反三角函數(shù)反余弦反正切函數(shù)教案

6.4反三角函數(shù)（反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)）（2）教案教學目的：1．理解函數(shù)，y=tanx沒有反函數(shù)；理解函數(shù)，有反函數(shù)；理解反余弦函數(shù)，反正切函數(shù)的概念，掌握反余弦函數(shù)的定義域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函數(shù)的定義域是，值域是（-，）.2．知道反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)，x∈（-∞，∞）的圖像.3．能夠熟練計算特殊值的反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值，并能用反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值表示角.4．會用類比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想分析和思考問題.教學重點與難點：教學重點：理解反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的概念以及他們的符號的本質(zhì).

教學難點：公式、的證明及其使用.教學過程：（一）、引入一、（設(shè)置情境）一、情景引入1．復(fù)習我們學習過反正弦函數(shù)，知道，對于函數(shù)，不存在反函數(shù)；但在存在反函數(shù).2．思考 那么余弦函數(shù)和正切函數(shù)是否存在反函數(shù)呢？[說明]因為對于任一余弦值和正切值都有無數(shù)個角值與之對應(yīng).余弦函數(shù)和正切函數(shù)的自變量與因變量是多對一的.故而不存在反函數(shù).3．討論 余弦函數(shù)和正切函數(shù)不存在反函數(shù).但選取怎樣的區(qū)間使得或y=tanx在對應(yīng)區(qū)間上存在反函數(shù)呢.因變量可以確定自變量，余弦值或正切值可以表示相應(yīng)的角值，并且將該區(qū)間上的角值用相應(yīng)的余弦值或正切值表示就可以了.學生討論應(yīng)該選取怎樣的區(qū)間，使得或y=tanx存在反函數(shù)呢？這個區(qū)間的選擇依據(jù)兩個原則：（1）和在所取對應(yīng)區(qū)間上存在反函數(shù)；（2）能取到的一切函數(shù)值，一切函數(shù)值R.可以選取閉區(qū)間，使得在該區(qū)間上存在反函數(shù)；可以選取閉區(qū)間（-，），使得在該區(qū)間上存在反函數(shù)，這個反函數(shù)就是今天要學習的反余弦函數(shù)和反正切函數(shù).二、（雙基回顧）1．反正弦函數(shù)是一個_______(弧度制/角度制)的角，它的范圍是_____________，并且有2．請結(jié)合反正弦函數(shù)的圖像敘述它的性質(zhì)。反正弦函數(shù)在區(qū)間上是_________(填增/減)函數(shù)；其函數(shù)圖像關(guān)于_______對稱，它是______(填奇/偶)函數(shù)，即對于任意的一定有等式___________成立。3．，.（二）、新課一、（新課教學，注意情境設(shè)置）二、概念或定理或公式教學（推導(dǎo)）1．概念辨析（1）反余弦函數(shù)xy0余弦函數(shù)的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作；xy0（2）反余弦函數(shù)的性質(zhì)：①圖像②定義域：函數(shù)的定義域是；③值域：函數(shù)的值域是；④奇偶性：函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但有,；x0y⑤單調(diào)性：函數(shù)是減函數(shù)x0y（3）反正切函數(shù)1在整個定義域上無反函數(shù)2在上的反函數(shù)稱作反正切函數(shù)，記作（奇函數(shù)）[說明]互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，函數(shù)與函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱；三、（概念辨析或變式問題，目的是加強概念、公式的理解或應(yīng)用）判斷下列各式是否成立?簡述理由。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）式不成立，因為[-1，1]，故arccos無意義；（2）式不成立，因為其對應(yīng)關(guān)系搞錯了；（（3）式不成立，理由是把反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)的值域搞錯了，事實上arcsin（-）=-，而arcos(-)=，兩者不等；（4）式不成立，因為把等式arccos（-x）=π-arccosx錯記成arccos（-x）=-arccosx；（5）式成立，因為等式arctan（-x）=-arctanx。四、典型例題（3個，基礎(chǔ)的或中等難度）例1．求下列反三角函數(shù)的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）-解：（1）因為cos=，且∈[0，π]，所以arccos=。（2）因為cos=-，且∈[0，π]，所以arccos（-）=。（3）因為cos=0，且∈[0，π]，所以arccos0=。（4）因為tan=1，且∈（-，），所以arctan1=。（5）因為tan（-）=-，且-∈（-，），所以arctan（-）=-。例2．在中，已知，分別用反正弦函數(shù)值、反余弦函數(shù)值和反正切函數(shù)值表示、、。解：因為AC2=AB2+BC2，所以∠B是直角，于是有∠A=arcsin=arccos=arctan；∠B==arcsin1=arccos0；∠C=arcsin=arccos=arctan。例3．化簡下列各式：（1）；（2）；（3）解：（1）因為∈[0，π]，設(shè)cos=α，所以arccosα=，即arccos（cos）=。（2）因為arccos=，所以sin[arccos]=sin=。（3）因為arctan（-1）=-，所以cos[arctan（-1）]=cos(-)=。例4．求下列函數(shù)的反函數(shù)，并指出反函數(shù)的定義域和值域.(1)；（2）解：（1）設(shè)y=+arccos，則arccos=y-，因為∈[-1，1]，arccos∈[0，π]，所以x∈[-2，2]，y∈[，]，根據(jù)反余弦函數(shù)的定義，得=cos（y-），即x=2cos（y-）.將x，y互換，得反函數(shù)f-1（x）=2cos（x-），定義域是[，]，值域是[-2，2].（2）設(shè)y=3π-arctan（2x-1），即arctan（2x-1）=3π-y，因為（2x-1）∈R，arctan（2x-1）∈（-，），所以x∈R，y∈（，），根據(jù)反正切函數(shù)的定義，得2x-1=tan（3π-y）=-tany，即x=（1-tany），將x，y互換，得反函數(shù)f-1（x）=（1-tanx），定義域是（，），值域是R。五、課堂練習（2個，基礎(chǔ)的或中等難度）1、求的值解：arctan2=,arctan3=則tan=2，tan=3且，∴而∴+=又arctan1=∴=2、求,()的值域解：設(shè)u=sinx∵∴∴∴所求函數(shù)的值域為六、拓展探究（2個）例1、證明等式：證明：∵x∈[-1，1]，∴-x∈[-1，1]∴cos[arccos（-x）]=-x，cos（π-arccosx）=-cos（arccosx）=-x又因為arccosx∈[0，π]，所以（π-arccosx）∈[0，π]，又arccos（-x）∈[0，π]，且余弦函數(shù)在[0，π]上單調(diào)遞減，所以arccos（-x）=π-arccosx，x∈[-1，1].例2、求函數(shù)的最大值和最小值；（三）、小結(jié)（1）反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的定義；（2）反余弦函數(shù)和反正切函數(shù)的性質(zhì).（四）、作業(yè)書上練習6.4(2)中的1、2、3、4課外作業(yè)：（6+2填空，3+1選擇，3+1解答，其中+后面的題目可以難些用“*”注明）一、填空題1、函數(shù)＝的單調(diào)遞增區(qū)間為___________________.2、函數(shù)的反函數(shù)是___________________.3、___________________.4、若，則x=___________________.5、若的值是___________________.6、不等式的解集是___________________.7*、函數(shù)的定義域是，最大值是．8*、若是奇函數(shù)，且當時，的解析式是=___________________.二、選擇題1、若的值是（）、0、、、不存在2、函數(shù)是（）、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、奇函數(shù)、非奇非偶函數(shù)3、若0＜＜，則＋等于（）、、、－2、－－24*、若方程＋＝2－1有解，則實數(shù)的取值范圍是（）、≤0、≥、0≤≤、≤0或≥三、解答題1、求函數(shù)＝的定義域和值域2、求值：（1）；（2）．3、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間4*、已知（k為奇數(shù)），求的值。四、雙基鋪墊1、用反三角函數(shù)表示中的角x2、用反三角函數(shù)表示中的角x課外作業(yè)答案課外作業(yè)：（6+2填空，3+1選擇，3+1解答，其中+后面的題目可以難些用“*”注明）一、填空題1、，2、3、；4、5、6、7*、．8*、二、選擇題1、（D）2、（C）3、（