二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（知識解讀）-2023年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練

專題03二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（知識解讀）

【專驗(yàn)餞明】

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)，一個難點(diǎn)，也是中考數(shù)學(xué)必考的一個知識

點(diǎn)。特別是在壓軸題中，二次函數(shù)和幾何綜合出現(xiàn)的題型，才是最大的區(qū)分度。

與面積有關(guān)的問題，更是常見。本節(jié)介紹二次函數(shù)考試題型種，與面積問題的

常用解法。同學(xué)們，只要熟練運(yùn)用解法，爐火純青，在考試答題的時候，能夠

輕松答題。

【知傭立梳理】

類型一：面積等量關(guān)系

類型二：面積平分

方法一：利用割補(bǔ)

將圖形割（補(bǔ)）成三角形或梯形面積的和差，其中需使三角形的底邊在坐標(biāo)軸上

或平行于坐標(biāo)軸；（例如以下4、5兩圖中，連結(jié)BD解法不簡便。）

SAMDN=SAOEM*SAOEN

SADOC+SACOB

方法二：鉛錘法

(1)求/、6兩點(diǎn)水平距離，即水平寬;

(2)過點(diǎn)。作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D,可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；

(3)求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo);

(4)根據(jù)。坐標(biāo)求得鉛垂高

(5)5=工水平寬x鉛錘高

2

方法三：其他面積方法

如圖1,同底等高三角形的面積相等.平行線間的距離處處相等.

如圖2,同底三角形的面積比等于高的比.

如圖3,同高三角形的面積比等于底的比.

如圖1如圖2如圖3

【典例今新】

【類型一：面積等量關(guān)系】

【典例21](2022?盤錦)如圖，拋物線y=/+bx+c與x軸交于A,B(4,0)兩點(diǎn)(A在

B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0,-4).點(diǎn)尸在拋物線上，連接3C,BP.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)D在線段上，連接并延長交無軸于點(diǎn)E,

連接CE,記△DCE的面積為Si,△08尸的面積為S2,當(dāng)Si=S2時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

【變式1](2022?瀘州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，已知拋物線＞=/+尤+c經(jīng)過A

(-2,0),B(0,4)兩點(diǎn)，直線x=3與無軸交于點(diǎn)C.

(1)求a,c的值；

(2)經(jīng)過點(diǎn)。的直線分別與線段直線x=3交于點(diǎn)。，E,且△2D。與△OCE的

面積相等，求直線。E的解析式；

(3)產(chǎn)是拋物線上位于第一象限的一個動點(diǎn)，在線段0C和直線尤=3上是否分別存在點(diǎn)

F,G,使8,F,G,P為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【類型二：面積平分】

【典例2】(2022?沈陽)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線3經(jīng)過點(diǎn)8(6,

0)和點(diǎn)。(4,-3),與x軸的另一個交點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)C,作直線AD

(1)①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

②直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)E是直線下方的拋物線上一點(diǎn)，連接BE交A。于點(diǎn)R連接BDDE,△

2。廠的面積記為Si,△OEF的面積記為S2,當(dāng)51=252時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

備用圖

【變式2】(2022?內(nèi)江)如圖，拋物線y=o?+bx+c與無軸交于A(-4,0),B(2,0),

與y軸交于點(diǎn)C(0,2).

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)。為該拋物線上的一個動點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)。到直線AC的距離的

最大值及此時點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP,直線CP把四邊形C8朋的面積分為1：5兩部分，

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

備用圖

【典例3](深圳)如圖拋物線y=axL+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)C(0,3),且

=OC.

(1)求拋物線的解析式及其對稱軸;

(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP,直線CP把四邊形C8B4的面積分為3：5兩部分,

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【變式3](2021秋?合川區(qū))如圖，拋物線y=o?+6x+6(a#0)與x軸交于A(-1,0),

8(6,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸為第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線,

交直線3c于點(diǎn)。，交x軸于點(diǎn)E,連接尸艮

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)與的面積之比為1：2時，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

備用圖

專題03二次函數(shù)與面積有關(guān)的問題（知識解讀）

【專莖餞明】

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)，一個難點(diǎn)，也是中考數(shù)學(xué)必考的一個知識

點(diǎn)。特別是在壓軸題中，二次函數(shù)和幾何綜合出現(xiàn)的題型，才是最大的區(qū)分度。

與面積有關(guān)的問題，更是常見。本節(jié)介紹二次函數(shù)考試題型種，與面積問題的

常用解法。同學(xué)們，只要熟練運(yùn)用解法，爐火純青，在考試答題的時候，能夠

輕松答題。

【知狷立梳理】

類型一：面積等量關(guān)系

類型二：面積平分

方法一：利用割補(bǔ)

將圖形割（補(bǔ)）成三角形或梯形面積的和差，其中需使三角形的底邊在坐標(biāo)軸上

或平行于坐標(biāo)軸；（例如以下4、5兩圖中，連結(jié)BD解法不簡便。）

SAABP-+AB?PESAODC-4-OD?CE

SAMON-SAOEM*SAOEN

\*y/

,C

SIB小套ABCD=SAAOD+SWOECD+SAECB

=SAAOD+SADOC+SAOBC

方法二；鉛錘法

(1)求/、方兩點(diǎn)水平距昌，即水平寬；

(2)過點(diǎn)。作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D,可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；

(3)求直線N6解析式并代入點(diǎn)〃橫坐標(biāo),得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；

(4)根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高，

(5)S=L水平寬x鉛錘高

2

方法三：其他面積方法

如圖1,同底等高三角形的面積相等.平行線間的距離處處相等.

如圖2,同底三角形的面積比等于高的比.

如圖3,同高三角形的面積比等于底的比.

如圖1如圖2如圖3

【典鈉今苦】

【類型一：面積等量關(guān)系】

【典例21](2022?盤錦)如圖，拋物線y=/+Zzr+c與無軸交于A,B(4,0)兩點(diǎn)(A在

2的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C(0,-4).點(diǎn)P在拋物線上，連接BC,BP.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點(diǎn)尸在第四象限，點(diǎn)。在線段BC上，連接尸。并延長交無軸于點(diǎn)E,

連接CE,記△OCE的面積為Si,△OBP的面積為S2,當(dāng)Si=S2時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【解答】解：(1)將2(4,0)、C(0,-4)兩點(diǎn)代入y=?+6x+c得，

[16+4b+c=0,

10+0+c=-4

解得：片3,

lc=-4

二拋物線的解析式為：y=7-3尤-4；

(2)方法一：由y=/-3x-4可得，A(-1,0),

設(shè)點(diǎn)P(m,nr-3m-4),

則SABCE40CBE=2BE，SABPE4(m2-3m-4)BE'

,:SABCE=S\+SABDE,SABPE=S2+S4BDE,S\=SI,

:?SABCE=S^BPE,

?1/2、

?-—(m-3m-4)BE=2BE^

解得：m1=3,m2=0(舍去)，

：.P(3,-4)；

方法二：?.?Si=S2,

SAPBE=SACBE,

，尸C〃，軸,

點(diǎn)尸與C關(guān)于對稱軸X=2■對稱，

2

：.P(3,-4)；

【變式1](2022?瀘州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知拋物線y=o?+x+c經(jīng)過&

(-2,0),2(0,4)兩點(diǎn)，直線x=3與x軸交于點(diǎn)C.

(1)求a,c的值；

(2)經(jīng)過點(diǎn)。的直線分別與線段直線尤=3交于點(diǎn)。，E,且△2。。與△OCE的

面積相等，求直線QE的解析式；

(3)產(chǎn)是拋物線上位于第一象限的一個動點(diǎn)，在線段0C和直線尤=3上是否分別存在點(diǎn)

F,G,使8,F,G,P為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)尸的坐

【解答】解：(1)把4(-2,0),8(0,4)兩點(diǎn)代入拋物線>=依2+升。中得：14a-2+c=0

1c=4

'J

解得：a-萬

,c=4

(2)由(1)知：拋物線解析式為：>=-1？+工+4,

2

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b,

則(-2k+b=0,解得：(k=2,

\b=4\b=4

的解析式為：y=2x+4,

設(shè)直線。E的解析式為：y=twc,

.*.2x+4=mx,

?丫=4

m-2

當(dāng)x=3時，y=3m,

：.E(3,3m),

,?,△BOO與△OCE的面積相等，CELOC,

，」?3?(-3m)=_1?4?4,

222-m

9m2-18m-16=0,

???(3m+2)(3m-8)=0,

*.m\=--,mi=—(舍),

33

直線DE的解析式為：y=-2x；

3

【類型二：面積平分】

【典例2】(2022?沈陽)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>="2+6尤-3經(jīng)過點(diǎn)8(6,

0)和點(diǎn)。(4,-3),與龍軸的另一個交點(diǎn)為A,與y軸交于點(diǎn)C,作直線AO.

(1)①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

②直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)E是直線下方的拋物線上一點(diǎn)，連接BE交于點(diǎn)R連接瓦)，DE,△

2DF的面積記為Si,△OEF的面積記為S2,當(dāng)51=2%時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

【解答】解：(1)①?..拋物線了二一+陵7經(jīng)過點(diǎn)8(6,0)和點(diǎn)D(4,-3),

.(36a+6b-3=0

I16a+4b-3=-3

解得：『，

b=-l

...拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=l.?-x-3；

4

②由①得y=L：2-x-3,

4

當(dāng)y=0時，A%2-x-3=0,

解得：xi=6,X2=-2,

AA(-2,0),

設(shè)直線AO的函數(shù)表達(dá)式為產(chǎn)入+d,則1-2k+d=0,

I4k+d=-3

解得：2，

,d=-l

直線AD的函數(shù)表達(dá)式為丫=,Ar-1；

2

(2)設(shè)點(diǎn)EG,A?-Z-3),F(x,y),過點(diǎn)E作EMLx軸于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作FN

4

軸于點(diǎn)N,如圖1,

：SI=2S2,即也晅=2,

^ADEF

?BF=9

EF

?BF=2,

"BET

：EM_Lx軸，F(xiàn)N_Lx軸，

：.EM//FN,

:.ABFNsABEM,

■BN=FN=BF=2

"BMEMBES''

,:BM=6-t,EM--(Ar-f-3)--Az2+f+3,

44

：.BN=2L(6-r),FN=2(-Ar+/+3),

334

.'.x=OB-BN=6-—(6-f)=2+2/,y=--(-Af2+?+3)=A/2--2,

33-3463

：.F(2+Zf,Ar2-2?-2),

363

:點(diǎn)尸在直線A。上，

.'.A?2-Zr-2=-工(2+Zr)-1,

6323

解得：ti=Q,ti=2,

：.E(0,-3)或(2,-4)；

【變式2】(2022?內(nèi)江)如圖，拋物線y=cu2+bx+c與無軸交于A(-4,0),B(2,0),

與y軸交于點(diǎn)C(0,2).

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)。為該拋物線上的一個動點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)。到直線AC的距離的

最大值及此時點(diǎn)D的坐標(biāo);

(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP,直線C尸把四邊形C8B4的面積分為1：5兩部分,

求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解答】解：(1):拋物線y=a^+bx+c與x軸交于A(-4,0),8(2,0),與y

軸交于點(diǎn)C(0,2).

16a-4b+c=0

,4a+2b+c=0，

,c=2

T

解得：Li.

b-

c=2

拋物線的解析式為y=-lx2-lx+2；

(2)過點(diǎn)。作。HLAB于X,交直線AC于點(diǎn)G,過點(diǎn)。作DELAC于E,如圖.

設(shè)直線AC的解析式為y^hc+t,

則卜4k+t=0,

lt=2

fk=l

解得：/2,

t=2

/.直線AC的解析式為y=』x+2.

2

設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為相，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)也為小,

：.DH=-工應(yīng)-Am+2,GH=l.m+2

422

/.DG---n2-—m+2-—m-2=-Ln2-m,

4224

'：DE±AC,DH±AB,

：.ZEDG+DGE=AGH+NCAO=90°,

:NDGE=/AGH,

\ZEDG=ZCAO,

cosNEDG=cosZCAO=—-,4=-=2遙■,

AC4^25

.DE,275

"DG"5

:.DE=^l^-DG=2疾(-Am2-m)=~匹(m2+4/w)=-遮(%+2)2+lU_,

55410105

/.當(dāng)m=-2時，點(diǎn)。到直線AC的距離取得最大值

5

此時yD=~Ax(-2)2-Ax(-2)+2=2,

42

即點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2,2)；

(3)如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E,

直線CP把四邊形C8以的面積分為1：5兩部分，

又■:S&PCB：S/^PCA=—EBX(yc-yp)：1AEX(yc-yp)=BE：AE,

22

則BE：AE=1：5或5：1

則AE=5或1,

即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1,0）或（-3,0）,

將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線CP的表達(dá)式：y=nx+2,

解得：n=-2或2,

3

故直線CP的表達(dá)式為：尸-2尤+2或y=4+2,

3

2

y=-2x+2y=yx+2

o

聯(lián)立方程組1191或，

y=^-x-yx+212

y~x-yx+2

解得：x=6或--,

3

故點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（6,-io）或（-」！，-12）.

39

【典例3】（深圳）如圖拋物線y=a^+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-1,0）,點(diǎn)C（0,3）,且08

=oc.

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸;

（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP,直線CP把四邊形CBM的面積分為3：5兩部分,

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】（1）y=-/+2%+3；尤=1（2）P的坐標(biāo)為（4,-5）或（8,-45）

【解答】解：（1）；OB=OC,；.點(diǎn)、B（3,0）,

則拋物線的表達(dá)式為：y=a(無+1)(%-3)=a(x2-2x-3)=ox2-lax-3a,

故-3a=3,解得：a=-1,

故拋物線的表達(dá)式為：y=-/+2x+3…①,

函數(shù)的對稱軸為：x=l；

（2）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E,

圖2

直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分,

又■:S&PCB：S/^PCA=—EBX(yc-yp)LEX(yc-yp)=BE：AE,

22