高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合性問題 專項(xiàng)訓(xùn)練（基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第40練圓與圓的位置關(guān)系及圓的綜合性問題（精練）

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、單選題

1.圓/-8工+必+12=0與圓/+/一6>-7=0的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.內(nèi)切D.外切

【答案】B

【分析】根據(jù)兩圓圓心距離與半徑和差的關(guān)系判斷即可.

【詳解】因?yàn)閳A，-舐+必+12=0的圓心為（4,0）,半徑2,圓尤2+/一6丁-7=0的圓心為（0,3）,半徑4,

則兩圓圓心距離為“2+3?=5，兩圓半徑之差為4-2=2,兩圓半徑之和為4+2=6,

因?yàn)?<5<6,所以兩圓相交.

故選：B.

2.已知圓。：x2+y2=l和。2：+y2-6x+5=0,則兩圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.外切C.相交D.外離

【答案】B

【分析】根據(jù)兩圓的圓心距與兩圓半徑和差的比較即可判斷兩圓位置關(guān)系.

【詳解】因?yàn)閳AG：/+/=1的圓心（0,0）,半徑為1,

圓G：x2+/-6x+5=0即（x-3）2+/=4的圓心（3,0）,半徑為2,

所以兩個(gè)圓的圓心距匕。21=3,又兩個(gè)圓的半徑和為2+1=3,

所以圓。與圓的位置關(guān)系是外切.

故選：B.

3.圓G：/+/=1與圓C2+必-6y+5=0的公切線有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可求解.

【詳解】圓C?的標(biāo)準(zhǔn)方程為尤2+（V_3）2=4,圓心坐標(biāo)為（0,3）,半徑為2.

圓G與圓G的圓心距為3,等于兩個(gè)圓的半徑之和，所以圓。與圓。2外切，故圓。與圓的公切線有3

條.

故選：C

4.圓尤2+/=3與圓工2+/一3尤+3y-3加=0的公共弦所在的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為2,則m

的值為（）

A.-3B.-1C.3D.3或-1

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，可得兩圓的公共弦所在的直線的方程，由直線的方程可得該直線

與xj軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得gx|l-刈x|帆-1|=2,解可得償?shù)闹?，即可得答?

【詳解】根據(jù)題意，圓一十丁=3與圓工2+歹2一3工+3^-3冽=0,

fY2-p2_a_Q

即22「.、7兩式相減可得：x-y+m-l=0,

[x+y-3x+3y-3m=0

即兩圓的公共弦所在的直線的方程為x-y+/-l=0,

該直線與x軸的交點(diǎn)為（1-加,o）,與了軸的交點(diǎn)為（0刈-1）,

若公共弦所在的直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為2,則有;,

變形可得：（〃-1）2=4,

解可得：加=3或-1；

故選:D

5.圓（尤+2）2+必=6關(guān)于點(diǎn)*1,1）對稱的圓的方程為（）

A.（X-4）2+（J/-2）2=6B.x2+（y-4）2=6

C.（x+2）2+（y+2>=6D.x2+（y+4）2=6

【答案】A

【分析】求得圓心關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得對稱圓的方程.

【詳解】圓（尤+2）2+/=6的圓心為（-2.0）,半徑為幾，

（-2.0）關(guān)于點(diǎn)尸（1,1）的對稱點(diǎn)為（4,2）,

所以對稱圓的方程為（尤-4尸+（了-2尸=6.

故選：A

6.已知在圓C:(x-a)2+(y-2a)2=20上恰有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為石，則。的取值范圍是(

A.(1,3)B.(1,9)

C.(-3,-l)u(l,3)D.(-9,-l)U(l,9)

【答案】C

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求得。的取值范圍.

【詳解】圓C:(x-a)2+(y-2.)2=20的圓心為C(a,2a),半徑為2君,

依題意可知，以原點(diǎn)。(0,0)為圓心，半徑為石的圓，與圓C相交，

\OC\=s/5\a\,所以2石一石＜石同＜20+石，

即1＜時(shí)＜3,所以ae(-3,-1)51,3).

故選：C

7.圓G：/+/-4x+2y+l=0與圓C?-2y-3=0相交于43兩點(diǎn)，貝同等于()

A.2GB.2V2C.V3D.V2

【答案】B

【分析】先求出相交弦4B所在直線的方程，然后根據(jù)圓的弦長的求法求解即可.

【詳解】由圓C]:/-4x+2y+1=0與圓C2:+-2y-3=0,

將兩圓方程相減整理得直線N5的方程：尤-y-l=0,

又C1:x2+y2-4x+2y+l=0,即(x-27+(y+1/=4,

圓心為G(2,-l),半徑為-2,

所以G(2,T)到直線x-y-l=0的距離為d=g及，

所以|力同=2^/r2—d1=2yl4-2=2^2.

故選：B.

8.若圓一十/十2優(yōu)＞o)與圓％2+/+2%一4＞+4=o有公共點(diǎn)，貝什滿足的條件是()

A.0</<有+1B.r>V5+1

C.|r-V5|<lD.|r-V5|<l

【答案】D

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求得正確答案.

【詳解】由一+/+2工一4了+4=0得（x+l『+（y-2『=1,圓心為（-1,2）,半徑為1,

圓/+/中2的圓心為（0,0）,半徑為廠.

兩圓圓心距為42+2?=4，

由于兩圓有公共點(diǎn)，所以”1區(qū)君分+1,解得后-1"V6+1,

所以卜-碼41.

故選：D

9.已知圓M:（x+l）2+（y-2a）2=（VI-l）2與圓N:（x-a1+y2=（近+1）2相交,則。的取值范圍是（）

A.（-U）B.13°]口[1[]

C.D.KW川

【答案】D

【分析】根據(jù)兩圓相交時(shí)圓心距和半徑的關(guān)系列不等式，然后解不等式即可.

【詳解】圓W的圓心為M（-l,2a）,半徑為血-1，圓N的圓心為N（a,0）,半徑為a+1.

依題意可得收+「（后-1）<|跖V|<0+1+收-1,即2<“/+1）2+（-20）2<2上,解得

4一二1〉（1,1；

故選：D.

10.已知圓G:尤2+/=1和圓c?:（x-。）一+y2=16,其中a>0,則使得兩圓相交的一個(gè)充分不必要條件可

以是（）

A.3<a<5B.3<Q<6C.4<a<5D.2<a<5

【答案】c

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍，結(jié)合充分、必要性定義確定答案即可.

【詳解】由G（0,0）且半徑6=1,。2（。，0）且半徑々=4,結(jié)合a大于0,

所以弓一1<。<4+八時(shí)，兩圓相交，貝?。?<。<5,

由選項(xiàng)可得A選項(xiàng)為3<a<5的充要條件；

B、D選項(xiàng)為3<5的必要不充分條件；

C選項(xiàng)為3<。<5的充分不必要條件；

故選：C

11.已知?jiǎng)訄A過點(diǎn)/(TO),并且在圓8：(X-3)2+J?=100的內(nèi)部與其相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為()

.x2j2x2y2x2y2x2y2

A.——+—=1B.——+—=1C.——+—=1D.—+—=1

1671692592516

【答案】D

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，整理等式，根據(jù)橢圓的定義，可得答案.

【詳解】由圓B:(X-3)2+V=IOO,則其圓心8(3,0),半徑為火=10,

設(shè)動(dòng)圓的圓心為C,半徑為廠，

由圓C在圓3的內(nèi)部與其相切，則尺-r=C2,

由圓。過點(diǎn)A,貝！|R-C/=C5,即10=C4+C2,

所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以42為焦點(diǎn)的橢圓，則。=5,°=網(wǎng)=3,

2

6=病=7=4,所以其軌跡方程為5+1=1.

故選：D.

12.已知兩圓相交于兩點(diǎn)8(6,4),且兩圓圓心都在直線x+y-3=0上，則漏的值為()

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】D

【分析】根據(jù)兩圓的相交性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由直線x+y-3=o的方程可知該直線的斜率為T,

直線的斜率為3=2，線段"的中點(diǎn)坐標(biāo)為冷〕，

b+ab+aI22J

因?yàn)閮蓤A相交于兩點(diǎn)/(-。,2),8(6,4),且兩圓圓心都在直線x+y-3=0上，

-1-^—=-1

所以有1.na=b=lnab=l,

-a+b2+4,八

--------+---------3=0

I22

故選：D

13.已知圓C：(x+3)2+(y-4)2=4和兩點(diǎn)S(-a,0)(a>0),若圓C上至少存在一點(diǎn)尸，使得

AAPB>90°,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(3,7)B.(3,+<?)C.(3,7]D.(0,7)

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件可得圓C：(x+3)2+(y-4)2=4與圓O：。>0)位置關(guān)系為相交、內(nèi)

切或內(nèi)含即可滿足題意，進(jìn)而求得a的值.

【詳解】圓C：(x+3)2+O-4尸=4的圓心C(-3,4),半徑為」=2,

因?yàn)閳AC上至少存在一點(diǎn)尸，使得/2尸3>90。，

所以圓C：(尤+3)2+"-4)2=4與圓O：/+/=/(。>0)位置關(guān)系為相交、內(nèi)切或內(nèi)含，如圖所示，

所以10cl<2+。，

又因?yàn)閨OC|=3)2+4。=5,所以5<2+a,即。>3.

故選：B.

14.已知點(diǎn)尸為直線V=x+1上的一點(diǎn)，M,N分別為圓G：(尤-4『+(夕一1『=1與圓。2：X2+(J/-4)2=1±

的點(diǎn)，則值+的最小值為()

A.5B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】分別求得圓C1，G的圓心坐標(biāo)和半徑，求得|CG|=5,結(jié)合圖象，得1PMi+|郎|25-彳-馬，即可

求解.

【詳解】如圖所示，由圓C|：(x-4)2+(y-l)2=l,可得圓心G(4,l),半徑為4=1,

圓C：/+(懵4)2=1,可得圓心。2(。，4),半徑為2=1,

可得圓心距k7(4-0)2+(1-4)2=5,

如圖，閆PC-小|/W|N|PC21r

所以|尸"l+l尸N但pcj+pc?卜〃一々=?5卜「。2卜226。2+2=3,

當(dāng)w,N，a，G，尸共線時(shí)，取得最小值,

故1PMl+|PN|的最小值為3.

二、多選題

15.已知兩圓G：/+V=9?:/+r-6x+8y+21=0,直線/:x+2y-l=0,則()

A.圓G的面積為9萬B.圓G的圓心為(-3,4)

C.圓G與直線/相切D.圓。與圓C2外切

【答案】AD

【分析】由圓的一般方程寫出圓的圓心與半徑，運(yùn)用幾何法比較圓心到直線的距離與半徑的大小來判斷直

線與圓的位置關(guān)系，比較兩圓心距與兩圓的半徑之和、半徑之差的絕對值的大小來判斷圓與圓的位置關(guān)系.

【詳解】解：對于選項(xiàng)A,由題意得，圓。的半徑為3,所以圓的面積為9〃，故選項(xiàng)A正確；

對于選項(xiàng)B,,圓。2：x2+/-6x+8y+21j=0,即：(x-3)2+(7+4)2=4,

.?.圓。2的圓心為G(3,-4),半徑2=2,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C,由題得，圓。的圓心為G(0,0),半徑外=3,

所以圓心。到直線1的距離為：d魄,則“＜耳，所以圓G與直線/相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)D,由題得，|。。2|=5=外+々，所以圓。與圓C2外切，故選項(xiàng)D正確.

故選：AD.

16.已知圓0:尤2+/=9與圓G：(x-3)2+(y-4)2=16,下列說法正確的是()

A.。與c?的公切線恰有4條

B.。與G相交弦的方程為3x+4y-9=0

C.。與。2相交弦的弦長為?12

D.若尸，。分別是圓G.C?上的動(dòng)點(diǎn)，則1尸。二=12

【答案】BD

【分析】由根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系確定公切線個(gè)數(shù)；如果兩圓相交，進(jìn)行兩圓方程的做差可以得到相交

弦的直線方程；通過垂徑定理可以求弦長；兩圓上的點(diǎn)的最長距離為圓心距和兩半徑之和，逐項(xiàng)分析判斷

即可.

【詳解】由已知得圓G的圓心G（o,o）,半徑斗=3,

圓G的圓心。2（3,4）,半徑％=4,

22

|^2|=7（3-0）+（4-0）=5,4-rx<d<rx+r2f

故兩圓相交，所以￡與的公切線恰有2條，故A錯(cuò)誤；

做差可得G與C2相交弦的方程為3x+4y-9=0,

G到相交弦的距離為|，故相交弦的弦長為2小^|：=］，故C錯(cuò)誤；

若尸,0分別是圓G，G上的動(dòng)點(diǎn)，則I尸0ks=2。2|+6+4=12,故D正確.

故選：BD

17.已知圓Cj/+卜+6°『=9與圓的：（五一42+必=1有四條公切線，則實(shí)數(shù)。的取值可能是（）

A.-4B.IC.272D.3

【答案】ACD

【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意可得兩圓相離，利用圓心距大于半徑之和求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】解：由圓。和。2的方程可知，

圓G的圓心G（O,-G@,半徑〃=3,

圓G的圓心。2（。，0），半徑4=1，

因?yàn)閮蓤A有四條公切線，所以兩圓外離,

兩圓圓心距d=#Z(/^/=2M，貝！]2同>3+1,

解得a<—2或a>2,即aw2)U(2,+oo),

所以實(shí)數(shù)。的取值可以是-4,2a，3,不能是1.

故選：ACD.

18.已知點(diǎn)尸在圓G：(x-2)?+/=4上，點(diǎn)。在圓C2:/+/+2x-8y+13=0上，貝I]()

A.兩圓外離B.忸。|的最大值為9

C.|尸。|的最小值為1D.兩個(gè)圓的一條公切線方程為3x-4y+4=0

【答案】ABC

【分析】將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出兩圓的圓心和半徑，再逐項(xiàng)分析.

【詳解】圓G：(x-2)?+y2=4的圓心坐標(biāo)C"2,0),半徑廠=2,

圓Q：/+/+2x-8y+13=0,即(x+l)。+(y—4『=4的圓心坐標(biāo)C?(—L4),半徑夫=2,

所以圓心距CC2I='(-1-2)2+(4-0)2=5,

因?yàn)閨。夕2]>7?+「=4,所以兩圓外離.故A正確；

因?yàn)镻在圓G上，。在圓。2上，所以忸。|g=|。。2卜火一廠=1，儼。\=|℃2|+火+廠=9,故B、C正確；

/、1-1x3-4x4+41

因?yàn)閳A心C2(-l,4)到直線3x-4y+4=0的距離d=J—^=-=-—L=3*R,所以3x-4y+4=0不是兩圓公

切線，故D錯(cuò)誤；

故選：ABC.

19.已知圓G：x?+必-6y+5=0和圓G：+了?—8x+7=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.圓G與圓。2外切

B.直線V=尤與圓。相切

C.直線了=》被圓C?所截得的弦長為2

D.若分別為圓。和圓。2上一點(diǎn)，則的最大值為10

【答案】ACD

【分析】利用配方法，根據(jù)兩圓相切、圓的切線性質(zhì)、垂徑定理、兩圓的位置關(guān)系逐一判斷即可.

【詳解】圓G：Y+y2-6y+5=0化為尤2+(了-3)2=4,圓心坐標(biāo)為(0,3),半徑為2,

圓。2：/+/一8》+7=0化為(》一4)2+/=9,圓心坐標(biāo)為(4,0),半徑為3.

因?yàn)閮蓚€(gè)圓的圓心距為巧4=5,等于兩個(gè)圓半徑的和，所以兩個(gè)圓外切，A正確.

乍1=￥片2,所以直線y=x與圓。不相切，B錯(cuò)誤.

圓Q的圓心到直線V=x的距離為

A/22

\q=2后，直線>=x被圓G所截得的弦長為2后二日否=2,C正

圓C的圓心到直線V=x的距離為

2V2

確.

若分別為圓￡和圓C2上一點(diǎn)，貝的最大值為2x2+2x3=10,D正確.

故選：ACD

20.點(diǎn)尸在圓G：/+/=1上，點(diǎn)0在圓C2：/+/-6x+8y+24=0上，貝?。?)

A.|尸0|的最小值為3B.|尸@的最大值為7

4

C.兩個(gè)圓心所在的直線斜率為D.兩個(gè)圓相交

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意，由圓的方程求出兩個(gè)圓的圓心分別為CI(0,0)、C2(3,-4),半徑分別為R=l、r=l;根

據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出圓心距|qc2|,與兩圓半徑之和或半徑之差比較即可判斷兩圓的位置關(guān)系，判斷選項(xiàng)

D；的最小值為可判斷A；|尸。|的最大值為|GC』+R+r可判斷B；根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)直線斜率計(jì)

算公式即可計(jì)算經(jīng)過兩圓圓心的直線斜率，從而判斷C.

【詳解】根據(jù)題意，圓G：Y+r=1,其圓心G(0,0),半徑尺=i,

2

HC2:X+/-6X+8^+24=0,即(x-3)2+(y+4)2=l,其圓心C2(3,-4),半徑廠=1,圓心距

|CC|=J16+9=5>R+r,故兩圓外離，故D錯(cuò)誤；

則|尸。|的最小值為|CG|-Rf=3,最大值為|CC|+A+「=7,故A正確，B正確；

-4-04

對于C,兩個(gè)圓心所在的直線斜率上=GY=-W，故C正確.

3—。3

故選：ABC.

三、填空題

21.圓W：x2+y2-4y^0,圓N：x2+y2-6x-}2y-4=0,則圓M與圓N的位置關(guān)系是.(選

擇以下答案填空：“相離”,“外切”，“相交”，“內(nèi)切”，“內(nèi)含”)

【答案】內(nèi)切

【分析】首先計(jì)算兩圓圓心之間的距離，利用圓心距與兩圓半徑作比較即可判斷.

【詳解】由題意可得圓/+(y-2)2=4的圓心為(0,2),半徑12；

圓N：(X—3)2+(了-6)2=49的圓心為(3,6),半徑々=7,

兩圓圓心距[=7(0-3)2+(2-6)2=5,

因?yàn)樗詢蓤A內(nèi)切，

故答案為：內(nèi)切

22.已知圓C:(x-3)2+3-4)2=r2+25keN*),M(-l,0),N(l,0),若以線段兒W為直徑的圓與圓。有

公共點(diǎn)，貝什的值可能為.(寫出一個(gè)即可)

【答案】1(2,3均可)答案不唯一

【分析】根據(jù)題意，由已知利用圓與圓的位置關(guān)系即可求解.

【詳解】由題意得，圓/+丁=1與圓。:卜―3丫+(歹—4丫=/+25有公共點(diǎn)，

Jr?+25—1<力.+4、<A/r1+25+1?,------，且r>0，

[j「+25W6

解得0<rV而；故r=l,2,3均可.

故答案為：1(2,3均可)

23.已知圓G:/+V=4與圓C2：/+(y-a)2=9(a>0)外切，此時(shí)直線/:x+y-3=0被圓C?所截的弦長

為.

【答案】2療

【分析】根據(jù)兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得。，接著計(jì)算到直線的距離，最后根據(jù)圓的弦

長公式計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得：a=2+3=5,

即圓C2:/+(y-of=9(a>0)的圓心為(0,5),半徑為3,

即圓心到直線/：x+y-3=0的距離為d=W=夜，

故所截弦長為2A/9^2=277.

故答案為：2療

24.已知圓Q:無2+/=1,圓。2：。+4/+3-。）2=25,如果這兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則常數(shù)

【答案］±2有或0

【分析】根據(jù)題意，分兩圓內(nèi)切與外切，即可得到結(jié)果.

【詳解】???兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，.?.兩個(gè)圓內(nèi)切或外切，

當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，可得J16+a?=4>

當(dāng)兩圓外切時(shí)，可得加6+川=6,

-**a=±2A/5或0.

故答案為：±2若或0

25.過點(diǎn)M（2,4）作圓C：/+V-8x+12=0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為4B,則直線N3的方程為.

【答案】a2尸2=0

【分析】求出以MC為直徑的圓的方程，可得AB的方程為兩圓的公共弦所在的直線方程，兩圓方程相減

可得答案.

【詳解】丁+戶8》+12=0可化為：（X-4）2+/=4,

圓心為C（4,0）,半徑為，=2,

/.MC的中點(diǎn)為（3,2）,MC=J（4-2『+（O-4）2=2證,

以MC為直徑的圓的方程為：（x-3『+（y-2>=5,

即*+J?-6x-4y+8=0

'：MA1AC,MBIBC,

AM,A,C,B四點(diǎn)共圓，

.,.AB的方程為兩圓的公共弦所在的直線方程，

兩圓方程相減得直線AB的方程為x-2y-2=0.

故答案為：x-2y-2=0.

26.已知圓C滿足下列條件：①圓心C在第三象限；②與圓尸:一+/-6x+4y+4=0外切；③圓C的一條

切線方程為y=i,則圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是.（寫出一個(gè)即可）

【答案】（X-3）2+（k2『=1（答案不唯一，但圓心坐標(biāo)需滿足。2_6a+66+3=6|b-l],（“>0,6>0））

【分析】設(shè)所求圓的圓心和半徑，根據(jù)條件得到關(guān)于％加?的方程組，即可求解.

【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為6）,由①可知。<。力<0,半徑為r>0,

|Z>—11=r

由②③可知,I--------------,整理可得礦—6a+66+3=6卜—,la>0,b>0）

y/（a-3）2+（b+2）2=r+3

當(dāng)6=2時(shí)，?=3,r=l,所以其中一個(gè)同時(shí)滿足條件①②③的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-3y+（y-2）2=l.

故答案為：（A3『+（y-2『=L

27.已知點(diǎn)/&%）,BQ2出-m）,若圓C:x2+V+2x=0上有且只有一點(diǎn)尸，使得尸/±PB,則實(shí)數(shù)的

一個(gè)取值為.（寫出滿足條件的一個(gè)即可）

【答案】石+2（答案不唯一）

【分析】根據(jù)題意，分析圓C的圓心坐標(biāo)以及半徑，設(shè)N3中點(diǎn)為由的坐標(biāo)分析M的坐標(biāo)以及M卻

的值，可得以48為直徑的圓，進(jìn)而分析，原問題可以轉(zhuǎn)化為圓C與圓M相切，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，

即可求解.

【詳解】由題知，圓C:x2+y2+2%=0,

即（X+1）2+J?=l,圓心為半徑r=1,

設(shè)中點(diǎn)為因4（1"）,5（1,25/5-m）,

則W（l,右），[48|=22一郎

以48為直徑的圓為（X-1）2+（y一=（6-機(jī)），

因?yàn)閳AC：/+V+2x=0上有且只有一點(diǎn)P,使得PN±PB,

則圓。與圓W相切，

X|WC|=^（-1^1）2+（A/5-0）2=3,

即有杉一加|+1=3或2-〃《-1=3,

解得m=V5±2或機(jī)=V5±4.

故答案為：V5+2

,,11

28.若a,6eR且而工0,圓￡：（x+4+/=4和圓C2：/+（y-=9有且只有一條公切線，則j+,

的最小值為.

【答案】4

【分析】首先根據(jù)題意得到圓C1與圓C?內(nèi)切，從而得到/+〃=1,再利用基本不等式求解即可.

【詳解】圓G的圓心為（-。，0），半徑為2；圓的圓心為（0/）,半徑為3.

因?yàn)閳A。和圓C?只有一條公切線,

所以圓。與圓。2內(nèi)切，所以行1=3-2，即/+〃=1,

lb2a1

所以二十三=>2+2=4，

abW-F

當(dāng)且僅當(dāng)?！籎時(shí)等號成立，所以：+）的最小值為4.

故答案為：4

四、解答題

29.判斷下列兩個(gè)圓的位置關(guān)系：

（1）（》+2）2+。一2『=1與（》一2）2+（、-5）2=16；

（2）/+/一2》-3=0與丁+/-4工+2歹+3=0.

【答案】（1）外切

⑵相交

【分析】（D求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，即可求解；

（2）化簡兩圓為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，即可求解.

【詳解】（1）解：由圓（x+2『+（y-2）2=1與（x-2『+（y-5）2=16,

可得兩圓的圓心坐標(biāo)分別為C1（-2,2）,。2（2,5）,半徑分別為11和々=4,

可得兩個(gè)圓的圓心距d=，［2_（_2）了+（5-2）2=5，所以1=4+勺

所以兩個(gè)圓外切.

22

（2）解：將兩個(gè)圓的方程都化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得（x-l『+y2=4,（X-2）+（7+1）=2,

則兩圓的圓心坐標(biāo)分別為G（l，0）C（2,-l）,半徑分別為12和々=后,

可得兩個(gè)圓的圓心距d=^(1-2)2+[0-(-1)]2=￡，

因?yàn)椴?修</<《+2’所以兩個(gè)圓相交.

30.已知圓/-4x+2y=0,x2+y2-2y-4=0.

(1)求過兩圓交點(diǎn)的直線方程；

(2)求過兩圓交點(diǎn)，且圓心在直線2x+4y-1=0上的圓的方程.

【答案】⑴x-y-l=0

【分析】(1)兩圓方程直接作差即可整理得到所求直線方程;

(2)將過兩圓交點(diǎn)的直線方程與圓的方程聯(lián)立可得交點(diǎn)坐標(biāo)；采用待定系數(shù)法，代入交點(diǎn)坐標(biāo)和圓心所滿

足的直線方程可構(gòu)造方程組求得圓心和半徑，由此可得圓的方程.

[詳解]⑴將兩圓方程作差得：-4x+4y+4=0,^x-y-l=0,

；?過兩圓交點(diǎn)的直線方程為x-y-l=0.

"

2+

「Ml一I得:，

(2)由

V26

即兩圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為平+1,平和-萼+1，-"

(22J<22J

設(shè)過兩圓交點(diǎn)的圓的方程為(x-a)2+(y-&)2=r2(r>0),

3

Q二一

2

1

解得:b=-

2

2。+46—1=0V14

2

,過兩圓交點(diǎn)的圓的方程為(x-0+[+￡)=j-

31.圓。:/+j?=4內(nèi)有一點(diǎn)4(1,1),過乙的直線交圓于48兩點(diǎn).

(1)當(dāng)弦被[平分時(shí)，求直線的方程；

(2)若圓。與圓C:(x+l)2+(y+l)2=10相交于瓦尸兩點(diǎn),求|即|.

【答案】(l)x+y-2=0

(2)272

【分析】(1)首先根據(jù)題意得到幻B自昂=T,從而得到心=-1,再利用點(diǎn)斜式求解直線方程即可.

(2)首先根據(jù)題意得到公共弦方程為無+y-2=0,再求弦長即可.

因?yàn)橄褹B被1平分，所以如%o=-l,即七B=T

所以直線/8為,即x+y-2=0.

，（x+l）2+（y+l）』°=x+y一2=0.

（2）

x+y—2=0

原點(diǎn)(o,o)到直線x+y-2=0的距離d=

則怛刊=2/彳同=2乃.

32.已知圓C：x2+y2-6x-8y+21=a

(1)若直線4過定點(diǎn)/(L1),且與圓C相切，求直線4的方程;

⑵若圓。的半徑為3,圓心在直線￡x-y+2=0±,且與圓C外切，求圓。的方程.

【答案】⑴x=l或5x-12y+7=0

(2)(x+l『+g)2=9或(ip+dp=9

【分析】(1)由點(diǎn)到直線的距離等于半徑，即可分情況求解，

(2)由兩圓外切圓心距與半徑之和的關(guān)系，即可列方程求解.

【詳解】(1)圓Gx2+j/2-6x-8y+21=0

化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(歹-4)2=4,

所以圓C的圓心為（3,4）,半徑為2.

①若直線4的斜率不存在，即直線為尤=1,符合題意.

②若直線乙的斜率存在，設(shè)直線4的方程為了一1=左（》-1）.即6一了一4+1=0.

由題意知，圓心（3,4）到已知直線lA的距離等于半徑2,

解得左=3,所以直線方程為5x-12y+7=0.

綜上，所求直線4的方程為尤=1或5x-12y+7=0.

（2）依題意，設(shè)。（。,。+2）.

又已知圓C的圓心為（3,4）,半徑為2,

由兩圓外切，可知|C必=3+2=5,

所以7（a-3）2+（￡z+2-4）2=5,

解得a=T或°=6.所以。（-1,1）或。（6,8）,

所以所求圓D的方程為（尤+1『+（y-l）2=9或（x-6）2+（y-8）2=9.

【B組在綜合中考查能力】

一、單選題

1.已知點(diǎn)尸（4,。），若圓。：/+必=4上存在點(diǎn)N,使得線段我的中點(diǎn)也在圓。上，則。的取值范圍是

A.[-373,373]B.12石,2碼

-OO,-3A/3JU[3A/3,+00

【答案】B

【分析】由題意知，A在圓O上，PA中點(diǎn)也在圓上，根據(jù)中點(diǎn)位置列出方程式解得中點(diǎn)的軌跡為

(X-2)2+=1,然后根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求得a的取值范圍.

【詳解】設(shè)A的坐標(biāo)為/(%,%),PA的中點(diǎn)坐標(biāo)為。(羽田,

4+%

2

則有：

2

解得：卜仁丫

又線段PA中點(diǎn)也在圓上，所以兩圓有公共點(diǎn),

所以IV(0-2『+

解得：a2<20,

解得：-2y/5<a<2y/5,

故選：B.

2.在直角坐標(biāo)系內(nèi)，己知43,5)是以點(diǎn)C為圓心的圓C上的一點(diǎn)，折疊該圓兩次使點(diǎn)/分別與圓上不相同

的兩點(diǎn)(異于點(diǎn)/)重合，兩次的折痕方程分別為x-y+l=0和X+尸7=0,若圓。上存在點(diǎn)P,使得

MP(CP-CN)=Q,其中點(diǎn)-見0)、N(機(jī),0),則加的最大值為()

A.7B.6C.5D.4

【答案】B

【分析】利用圓的性質(zhì)先確定圓C,結(jié)合向量數(shù)量積得出M、N、尸三點(diǎn)共圓，再利用兩圓的位置關(guān)系數(shù)形

結(jié)合即可.

[x—y+1=0fx=3

【詳解】由題意可得圓心在兩折痕方程上，聯(lián)立方程得「八0”，

[x+7-7=03=4

即圓心C(3,4),半徑|C4|=1,MP.(CP-CN)=MP.NP=0,即必N、尸三點(diǎn)共圓，

該圓以MN為直徑，故圓心為原點(diǎn).

如圖所示連接OC交圓C于B點(diǎn)，當(dāng)尸8重合時(shí)此時(shí)兩圓相內(nèi)切，1MM最大，

即|O7V|=|O5|=|OC|+1=m=6.

故選：B

3.已知圓C：(x-2)2+(y-3)2=4,若點(diǎn)尸在直線x-y-4=0上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作圓。的兩條切線尸/,PB,

切點(diǎn)分別為N,B,則直線N5過定點(diǎn)坐標(biāo)為()

【答案】D

【分析】求出(x-2)，(y-3)2=4的圓心和半徑，由幾何關(guān)系得到尸,4C,5四點(diǎn)共圓，設(shè)尸(孫加-4),得

到尸,4C,2的圓的方程，與(x-2y+(發(fā)3)2=4相減后得到直線48的方程，求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】圓C：(x-2『+(k3)2=4①的圓心為C(2,3),半徑為2,

過點(diǎn)P作圓C的兩條切線PN,PB,切點(diǎn)分別為A,B,故尸,4C,8四點(diǎn)共圓，

其中尸C的中點(diǎn)為該圓心，尸C為直徑，

設(shè)尸則PC的中點(diǎn)為［(一,一--1=1^-，^―I,

\PC\=^(m-2)2+(m-4-3)2=,

故過尸,4C,8的圓的方程為卜一等;+口——j=(加一2)丁-7)2,

變形得到尤2-(??+2)x+y2-(m-{)y=-5m+\2@,

由①②相減可得直線48的方程，即("L2)X+(〃L7)>=5加-21,

整理得冽(x+y-5)-2x-7y+21=0,

14

x=一

x+y-5=05

令-2x-7y+21=0'解得'

11，

故直線過定點(diǎn)坐標(biāo)后，引.

故選：D

4.圓Af:（尤-2）2+（y-l『=1,圓N:（x+2『+（y+l『=1,則兩圓的一條公切線方程為（）

A.x+2y=0B.4尤+3y=0

C.x-2y+45=0D.x+2y-V5=0

【答案】C

【分析】由圓與圓位置關(guān)系的判斷可知兩圓外離，得公切線條數(shù)；根據(jù)兩圓半徑相同可確定兩條公切線過

（0,0）,兩條公切線平行于假設(shè)公切線方程，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得公切線.

【詳解】由兩圓方程得:圓心N（-2,-1）,半徑斗=々=1,

???兩圓圓心距d=J（2+2）+（1+.=2亞,外+4=2,即兩圓外離，公切線共有4條；

???兩圓半徑相同，，兩圓兩條公切線經(jīng)過中點(diǎn)（0,0）,兩條公切線與MN平行，

???經(jīng)過中點(diǎn)的公切線斜率顯然存在，可設(shè)為：y=kx,

.??七力=1,解得：左=0或左=g,即公切線方程為：歹=0或4x—3y=0；

1-（-1）11

.?.%v=o1<二不，?二與MV平行的公切線方程為y=+人即x—2>+2/=0,

，一（一，）L2

=解得：t=4,即公切線方程為x-2y+e=0或x-2y-石=0；

綜上所述：兩圓的公切線方程為：'=0或4x-3y=0或尤-2）/+行=0或x-2y-石=0.

故選：C.

2222

5.己知OQ：x+y-2mx+2y-Q,QO2：x+y-2x-4my+1=0,則下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（）

個(gè).

（1）若（LT）在。Q內(nèi)，則"此0；

（2）當(dāng)〃?=1時(shí)，與。色共有兩條公切線;

(3)當(dāng)加=2時(shí)，oq與。Q的公共弦所在直線方程為2x-10y+l=0；

(4)3meR,使得。。與。儀公共弦的斜率為

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷方法判斷(1);利用兩圓的位置關(guān)系判斷(2)；

通過判斷圓與圓的位置關(guān)系確定與。儀的公共切線的條數(shù)，通過將兩圓方程相減，

確定兩圓的公共弦的方程，判斷(3)(4).

2222

【詳解】因?yàn)椤+y-2mx+2y=0,OO2：x+y-2x-4my+1=0,

222222

所以(x-m)+(y+1)=m+19OO2：(x-1)+-2m)=4m,

2

則。rx=V^+1,O2(l,2m),r2=2\m\,則加w0,

由(1,T)在OOi內(nèi)，可得F+(-l『-2加-2＜0,即機(jī)＞0,故(1)錯(cuò)誤；

當(dāng)m=l時(shí)，。](1,—1),4=及，O2(1,2),r2—2,

所以|O0je(2-行,2+收)，所以兩圓相交，共兩條公切線，故(2)正確；

2222

當(dāng)加=2時(shí)，x+j；-4x+2j=0,OO2：x+j-2x-8y+1=0,兩圓相交

由。q—。。2，得：—+1Oy—1=0,即2x—10y+1=0故(3)正確；

公共弦所成直線的斜率為耳，令/=：,無解，故(4)錯(cuò)誤.

2+4m2+4m2

故選：B.

6.在平面直角坐標(biāo)系中，圓。：/+/=/什＞0)與圓跖卜-2省『+。+2)2=4相交于4,3兩點(diǎn),

若對于直線上的任意一點(diǎn)尸，均有訪.同720成立，則半徑r的取值范圍是()

A.[2,2問B.[2遙,6)

C.[2V3,2V5]D.(2,6)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可知。，M與直線AB位置關(guān)系，利用圓與圓的位置關(guān)系即可得出r的范圍.

【詳解】圓O的圓心為。(0,0),半徑為r,圓M的圓心為“(2后,-2),半徑為2.

OM\=J(-2.+2廳=4,

?.?圓。與圓M相交，

2<r<6.

?.?對于直線AB上任意一點(diǎn)P,均有麗?麗^0成立，

^OMLAB,當(dāng)直線AB過點(diǎn)M時(shí)，網(wǎng)=dMA2+OM?=2版.

2石<r<6.

故答案為：［2石,6).

7.若圓尤2+/=4與圓x?+/+2x+°y-8=0的公共弦長為2a,貝！1。=()

A.±2B.±4C.2D.4

【答案】A

【分析】利用兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，利用幾何法求弦長列出

方程，解方程即可.

【詳解】圓，+/+2》+即-8=0與圓/+/=4兩式相減，

整理得公共弦所在直線方程為2x+ay-4=0,

又X2+/=4,圓心為0(0,0),半徑為2,公共弦長為2后，

則圓心。(0,0)到直線2x+即一4=0的距離

化簡得2(/+4)=16,

解得：a=±2.驗(yàn)證知符合題意.

故選：A.

8.已知圓G:（x-2/n）~+（7-2機(jī)）一=9（加-2）與圓C2:x?+/_8x-8y+34-/n=0,則“加=4"是"圓￡與圓C2

外即，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用兩圓相切圓心距與兩半徑之和相等，分別證明充分性和必要性是否成立即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意將圓c2化成標(biāo)準(zhǔn)方程為（X-4）2+口-4）2=加-2；

易知優(yōu)-2>0,

所以可得圓心C1（2〃?,2?7）,半徑為二I,圓心。2（4,4）,半徑為弓=向？，

可得C。?|=J⑵2-4）2+（2加-4）2=2逝M_2|,兩半徑之和6+々=4ylm-2；

若〃?=4,圓心距|GG|=4夜，兩半徑之和外+4=4逝，此時(shí)CG|=6+々=4夜，

所以圓￡與圓。2外切，即充分性成立；

若圓G與圓G外切，貝!）26■帆一2|=4病工，解得機(jī)=4或根=2（舍），

所以必要性成立；

即“刃=4”是“圓￡與圓G外切”的充分必要條件.

故選：C

9.己知集合/={（x,y）|x2+_/-2x=0},B={（x,y）|x2+/-8x+8y+m=0},若/c8恰有一個(gè)元素，則加的

值可以為（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【答案】D

【分析】根據(jù)恰有一個(gè)元素，得到兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，分兩圓相外切和內(nèi)切求解.

【詳解】解：x2+y2-2x^0,即卜一1丫+/=1,

則該圓的圓心為。（1,0）,半徑為4=1,

x2+v2-8x+8v+?=0,即（x—4/+（y+4『