高中數(shù)學三角恒等變換公式

三角恒等變換公式專題

重點公式回顧

一、和差角公式

1.cos(a+0)=cosacos一sinosinB

cos1a-0)=cosacos/?+sinasin0

2.

3?sin(a+Q)=sinacos[3+cosasin/3

sin(a—/?)=sinocosJ3-cosasin0

tana+tan，

tan(a+0=

1-tanatan/3

tana-tan/3

tan(6Z-/?)=

1+tanortan0

二、二倍角公式

1-tan2a

cos2df=cos2cif-sin2or=2cos2cif-l=l-2sin26if

=1+tan2a

2tan。

2.sin2a=2sinacosa=

tan2a+\

2tanor

tan2cr=

1-tan2a

.sinla

4.sma=---------

2cosa

sin2。

cosa=---------

2sina

2tandf=tan2a(1-tan?。)

配方變形

1土sin2a=sin2CK+COS2a±2sinocos。=(sina±COS。)？

6.因式分解變形

cos2cr=cos2a-sin2a=(cosa+sino)(cosa-sina)

7.升塞公式

cos2cr=2cos26Z-l=l-2sin2a

8.降塞公式

2cos20=1+cos2a

2sin2dz=1-cos2a

2sina?cosa二sin2a

2l-cos2a

tana--------------

1+cosla

三、輔助角公式

22b

a?sina+)?cosa=da+b??sin(a+0)=[a+b2-cos(a-(p),tancp-一,°w

a

四、積化和差公式

1.2sini?cosP=sin(o+/?)+sin(o-p)

2.2cosa?sin/?=sin(a+/?)-sin(o-/?)

3.2cosacos[3-cos(o+4)+cos(o-/?)

4.-2sina?sin/?=cos(o+/?)-cos(a-/?)

五、和差化積公式

.+/ci-/3

1.sina+cosp-2sin-------cos-------

22

.-a+B.cc—/3

2.sma-cospo=2cos-----sin......-

22

a+B.a-13

3.cosa+cos/?=2cos-------sin-------

22

aB.oc-B

4.cosa-cos尸二-2sin------sin-------

22

考點一、兩角和與差的三角函數(shù)綜合應用

1.sin150cos750+cos150sin1050等于（）

A.0B.1C.1D.如

22

【答案】C

【分析】由題得原式=sinl5Ocos75o+cosl5Osin75。，再利用和角的正弦公式化簡計算.

【詳解】由題得原式=511115。8575。+3515叼1175。=5皿15。+75。）=sin90°=1.

故選C

【點睛】本題主要考查誘導公式和和角的正弦公式的運用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬

于基礎(chǔ)題.

2.若5111（0+/7）+80（6/+，）=2后（：0516/+?｝吊尸，則（）

A.tan（a-尸）=1B,tan（a+0=l

C.tan（6f-/7）=-lD.tan（＜z+^）=-l

【答案】C

【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】［方法一］:直接法

由已知得：sinacos尸+cosasin/?+cosacos4一sinasin4=2（cosa-sina）sin分，

即：sinacos0-cosasin/?+cosacos/?+sinasin/?=0,

即：sin(a-77)+cos(a-/7)=0

所以tan(a_/?)=—l

故選：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:設(shè)P=0則sina+cosa=0,取,排除A,B；

TT

再取a=0則sin0+cosp=2sin0,取排除D；選C.

［方法三］:三角恒等變換

sin(a+4)+cos(cr+尸)=血sin(a+4+工)=^2sin［(cr+—)+/0］

44

二后sin(cr+—)cosB+^2cos(a+工)sin尸=242cos(a+工)sin分

444

所以^2sin(cr+—)cosB=也cos(6Z+—)sinB

44

TTTTTT

sin(cr+—)cos；0-cos(cif+—)sin/?=0即sin(cr+--y0)=O

/.sin(a一4+?)=sin(a-/?)cos?+cos(a-，)sin?二^^sin(a—Q)+^^cos(a一萬)二0

sin(a-/)二一cos(a-￡)即tan(a-￡)=T,

故選：C.

考點二、二倍角公式的綜合應用

1.已知sin(a-夕)=Lcosasin^=」，貝|cos(2a+2；0)=().

36

A.-B.-C.--D.--

9999

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(a+￡),再利用二倍角的余弦公式計算作答.

【詳解】因為sin(a—￡)=sinacos夕-costzsin￡=，,而cosasin4=，,因止匕sinacos尸=2，

362

2

則sin(a+夕)=sinacos(5+cosasm(3=—,

21

所以cos(2a+2/)=cos2(a+=l-2sin2(a+y0)=1-2x(—)2=—,

故選：B

【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法

(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)

系.解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).

(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角

相同或具有某種關(guān)系.

(3)“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得

的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍.

Irr\CCSCK

2.0,—,tan2^=-————，貝！Jtana=()

I2J2-s;in(7

A岳口百「小

A.-----D.---U.----

1553

【答案】A

【分析】由二倍角公式可得1酸2[=羋里=拱竺等，再結(jié)合已知可求得sina=1,利用同角三角函

cos2al-2sma4

數(shù)的基本關(guān)系即可求解.

【詳解】tan2?=-^^

2-sincr

八sin2a2sinacosacosa

tan2a=--------=------------——=-----------

cos2al-2sina2—sin。

(八*八2sina1左刀,曰.1

,：ae\0,—,.?.cosewO,/.---------、-=-------,角軍得sma=一,

l2Jl-2sin2a2-sina4

sinaV15

tana=-------

4costzIT

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出sino.

考點三、輔助角公式的綜合應用

1.函數(shù)〃x)=sin5+cos《的最小正周期和最大值分別是()

A.3兀和&B.3兀和2C.6兀和0D.6兀和2

【答案】C

【分析】利用輔助角公式化簡f(x),結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.

【詳解】由題，/(x)=sin|+cos|=V2^sin1+^cos1=&sinR+1],所以"x)的最小正周期

JJI乙D4J/Ji"J

7=至=6

為一[一「,最大值為應.

3

故選：C.

2.己知xe則函數(shù)/(x)=(l+sinx)(l+cos%)的最大值為.

【答案】0+|

【分析】利用三角恒等變換、輔助角公式表示出/⑺的解析式，再用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求

最大值.

［詳解］f(x)=(1+sinx)(l+cosx)=1+sinx+cosx+sin%cosx,

1(sinx+cosx)2-I

=l+sinx+cosxH-----------------------,

2

令/=sinx+cosx=血sin+；］

因為xw/wj,所以％+不［“彳),

所以sin(x+Eje,所以"瓜出卜+"十碼，

所以g(r)=g/+對稱軸to=T<1，

所以g?)=；/+f+g在(1,3］單調(diào)遞增，

所以當/。=3時，g(t)g=ge)=6+g,

即當sin(x+：］=l,x=:時，f(x)=(1+5皿%)(1+85%)有最大值0+。.

故答案為：＞/2+—.

課后練習

1.已知函數(shù)/(x)=sinx-sin［x+:

則“力的值不可能是()

A.4B.1C.0D.2

【答案】D

./.，百、1

【解析】,**/(x)=sinx?sin(x+y)-^-=smx(—sinxH----cosx)——

224

Jin?+ginxc°s」=￡cos2xV31

+X

2242244

=—sin2x--cos2x=-sin(2x---).

4426

/(尤)el-g,；］,

故選：D

,且sina=3^^,cos(a+夕)=一^~,則sin分=()

2.已知角。為銳角，角￡為鈍角

A.旦B.克rV2門也

23510

【答案】D

【解析】解：因為。為銳角，$苗0=題，所以cosa二丑

1010

因為￡為鈍角，所以a+￡e[a+|>a+"）,

若二+^6卜+券/,則以雙0+⑶3^^卜+^卜小皿二二——^―<--,不符題意,

所以a+/7￡(?,a+?),又cos(a+(3)=,所以sin(a+,)=_^^,

所以si“=sm(a+介爪-偵x巫+色順=叵

51051010

故選：D.

3.函數(shù)/'(x)=4sin(3x+|^+cos(3x-1^的最大值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】/(x)=4sinl3x+|+cosI3x----

I6

(1y/3

4—sin3xd-----cos3x+—cos3x+-sin3x

2222

▲in3x+在8s3x

22

=5sinf3x+y

?,工N）最大值為5,

故選：D.

4.若函數(shù)y（x）=2sinx+cos%在[0,㈤上是增函數(shù)，則當。取最大值時,sin2a的值等于（）

ABV21

-i-iD.

"V

【答案】A

【解析】/(x)=J?sin(x+9),其中tane=；,且夕金,5)，由一g+2后區(qū)x+gsg+Z反，kRZ,得一g—9

2124222

jr.兀兀yr

-\-2k7r<x<——°+2左乃，kGZ,當人=0時，增區(qū)間為一,―。，,―。，所以amax=Q所以當。取最大

一，「兀、2sin<z?cos692tan(Z?4

值時，sin2a=sin2~~(P=sin2(p=^^---------2-=；-----2=￡.

12Jsin+coscp1+tancp5

故選：A

5.(多選)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且滿足

sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列結(jié)論可能成立的是()

A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.C=90°

【答案】AD

【解析】因為sin_B（l+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC,

所以，2sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosC+sin（A+C）=2sinBcosC+sinAcosC+cosAsinC,

所以，sinAcosC-2sinBcosC=0,即cosC（sinA-2sinB）=0.

所以,cosC=0或sinA=2sin5,Q0°<C<180°,C=90°^a=2b.

故選:AD.

6.函數(shù)/0)=5皿2彳-31尤+?的最小值為

【答案】—9

o

3兀37r等"+sinx）,

【解析】f(x)=sin2x-cos\x+—|=sin2x-cosxcos—+sinxsin-=2sinxcosx+

444

令cosx+sinx=fe［一倉應］,則2sinxcosx=?_i,

故g(，)=〃+彳-1="+?]所以當”一手時，且⑺皿廣一

Z4J04o

故答案為：-：9

O

—=^-,pll]cosf--2tz

已知

7.sina3)5I3

3

B.--D.

55

【答案】C

【分析】利用誘導公式及二倍角余弦公式計算可得.

【詳解】因為sin

5

故選：C

8.已知a,P,7是三個互不相同的銳角，則在sin"+cos￡,sin/?+cos/,sin/+cosar三個值中，大于

V2的個數(shù)最多有（）個

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】因為a,/3,7是三個互不相同的銳角，

所以sina+cos尸+sin尸+cosy+sin/+cosa

=V2sin[a+￡）+A/2sin[6+：）+A/2sin[y+：）<行+A/2+叵=3&,

所以在sina+cosp,sin^+cos7,siny+cosa三個值中，不會全部大于夜，

若令a=E，/=；，/=—>則sinc+cos￡=心+^^>亞，

34622

sin/3+cosY=>A/2,sin/+cosa=1<A/2

所以大于0的個數(shù)最多有2個.

故選：C

9.已知函數(shù)"x)=kinx|+|cosx|-2sin2x,以下結(jié)論錯誤的是()

A.乃是“X)