2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章數(shù)列2.1第1課時(shí)數(shù)列的概念及簡單表示法學(xué)案含解析新人教A版必修5

PAGE1-2.1數(shù)列的概念與簡潔表示法第1課時(shí)數(shù)列的概念及簡潔表示法學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解數(shù)列的概念．(重點(diǎn))2.駕馭數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用．(重點(diǎn))3.能依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1.通過數(shù)列概念及數(shù)列通項(xiàng)的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng)．2.借助數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，培育學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．1．?dāng)?shù)列的概念及一般形式思索：(1)數(shù)列的項(xiàng)和它的項(xiàng)數(shù)是否相同？(2)數(shù)列1，2，3，4，5，數(shù)列5，3，2，4，1與{1，2，3，4，5}有什么區(qū)分？[提示](1)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念．?dāng)?shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，是一個(gè)函數(shù)值，而項(xiàng)數(shù)是指該數(shù)列中的項(xiàng)的總數(shù)．(2)數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列5，3，2，4，1為兩個(gè)不同的數(shù)列，因?yàn)槎叩脑匾来尾煌?，而集合{1，2，3，4，5}與這兩個(gè)數(shù)列也不相同，一方面形式上不一樣，另一方面，集合中的元素具有無序性．2．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列名稱含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列按項(xiàng)的改變趨勢遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)相等的數(shù)列搖擺數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的通項(xiàng)公式假如數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．4．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是特別的函數(shù)，關(guān)系如下表：定義域正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})解析式數(shù)列的通項(xiàng)公式值域自變量依據(jù)從小到大的依次依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值構(gòu)成表示方法(1)通項(xiàng)公式(解析法)；(2)列表法；(3)圖象法思索：數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝f(n)與函數(shù)解析式y(tǒng)＝f(x)有什么異同？[提示]如圖，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})為定義域的函數(shù)an＝f(n)當(dāng)自變量依據(jù)從小到大的依次依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值．不同之處是定義域，數(shù)列中的n必需是從1起先且連續(xù)的正整數(shù)，函數(shù)的定義域可以是隨意非空數(shù)集．1．?dāng)?shù)列3，4，5，6，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n＋1C.an＝n＋2 D．a(chǎn)n＝2nC[閱歷證可知，它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n＋2.]2．600是數(shù)列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第項(xiàng)．24[an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.]3．?dāng)?shù)列{an}滿意an＝log2(n2＋3)－2，則log23是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)．3[令an＝log2(n2＋3)－2＝log23，解得n＝3.]4．?dāng)?shù)列1，2,eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中的第26項(xiàng)為．2eq\r(19)[因?yàn)閍1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，所以an＝eq\r(3n－2)，所以a26＝eq\r(3×26－2)＝eq\r(76)＝2eq\r(19).]數(shù)列的概念及分類【例1】已知下列數(shù)列：①2016，2017，2018，2019，2020，2021；②1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；③1，－eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，eq\f(（－1）n－1·n,2n－1)，…；④1，0，－1，…，sineq\f(nπ,2)，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有窮數(shù)列是，無窮數(shù)列是，遞增數(shù)列是，遞減數(shù)列是，常數(shù)列是，搖擺數(shù)列是(填序號(hào)).①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無窮、遞減數(shù)列；③為無窮、搖擺數(shù)列；④是搖擺數(shù)列，是無窮數(shù)列，也是周期為4的周期數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑥為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列．]推斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時(shí)要緊扣概念及數(shù)列的特點(diǎn)．對于遞增、遞減、搖擺還是常數(shù)列，要從項(xiàng)的改變趨勢來分析；而有窮還是無窮數(shù)列，則看項(xiàng)的個(gè)數(shù)有限還是無限．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．給出下列數(shù)列：①2013～2024年某市一般中學(xué)生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)列82，93，105，118，132，147，163，180；②無窮多個(gè)eq\r(3)構(gòu)成數(shù)列eq\r(3)，eq\r(3)，eq\r(3)，eq\r(3)，…；③－2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構(gòu)成數(shù)列－2，4，－8，16，….其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是________，遞增數(shù)列是________，常數(shù)列是________，搖擺數(shù)列是________．①②③①②③[①為有窮數(shù)列；②③是無窮數(shù)列．同時(shí)①也是遞增數(shù)列；②為常數(shù)列；③為搖擺數(shù)列．]由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式【例2】寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)是下列各數(shù)：(1)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)；(2)eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)；(3)0.9，0.99，0.999，0.9999；(4)3，5，3，5.思路探究：①求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，是否應(yīng)考慮將個(gè)別項(xiàng)或各項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?？②?shù)列的通項(xiàng)公式唯一嗎？[解](1)任何一個(gè)整數(shù)都可以看成一個(gè)分?jǐn)?shù)，所以此數(shù)列可以看做是自然數(shù)列的倒數(shù)，正負(fù)相間用(－1)的多少次冪進(jìn)行調(diào)整，其中一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n·eq\f(1,n).(2)數(shù)列可化為eq\r(3)，eq\r(9)，eq\r(15)，eq\r(21)，即eq\r(3×1)，eq\r(3×3)，eq\r(3×5)，eq\r(3×7)，…，每個(gè)根號(hào)里面可分解成兩數(shù)之積，前一個(gè)因數(shù)為常數(shù)3，后一個(gè)因數(shù)為2n－1，故原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\r(3（2n－1）)＝eq\r(6n－3).(3)原數(shù)列可變形為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,102)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,103)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,104)))，…，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝1－eq\f(1,10n).(4)數(shù)列給出前4項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)為3，偶數(shù)項(xiàng)為5，所以通項(xiàng)公式的一種表示方法為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（n為奇數(shù)）,5（n為偶數(shù)）)).此數(shù)列還可以這樣考慮，3與5的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(3＋5,2)＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式又可以寫為an＝4＋(－1)n.1．據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需細(xì)致視察分析，抓住以下幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的改變特征；(3)拆項(xiàng)后的特征；(4)各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想．2．視察、分析數(shù)列中各項(xiàng)的特點(diǎn)是最重要的，視察出項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對于正負(fù)符號(hào)改變，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)0，3，8，15，24，…；(2)1，－3，5，－7，9，…；(3)1eq\f(1,2)，2eq\f(2,3)，3eq\f(3,4)，4eq\f(4,5)，…；(4)1，11，111，1111，….[解](1)視察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0＝1－1，3＝4－1，8＝9－1，15＝16－1，24＝25－1，…，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝n2－1(n∈N*).(2)數(shù)列各項(xiàng)的肯定值為1，3，5，7，9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*).(3)此數(shù)列的整數(shù)部分1，2，3，4，…恰好是序號(hào)n，分?jǐn)?shù)部分與序號(hào)n的關(guān)系為eq\f(n,n＋1)，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝n＋eq\f(n,n＋1)＝eq\f(n2＋2n,n＋1)(n∈N*).(4)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)閑q\f(1,9)×9，eq\f(1,9)×99，eq\f(1,9)×999，eq\f(1,9)×9999，…，易知數(shù)列9，99，999，9999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝10n－1，所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,9)(10n－1)(n∈N*).數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用[探究問題]1．?dāng)?shù)列eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…的通項(xiàng)公式是什么？該數(shù)列的第7項(xiàng)是什么？eq\f(255,256)是否為該數(shù)列中的一項(xiàng)？為什么？[提示]由數(shù)列各項(xiàng)的特點(diǎn)可歸納出其通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2n－1,2n)，當(dāng)n＝7時(shí)，a7＝eq\f(27－1,27)＝eq\f(127,128)，若eq\f(255,256)為該數(shù)列中的一項(xiàng)，則eq\f(2n－1,2n)＝eq\f(255,256)，解得n＝8，所以eq\f(255,256)是該數(shù)列中的第8項(xiàng)．2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－n2＋2n＋1，該數(shù)列的圖象有何特點(diǎn)？試?yán)脠D象說明該數(shù)列的單調(diào)性及全部的正數(shù)項(xiàng)．[提示]由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列{an}的圖象是分布在二次函數(shù)y＝－x2＋2x＋1圖象上的離散的點(diǎn)，如圖所示，從圖象上可以看出該數(shù)列是一個(gè)遞減數(shù)列，且前兩項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)，從第3項(xiàng)往后各項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)．【例3】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n2－28n.(1)寫出此數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)；(2)問－49是否是該數(shù)列的一項(xiàng)？假如是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？68是否是該數(shù)列的一項(xiàng)呢？思路探究：(1)將n＝4，n＝6分別代入an求出數(shù)值即可；(2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否為正整數(shù)并推斷．[解](1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝eq\f(7,3)(舍去)，所以－49是該數(shù)列的第7項(xiàng)；由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝eq\f(34,3)，均不合題意，所以68不是該數(shù)列的項(xiàng)．1．(變結(jié)論)若本例中的條件不變，(1)試寫出該數(shù)列的第3項(xiàng)和第8項(xiàng)；(2)問20是不是該數(shù)列的一項(xiàng)？若是，應(yīng)是哪一項(xiàng)？[解](1)因?yàn)閍n＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－eq\f(2,3)(舍去)，所以20是該數(shù)列的第10項(xiàng)．2．(變條件，變結(jié)論)若將例題中的“an＝3n2－28n”變?yōu)椤癮n＝n2＋2n－5”，試推斷數(shù)列{an}[解]∵an＝n2＋2n－5，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.∵n∈N*，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．1．由通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的指定項(xiàng)，主要是對n進(jìn)行取值，然后代入通項(xiàng)公式，相當(dāng)于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值．2．推斷一個(gè)數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng)，其方法是可由通項(xiàng)公式等于這個(gè)數(shù)求方程的根，依據(jù)方程有無正整數(shù)根便可確定這個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)．3．在用函數(shù)的有關(guān)學(xué)問解決數(shù)列問題時(shí)，要留意它的定義域是N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})這一約束條件．1．依據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí)，需細(xì)致視察分析，抓住其幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的改變特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和肯定值特征．并對此進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納．2．假如一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式，則它的通項(xiàng)公式可以有多種形式．1．推斷正誤(1)數(shù)列1，1，1，…是無窮數(shù)列． ()(2)數(shù)列1，2，3，4和數(shù)列1，2，4，3是同一個(gè)數(shù)列． ()(3)有些數(shù)列沒有通項(xiàng)公式． ()[答案](1)√(2)×(3)√[提示](1)正確．每項(xiàng)都為1的常數(shù)列，有無窮多項(xiàng)．(2)錯(cuò)誤．雖然都是由1，2，3，4四個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，但是兩個(gè)數(shù)列中后兩個(gè)數(shù)依次不同，不是同一個(gè)數(shù)列．(3)正確．某些數(shù)列的第n項(xiàng)an和n之間可以建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，這個(gè)數(shù)列就有通項(xiàng)公式，否則，不能建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，這個(gè)數(shù)列就沒有通項(xiàng)公式．2．在數(shù)列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于()A．11 B．12C．13 D．14C[視察可知該數(shù)列從第3項(xiàng)起先每一項(xiàng)都等于它前面相鄰兩項(xiàng)的和，故x＝5＋8＝13.]3．已知數(shù)列2，eq\r(10)，4，…，eq\r(2（3n－1）)，…，則8是該數(shù)列的第項(xiàng)．11[令eq\r(2（3n－1）)