工程力學(xué)(下)電子教案第九章

第九章壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定的概念兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力教學(xué)時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：解受壓桿件的失穩(wěn)，可導(dǎo)致整個(gè)機(jī)器或結(jié)構(gòu)的損壞。2、通過(guò)對(duì)本章的學(xué)習(xí)，理解平衡、不平衡的穩(wěn)定性與壓桿失穩(wěn)的概念，理解并能熟練地應(yīng)用細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷－歐拉公式、超過(guò)比例極限時(shí)壓桿的臨界力—經(jīng)驗(yàn)公式，臨界應(yīng)力總圖。掌握壓桿穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的步驟、提高壓桿穩(wěn)定性的措施。教學(xué)重點(diǎn)：1、壓桿穩(wěn)定的基本概念；2、細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界荷載的歐拉公式及其應(yīng)用。重點(diǎn)講解中心受壓直桿失穩(wěn)概念、實(shí)際壓桿與中心受壓直桿的區(qū)別、強(qiáng)度破壞與失穩(wěn)破壞的區(qū)別。重點(diǎn)：壓桿穩(wěn)定的概念；歐拉公式。教學(xué)難點(diǎn)：歐拉公式的推導(dǎo)。教學(xué)方法：板書＋PowerPoint,采用啟發(fā)式教學(xué)和問(wèn)題式教學(xué)法結(jié)合，通過(guò)提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。教具：教學(xué)步驟：（復(fù)習(xí)提問(wèn)）（引入新課）（講授新課）§9-1壓桿穩(wěn)定的概念圖1構(gòu)件除了強(qiáng)度、剛度失效外，還可能發(fā)生穩(wěn)定失效。例如，受軸向壓力的細(xì)長(zhǎng)桿，當(dāng)壓力超過(guò)一定數(shù)值時(shí)，壓桿會(huì)由原來(lái)的直線平衡形式突然變彎（圖1a），致使結(jié)構(gòu)喪失承載能力；又如，狹長(zhǎng)截面梁在橫向載荷作用下，將發(fā)生平面彎曲，但當(dāng)載荷超過(guò)一定數(shù)值時(shí)，梁的平衡形式將突然變?yōu)閺澢团まD(zhuǎn)（圖1b）；受均勻壓力的薄圓環(huán)，當(dāng)壓力超過(guò)一定數(shù)值時(shí)，圓環(huán)將不能保持圓對(duì)稱的平衡形式，而突然變?yōu)榉菆A對(duì)稱的平衡形式（圖1c）。上述各種關(guān)于平衡形式的突然變化，統(tǒng)稱為穩(wěn)定失效，簡(jiǎn)稱為失穩(wěn)或屈曲。工程中的柱、桁架中的壓桿、薄殼結(jié)構(gòu)及薄壁容器等，在有壓力存在時(shí)，都可能發(fā)生失穩(wěn)。圖1圖2由于構(gòu)件的失穩(wěn)往往是突然發(fā)生的，因而其危害性也較大。歷史上曾多次發(fā)生因構(gòu)件失穩(wěn)而引起的重大事故。如1907年加拿大勞倫斯河上，跨長(zhǎng)為548米圖2“穩(wěn)定”和“不穩(wěn)定”是指物體的平衡性質(zhì)而言。例如，圖2a所示處于凹面的球體，其平穩(wěn)是穩(wěn)定的，當(dāng)球受到微小干擾，偏離其平衡位置后，經(jīng)過(guò)幾次擺動(dòng)，它會(huì)重新回到原來(lái)的平衡位置。圖2b所示處于凸面的球體，當(dāng)球受到微小干擾，它將偏離其平衡位置，而不再恢復(fù)原位，故該球的平衡是不穩(wěn)定的。受壓直桿同樣存在類似的平衡性質(zhì)問(wèn)題。例如，圖3a所示下端固定、上端自由的中心受壓直桿，當(dāng)壓力小于某一臨界值時(shí)，桿件的直線平衡形式是穩(wěn)定的。此時(shí)，桿件若受到某種微小干擾，它將偏離直線平衡位置，產(chǎn)生微彎（3b）；當(dāng)干擾撤除后，桿件又回到原來(lái)的直線平衡位置（圖3c）。但當(dāng)壓力超過(guò)臨界值時(shí)，圖3撤除干擾后，桿件不再回到直線平衡位置，而在彎曲形式下保持平衡（圖3d），這表明原有的直線平衡形式是不穩(wěn)定的。使中心受壓直桿的直線平衡形式，由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡時(shí)所受的軸向壓力，稱為臨界載荷，或簡(jiǎn)稱為臨界力，用表示。圖3為了保證壓桿安全可靠的工作，必須使壓桿處于直線平衡形式，因而壓桿是以臨界力作為其極限承載能力?？梢?jiàn)，臨界力的確定是非常重要的。本章主要討論中心受壓直桿的穩(wěn)定問(wèn)題。研究確定壓桿臨界力的方法，壓桿的穩(wěn)定計(jì)算和提高壓桿承載能力的措施?！?.2兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力圖1ww圖4根據(jù)壓桿失穩(wěn)是由直線平衡形式轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶庑问降倪@一重要概念，可以預(yù)料，凡是影響彎曲變形的因素，如截面的抗彎剛度，桿件長(zhǎng)度圖1ww圖4兩端鉸支中心受壓的直桿如圖4a所示。設(shè)壓桿處于臨界狀態(tài)，并具有微彎的平衡形式，如圖b所示。建立坐標(biāo)系，任意截面（）處的內(nèi)力（圖4c）為在圖示坐標(biāo)系中，根據(jù)小撓度近似微分方程，得到令，得微分方程（a）此方程的通解為利用桿端的約束條件，，得，可知壓桿的微彎撓曲線為正弦函數(shù)：（b）利用約束條件，，得這有兩種可能：一是，即壓桿沒(méi)有彎曲變形，這與一開始的假設(shè)（壓桿處于微彎平衡形式）不符；二是π，１、２、３……。由此得出相應(yīng)于臨界狀態(tài)的臨界力表達(dá)式實(shí)際工程中有意義的是最小的臨界力值，即時(shí)的值：（9.1）圖5此即計(jì)算壓桿臨界力的表達(dá)式，又稱為歐拉公式。因此，相應(yīng)的也稱為歐拉臨界力。此式表明，與抗彎剛度（）成正比，與桿長(zhǎng)的平方（）成反比。壓桿失穩(wěn)時(shí)，總是繞抗彎剛度最小的軸發(fā)生彎曲變形。因此，對(duì)于各個(gè)方向約束相同的情形（例如球鉸約束），式（9.1）中的應(yīng)為截面最小的形心主軸慣性矩。圖5將代入式（）得壓桿的撓度方程為（c）在處，有最大撓度。在上述分析中，的值不能確定，其與的關(guān)系曲線如圖5中的水平線所示，這是由于采用撓曲線近似微分方程求解造成的；如采用撓曲線的精確微分方程，則得曲線如圖5中ＡＣ所示。這種曲線稱為壓桿的平衡路徑，它清楚顯示了壓桿的穩(wěn)定性及失穩(wěn)后的特性?？梢钥闯觯?dāng)<時(shí)，壓桿只有一條平衡路徑ＯＡ，它對(duì)應(yīng)著直線平衡形式。當(dāng)時(shí)，其平衡路徑出現(xiàn)兩個(gè)分支（AＢ和AＣ），其中一個(gè)分支（AＢ）對(duì)應(yīng)著直線平衡形式，另一個(gè)分支（AＣ）對(duì)應(yīng)著彎曲平衡形式。前者是不穩(wěn)定的，后者是穩(wěn)定的。如ＡＢ路徑中的Ｄ點(diǎn)一經(jīng)干擾將達(dá)到ＡＣ路徑上同一值的點(diǎn)，處于彎曲平衡形式，而且該位置的平衡是穩(wěn)定的。平衡路徑出現(xiàn)分支處的值即為臨界力，故這種失穩(wěn)稱為分支點(diǎn)失穩(wěn)。分支點(diǎn)失穩(wěn)發(fā)生在理想受壓直桿的情況。對(duì)實(shí)際使用的壓桿而言，軸線的初曲率、壓力的偏心、材料的缺陷和不均勻等因素總是存在的，為非理想受壓直桿。對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)或理論分析所得平衡路徑如圖15-5中的ＯＦＧＨ曲線，無(wú)平衡路徑分支現(xiàn)象，一經(jīng)受壓（無(wú)論壓力多?。┘刺幱趶澢胶庑问?，但也有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分。當(dāng)壓力<，處于路徑ＯＦＧ段上的任一點(diǎn)，如施加使其彎曲變形微增的干擾，然后撤除，仍能恢復(fù)原狀（當(dāng)處于彈性變形范圍），或雖不能完全恢復(fù)原狀（如已發(fā)生塑性變形）但仍能在原有壓力下處于平衡狀態(tài)，這說(shuō)明原平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。而下降路徑ＧＨ段上任一點(diǎn)的平衡是不穩(wěn)定的，因一旦施加使其彎曲變形微增的干擾，壓桿將不能維持平衡而被壓潰。壓力稱為失穩(wěn)極值壓力，它比理想受壓直桿的臨界力小，且隨壓桿的缺陷（初曲率、壓力偏心等）的減小而逐漸接近。因的計(jì)算比較簡(jiǎn)單，它對(duì)非理想受壓直桿的穩(wěn)定計(jì)算有重要指導(dǎo)意義，故本書的分析是以理想受壓直桿為主?！?.3其他支座條件下細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力用上述方法，還可求得其他約束條件下壓桿的臨界力，結(jié)果如下：1）一端固定、一端自由的壓桿（圖15-6a）2）兩端固定的壓桿（圖15-6b）3）一端固定、一端鉸支的壓桿（圖15-6c）綜合起來(lái)，可以得到歐拉公式的一般形式為（15-2）式中，稱為相當(dāng)長(zhǎng)度。稱為長(zhǎng)度系數(shù)，它反映了約束情況對(duì)臨界載荷的影響：兩端鉸支一端固定、一端自由兩端固定一端固定、一端鉸支由此可知，桿端的約束愈強(qiáng)，則值愈小，壓桿的臨界力愈高；桿端的約束愈弱，則值愈大，壓桿的臨界力愈低。事實(shí)上，壓桿的臨界力與其撓曲線形狀是有聯(lián)系的，對(duì)于后三種約束情況的壓桿，如果將它們的撓曲線形狀與兩端鉸支壓桿的撓曲線形狀加以比較，就可以用幾何類比的方法，求出它們的臨界力。從15-6中撓曲線形狀可以看出：長(zhǎng)為的一端固定、另端自由的壓桿，與長(zhǎng)為的兩端鉸支壓桿相當(dāng)；長(zhǎng)為的兩端固定壓桿（其撓曲線上有Ａ、Ｂ兩個(gè)拐點(diǎn)，該處彎矩為零），與長(zhǎng)為0.5l的兩端鉸支壓桿相當(dāng)；長(zhǎng)為的一端固定、另端鉸支的壓桿，約與長(zhǎng)為的兩端鉸支壓桿相當(dāng)。需要指出的是，歐拉公式的推導(dǎo)中應(yīng)用了彈性小撓度微分方程，因此公式只適用于彈性穩(wěn)定問(wèn)題。另外，上述各種值都是對(duì)理想約束而言的，實(shí)際工程中的約束往往是比較復(fù)雜的，例如壓桿兩端若與其他構(gòu)件連接在一起，則桿端的約束是彈性的，值一般在0.5與1之間，通常將值取接近于1。對(duì)于工程中常用的支座情況，長(zhǎng)度系數(shù)可從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)或規(guī)范中查到。（課堂小結(jié)）作業(yè)布置：9.19.5第九章壓桿穩(wěn)定第四節(jié)歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式第五節(jié)壓桿的穩(wěn)定校核第六節(jié)提高壓桿承載能力的措施教學(xué)時(shí)數(shù)：2學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：了解歐拉公式的適用范圍,熟練掌握進(jìn)行壓桿的穩(wěn)定計(jì)算的兩種方法,并掌握提高壓桿承載能力的幾種措施教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握進(jìn)行壓桿的穩(wěn)定計(jì)算的兩種方法教學(xué)難點(diǎn)：壓桿的穩(wěn)定計(jì)算的兩種方法教學(xué)方法：板書＋PowerPoint教具：教學(xué)步驟：（復(fù)習(xí)提問(wèn)）（引入新課）（講授新課）§9.4歐拉公式的適用范圍經(jīng)驗(yàn)公式如上節(jié)所述，歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。為了判斷壓桿失穩(wěn)時(shí)是否處于彈性范圍，以及超出彈性范圍后臨界力的計(jì)算問(wèn)題，必須引入臨界應(yīng)力及柔度的概念。壓桿在臨界力作用下，其在直線平衡位置時(shí)橫截面上的應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力，用表示。壓桿在彈性范圍內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，則臨界應(yīng)力為：（a）式中稱為柔度，為截面的慣性半徑，即，（9.6）式中Ｉ為截面的最小形心主軸慣性矩，Ａ為截面面積。柔度又稱為壓桿的長(zhǎng)細(xì)比。它全面的反映了壓桿長(zhǎng)度、約束條件、截面尺寸和形狀等因素對(duì)臨界力的影響。柔度在穩(wěn)定計(jì)算中是個(gè)非常重要的量，根據(jù)所處的范圍，可以把壓桿分為三類：（一）細(xì)長(zhǎng)桿（）當(dāng)臨界應(yīng)力小于或等于材料的比例極限時(shí)，即壓桿發(fā)生彈性失穩(wěn)。若令（15-5）則時(shí)，壓桿發(fā)生彈性失穩(wěn)。這類壓桿又稱為大柔度桿。對(duì)于不同的材料，因彈性模量Ｅ和比例極限各不相同，的數(shù)值亦不相同。例如A3鋼，，，用式（15-5）可算得。9-6壓桿的穩(wěn)定校核工程上通常采用下列兩種方法進(jìn)行壓桿的穩(wěn)定計(jì)算。1．安全系數(shù)法為了保證壓桿不失穩(wěn)，并具有一定的安全裕度，因此壓桿的穩(wěn)定條件可表示為（15-7）式中為壓桿的工作載荷，是壓桿的臨界載荷，是穩(wěn)定安全系數(shù)。由于壓桿存在初曲率和載荷偏心等不利因素的影響。值一般比強(qiáng)度安全系數(shù)要大些，并且越大，值也越大。具體取值可從有關(guān)設(shè)計(jì)手冊(cè)中查到。在機(jī)械、動(dòng)力、冶金等工業(yè)部門，由于載荷情況復(fù)雜，一般都采用安全系數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算。2．穩(wěn)定系數(shù)法壓桿的穩(wěn)定條件有時(shí)用應(yīng)力的形式表達(dá)為（15-8）式中的為壓桿的工作載荷，為橫截面面積，為穩(wěn)定許用應(yīng)力。，它總是小于強(qiáng)度許用應(yīng)力。于是式（15-8）又可表達(dá)為（15-9）其中稱為穩(wěn)定系數(shù)，它由下式確定：式中為強(qiáng)度計(jì)算中的危險(xiǎn)應(yīng)力，由臨界應(yīng)力圖（圖15-7）可看出，，且，故為小于1的系數(shù)，也是柔度的函數(shù)。表9.2所列為幾種常用工程材料的對(duì)應(yīng)數(shù)值。對(duì)于柔度為表中兩相鄰值之間的，可由直線內(nèi)插法求得。由于考慮了桿件的初曲率和載荷偏心的影響，即使對(duì)于粗短桿，仍應(yīng)在許用應(yīng)力中考慮穩(wěn)定系數(shù)。在土建工程中，一般按穩(wěn)定系數(shù)法進(jìn)行穩(wěn)定計(jì)算。還應(yīng)指出，在壓桿計(jì)算中，有時(shí)會(huì)遇到壓桿局部有截面被削弱的情況，如桿上有開孔、切糟等。由于壓桿的臨界載荷是從研究整個(gè)壓桿的彎曲變形來(lái)決定的，局部截面的削弱對(duì)整體變形影響較小，故穩(wěn)定計(jì)算中仍用原有的截面幾何量。但強(qiáng)度計(jì)算是根據(jù)危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力進(jìn)行的，故必須對(duì)削弱了的截面進(jìn)行強(qiáng)度校核，即（15-10）式中的是橫截面的凈面積。表15-2壓桿的穩(wěn)定系數(shù)3號(hào)鋼鋼鑄鐵木材010]201.0000.9950.9811.0000.9930.9731.000.970.911.000.990.9730400.9580.9270.9400.8950.810.690.930.8750600.8880.8420.8400.7760.570.440.800.7170800.7890.7310.7050.6270.340.260.600.48901000.6690.6040.5460.4620.200.160.380.311101200.5360.4660.3840.3250.260.221301400.4010.3490.2790.2420.180.161501600.3060.2720.2130.1880.140.121701800.2430.2180.1680.1510.110.101902000.1970.1800.1360.1240.090.08

§9-7提高壓桿承載能力的措施壓桿的穩(wěn)定性取決于臨界載荷的大小。由臨界應(yīng)力圖可知，當(dāng)柔度減小時(shí)，則臨界應(yīng)力提高，而，所以提高壓桿承載能力的措施主要是盡量減小壓桿的長(zhǎng)度，選用合理的截面形狀，增加支承的剛性以及合理選用材料?，F(xiàn)分述如下：1．減小壓桿的長(zhǎng)度減小壓桿的長(zhǎng)度，可使降低，從而提高了壓桿的臨界載荷。工程中，為了減小柱子的長(zhǎng)度，通常在柱子的中間設(shè)置一定形式的撐桿，它們與其他構(gòu)件連接在一起后，對(duì)柱子形成支點(diǎn)，限制了柱子的彎曲變形，起到減小柱長(zhǎng)的作用。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿，若在柱子中設(shè)置一個(gè)支點(diǎn)，則長(zhǎng)度減小一半，而承載能力可增加到原來(lái)的4倍。2．選擇合理的截面形狀壓桿的承載能力取決于最小的慣性矩I，當(dāng)壓桿各個(gè)方向的約束條件相同時(shí)，使截面對(duì)兩個(gè)形心主軸的慣性矩盡可能大，而且相等，是壓桿合理截面的基本原則。因此，薄壁圓管（圖15-8a）、正方形薄壁箱形截面（圖15-8b）是理想截面，它們各個(gè)方向的慣性矩相同，且慣性矩比同等面積的實(shí)心桿大得多。但這種薄壁桿的壁厚不能過(guò)薄，否則會(huì)出現(xiàn)局部失穩(wěn)現(xiàn)象。對(duì)于型鋼截面（工字鋼、槽鋼、角鋼等），由于它們的兩個(gè)形心主軸慣性矩相差較大，