12.3 角的平分線的性質(zhì)（第1課時）人教版八年級數(shù)學(xué)

12.3角的平分線的性質(zhì)第1課時人教版數(shù)學(xué)八年級上冊在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分線嗎？

用量角器度量，也可用折紙的方法．

如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？探究新知知識點(diǎn)1角平分線的畫法問題1：問題2：提煉圖形探究新知如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD，BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對應(yīng)角相等.探究新知問題3：【思考】如果沒有此儀器，我們用數(shù)學(xué)作圖工具，能實(shí)現(xiàn)該儀器的功能嗎？ABO請大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關(guān)系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點(diǎn)與角的頂點(diǎn)重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？探究新知做一做ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細(xì)觀察步驟

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖，大家一定要掌握噢!作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.（2）分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.半徑小于MN或等于MN，可以嗎？探究新知已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結(jié)論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法.ABOC探究新知1.操作測量：取點(diǎn)P的三個不同的位置，分別過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB

，點(diǎn)D,E為垂足，測量PD,PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)果：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDEOC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn).猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)知識點(diǎn)2探究新知已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.探究新知驗(yàn)證猜想一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.探究新知?dú)w納總結(jié)性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應(yīng)用格式：∵OP是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.PD⊥OA，

PE⊥OB，BADOPEC探究新知判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），

∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵如上右圖，

DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.

∴

=

，

(

)在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等BD

CD×BADC缺少“垂直距離”這一條件缺少“角平分線”這一條件探究新知如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點(diǎn)O，OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，則OD與OE的大小關(guān)系是(

)A.OD>OEB．OD＝OEC.OD<OED．不能確定B鞏固練習(xí)例1已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分別為E，F(xiàn).求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，

DE⊥AB，DF⊥AC，∴

DE=DF，

∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和

Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.探究新知角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用素養(yǎng)考點(diǎn)1如圖，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM＝PN.證明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2，又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4，又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN.(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)鞏固練習(xí)例2

如圖，AM是∠BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D,E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4提示：存在兩條垂線段——直接應(yīng)用.探究新知利用角平分線的性質(zhì)求線段的長度素養(yǎng)考點(diǎn)2ABCP如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，

AB=14.（1）則點(diǎn)P到AB的距離為_______.D4提示：存在一條垂線段——構(gòu)造應(yīng)用.鞏固練習(xí)1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：面積周長條件利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解探究新知?dú)w納總結(jié)如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，則∠MAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°B

N鏈接中考2.△ABC中，

∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點(diǎn)D到AB的距離是

.ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，

DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）SSSASAAAS

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等ABMNCOA課堂檢測4.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，下列結(jié)論中錯誤的是(

)A.PC＝PD

B.OC＝OD

C.∠CPO＝∠DPO

D.OC＝PCD5.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEADF課堂檢測EDCBA68101.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段與DE相等？為什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8.∴

AE＝AB–BE=2.∴△AED的周長=AE+ED+DA=2+6=8.能力提升題CD課堂檢測2.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點(diǎn)．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).

求證：CE＝CF.證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.課堂檢測如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點(diǎn)，PE⊥AB