)?，單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)?，單調(diào)遞減，所以，，當(dāng)趨向于正無(wú)窮大時(shí)，也趨向于正無(wú)窮大，所以函數(shù)存在零點(diǎn)，則．故選D．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題．解題方法是把零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖象觀察所需條件求得結(jié)論．考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．9．已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是A． B．C． D．【試題來(lái)源】黑龍江省大慶市2021屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（一模）【答案】B【解析】，，令，得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，且當(dāng)時(shí)，，令得或，所以有兩個(gè)解，有三個(gè)解，所以函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是5個(gè)，故選B．【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，解題方法如下：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，并確定函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)；（2）求函數(shù)零點(diǎn)，就是令函數(shù)等于零，方程的根，求解二次方程，得到函數(shù)值的取值；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，確定其零點(diǎn)個(gè)數(shù)．10．已知函數(shù)．若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則A．， B．，C．， D．，【試題來(lái)源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練（新高考地區(qū)專(zhuān)用）【答案】B【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則必定有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，即可求出參數(shù)的取值范圍，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到，即可判斷的范圍；【解析】因?yàn)?，所以，要使函?shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則必定有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，即，，所以解得，此時(shí)，，令，解得或，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，令，解得或，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，要使函數(shù)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則，，即，且，因?yàn)?，所以，，所以，，所以，又，所以，故選B．11．已知函數(shù)()有唯一的零點(diǎn)，則A． B．C． D．【試題來(lái)源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷（新課標(biāo)Ⅲ卷）【答案】A【分析】利用函數(shù)的零點(diǎn)以及方程的根的關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，二次導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，推出結(jié)果即可．【解析】函數(shù)，則，可得，恒大于0，是增函數(shù)，令，則，有唯一解時(shí)，，代入可得，由于是增函數(shù)，，所以時(shí)，．故選．12．已知曲線：在處的切線與曲線：在處的切線平行，令，則在上A．有唯一零點(diǎn) B．有兩個(gè)零點(diǎn)C．沒(méi)有零點(diǎn) D．不確定【試題來(lái)源】寧夏固原市第五中學(xué)2021屆高三年級(jí)期末考試【答案】A【分析】先對(duì)函數(shù)和求導(dǎo)，根據(jù)兩曲線在處的切線平行，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，得到函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法判定單調(diào)性，確定其在上的最值，即可確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，由題設(shè)知，，即，所以，則，所以，，令，，則，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞增；所以在上的最小值為，所以，則，所以在上單調(diào)遞增，且．在上有唯一零點(diǎn)，故選A．【名師點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，一般需要先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)極值和最值，即可確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（有時(shí)也需要利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行判斷）13．已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是A．奇函數(shù)，在上有零點(diǎn) B．奇函數(shù)，在上無(wú)零點(diǎn)C．偶函數(shù)，在上有零點(diǎn) D．偶函數(shù)，在上無(wú)零點(diǎn)【試題來(lái)源】2021年高考二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（）【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)AB，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在區(qū)間上有無(wú)零點(diǎn)．【解析】，函數(shù)的定義域?yàn)?，且故為偶函?shù)，故排除AB；，令，即，解得當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，取得極小值，且，而，，所以函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)．故選D14．已知．是函數(shù)()在上的兩個(gè)零點(diǎn)，則．滿足A． B．C． D．【試題來(lái)源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷（新課標(biāo)Ⅱ卷）【答案】B【分析】由題意可得，設(shè)，（），則由可得，要比較其與1的大小，構(gòu)造函數(shù)()，利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值，可得，進(jìn)而可證得結(jié)論【解析】由題意可知，，故，即，設(shè)，，則，，所以，由得，所以，令()，則恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，即，所以，所以，所以，故選B．二、多選題1．已知函數(shù)，，則A．1是函數(shù)的極值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn)【試題來(lái)源】江蘇省南通市海門(mén)市第一中學(xué)20202021學(xué)年高二上學(xué)期期末【答案】AD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可判斷AB的正誤，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和最值的符號(hào)可判斷CD的正誤．【解析】，令可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，故A正確．又在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故B錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，又，而，故且，令，則，故在上為減函數(shù)，故，由零點(diǎn)存在定理及的單調(diào)性可得有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故D正確．而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在最多有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤．故選AD2．關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的有A．在上是增函數(shù) B．存在唯一極小值點(diǎn)C．在上有一個(gè)零點(diǎn) D．在上有兩個(gè)零點(diǎn)【試題來(lái)源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練（新高考地區(qū)專(zhuān)用）【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)求得與，再根據(jù)在恒成立，確定在上單調(diào)遞增，及，且存在唯一實(shí)數(shù)，使，從而判斷A，B選項(xiàng)正確；再據(jù)此判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】由已知得，，，恒成立，在上單調(diào)遞增，又時(shí)，且存在唯一實(shí)數(shù)，使，即，所以在上是增函數(shù)，且存在唯一極小值點(diǎn)，故A，B選項(xiàng)正確．且在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又，，，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選ABD．3．知函數(shù)，則下述結(jié)論中正確的是A．若在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則在有且僅有個(gè)極小值點(diǎn)B．若在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則在上單調(diào)遞增C．若在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則的范是D．若的圖象關(guān)于對(duì)稱，且在單調(diào)，則的最大值為【試題來(lái)源】廣東省汕頭市2021屆高三一?！敬鸢浮緼CD【分析】令，由，可得出，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，可判斷A選項(xiàng)正誤；根據(jù)已知條件求出的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)正誤；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)的正誤．【解析】令，由，可得出，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，若在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則在有且僅有個(gè)極小值點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則，解得，C選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若的圖象關(guān)于對(duì)稱，則，．，，，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，合乎題意，D選項(xiàng)正確．故選ACD．【名師點(diǎn)睛】求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡(jiǎn)成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．4．已知函數(shù)對(duì)于任意，均滿足．當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，下列結(jié)論正確的為A．若，則恰有兩個(gè)零點(diǎn)B．若，則有三個(gè)零點(diǎn)C．若，則恰有四個(gè)零點(diǎn)D．不存在使得恰有四個(gè)零點(diǎn)【試題來(lái)源】山東省日照市2021屆高三下學(xué)期一模【答案】ABC【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，求出直線與曲線相切以及直線過(guò)點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤．【解析】由可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．令，即，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：令，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)、的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，的定義域?yàn)?，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)時(shí)，有，解得．過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，切線過(guò)點(diǎn)，所以，，解得，則切線斜率為，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切．若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，由圖可得或，A選項(xiàng)正確；若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，由圖可得，B選項(xiàng)正確；若函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，由圖可得，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選ABC．5．已知函數(shù)，，其中，則下列說(shuō)法中正確的是A．若只有一個(gè)零點(diǎn)，則B．若只有一個(gè)零點(diǎn)，則恒成立C．若只有兩個(gè)零點(diǎn)，則D．若有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則恒成立【試題來(lái)源】湖北?。˙4聯(lián)考新高考調(diào)研）部分省級(jí)示范性重點(diǎn)中學(xué)20202021學(xué)年高三上學(xué)期統(tǒng)一質(zhì)量檢測(cè)【答案】ABD【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．所以．，且．，則．當(dāng)時(shí)，，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，．，則，，，，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上至少有一個(gè)極值點(diǎn)，令，可得，當(dāng)時(shí)，，由，可得，解得，所以，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)．作出函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，記該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以，，又．若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則．，則，所以，，解得，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，由A選項(xiàng)可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．，，所以，對(duì)任意的，，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，取，則，，則，令，可得或，可得或，解得或．所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，若，則，且，當(dāng)時(shí)，令，可得出，至少可得出或，即函數(shù)在區(qū)間上至少有兩個(gè)極值點(diǎn)，不合乎題意，所以，．下面證明：當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，，即．分以下三種情況來(lái)證明恒成立．，可得，，由可得出，所以，．則．①當(dāng)時(shí)，，則，，即成立；②當(dāng)時(shí)，，則；③當(dāng)時(shí)，，．綜上所述，當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，恒成立．故選ABD．三、填空題1．已知函數(shù)，，若函數(shù)只有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【試題來(lái)源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)經(jīng)典小題考前必刷集合【答案】【分析】首先令，得，畫(huà)出函數(shù)與的圖象，再根據(jù)圖象求解即可．【解析】令，得，則當(dāng)時(shí)，令，所以，則在單調(diào)遞減，所以函數(shù)與的圖象，由圖象可知，當(dāng)，即時(shí)，圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即存在1個(gè)零點(diǎn)．故答案為2．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【試題來(lái)源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練【答案】1【解析】因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以有且僅有1個(gè)零點(diǎn)．故答案為13．已知函數(shù)，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．【試題來(lái)源】2021屆高三高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性測(cè)試仿真系列卷四（江蘇等八省新高考地區(qū)專(zhuān)用）【答案】3【分析】首先分別求出函數(shù)在和的單調(diào)性和最值，從而得到函數(shù)的圖象，在根據(jù)函數(shù)的圖象與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到答案．【解析】因?yàn)榈牧泓c(diǎn)個(gè)數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，作出的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知有個(gè)交點(diǎn)，所以有個(gè)零點(diǎn)，故答案為34．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【試題來(lái)源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷（新課標(biāo)Ⅲ卷）【答案】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍．【解析】構(gòu)造，，有三個(gè)零點(diǎn)即與有三個(gè)交點(diǎn)，，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，即，即，解得．故答案為．【名師點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，關(guān)鍵點(diǎn)是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，同時(shí)也考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中等題．5．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______．【試題來(lái)源】百師聯(lián)盟20202021學(xué)年高三下學(xué)期開(kāi)年摸底聯(lián)考考試卷（全國(guó)Ⅰ卷）【答案】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，以及零點(diǎn)存在的條件，列出不等式組求得結(jié)果．【解析】，（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，只要滿足；，無(wú)解；（2）當(dāng)時(shí)，，①若，即時(shí)，在單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；只要，所以令，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以．②當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)，且，所以函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)；故答案為．6．若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【試題來(lái)源】河南省駐馬店市20202021學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)理試題【答案】【分析】令得，構(gòu)造函數(shù)并求值域可得答案．【解析】由，則，令，因?yàn)樵谏隙歼f減，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，且，可得．故答案為．【名師點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)問(wèn)題，解答時(shí)要先將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有根的問(wèn)題，進(jìn)而分離參數(shù)，再運(yùn)用函數(shù)思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)圖象的性質(zhì)和最大最小值的問(wèn)題，考查了分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．7．定義在的函數(shù)滿足，則的零點(diǎn)是________．【試題來(lái)源】東北三省三校（哈師大附中東北師大附中遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）20202021學(xué)年高三下學(xué)期第一次聯(lián)合模擬考試【答案】【分析】構(gòu)建函數(shù)，依據(jù)條件可知，進(jìn)一步可得，最后令可得結(jié)果．【解析】令，則，又，所以，則函數(shù)為常函數(shù)，又，所以，令，所以，故答案為【名師點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)，并通過(guò)題干可知函數(shù)，以便得到函數(shù)的解析式．8．設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為、、…，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，有下述四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)在上單調(diào)遞增；②函數(shù)與有相同零點(diǎn)；③函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且；④函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【試題來(lái)源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷（新課標(biāo)Ⅱ卷）【答案】①②④【分析】對(duì)①，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)和，從而判斷得函數(shù)在上單調(diào)遞增；對(duì)②，可直接判斷出函數(shù)與在上有相同零點(diǎn)；對(duì)③和④，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可判斷出在和上單調(diào)遞增，再利用零點(diǎn)存在定理判斷出函數(shù)在和上存在零點(diǎn)．【解析】，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故①正確；顯然不是零點(diǎn)，令，則在上，與有相同零點(diǎn)，故②正確；在上，，所以在上單調(diào)遞增，在上也單調(diào)遞增，而，，所以存在，使，又，，所以存在的，使，所以在上只有兩個(gè)零點(diǎn)、，也即在上只有兩個(gè)零點(diǎn)為、，且，故③錯(cuò)誤，④正確．故答案為①②④．【名師點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；（3）利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)之間的等式，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．9．已知函數(shù)存在4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【試題來(lái)源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)經(jīng)典小題考前必刷集合【答案】【分析】令可得出，令，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)與的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出與函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】令，可得，令，，，令，可得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得最大值，即．當(dāng)時(shí)，．所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，由于，解得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得最大值，即，若使得函數(shù)存在個(gè)零點(diǎn)，則直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，作出函數(shù)的圖如下圖所示：由圖象可知，，作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為．10．已知函數(shù)存在個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【試題來(lái)源】江西宜春市2021屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題【答案】【分析】令可得出，令，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)與的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出與函數(shù)的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】令，可得，令，，，令，可得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得最大值，即．當(dāng)時(shí)，．所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，由于，解得，列表如下：極大值所以，函數(shù)在處取得最大值，即，若使得函數(shù)存在個(gè)零點(diǎn)，則直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，作出函數(shù)的圖如下圖所示：由圖象可知，．作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為．四、雙空題1．已知函數(shù)，令，當(dāng)時(shí)，有，則________；若函數(shù)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)_______．【試題來(lái)源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪小題專(zhuān)練（新高考）【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的解析式，列出方程，即可求得的值，再由為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，得到，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象，即可求解．【解析】由，可得當(dāng)時(shí)，恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，，可化簡(jiǎn)得，則或；由為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，要使得函數(shù)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，要使得函數(shù)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則．故答案為.2．已知實(shí)數(shù)且，為定義在上的函數(shù)，則至多有________個(gè)零點(diǎn)；若僅有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【試題來(lái)源】2021年浙江省新高考測(cè)評(píng)卷數(shù)學(xué)（第五模擬）【答案】【分析】令（，且），可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)論．【解析】令（，且），可得，等式兩邊取自然對(duì)數(shù)得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．所以，，且當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：由圖象可知，直線與函數(shù)的圖象至多有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，函數(shù)至多有個(gè)零點(diǎn)．若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則或，解得或．故答案為；．3．已知函數(shù)，則方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______；若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【試題來(lái)源】江蘇省南通市如東縣20202021學(xué)年高三上學(xué)期期末【答案】3【分析】用導(dǎo)數(shù)求出在的時(shí)單調(diào)性，極值，確定函數(shù)的變化趨勢(shì)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)圖象，方程的的解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由此分析可得．【解析】由得，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，時(shí)，取得極大值，時(shí)，，所以的增區(qū)間是，減區(qū)間是，，且時(shí)，，時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖，作直線，由圖可知直線與函數(shù)的圖象，在時(shí)無(wú)交點(diǎn)，或時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，或時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)．因?yàn)?，所以直線與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，方程有三個(gè)實(shí)根，易知有兩個(gè)解，，由得，由得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，不合題意，時(shí)，有一個(gè)解，由題意要有兩解，所以或，所以或，綜上，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍是．【名師點(diǎn)睛】本題考查方程解的個(gè)數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，解題方法是數(shù)形結(jié)合思想，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)圖象與直線，由它們交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出結(jié)論．4．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______個(gè)；若在上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【試題來(lái)源】江蘇省蘇州中學(xué)20202021學(xué)年高二下學(xué)期3月月考【答案】1【解析】（1），，則令，則或，所以當(dāng)或時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)在處取極大值，時(shí)取到極小值，因?yàn)?，，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，且為函數(shù)的唯一零點(diǎn)；令，則在上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，令即，顯然，所以，令，只要與的圖象在有且僅有個(gè)交點(diǎn)，，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，即，可得所以．故答案為1；五、解答題1．已知函數(shù)，，．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）討論在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【試題來(lái)源】2021年高考數(shù)學(xué)解答題挑戰(zhàn)滿分專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（新高考地區(qū)專(zhuān)用）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)．【分析】（1）作差，令，利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)，有即可；（2）對(duì)于，求出，對(duì)a討論，利用零點(diǎn)存在定理討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）令，所以當(dāng)時(shí)，，，所以．所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)，有，所以在上恒成立．（2）．所以，設(shè)，，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，而，所以，即恒成立，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．②當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，而，所以，所以在上遞增，因?yàn)?，所以是唯一零點(diǎn)，此時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．③當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，而，，所以存在，有，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，而，，因?yàn)閳D象是連續(xù)不間斷的，由零點(diǎn)存在性定理知，在上有唯一零點(diǎn)，因?yàn)橐彩橇泓c(diǎn)，所以在上有2個(gè)零點(diǎn)．綜上：當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)．【名師點(diǎn)睛】（1）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，解題關(guān)鍵是如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)；（2）研究函數(shù)零點(diǎn)(方程有根)的常用方法：①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；②分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；③數(shù)形結(jié)合法：研究單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理判斷．2．已知在有零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：．【試題來(lái)源】中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2021年3月測(cè)試（一卷）試卷【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合零點(diǎn)的定義和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）結(jié)合（1），構(gòu)建新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明即可．【解析】（1），①當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立，在上遞增，，不符合題意，②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；③當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立，在上遞減，，不符合題意．綜上所述，的取值范圍是．（2）由（1）知，，要證明，只要證明設(shè)，，，，即另一方面：要證明，只要證明，即證明，即證，設(shè)，，則，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以成立．3．設(shè)函數(shù)，．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)．【試題來(lái)源】2021年高考數(shù)學(xué)解答題挑戰(zhàn)滿分專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（新高考地區(qū)專(zhuān)用）【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值，無(wú)極大值；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性即可得極值；（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為，由得，討論和時(shí)端點(diǎn)的函數(shù)值即可得證．【解析】（1），令得(舍負(fù))，列表如下：0↘極小值↗綜上：的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值為，無(wú)極大值；（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為．因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)．4．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，證明：；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求．【試題來(lái)源】2021年高考數(shù)學(xué)解答題挑戰(zhàn)滿分專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練（新高考地區(qū)專(zhuān)用）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，利用?dǎo)函數(shù)可求得在上的單調(diào)性，進(jìn)而可證明；（2）若或，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可證明函數(shù)