專題24圓的方程

專題2.4圓的方程知識(shí)點(diǎn)一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑.知識(shí)點(diǎn)詮釋：(1)如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)，圓的方程就是.有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：；圓與y軸相切時(shí)：；圓與x軸相切時(shí)：；與坐標(biāo)軸相切時(shí)：；過(guò)原點(diǎn)：(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn).(3)標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法.知識(shí)點(diǎn)二：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有(1)若點(diǎn)在圓上(2)若點(diǎn)在圓外(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)知識(shí)點(diǎn)三：圓的一般方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.為圓心，為半徑.知識(shí)點(diǎn)詮釋：由方程得(1)當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解.它表示一個(gè)點(diǎn).(2)當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．(3)當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.知識(shí)點(diǎn)四：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”.用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組.(3)解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程.知識(shí)點(diǎn)五：軌跡方程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過(guò)“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法（或稱相關(guān)點(diǎn)法）．2．求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等．3．求軌跡方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）列出關(guān)于的方程；（3）把方程化為最簡(jiǎn)形式；（4）除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）；（5）作答．題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2022·湖北·安陸第一高中高二階段練習(xí)）與圓C：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓C：的圓心，半徑．設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以圓C關(guān)于直線的對(duì)稱圓的方程為，故選:C．2．（2022·江蘇·高二）圓：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】：表示以為圓心，以1為半徑的圓．設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則有，解得：，，所以：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為．故選：A．3．（2022·江蘇·高二）求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)圓心在x軸上，半徑為5，且過(guò)點(diǎn)；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，且以線段AB為直徑；(3)圓心在直線y=2x上，且與直線y=1x相切于點(diǎn)；(4)圓心在直線x2y3=0上，且過(guò)點(diǎn)，．【答案】(1)或(2)(3)(4)【解析】(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得a=2或a=6，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．(2)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，；又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以．所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(3)設(shè)圓心為．因?yàn)閳A與直線y=1x相切于點(diǎn)，所以，解得a=1．所以所求圓的圓心為，半徑．所以所求圓的方程為．(4)設(shè)點(diǎn)C為圓心，因?yàn)辄c(diǎn)C在直線上，故可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為．又該圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，所以．所以，解得a=2，所以圓心坐標(biāo)為，半徑．故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．題型二：圓的一般方程1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期中）已知圓方程的圓心為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)；【詳解】解：因?yàn)?，即，所以圓心坐標(biāo)為；故選：C2．（2022·福建漳州·高二期末）在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.如線段的最小覆蓋圓就是以該線段為直徑的圓，銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若，，，則的最小覆蓋圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，為銳角三角形，的外接圓就是它的最小覆蓋圓，設(shè)外接圓方程為，則

解得的最小覆蓋圓方程為，即，的最小覆蓋圓的半徑為.故選：C3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四點(diǎn)坐標(biāo)分別為，若它們都在同一個(gè)圓周上，則a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C設(shè)圓的方程為，由題意得，解得，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即.故選：C.題型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，表示圓故，即或點(diǎn)A（1，2）在圓C：外故，即故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或即故選：A題型四：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題1．（2022·河北滄州·高二期末）已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過(guò)定點(diǎn)外還過(guò)定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，由得：，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).故選：D.2（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為，則圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）【答案】和【解析】二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，記為，易知，滿足，，，，設(shè)圓方程為，則，①－②得，，∴，從而，代入③得，∴圓方程為，整理得，由得或．∴圓過(guò)定點(diǎn)和．題型五：軌跡問(wèn)題1古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足，則r的取值為（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在【答案】C【解析】【分析】直接設(shè)點(diǎn)P，根據(jù)可以求得點(diǎn)P的軌跡為圓，根據(jù)題意兩圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，可得或．【詳解】設(shè)點(diǎn)P∵即整理得：∴點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，半徑的圓，∵圓的為圓心，半徑的圓由題意可得：或∴或故選：C．2已知??，且動(dòng)點(diǎn)滿足，則取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由得點(diǎn)軌跡為；由可知當(dāng)三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)取得最小值，聯(lián)立圓的方程和直線方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，整理可得：；一、單選題1．若曲線：表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，由該曲線表示圓，可知，解得或，故選：B.2．圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【來(lái)源】貴州省20212022學(xué)年高二下學(xué)期7月高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題【答案】B圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B3．方程表示的曲線是（

）．A． B．C． D．【來(lái)源】2.1圓【答案】A：對(duì)兩邊平方整理得，所以，方程表示圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓在軸及下方的部分，A選項(xiàng)滿足.故選：A4．若直線l經(jīng)過(guò)圓的圓心，且傾斜角為，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】整理圓的方程可得：，圓心，傾斜角為，其斜率，方程為：，即.故選：B.5．如圖，點(diǎn)A，B，D在圓Γ上，點(diǎn)C在圓Γ內(nèi)，，若，且與共線，則圓Γ的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【來(lái)源】安徽省淮南第二中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期博雅杯素養(yǎng)挑戰(zhàn)賽數(shù)學(xué)試題【答案】B【解析】以C為原點(diǎn)，BC和CD坐在直線分別為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)圓的一般方程為則，解得，所以所以圓的周長(zhǎng)為故選：B6．已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的圓心坐標(biāo)為，設(shè)是x軸上一點(diǎn)，因?yàn)榉瓷涔饩€恰好平分圓的圓周，所以反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由反射的性質(zhì)可知：，于是，所以反射光線所在的直線方程為：，故選：A7．若為圓的弦的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）．A． B．C． D．【來(lái)源】黑龍江省大慶市大慶中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】由圓，得，，由垂徑定理可知，所以直線斜率滿足，即，所以直線的方程為：，即，故選：D.8．直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【來(lái)源】四川省瀘州市瀘縣第五中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題【答案】C【解析】直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，∴A(4，0)，B(0，4)∴|AB|=4，設(shè)圓心(4，0)到直線的距離為d，則，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，∴，，∴的取值范圍為[，]，即ABP的高的取值范圍是[，]，又ABP面積為|AB|×，所以ABP面積的取值范圍為.故選：C.9．已知直線過(guò)圓的圓心，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【來(lái)源】安徽省宣城市20212022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】A【解析】由題意得圓心為（1,1），因?yàn)橹本€過(guò)圓心，所以，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：A10．已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【來(lái)源】四川省瀘州市瀘縣第五中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試題【答案】A由表示圓可得，點(diǎn)A（1，2）在圓C外可得，求解即可【詳解】由題意，表示圓故，即或點(diǎn)A（1，2）在圓C：外故，即故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或即故選：A11．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他對(duì)圓錐曲線有深刻系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書(shū)，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為λ(λ＞0，λ≠1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題，已知圓O：x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)M和定點(diǎn)A，B(1，1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為（

）A． B．C． D．【來(lái)源】湖南省常德市臨澧縣第一中學(xué)20212022學(xué)年高二下學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，0)或(1，0)．若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋；若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋．②當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，取點(diǎn)K(－2，0)，如圖，連接OM，MK，因?yàn)閨OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以．因?yàn)椤螹OK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，則，所以|MK|＝2|MA|，則2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．易知|MB|＋|MK|≥|BK|，所以|MB|＋|MK|的最小值為|BK|．因?yàn)锽(1，1)，K(－2，0)，所以(2|MA|＋|MB|)min＝|BK|＝．又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值為．故選：C12．已知圓的圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切，則圓的方程為A． B．或C． D．或【來(lái)源】山西省名校聯(lián)考20212022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)，因?yàn)閳A與直線相切，所以由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得或.因此圓的方程為或.13．兩條直線，的交點(diǎn)P在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】由解得.∵點(diǎn)P在圓的內(nèi)部.∴，解得.14．已知圓上的動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，取點(diǎn)，連接，，，，，，，因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,的最小值為的長(zhǎng)，，，故選D.15．AB為⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一條弦，，若點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]【來(lái)源】安徽省安慶市第一中學(xué)20212022學(xué)年高二上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】取AB中點(diǎn)為Q，連接PQ，，又，，∵點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，∴的取值范圍[－8，72].故選：D.二、多選題16．直線與圓的大致圖像可能正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A：直線不經(jīng)過(guò)第四象限，所以，所以圓的圓心在第一象限，因此本選項(xiàng)可能正確；B：直線不經(jīng)過(guò)第一象限，所以，所以圓的圓心在第三象限，因此本選項(xiàng)不可能正確；C：直線不經(jīng)過(guò)第一象限，所以，所以圓的圓心在第三象限，又因?yàn)樵搱A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以有，在圓的方程中，令，得或，因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)可能正確；D：直線不經(jīng)過(guò)第二象限，所以，所以圓的圓心在第四象限，又因?yàn)樵搱A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以有，在圓的方程中，令，得或，因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)不可能正確，故選：AC17．已知直線l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為.下列結(jié)論中正確的是（

）A．實(shí)數(shù)a的取值范圍為 B．實(shí)數(shù)a的取值范圍為C．直線l的方程為 D．直線l的方程為【答案】AD【解析】圓滿足，可得，又由題意弦AB的中點(diǎn)為可得點(diǎn)M在圓內(nèi)，將點(diǎn)M坐標(biāo)代入圓的方程可得：，即，故A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)圓的性質(zhì)可得：，由圓，得圓心，而，∴直線l的斜率k為，由點(diǎn)斜式可得直線l的方程為：，即，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：AD18．方程（，不全為零），下列說(shuō)法中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)為圓B．當(dāng)時(shí)不可能為直線C．當(dāng)方程為圓時(shí)，，滿足D．當(dāng)方程為直線時(shí)，直線方程【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由題可得或，代入得或，都是圓，故A對(duì)；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得是直線，故B錯(cuò)；對(duì)于C，原式可化為，要表示圓，則必有，故C對(duì)；對(duì)于D，只有時(shí)，方程表示直線，故D對(duì).故選：ACD.19．已知平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，若，則下列關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P的結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于B．當(dāng)P、A、B不共線時(shí)，△PAB面積的最大值是6C．當(dāng)A、B、P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是∠APB的平分線D．若點(diǎn)，則的最小值為【來(lái)源】湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體20212022學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】ACD【解析】設(shè)，因?yàn)椋淼?，即．A：點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，所求圖形的面積為16，正確；B：圓的半徑為4且，當(dāng)△PAB的底邊AB上的高最大時(shí)，面積最大，所以△PAB面積的最大值是，錯(cuò)誤；C：當(dāng)A，B，P不共線時(shí)，由，2，，即，故．由角平分線定理的逆定理知：射線PO是∠APB的平分線，正確；D：因?yàn)?，?PB|，則，又P在圓上，如圖所示，所以當(dāng)P，Q，B三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，此時(shí)，正確.故選：ACD．三、填空題20．已知圓：，：.則這兩圓的連心線方程為_(kāi)________（答案寫(xiě)成一般式方程）【來(lái)源】廣東省廣州市南沙區(qū)20212022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答