第一章 特殊平行四邊形 綜合檢測

第一章特殊平行四邊形綜合檢測(滿分100分，限時60分鐘)一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)1.如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，對角線AC=3，則該菱形的周長為()A.12 B.15 C.6+43 D.3+62.(2022山東濱州中考)下列命題，其中是真命題的是()A.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形B.有一個角是直角的四邊形是矩形C.對角線互相平分的四邊形是菱形D.對角線互相垂直的矩形是正方形3.(2023山西太原師院附中月考)如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，若△AOB的面積是4，則矩形ABCD的面積是()A.8 B.12 C.16 D.204.(2022四川自貢中考)如圖，菱形ABCD對角線的交點與坐標(biāo)原點O重合，點A(-2，5)，則點C的坐標(biāo)是()A.(5，-2) B.(2，-5) C.(2，5) D.(-2，-5)5.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點E在邊BC上，連接DE，若EA平分∠BED，則EC的長為()A.35 B.9386.(2023廣東五華期中)如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點E，使AE=AC，則∠BCE的度數(shù)是()A.62.5° B.45° C.32.5° D.22.5°7.(2022湖南湘西州中考)如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，OH=4，若菱形ABCD的面積為323，則CD的長為()A.4 B.43 C.8 D.88.(2022甘肅中考)如圖1，在菱形ABCD中，∠A=60°，動點P從點A出發(fā)，沿折線AD→DC→CB方向勻速運動，運動到點B停止.設(shè)點P的運動路程為x，△APB的面積為y，y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則AB的長為()A.3 B.23 C.339.如圖，先將正方形紙片對折，折痕為MN，展開后再把點B折疊在折痕MN上，折痕為AE，點E在CB上，點B在MN上的對應(yīng)點為H，展開后沿AH和DH剪下得到三角形ADH，則下列選項錯誤的是()A.DH=AD B.AH=DH C.NE=BE D.DM=1210.(2023遼寧省實驗中學(xué)期中)如圖，E，F(xiàn)分別是正方形ABCD的邊BC，AB上的點，且AE=DF，下列結(jié)論：①AE⊥DF；②CE=BF；③S△AOD=S四邊形BEOF；④AO=OE，其中一定正確的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分)11.如圖，CD是Rt△ABC的中線，∠ACB=90°，∠ABC=25°，則∠ADC的度數(shù)是.

12.(2022湖南益陽中考)如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿其對角線AC平移，使A的對應(yīng)點A'滿足AA'=13AC，則所得正方形與原正方形重疊部分的面積是13.(2022遼寧營口中考)如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，只需添加一個條件即可證明四邊形ABED是菱形，這個條件可以是.(寫出一個即可)

14.(2022甘肅中考)如圖，菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，若AB=25cm，AC=4cm，則BD的長為cm.

15.(2023河南省實驗中學(xué)月考)如圖，在邊長為22的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，連接EC，F(xiàn)D，點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，連接GH，則GH的長度為.

16.(2022天津中考)如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠DAB=60°，E為AB的中點，F(xiàn)為CE的中點，AF與DE相交于點G，則GF的長等于.

三、解答題(共46分)17.(2022浙江嘉興中考)(7分)小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，OB=OD.求證：四邊形ABCD是菱形.”并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流.小惠：證明：小惠：證明：∵AC⊥BD，OB=OD，∴AC垂直平分BD.∴AB=AD，CB=CD.∴四邊形ABCD是菱形.小潔：這個題目還缺少條件，需要補充一個條件才能證明.若贊同小惠的證法，請在第一個方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說法，請你補充一個條件，并證明.18.(7分)如圖，在正方形ABCD中，點E是BC上的一點，點F是CD延長線上的一點，且BE=DF，連接AE，AF，EF.(1)求證：△ABE≌△ADF；(2)若AE=5，請求出EF的長.19.(2021貴州六盤水期末)(7分)如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，△ABO是等邊三角形，AB=1.(1)求證：?ABCD是矩形；(2)求矩形ABCD的面積.20.(8分)如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，AD上，且AH=CF，BE=DG.(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)若四邊形EFGH是菱形，AB=50，BC=30，AH=10，求菱形EFGH的邊長.21.(2020山西中考節(jié)選)(8分)綜合與實踐問題情境：如圖①，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB=90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE'(點A的對應(yīng)點為點C).延長AE交CE'于點F，連接DE.猜想證明：(1)試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說明理由；(2)如圖②，若DA=DE，請猜想線段CF與E'F的數(shù)量關(guān)系并加以證明.22.(2022河南息縣模擬)(9分)學(xué)習(xí)了菱形的判定后，小張同學(xué)與小劉同學(xué)一起探索折紙中的菱形.小張：如圖①，兩張相同寬度的矩形紙條重疊部分(陰影部分)是一個菱形.小劉：如圖②，一張矩形紙條沿EG折疊后，重疊部分展開(陰影部分)后是一個菱形.(1)小張同學(xué)的判斷是否正確?(2)小劉同學(xué)的判斷是否正確?如果正確，證明他的判斷；如果不正確，請說明理由.(3)如圖③，矩形ABCD的寬AB=4，若AE=2AB，沿BE折疊后，重疊部分展開(陰影部分)后得到菱形GBFE，求菱形GBFE的面積.

第一章特殊平行四邊形綜合檢測答案全解全析一、選擇題1.A∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=3，∴菱形ABCD的周長=4AB=12，故選A.2.D選項A，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題，本選項不符合題意；選項B，有一個角是直角的平行四邊形是矩形，原命題是假命題，本選項不符合題意；選項C，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題，本選項不符合題意；選項D，對角線互相垂直的矩形是正方形，是真命題，本選項符合題意.故選D.3.C∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，∴OA=OB=OC=OD，∴S△ADO=S△BCO=S△CDO=S△AOB=4，∴矩形ABCD的面積為4S△4.B∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，即點A與點C關(guān)于原點對稱，∵點A(-2，5)，∴點C的坐標(biāo)是(2，-5).5.C∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，CD=AB=3，∴∠DAE=∠AEB，∵EA平分∠BED，∴∠AED=∠AEB，∴∠AED=∠DAE，∴DE=AD=4，∴EC=DE6.D∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵AE=AC，∴∠E=∠ACE=12(180°-∠BAC)=12×(180°-45°)=67.5∴∠BCE=67.5°-45°=22.5°，故選D.7.C∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴OB=OD，OC=OA=12AC，AC⊥BD，∴OH=OB=OD=12BD，∴OD=4，BD=8，由12AC·BD=323得12×8AC=32OC8.B本題綜合考查了菱形的性質(zhì)與函數(shù)圖象.連接BD，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=AD，∴△ABD為等邊三角形，設(shè)AB=a，由題圖2可知，△ABD的面積為33，∴34a2=33，解得9.C連接EH，由圖形的對稱性可知AB=AH，AH=DH，DM=12AD，BE=HE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∴DH=AD，∴DM=12DH，在Rt△HNE中，HE>NE，∴BE>NE，故A、B、D結(jié)論正確，C結(jié)論錯誤10.C在正方形ABCD中，∠DAF=∠B=90°，AB=AD=BC，在Rt△ABE和Rt△DAF中，AE=DF,AB=AD,∴Rt△ABE≌Rt△DAF(HL)，∴AF=BE，∴CE=BF，故②正確；∵Rt△ABE≌Rt△DAF，∴∠EAB=∠ADF90°，∴∠ADF+∠DAE=90°，∴∠AOD=90°，∴AE⊥DF，故①正確；∵△ABE≌△DAF，∴S△ABE=S△DAF，∴S△ABE-S△AOF=S△DAF-S△AOF，即S△AOD=S四邊形BEOF，故③正確；假設(shè)AO=OE，連接DE，∵AE⊥DF，∴AD=DE，∵在Rt△DCE中，DE>DC，∴AD>DC，這與AD=DC相矛盾，所以假設(shè)不成立，AO≠OE，故④錯誤.綜上所述，正確的有①②③.故選C.二、填空題11.50°解析∵CD是Rt△ABC的中線，∠ACB=90°，∴DC=12AB=DB∴∠DCB=∠ABC=25°，∴∠ADC=∠DCB+∠ABC=50°.12.4解析∵正方形ABCD的邊長為3，∴AC=32，∴AA'=13AC==22，由題意可得重疊部分是正方形，且邊長為2，∴S重疊部分=4.故答案為4.13.AB=AD(答案不唯一)解析這個條件可以是AB=AD，理由如下：由平移的性質(zhì)得AB∥DE，AB=DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，又∵AB=AD，∴平行四邊形ABED是菱形，故答案為AB=AD(答案不唯一).14.8解析∵四邊形ABCD是菱形，AC=4cm，∴AC⊥BD，BO=DO，AO=CO=2cm，∵AB=25cm，∴BO=AB2?AO2=4cm，∴=8cm，故答案為8.15.1解析解法一：連接CH并延長交AD于P，連接PE，∵四邊形ABCD是正方形，且其邊長為22，∴∠A=90°，AD∥BC，AB=AD=BC=22，∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，∴AE=CF=12×22=2，∵點H是FD的中點，∴DH=FH，∵AD∥∠FCH，又∵∠DHP=∠FHC，∴△PDH≌△CFH(AAS)，∴PH=CH，PD=CF=2，∴AP=AD-PD=2，∴PE=AP∵點G，H分別是EC，CP的中點，∴GH=12EP=1解法二：連接GF，可得GF=12BE=22，且GF∥BE，作GM⊥DC于M，可得四邊形GFCM為矩形，所以CM=22，GM=2，延長GH交CD于N，可得△GHF≌△NHD，所以DN=GF=22，GH=HN=12GN，所以MN解法三：連接EH并延長，交CD于點M，連接FG并延長，交EH于點O，交AD于點N.可知△OGH為等腰直角三角形，且OH=14AD=2解法四：連接FG并延長至點O，使OG=GF，連接BD，易知點O為正方形對角線的交點，GH是△OFD的中位線，所以GH=12OD=解法五：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.易知E(0，2)，C(22，0)，F(xiàn)(2，0)，D(22，22).所以G2,22，H322,解法六：根據(jù)圖形特性，將圖形放在格點圖中，小正方形的邊長為22，觀察可得GH=116.19解析如圖，過點F作FH∥CD，交DE于H，過點C作CM⊥AB，交AB的延長線于M，連接FB，則∠M=90°.∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AB∥CD，∴FH∥AB，∴∠FHG=∠AEG，∵F是CE的中點，F(xiàn)H∥CD，∴H是DE的中點，∴FH是△CDE的中位線，∴FH=12CD∵E是AB的中點，∴AE=BE=1，∴AE=FH，又∵∠AGE=∠FGH，∴△AEG≌△FHG(AAS)，∴AG=FG，∵AD∥BC，∴∠CBM=∠DAB=60°，∴∠BCM=30°，∴BM=12BC∴CM=22?12=∵F是CE的中點，∴FB是△CEM的中位線，∴BF=12CM=32，F(xiàn)B∥CM，∴∠EBF=在Rt△AFB中，由勾股定理得AF=AB2+BF2三、解答題17.解析贊成小潔的說法，補充條件：OA=OC.證明如下：∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形.(補充條件不唯一，正確即可)18.解析(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠ADF=90°.在△ABE和△ADF中，AB∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF=5，∠BAE=∠DAF.∵∠BAE+∠EAD=90°，∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°.∴EF=AE19.解析(1)證明：∵△ABO是等邊三角形，∴OA=OB=AB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∴OA=OC=OB=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形.(2)∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=2AO，∵AB=1，∴AO=1，∴AC=2，由勾股定理得BC=AC∴矩形ABCD的面積=1×3=20.解析(1)證明：在矩形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=CD，∵BE=DG，∴AB-BE=CD-DG，∴AE=CG，又∵AH=CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴EH=GF.同理可證EF=GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形.(2)設(shè)AE=x，則DG=BE=50-x.DH=AD-AH=30-10=20.在Rt△AEH和Rt△DGH中，AH2+AE2=EH2，DH2+DG2=GH2，∵四邊形EFGH是菱形，∴EH=GH，∴AH2+AE2=DH2+DG2，∴102+x2=202+(50-x)2，解得x=28，即AE=28.∴EH=AH∴菱形EFGH的邊長為2221.21.解析(1)四邊形BE'FE是正方形.理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得∠AEB=∠CE'B=90°，BE=BE'，∠EBE'=90°，又∵∠BEF=90°，∴四邊形BE'FE是矩形，又∵BE=BE'，∴四邊形BE'FE是正方形.(2)CF=E'F.證明：如圖，過點D作DH⊥AE于H，∵