人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊學案：習題課 與圓有關(guān)的最值問題

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1習題課與圓有關(guān)的最值問題學習目標1.能用直線與圓的方程解決一些簡單的最值問題.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．導語2017年7月我國首座海上風電平臺4G基站在黃海建成，信號覆蓋范圍達60公里．一艘船由于機械故障在海上遇險，想要求救，卻發(fā)現(xiàn)手機沒有信號．已知基站在海面上的信號覆蓋范圍是以基站為圓心的一個圓及其內(nèi)部區(qū)域，那么船到達信號區(qū)域的最短路程是多少呢？(引出課題：探究與圓有關(guān)的最值問題．)一、與距離有關(guān)的最值問題1．圓外一點到圓上任意一點距離的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.2．直線與圓相離，圓上任意一點到直線距離的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.3．過圓內(nèi)一定點的直線被圓截得的弦長的最小值＝2eq\r(r2－d2)，最大值＝2r.4．直線與圓相離，過直線上一點作圓的切線，切線長的最小值＝eq\r(d2－r2).例1(1)當直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短時，m的值為________．〖答案〗－eq\f(3,4)〖解析〗直線l的方程可化為(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，所以直線l會經(jīng)過定點eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))解得定點坐標為M(3,1)，圓心C為(1,2)，當直線l與CM垂直時，直線被圓截得的弦長最短，kCM＝eq\f(2－1,1－3)＝－eq\f(1,2)，kl＝－eq\f(2m＋1,m＋1)，所以kCM×kl＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m＋1,m＋1)))＝－1，解得m＝－eq\f(3,4).(2)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0關(guān)于直線l：3ax＋2by＋4＝0對稱，則由點M(a，b)向圓C所作的切線中，切線長的最小值是()A．2B.eq\r(5)C．3D.eq\r(13)〖答案〗B〖解析〗因為圓C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，所以圓心為C(1，－2)，半徑R＝2.因為圓C關(guān)于直線l：3ax＋2by＋4＝0對稱，所以l：3a－4b＋4＝0，所以點M(a，b)在直線l1：3x－4y＋4＝0上，所以|MC|的最小值為d＝eq\f(|3＋8＋4|,5)＝3，切線長的最小值為eq\r(d2－R2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).反思感悟(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．(2)定點到圓上動點距離的最值可以先計算定點到圓心的距離，然后利用數(shù)形結(jié)合確定距離的最值．跟蹤訓練1(1)從點P(1，－2)向圓x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切線，當切線長最短時，m的值為()A．－1B．1C．2D．0〖答案〗B〖解析〗x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化為(x－m)2＋(y－1)2＝1，圓心C(m，1)，半徑為1，切線長最短時，|CP|最小，|CP|＝eq\r(m－12＋9)，即當m＝1時，|CP|最小，切線長最短．(2)過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦長為________．〖答案〗2eq\r(2)〖解析〗設(shè)點A(3,1)，易知圓心C(2,2)，半徑r＝2.當弦過點A(3,1)且與CA垂直時為最短弦，|CA|＝eq\r(2－32＋2－12)＝eq\r(2).∴半弦長＝eq\r(r2－|CA|2)＝eq\r(4－2)＝eq\r(2).∴最短弦長為2eq\r(2).二、與面積相關(guān)的最值問題例2已知點O(0,0)，A(0,2)，點M是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，則△OAM面積的最小值為()A．1B．2C．3D．4〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意，得圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圓心為(3，－1)，半徑r＝2，O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直線是y軸，當M到直線AO的距離最小時，△OAM的面積最小，則M到直線AO的距離的最小值d＝3－2＝1，則△OAM的面積最小值S＝eq\f(1,2)×|OA|×d＝1.反思感悟求圓的面積的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關(guān)的函數(shù)關(guān)系或者幾何圖形的關(guān)系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有時可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．跟蹤訓練2(1)直線y＝kx＋3與圓O：x2＋y2＝1相交于A，B兩點，則△OAB面積的最大值為()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(3),4)〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓心到直線的距離為d(0<d<1)，則所截得的弦長l＝2eq\r(1－d2)，所以S△ABO＝eq\f(1,2)·2eq\r(1－d2)·d＝eq\r(1－d2·d2)，由基本不等式，可得S△ABO＝eq\r(1－d2·d2)≤eq\f(1－d2＋d2,2)＝eq\f(1,2)，當且僅當d＝eq\f(\r(2),2)時，等號成立．(2)已知點P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k＝________.〖答案〗2〖解析〗圓C：x2＋y2－2y＝0的圓心為C(0,1)，半徑r＝1，由圓的性質(zhì)可知，四邊形的面積S＝2S△PBC，又四邊形PACB的最小面積是2，則S△PBC的最小值為S＝1＝eq\f(1,2)r|PB|min＝eq\f(1,2)|PB|min，則|PB|min＝2，因為|PB|＝eq\r(|PC|2－r2)＝eq\r(|PC|2－1)，所以當|PC|取最小值時，|PB|最?。贮cP(x，y)是直線kx＋y＋4＝0上的動點，當CP垂直于直線kx＋y＋4＝0時，|PC|最小，即為圓心C(0,1)到直線的距離，所以eq\f(|1＋4|,\r(k2＋1))＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，解得k＝±2，因為k>0，所以k＝2.三、利用數(shù)學式的幾何意義解圓的最值問題例3已知點P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值與最小值；(3)求x＋y的最大值與最小值．解方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化為(x－3)2＋(y－3)2＝4.(1)eq\f(y,x)表示圓上的點P與原點連線所在直線的斜率，如圖(1)所示，顯然PO(O為坐標原點)與圓相切時，斜率最大或最小．設(shè)切線方程為y＝kx(由題意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圓心C(3,3)到切線的距離等于半徑2，可得eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(9±2\r(14),5)，所以eq\f(y,x)的最大值為eq\f(9＋2\r(14),5)，最小值為eq\f(9－2\r(14),5).(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圓上的點P到E(－1,0)的距離的平方再加2，所以當點P與點E的距離最大或最小時，所求式子取得最大值或最小值，如圖(2)所示，顯然點E在圓C的外部，所以點P與點E距離的最大值為|P1E|＝|CE|＋2，點P與點E距離的最小值為|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝eq\r(3＋12＋32)＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值為(5＋2)2＋2＝51，最小值為(5－2)2＋2＝11.(3)設(shè)x＋y＝b，則b表示動直線y＝－x＋b在y軸上的截距，如圖(3)所示，顯然當動直線y＝－x＋b與圓(x－3)2＋(y－3)2＝4相切時，b取得最大值或最小值，此時圓心C(3,3)到切線x＋y＝b的距離等于圓的半徑2，則eq\f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，即|b－6|＝2eq\r(2)，解得b＝6±2eq\r(2)，所以x＋y的最大值為6＋2eq\r(2)，最小值為6－2eq\r(2).反思感悟(1)形如u＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(l,b)的截距的最值問題．跟蹤訓練3(多選)已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則下列說法正確的是()A．y－x的最大值為eq\r(6)－2B．x2＋y2的最大值為7＋4eq\r(3)C.eq\f(y,x)的最大值為eq\f(\r(3),2)D．x＋y的最大值為2＋eq\r(3)〖答案〗AB〖解析〗對于A，設(shè)z＝y(tǒng)－x，則y＝x＋z，z表示直線y＝x＋z的縱截距，當直線與圓(x－2)2＋y2＝3有公共點時，eq\f(|2＋z|,\r(2))≤eq\r(3)，解得－eq\r(6)－2≤z≤eq\r(6)－2，所以y－x的最大值為eq\r(6)－2，故A說法正確；對于B，x2＋y2的幾何意義是表示圓上的點到原點距離的平方，易知原點到圓心的距離為2，則原點到圓上的最大距離為2＋eq\r(3)，所以x2＋y2的最大值為(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，故B說法正確；對于C，設(shè)eq\f(y,x)＝k，把y＝kx代入圓方程得(1＋k2)x2－4x＋1＝0，則Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－eq\r(3)≤k≤eq\r(3)，eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，故C說法錯誤；對于D，設(shè)m＝x＋y，則y＝－x＋m，m表示直線y＝－x＋m的縱截距，當直線與圓(x－2)2＋y2＝3有公共點時，eq\f(|－2＋m|,\r(2))≤eq\r(3)，解得－eq\r(6)＋2≤m≤eq\r(6)＋2，所以x＋y的最大值為eq\r(6)＋2，故D說法錯誤．1．知識清單：(1)與距離、面積有關(guān)的最值問題(2)利用數(shù)學式的幾何意義解圓的最值問題．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想．3．常見誤區(qū)：忽略隱含條件導致范圍變大．1．圓x2＋y2＝4上的點到直線4x－3y＋25＝0的距離的取值范圍是()A．〖3,7〗 B．〖1,9〗C．〖0,5〗 D．〖0,3〗〖答案〗A〖解析〗x2＋y2＝4，圓心(0,0)，半徑r＝2，圓心到直線4x－3y＋25＝0的距離d＝eq\f(|0－0＋25|,\r(42＋－32))＝5，所以圓上的點到直線的距離的最小值為5－2＝3，最大值為5＋2＝7，所以圓上的點到直線的距離的取值范圍為〖3,7〗．2．已知O為坐標原點，點P在單位圓上，過點P作圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切線，切點為Q，則|PQ|的最小值為()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2D．4〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圓心C(4,3)，半徑r＝2，過點P作圓C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切線，切點為Q，則|PQ|＝eq\r(|PC|2－4)，當|PC|最小時，|PQ|最小，又由點P在單位圓上，則|PC|的最小值為|OC|－1＝eq\r(9＋16)－1＝4，則|PQ|的最小值為eq\r(16－4)＝2eq\r(3).3．點M(x，y)在圓x2＋(y－2)2＝1上運動，則eq\f(y,x)的取值范圍是()A．〖eq\r(3)，＋∞)B.(－∞，－eq\r(3)〗C.(－∞，－eq\r(3)〗∪〖eq\r(3)，＋∞)D.〖－eq\r(3)，eq\r(3)〗〖答案〗C〖解析〗將eq\f(y,x)看作圓上動點(x，y)與原