等差數(shù)列求和詳細(xì)教案

課題等差數(shù)列求和學(xué)習(xí)內(nèi)容與過(guò)程引入數(shù)列中，稱為數(shù)列的前n項(xiàng)和，記為.與之間的關(guān)系：由的定義可知，當(dāng)n=1時(shí)，=；當(dāng)n≥2時(shí)，=-，即=知識(shí)點(diǎn)1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式（1）證明：①②①+②：∵∴由此得：（2）用上述公式要求必須具備三個(gè)條件：但代入公式1即得：此公式要求必須已知三個(gè)條件：（有時(shí)比較有用）總之：兩個(gè)公式都表明要求必須已知中三個(gè)（3）兩個(gè)公式的選擇：若已知首項(xiàng)及末項(xiàng)用公式較簡(jiǎn)便；若已知首項(xiàng)及公差d用公式較好；（4）在運(yùn)用時(shí)，注意性質(zhì)“m+n=p+q(m,n,p,q∈N)”的運(yùn)用；例1一個(gè)等差數(shù)列前4項(xiàng)的和是24，前5項(xiàng)的和與前2項(xiàng)的和的差是27，求這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.分析：將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后再解.解：根據(jù)題意，得=24,－=27，則設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為,公差為d,則解之得：∴=3+2（n－1）=2n+1.變式1：已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)之和為25，第8項(xiàng)等于15，求第21項(xiàng)；等差數(shù)列-16，-12，-8，...，前幾項(xiàng)的和為72？變式2：在等差數(shù)列中，（1）已知；（2）已知變式3：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（1）在等差數(shù)列中，連續(xù)m項(xiàng)的和仍組成等差數(shù)列，即，,，...仍為等差數(shù)列（2）根據(jù)，知，當(dāng)d≠0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式因此可設(shè)（3）在等差數(shù)列中：，...，也成等差數(shù)列，公差為若若若項(xiàng)數(shù)為2n，則（為中間兩項(xiàng)），若項(xiàng)數(shù)為2n-1，則，若數(shù)列與均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別是，，則（證明：）例2在等差數(shù)列中，變式1：已知非常數(shù)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足(n∈N,m∈R),求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.解：由題設(shè)知，＝lg()＝lgm＋nlg3＋lg2,即＝[]n＋(lg3＋)n＋lgm,∵{}是非常數(shù)等差數(shù)列，當(dāng)d≠0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式∴≠0且lgm＝0,∴m＝－1,∴＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n,則當(dāng)n=1時(shí)，＝當(dāng)n≥2時(shí),＝－＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2)＝∴＝，d====數(shù)列{}是以=為首項(xiàng),5d=為公差的等差數(shù)列，∴數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為n·()＋n(n－1)·()＝例3涉及一個(gè)有限的等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比問(wèn)題，一般宜用性質(zhì)來(lái)求解一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32:27，求公差d.解：設(shè)這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為d，則偶數(shù)項(xiàng)與奇數(shù)項(xiàng)分別都是公差為2d的等差數(shù)列，由已知得,解得d＝5.解法2：設(shè)偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和分別為S偶，S奇，則由已知得,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d,∴d＝5.變式1：項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為例4涉及兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和之比問(wèn)題，一般是利用公式將它轉(zhuǎn)化為兩項(xiàng)和之比的問(wèn)題，再利用函數(shù)思想來(lái)解決問(wèn)題兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前n項(xiàng)和之比為,求這兩個(gè)數(shù)列的第九項(xiàng)的比解：.變式：已知等差數(shù)列{}、的前n項(xiàng)和分別為和，若，求3.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與二次函數(shù)區(qū)別聯(lián)系定義域?yàn)閳D像是一系列孤立的點(diǎn)解析式都是二次式定義域?yàn)镽圖像是一條光滑的拋物線（1）設(shè)，利用二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及圖像可求其最值，但并不一定是時(shí)，有最大值（或最小值），而是當(dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，n取與最接近的正整數(shù)即可（2），即，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，時(shí)，有最小值；時(shí)，有最大值（3），時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；最值的求法：①若已知，可用二次函數(shù)最值的求法（）；②若已知，則最值時(shí)的值（）可如下確定或例5在等差數(shù)列中，，求的最大值變式1在等差數(shù)列中，，則取最大時(shí)，n=變式2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，若存在正整數(shù)m（），使得，則當(dāng)時(shí)，有鞏固練習(xí)1．{an}是首項(xiàng)a1＝1，公差為d＝3的等差數(shù)列，如果an＝2005，則序號(hào)n等于．2．等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100，則n=．變式：等差數(shù)列{an}中如果a6=6，a9=9，那么a3=．3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)，則其前項(xiàng)和．4．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則{an}是（）A.等比數(shù)列B.等差數(shù)列C.等差數(shù)列且等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列5．等差數(shù)列{an}中，S15=90，則a8=()(A)3(B)4(C)6(D)12變式：等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8=()(A)45(B)75(C)180(D)3006．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若（）（A）12 （B）18 （C）24 （D）42變式：等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為()(A)130(B)170(C)210(D)1607．在項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中，若所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于(A)9(B)10(C)11(D)12變式：等差數(shù)列{an}的公差為，且S100=145，則奇數(shù)項(xiàng)的和a1+a3+a5+……+a99=()(A)60(B)80(C)72.5(D)其它的值8.已知一個(gè)等差數(shù)列的前5項(xiàng)的和是120，最后5項(xiàng)的和是180，所有項(xiàng)的和為360，此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為A．12項(xiàng) B．13項(xiàng) C．14項(xiàng) D．15項(xiàng)9．若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003·a2004＜0，則使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是10．若兩個(gè)等差數(shù)列則A． B． C． D．11.數(shù)列通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4，問(wèn)（1）數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？（2）n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.12.設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知＝12，>0，<0，(1)求公差d的取值范圍；(2)指出,,,……,中哪一個(gè)最大，說(shuō)明理由解：(1),∵＝＋2d＝12,代入得,∴－<d<－3,(2)＝13<0,∴<0,由＝6(＋)>0,∴＋>0,∴>0,最大.課后作業(yè)1.在等差數(shù)列中，已知，那么等于（）A.3B.4C.6D.122.在等差數(shù)列中，若等于（）A.B.C.2D.3.已知等差數(shù)列的公差為1，且，則()A.99B.66C.33D.04.在項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于（）A.9B.10C.11D.125.若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有（）A.13項(xiàng)B.12項(xiàng)C.11項(xiàng)D.10項(xiàng)6.等差數(shù)列中，則使其前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是（）A.11B.12C.13D.147.等差數(shù)列中，是其前n項(xiàng)的和，若=（）A.15B.18C.9D.128.等差數(shù)列和中，，則數(shù)列的前100項(xiàng)的和為（）A.0B.100