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福建省南安市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第1次階段考試(10月)數(shù)學(xué)試題一、單選題(本大題共8小題)1.已知向量a=2,?1,3,b=?4,2,x,且A.103B.113C.4D.62.若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),則直線(xiàn)的傾斜角為(
)A. B. C. D.3.兩條平行直線(xiàn)和間的距離為,則的值分別為(
)A. B.C. D.4.若直線(xiàn)的方向向量為,平面的法向量為,則直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系是(
)A. B.C.或 D.5.已知向量,若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則實(shí)數(shù)m的值為(
).A. B.0 C.5 D.6.已知直線(xiàn)l的傾斜角等于,且l經(jīng)過(guò)點(diǎn),則下列結(jié)論中不正確的是(
)A.l的一個(gè)方向向量為B.l在x軸上的截距等于C.l與直線(xiàn)垂直D.點(diǎn)到直線(xiàn)l上的點(diǎn)的最短距離是17.如圖,一束光線(xiàn)從出發(fā),經(jīng)直線(xiàn)反射后又經(jīng)過(guò)點(diǎn),則光線(xiàn)從A到B走過(guò)的路程為(
)A. B. C. D.8.如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折疊,使,則三棱錐的體積為(
)
A. B. C. D.4二、多選題(本大題共3小題)9.下列四個(gè)選項(xiàng)中,說(shuō)法錯(cuò)誤的是(
)A.坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)均有傾斜角和斜率B.直線(xiàn)與直線(xiàn)互相平行,則C.過(guò)兩點(diǎn)的所有直線(xiàn)的方程為D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線(xiàn)方程為.10.已知空間向量,則(
)A.B.在上的投影向量為C.若向量,則點(diǎn)在平面內(nèi)D.向量是與平行的一個(gè)單位向量11.如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)(不含邊界)的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn),則以下命題正確的是(
)
A.三棱錐的體積是定值B.存在點(diǎn)P,使得與所成的角為C.直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的取值范圍為D.若,則P的軌跡的長(zhǎng)度為三、填空題(本大題共3小題)12.已知直線(xiàn),若直線(xiàn)不能?chē)扇切危瑢?xiě)出一個(gè)符合要求的實(shí)數(shù)的值.13.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)為平面外一點(diǎn),其中、,若平面的一個(gè)法向量為,則點(diǎn)到平面的距離為.14.長(zhǎng)方體中,,點(diǎn)是線(xiàn)段上異于的動(dòng)點(diǎn),記.當(dāng)為鈍角時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是;當(dāng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為時(shí),的值為.四、解答題(本大題共5小題)15.已知向量,(1)求與的夾角;(2)若與垂直,求實(shí)數(shù)t的值.16.在中,,邊上的高所在直線(xiàn)的方程為,的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求直線(xiàn)的方程;(2)求直線(xiàn)的方程及點(diǎn)的坐標(biāo).17.如圖,已知平行六面體的底面是矩形,且,,,為與的交點(diǎn),設(shè),,.
(1)用,,表示,;(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.18.如圖所示:多面體中,四邊形為菱形,四邊形為直角梯形,且,平面,.(1)證明:平面;(2)若直線(xiàn)與平面所成的角為,求平面與平面所成角的正弦值.19.人臉識(shí)別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù).主要應(yīng)用距離測(cè)試樣本之間的相似度,常用測(cè)量距離的方式有3種.設(shè),,則歐幾里得距離;曼哈頓距離,余弦距離,其中(為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)若,,求,之間的曼哈頓距離和余弦距離;(2)若點(diǎn),,求的最大值;(3)已知點(diǎn),是直線(xiàn)上的兩動(dòng)點(diǎn),問(wèn)是否存在直線(xiàn)使得,若存在,求出所有滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案1.【答案】A【分析】代入空間向量垂直的數(shù)量積坐標(biāo)表示的公式,即可求解.【詳解】a⊥b?a?故選A.2.【答案】C【詳解】由直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),可得直線(xiàn)的斜率為,設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為,有,又,所以.故選:C.3.【答案】B【詳解】由已知可得,,解得.代入化簡(jiǎn)可得,.根據(jù)兩條平行線(xiàn)之間的距離公式可得,.故選:B.4.【答案】A【詳解】由,,,所以,即,所以.故選:A5.【答案】C【詳解】因?yàn)椴荒軜?gòu)成空間的一個(gè)基底,所以共面,故存在使得,即,故,解得.故選:C6.【答案】B【詳解】對(duì)于A,因?yàn)橹本€(xiàn)l的傾斜角等于,所以直線(xiàn)l的斜率,所以直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量為,又,所以是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量,故A正確;對(duì)于B,由選項(xiàng)A可知直線(xiàn)l的斜率,又l過(guò)點(diǎn),所以直線(xiàn)l的方程為,即,令,得,所以l在x軸上的截距等于,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,直線(xiàn)的斜率為,因?yàn)?,所以l與直線(xiàn)垂直,故C正確;對(duì)于D,點(diǎn)到直線(xiàn)l:的距離為,所以點(diǎn)到直線(xiàn)l上的點(diǎn)的最短距離是1,故D正確.故選:B7.【答案】C【詳解】一束光線(xiàn)從出發(fā),經(jīng)直線(xiàn)反射,與交于點(diǎn)P,由題意可得,點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在反射光線(xiàn)上,設(shè),則,,故光線(xiàn)從A到B所經(jīng)過(guò)的最短路程是.故選:C.8.【答案】C【詳解】取中點(diǎn),連接,則,而平面,于是平面,,,又,則,解得,,而,則,,所以三棱錐的體積為.故選:C
9.【答案】AD【分析】根據(jù)直線(xiàn)的傾斜角與斜率判斷A;根據(jù)兩直線(xiàn)平行求出參數(shù)的值,即可判斷B;根據(jù)兩點(diǎn)式方程判斷C;分截距都為與都不為兩種情況討論,即可判斷D.【詳解】對(duì)于A:坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)均有傾斜角,但是與軸平行(重合)的直線(xiàn)的傾斜角為,斜率不存在,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)互相平行,則,解得或,當(dāng)時(shí)直線(xiàn)與直線(xiàn)重合,故舍去,當(dāng)時(shí)直線(xiàn)與直線(xiàn)平行,符合題意,綜上可得,故B正確;對(duì)于C:過(guò)兩點(diǎn)的所有直線(xiàn)的方程為,故C正確;對(duì)于D:當(dāng)截距都為時(shí)直線(xiàn)方程為,當(dāng)截距都不為時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為,則,解得,所以直線(xiàn)方程為,綜上可得滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)方程為或,故D錯(cuò)誤.故選AD.10.【答案】ABD【詳解】由已知可得,A正確;由于,所以在上的投影向量即為,B正確;若在平面ABC內(nèi),則存在實(shí)數(shù)x,y,使得,而,所以,上述方程組無(wú)解,故點(diǎn)E不在平面ABC內(nèi),C錯(cuò)誤;由,故,且,所以正確.故選:ABD.11.【答案】ACD【詳解】對(duì)于A,三棱錐的體積等于三棱錐的體積,是定值,A正確;以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,設(shè),則對(duì)于B,,使得與所成的角滿(mǎn)足:,因?yàn)?,故,故,而,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,平面的法向量,所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為:,因?yàn)椋使?,而,,故即的取值范圍為,C正確;對(duì)于D,,由,可得,化簡(jiǎn)可得,在平面內(nèi),令,得,令,得,則P的軌跡的長(zhǎng)度為,D正確;故選:ACD.12.【答案】【詳解】由解得,所以的交點(diǎn)坐標(biāo)為,過(guò)定點(diǎn),若直線(xiàn)不能?chē)扇切?,只需?jīng)過(guò)點(diǎn),或與平行,或與平行,當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),,解得;當(dāng)與平行時(shí),,解得;當(dāng)與平行時(shí),,解得.故的值為.故答案為:(只需寫(xiě)出其中一個(gè)即可).13.【答案】/【詳解】因?yàn)?、,所?記平面的一個(gè)法向量為,則,解得,故平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)?,所?所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為:.14.【答案】/0.25【詳解】在長(zhǎng)方體中,建立如圖所示的空間直線(xiàn)坐標(biāo)系,則,令,則有,,,由為鈍角,得,解得,,因此;顯然,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,整理得,解得,所以.故答案為:;15.【答案】(1)(2)【詳解】(1),,,,,令與的夾角為,則,則與的夾角為.(2),,又與垂直,,即,解得.16.【答案】(1)(2)直線(xiàn)的方程為:,【詳解】(1)由于所在直線(xiàn)的方程為,故的斜率為,與互相垂直,直線(xiàn)的斜率為,結(jié)合,可得的點(diǎn)斜式方程:,化簡(jiǎn)整理,得,即為所求的直線(xiàn)方程.(2)由和聯(lián)解,得由此可得直線(xiàn)方程為:,即,,關(guān)于角平分線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng),直線(xiàn)的方程為:,直線(xiàn)方程為,將、方程聯(lián)解,得,,因此,可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.17.【答案】(1),(2)【詳解】(1)因?yàn)槭瞧叫辛骟w,所以,(2)因?yàn)?,底面是矩形,所以,又因?yàn)?,,所以,,因此,,若異面直線(xiàn)與所成角為,則,因此異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為.18.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】(1)因?yàn)槠矫?,平面,所以;底面為菱形,所以;又因?yàn)?,平面,所以平?(2)如圖:設(shè),取的中點(diǎn),連接,則,所以平面.故可以以為原點(diǎn),建立如圖空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)闉橹本€(xiàn)與平面所成的角,所以.又,所以,,,,,
則,.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則,取,則,則,又為平面的法向量,設(shè)平面與平面所成的角為,,則,,即平面與平面所成角的正弦值為.19.【答案】(1),(2)(3)存在,和【詳解】(1),,;(2)設(shè),由題意得:,即,而
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